浙江省衢州市高二数学《随机变量的方差(第2课时)》教案
高中数学 第二章离散型随机变量的方差教案 新人教A版选修2-3
2．3．2离散型随机变量的方差一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出5.6. 分布列的两个性质： ⑴i ≥0，＝1，2，...； ⑵1+2+ (1)7.二项分布:ξ～B (n ，p )，并记kn k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．8.几何分布： g (k ，p )= 1k q p -，其中k ＝0,1,2,…， p q -=1．9.数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望．10. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平11 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …n p n 1==，=ξE +1(x +2x …nx n 1)⨯+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值12. 期望的一个性质: b aE b a E +=+ξξ)( 13.若ξB （n,p ），则E ξ=np 二、讲解新课：1. 方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋…称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望．2. 标准差:ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ．3.方差的性质：（1）ξξD a b a D 2)(=+；（2）22)(ξξξE E D -=； （3）若ξ～B (n ，p )，则=ξD np (1-p )4.其它：⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的； ⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛 三、讲解范例：例1．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差. 解：抛掷散子所得点数X 的分布列为从而111111123456 3.5666666EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=;2222221111(1 3.5)(2 3.5)(3 3.5)(4 3.5)666611(5 3.5)(6 3.5) 2.9266DX =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯≈1.71X σ=.例2．有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得EX 1 = 1200×0.4 + 1 400×0.3 + 1600×0.2 + 1800×0.1 = 1400 ,DX 1 = (1200-1400) 2 ×0. 4 + (1400-1400 ) 2×0.3+ (1600 -1400 )2×0.2+(1800-1400) 2×0. 1 = 40 000 ;EX 2＝1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 1400 ,DX 2 = (1000-1400)2×0. 4+(1 400-1400)×0.3 + (1800-1400)2×0.2 + (2200-1400 )2×0.l= 160000 .因为EX 1 =EX 2, DX 1<DX 2，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位．例3．设随机变量ξ的分布列为求D ξ解：（略）12n E ξ+=, 2n -1D 12ξ=例4．已知离散型随机变量1ξ的概率分布为离散型随机变量2ξ的概率分布为求这两个随机变量期望、均方差与标准差解：47177127111=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE ； 471)47(71)42(71)41(2221=⨯-+⋅⋅⋅+⨯-+⨯-=ξD ；211==ξσξD4713.4718.3717.32=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE ； 2ξD =0.04, 2.022==ξσξD .点评：本题中的1ξ和2ξ都以相等的概率取各个不同的值，但1ξ的取值较为分散，2ξ的取值较为集中．421==ξξE E ，41=ξD ，04.02=ξD ，方差比较清楚地指出了2ξ比1ξ取值更集中．1σξ＝2，2σξ=0.02，可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差例5．甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4,0.2,0.24用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平解：180.290.6100.29E ξ=⨯+⨯+⨯=221(89)0.2(99)0.6D ξ=-⨯+-⨯+（10-9）4.02.02=⨯；同理有8.0,922==ξξD E由上可知，21ξξE E =，12D D ξξ<所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、10环地次数多些．点评：本题中，1ξ和2ξ所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情况不同．21ξξE E ==9，这时就通过1ξD =0.4和2ξD =0.8来比较1ξ和2ξ的离散程度，即两名射手成绩的稳定情况例6．A 、B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：A 机床B 机床问哪一台机床加工质量较好解： E ξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,E ξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.它们的期望相同，再比较它们的方差D ξ1=（0-0.44）2×0.7+（1-0.44）2×0.2+（2-0.44）2×0.06+（3-0.44）2×0.04=0.6064,D ξ2=（0-0.44）2×0.8+（1-0.44）2×0.06+（2-0.44）2×0.04+（3-0.44）2×0.10=0.9264. ∴D ξ1< D ξ2 故A 机床加工较稳定、质量较好. 四、课堂练习：1 .已知()~,,8, 1.6B n p E D ξξξ==，则,n p 的值分别是（ ）A ．1000.08和；B ．200.4和；C ．100.2和；D ．100.8和 答案：1.D2. 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．分析：涉及次品率；抽样是否放回的问题．本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的．如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件．解：设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，1，2，3 当ξ=0时，即第一次取得正品，试验停止，则P （ξ=0）=43129= 当ξ=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则 P （ξ=1）=449119123=⨯ 当ξ=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则 P （ξ=2）=2209109112123=⨯⨯ 当ξ=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则P （ξ=3）=220199101112123=⨯⨯⨯ 所以，E ξ=10322013220924491430=⨯+⨯+⨯+⨯ 3. 有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求E ξ，D ξ分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题．由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的．解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即ξB （200，1%），从而可用公式：E ξ=np ，D ξ=npq(这里q=1-p)直接进行计算解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以ξB （200，1%）因为E ξ=np ，D ξ=npq ，这里n=200，p=1%，q=99%，所以，E ξ=200×1%=2,D ξ=200×1%×99%=1.984. 设事件A 发生的概率为p ，证明事件A 在一次试验中发生次数ξ的方差不超过1/4 分析：这是一道纯数学问题．要求学生熟悉随机变量的期望与方差的计算方法，关键还是掌握随机变量的分布列．求出方差D ξ=P(1-P)后，我们知道D ξ是关于P(P ≥0)的二次函数，这里可用配方法，也可用重要不等式证明结论证明：因为ξ所有可能取的值为0，1且P （ξ=0）=1-p,P(ξ=1)=p, 所以，E ξ=0×(1-p)+1×p=p则 D ξ=（0-p ）2×(1-p)+(1-p) 2×p=p(1-p) 412)p 1(p 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤A B 于120，试比较A 、B 两种钢筋哪一种质量较好分析： 两个随机变量ξA 和ξB &都以相同的概率0．1，0．2，0．4，0．1，0．2取5个不同的数值．ξA 取较为集中的数值110，120，125，130，135；ξB 取较为分散的数值100，115，125，130，145．直观上看，猜想A 种钢筋质量较好．但猜想不一定正确，需要通过计算来证明我们猜想的正确性解：先比较ξA 与ξB 的期望值，因为E ξA =110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125, E ξB =100×0.1+115×0.2+125×0.4十130×0.1+145×0.2=125.所以，它们的期望相同．再比较它们的方差．因为D ξA =(110-125)2×0.1+(120-125) 2 ×0.2+(130-125) 2×0.1+(135-125) 2×0.2=50，D ξB =(100-125)2×0.1+(110-125) 2 ×0.2+(130-125) 2×0. 1+(145-125) 2×0.2=165.所以，D ξA < D ξB .因此，A 种钢筋质量较好6. 在有奖摸彩中，一期(发行10000张彩票为一期)有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的．在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？分析：这是同学们身边常遇到的现实问题，比如福利彩票、足球彩票、奥运彩票等等．一般来说，出台各种彩票，政府要从中收取一部分资金用于公共福利事业，同时也要考虑工作人员的工资等问题．本题的“不考虑获利”的意思是指：所收资金全部用于奖品方面的费用解：设一张彩票中奖额为随机变量ξ，显然ξ所有可能取的值为0，5，25，100依题 意，可得ξ的分布列为2.02000100500255054000E =⨯+⨯+⨯+⨯=ξ答：一张彩票的合理价格是0．2元．五、小结 ：⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出E ξ；④根据方差、标准差的定义求出ξD 、σξ.若ξ～B (n ，p )，则不必写出分布列，直接用公式计算即可．⑵对于两个随机变量1ξ和2ξ，在1ξE 和2ξE 相等或很接近时，比较1ξD 和2ξD ，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要六、课后作业： P69练习1,2,3 P69 A 组4 B 组1,21.设ξ～B(n 、p)且E ξ=12 D ξ=4，求n 、p解：由二次分布的期望与方差性质可知E ξ=np D ξ= np （1－p ）∴⎩⎨⎧=-=4)1(12p np np ∴⎪⎩⎪⎨⎧==3218p n2.已知随机变量ξ服从二项分布即ξ~B(6、31)求b (2；6，31) 解：p(ξ=2)=c 62(31)2(32)43.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ和η，已知ξ和η的分布列如下：（注得分越大，水平越高）试分析甲、乙技术状况解：由0.1+0.6+a+1⇒a=0.3 0.3+0.3+b=1⇒a=0.4 ∴E ξ=2.3 , E η=2.0 D ξ=0.81 , D η=0.6。
高中数学_2.3.2离散型随机变量的方差教学设计学情分析教材分析课后反思
2.3.2离散型随机变量的方差教法选择引导发现法和归纳类比法学法指导注重发挥学生的主体性，让学生在学习中学会怎样发现问题、分析问题、解决问题.教学过程东平明湖中学高二数学导学案2.3.2离散型随机变量的方差一、目标引领：二、1.通过实例理解取有限值的离散型随机变量的方差、标准差的概念。
三、2.能计算简单离散型随机变量的方差、标准差。
3.体会随机变量的方差的作用。
4.培养解决实际问题的能力。
教学重点：离散型随机变量的方差、标准差的概念教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题二、自主探究:甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下问题1：如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？三、合作解疑：（一）随机变量的方差样本方差：※随机变量X的方差Array※随机变量X的标准差问题2：如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？问题3：如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？四、精讲点拨：例1、随机抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面的点数X的均值、方差和标准差。
小试牛刀：已知随机变量X的分布列求D（X）和σ（X）例2：有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息： 根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位?※（二）随机变量的方差的相关结论：根据期望定义可推出下面两个重要结论: 结论1：若___________)E(b a =+=ηξη，则， 结论2：若ξ~B(n ，p)，则E （ξ）=____________________ 结论3：若 ξ服从两点分布， 则E （ξ）=___________________根据方差定义你能推出类似的什么结论:结论1：若___________)D(b a =+=ηξη，则 结论2：若ξ~B(n ，p)， 则D （ξ）=______________ 结论3：若 ξ服从两点分布， 则D （ξ）=__________________例3.篮球运动员在比赛中每次罚球命中率为p=0.6 （1）求一次投篮时命中率次数X 的期望与方差； （2）求重复5次投篮时，命中次数Y 的期望与方差。
高中数学_离散型随机变量的方差教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计共分为六个环节：复习回顾、互动探究、典例精析、常用结论、当堂达标，、课堂小结。
具体内容如下：一：复习回顾（1）、离散型随机变量的均值（或数学期望）的概念与意义（2）、数学期望的性质：（3）、随机变量X服从两点分布，则其均值：（4）、随机变量X服从二项分布，则其均值：二：互动探究：情景引入：要从两名同学中挑出一名，代表班级参加射击比赛。
根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数x～B（10,0.8），第二名同学击中目标靶的环数X =Y+4 ,其中Y～B（5,0.8）.请问应派哪名同学参赛？（评析）：展示错误，激活教材例题，融入生活实际背景资料，抽象出熟悉问题。
（问题拓展）问题1：如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？（评析）两名选手的平均水平是一样的，这里自然想到选手的成绩的稳定性，在初中我们也根据数据的波动情况做过研究，即对于一组数据的稳定的描述，我们是用方差或标准差来刻画的。
于是引出课题：离散型随机变量的方差。
板书离散型随机变量的方差、标准差的概念，并让学生代表领读。
展示随机变量的方差与标准差的意义：（问题拓展）问题2：如果其他对手的射击成绩都在7环左右，应派哪一名选手参赛？问题3：如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？（评析）在前一节的基础上，学生能够完成，小组讨论合作，培养团结合作意识。
三、典例精析分为基础训练与实际应用例1、（基础训练）已知随机变量X的分布列为求随机变量X的方差、标准差。
（评析）本题属于基础题，体现公式的实用性，其目的是利用方差的定义求其方差与标准差。
例2（方差的应用）：有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：（评析）随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中；方差或标准差越大，则随机变量偏离于均值的平均程度越大，即越分散。
四、几个常用公式：学生思考，小组讨论，得出结论。
离散型随机变量的方差教案
教案：离散型随机变量的方差教学目标：1. 理解离散型随机变量的概念；2. 掌握方差的定义和计算方法；3. 能够运用方差分析数据的不均匀程度。
教学内容：一、离散型随机变量的概念1. 引入随机变量的概念，引导学生理解随机变量是随机现象的结果；2. 讲解离散型随机变量的定义，强调其取值有限且可数的特点；3. 通过实例让学生了解离散型随机变量的具体应用。
二、方差的定义1. 引入方差的概念，引导学生理解方差是衡量数据分散程度的指标；2. 讲解方差的计算公式，强调方差等于各个数据与平均数差的平方的平均数；3. 通过实例让学生了解方差的计算过程。
三、方差的计算方法1. 讲解如何计算离散型随机变量的方差，强调先求平均数，再求各个数据与平均数差的平方的平均数；2. 通过实例让学生掌握方差的计算步骤；3. 引导学生运用数学软件或工具进行方差的计算。
四、方差的应用1. 讲解方差在实际应用中的重要性，如统计学、经济学、自然科学等领域；2. 通过实例让学生了解如何运用方差分析数据的不均匀程度，如判断数据的分布情况、比较不同数据的离散程度等；3. 引导学生运用方差进行数据分析，培养学生的实际应用能力。
五、总结与练习1. 总结本节课的主要内容，让学生掌握离散型随机变量的概念、方差的定义和计算方法及其应用；2. 布置练习题，让学生巩固所学内容，提高解题能力。
教学资源：1. 离散型随机变量的定义和方差的计算方法的相关教材或教辅；2. 数学软件或工具，如Excel、MATLAB等；3. 实例数据，如统计数据、经济数据等。
教学评价：1. 学生能正确理解离散型随机变量的概念；2. 学生能熟练运用方差的计算方法计算离散型随机变量的方差；3. 学生能运用方差分析数据的不均匀程度，解决问题。
教案：离散型随机变量的方差（续）教学内容：六、方差的性质1. 讲解方差的性质，包括对称性、非负性、不变性和可加性等；2. 通过实例让学生了解方差的性质在实际应用中的作用；3. 引导学生运用方差的性质进行数据分析。
高中数学第二章 离散型随机变量的方差教案新课标人教A版选修2-3
2．3．2离散型随机变量的方差一、三维目标：1、知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。
2、过程与方法：了解方差公式“D (a ξ+b )=a 2D ξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则D ξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
3、情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
二、教学重点：离散型随机变量的方差、标准差三、教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题 四、教学过程： （一）、复习引入：1..数学期望则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望． 2. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平3. 期望的一个性质: b aE b a E +=+ξξ)( 5、如果随机变量X 服从二项分布，即X ～ B （n,p ），则EX=np （二）、讲解新课：1、(探究1) 某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？(探究2) 某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则这组数据的方差是多少？2、离散型随机变量取值的方差的定义: 设离散型随机变量X 的分布为：则(x i -EX)2描述了x i (i=1,2,…n)相对于均值EX 的偏离程度，而 DX为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值EX 的平均偏离程度。
我们称DX 为随机变量X 的方差，其算术平方根DX 叫做随机变量X 的标准差.随机变量的方差与标准差都反映了随机变量偏离于均值的平均程度的平均程度，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。
（三）、基础训练求DX 和解：00.110.220.430.240.12EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=104332221111+++++++++=X 21014102310321041=⨯+⨯+⨯+⨯=])()()[(122212x x x x x x ns n i -++-++-= 1])24()23()23()22()22()22()21()21()21()21[(10122222222222=-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=s 22222)24(101)23(102)22(103)21(104-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=s ∑=-=ni ii p EX x 12)(DX22222(02)0.1(12)0.2(22)0.4(32)0.2(42)0.1 1.2DX =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯= （四）、方差的应用用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。
[精品]新人教版选修2-3高二数学2.3 3 离散型随机变量的期望与方差(二)优质课教案
![[精品]新人教版选修2-3高二数学2.3 3 离散型随机变量的期望与方差(二)优质课教案](https://img.taocdn.com/s3/m/42750be7bb4cf7ec4afed06f.png)
离散型随机变量的期望与方差第4课时●课题122 离散型随机变量的期望与方差(二)●教目标(一)教知识点1离散型随机变量的方差(Dξ)的概念，标准差(σξ)的概念2离散型随机变量η=ξ+b(其中ξ为随机变量)的方差D(ξ+b)=2·Dξ的推导3服从二项分布的离散型随机变量ξ(即ξ~B(,p))的方差Dξ=pq(二)能力训练要求1会根据离散型随机变量的分布列求出方差值、标准差(σξ)的值2会求随机变量η=ξ+b的方差值(D(ξ+b)=2Dξ),ση的值和服从二项分布的随机变量ξ~B(,p)的方差值、标准差σξ的值的计算3能根据随机变量的方差值、期望值等求出某个变量值时的概率，也就是逆向思维的运用[]4会运用期望和方差的计算公式、方法解决生产生活中实际问题(三)德育渗透目标1通过实例和对初中知识的回顾培养生的直觉思维中的类比能力，培养生的辩证思维能力2培养生要会观察问题、分析问题和解决问题的能力，会用数眼光分析自己周边的事物，抽象概括为数模型，要体现生活与数的关系3培养生的坚强意志、勤于思考、动手动脑等非智力因素培养生的健全的人格，让更多的生有更好的发展●教重点离散型随机变量的方差是随机变量的另一个重要特征数(或数字特征)，也是对随机变量的一种简明扼要的描写随机变量的方差表现了随机变量所取的值相对于它的期望的集中与离散的程度随机变量ξ的方差就是另一个与ξ密切相关的随机变量(ξ－Eξ)2的均值两个计算方差的简单公式：(1)D(ξ+b)=2Dξ;(2)如果ξ~B(,p),则Dξ=pq(这里q=1－p)●教难点离散型随机变量的方差Dξ的定义引入是教的难点，两个方差的计算公式D(ξ+b)=2Dξ，若ξ~B(,p)则Dξ=pq的证明是另一个难点第一个难点的原因是：由于教书没有引入随机变量函数的一般定义，故只有从初中代数的回顾中提出问题，给出方差定义●教方法建构主义观点在高中数课堂教中的实践法在生已经掌握离散型随机变量分布列及数期望的认知水平上，利用直觉类比的方法对离散型随机变量的期望及初中代数中的一组数据的方差概念进行同化或顺应，然后再进行整合，得到离散型随机变量的方差的概念[]●教具准备投影仪或实物投影仪幻灯片 122(二) A●教过程 Ⅰ课题导入在初中代数中我们曾经过这样一个问题：设在一组数据x 1,x 2,…,x 中，各数据与它们的平均数x 的差的平方分别是(x 1－x )2,(x 2－x )2,…,(x －x )2,那么S 2=n1［(x 1－x )2+(x 2－x )2+…+(x －x )2］叫做这组数据的方差(板书)请问对于离散型随机变量ξ所有可能取的值对应的概率分布是否也有方差呢？答案是：“有！”如何定义呢？这就是我们今天习的课题：离散型随机变量的期望与方差(二)——方差(板书课题)Ⅱ．讲授新课 1方差概念的导入［师］如果离散型随机变量ξ所有可能取的值是x 1,x 2,…,x ,…，且取这些值的概率分别是p 1, p 2, …, p , … , (板书)，那么，如何定分别表示A 、B 两种钢筋的抗拉强度，在使用时要求钢筋的抗拉试比较A 、B 两种钢筋哪一种质量较好？义ξ的方差呢？请同们先讨论，然后再总结［生］(稍过片刻后)因为ξ的期望它是反映了离散型随机变量取值的平均水平，这与我们初中所过的一组数据x 1，x 2，…，x 的平均值的意义是相同的，由初中所过的一组数据的方差定义直接类比有：把n1［(x 1－Eξ)2+(x 2－Eξ)2+…+(x －Eξ)2］定义为随机变量ξ的方差［师］初中我们习的一组数据的方差的概念，这一组中的个数是有限的，而这个离散型随机变量ξ的取值是有限还是无限呢？其二，一组数据中每一个出现的频率都是一样的，即为n1，而离散型随机变量ξ所有可能取值对应的概率是否相同呢？请同们再从这两点出发，结合离散型随机变量ξ的期望定义，也要看看初中习的平均数的定义，由几点出发能否得到离散型随机变量ξ的方差的定义呢？(课堂上的术研讨气氛十分浓厚，他们按照划分的习小组进行讨论研究，教师也参与进去，个别指导或旁听或解疑或解答生的问题)［生］(片刻后)我们可以进行这样的类比：一组数据：x 1，x 2，…，x −−→−类比离散型随机变量ξ取值：x 1，x 2，…，x ，…平均值nx x x x n +++=21−−→−类比期望Eξ=x 1p 1+x 2p 2+…+xp +…方差S 2=n1［(x 1－x )2+(x 2－x )2+…+(x －x )2］−−→−类比方差：(x 1－Eξ)2p 1+(x 2－Eξ)2p 2+…+(x －Eξ)2p +…［师］刚才这位同的类比是否合理呢？这是完全正确的(开始板书下列内容)：把Dξ=(x1－Eξ)2p1+(x2－Eξ)2p2+…+(x－Eξ)2p+…叫做随机变量ξ的均方差，简称为方差Dξ的算术平方根D叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ“σ”读作 (国际音标)这就是随机变量ξ的方差和标准差的定义由此可以看出，类比固然可以引导我们走向成功一面，但也会把我们领入歧途我们知道初中习的方差它是说明了这组数据的波动情况，类似地离散型随机变量ξ的方差Dξ和标准差σξ的实际意义是什么呢？［生］这两个数量都是反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度(板书)［师］在习数期望时，我们证明E(ξ+b)=Eξ+b，你们能猜想出D(ξ+b)的式子吗？［生］D(ξ+b)也是满足线性关系，即D(ξ+b)=Dξ+b［师］这仅仅是猜想，你能证明吗？［生］可以，利用定义直接推导(他走上讲台，在黑板上写道) ∵E(ξ+b)=Eξ+bP(η=x+b)=P(ξ=x)(=1，2，3，…，，…)∴D(ξ+b)=［x1+b－E(ξ+b)］2p1+［(x2+b)－E(ξ+b)］2p2+…+［(x+b)－E(ξ+b)］2p+…=(x1+b－Eξ－b)2p1+(x2+b－Eξ－b)2p2+(x3b－Eξ－b)2p3+…+(x+b－Eξ－b)2p+…=(x1－Eξ)2p1+(x2－Eξ)2p2+…+(x－Eξ)2p+…=2［(x1－Eξ)2p1+(x2－Eξ)2p2+…+(x－Eξ)2p+…］=2Dξ(注：该生刚开始时，写［x1－E(ξ+b)］2，［x2－E(ξ+b)］2，…，展开后发现不对，没有办法推下去，这时教师现场指导，考查的随机变量是η=ξ+b，而不是ξ，它所对应的可能值是x1+b，x2+b，…，x+b，…而不是x1，x2，…，x，…，生进行修改，继续推导下去然后教师走到生中间与他们共同研究，发现问题个别指导，达到共识)［师］原你的猜想是D(ξ+b)=Dξ+b，而证明的结果是D(ξ+b)=2Dξ，你是相信哪一个呢？［生］(齐声说)相信证明的结果［师］类比的思想方法在发现中有着十分重要的作用，这一点是不可撼动的但我们要知道事物都是一分为二的，类比固然可以引导我们走向成功，但有的时候也会捉弄我们，把我们领向歧途，本题就是一个事实所以，我们既要习类比与猜想，又要会严密的证明，这样我们思维品质更加优异，更具有辩证性如果离散型随机变量ξ满足二项分布，即ξ~B(，p)，那么Dξ又等于什么？同们能否仿照Eξ的证明方法给出证明？(生跃跃欲试，拿起笔在草稿上飞速书写或相互讨论)［生］我愿意到黑板上推导试试看因为ξ~B(，p)，∴Eξ=p，Dξ=E(ξ－Eξ)2=E［ξ2－2ξEξ+(Eξ)2］=Eξ2－2Eξ·Eξ+(Eξ)2=Eξ2－(Eξ)2而Eξ2=02·0Cn·p0q+12·1 Cn ·p1q－1+22·2Cn·p2·q－2+32·3Cnp3q－3+ (2)nC·pq0(*)∵k2=(k2－k)+k，∴k2knC=(k2－k) knC+k·knC=k(k－1)knC+11C--kn=(k－1) 11C --k n +11C --k n 1=(－1)22C --k n +11C --k n ∴(*)为E ξ2=0+［·(1－1)·01C -n +·01C -n ］p 1q －1+［(－1)02C -n +11C -n ］p 2q －2+［(－1)22C -n +21C -n ］p 3q －3+…+［(－1)22C --k n +11C --k n ］p k q －k +…+［(－1)22C --n n + 11C --n n ］p ·q 0=(－1)p 2［02C -n p 0q －2+12C -n p 1q －3+…+22C --n n p －2q 0］+p ·［01C -n p 0q －1+11C -n p 1q －2+21C -n p 2q －3+…+11C --n n p －1q 0］=(－1)p 2(p +q )－2+p ·(p +q )－1=(－1)p 2+p∴D ξ=E ξ2－(E ξ)2=(－1)p 2+p －(p )2=p －p 2=p (1－p )=pq (q =1－p )即D ξ=pq［师］这位同已经证明的太妙了！请同详细读读他的书写过程你的解法和他的是否相同，如果你没有证出，你的问题症结在何处，正确找出差异，才能更好地进步［生］我看太繁，没有敢往下写，也不知道如何化简(*)式，我没有他的那种毅力[]［生］对于11C C --=k n k n n k 我知道运用，但对于k 2knC ，我就不知道该如何化简了他在黑板写的是拆项(即添项去项)，构造出11C C --=k n k n n k ，然后再运用(k －1)·11C --k n =(－1)22C --k n 这是证明本题的核心所在他的代数推理能力太棒了，我要向他习［师］这两位同都说出真心话，他们对黑板上的同的证明给予了充分的肯定从这里也看出了我们在平时的习中要有恒心，要有信心，要有坚韧不拔的毅力和坚强的意志，见到困难不能低头，只有这样才能把自己的工作和习做的更加出色(生们一起鼓掌)(这种宽松和谐气氛的营造不是老师一个人去说教的，而是靠师生共同去创造的，教师的宽厚待人、谦虚求实、严而有爱、识广博，往往是唤醒沉睡的课堂的关键，教师的精湛的教艺术又是活跃课堂研讨气氛的调和剂，教师的作用是组织者、策划者，而生才是真正的主人)2课本例题［例1］(原课本例5)已知离散型随机变量ξ1和ξ2的概率分布求这两个随机变量ξ1与ξ2的期望、方差与标准差 (教师简要地把表写在黑板上，请同编题，设计问题)［师］按黑板上的表格中的有关数据，哪位同提出求什么问题？ ［生］可以求随机变量ξ1、ξ2的方差与标准差 ［师］对，那我们就一起求解吧！［师］我们先计算出ξ1、ξ2的期望，再利用方差的定义求解 解：E ξ1=1×71+2×71+3×71+4×71+5×71+6×71+7×71=71×(1+2+3+4+5+6+7)=4D ξ1=(1－4)2×71+(2－4)2×71+(3－4)2×71+(4－4)2×71+(5－4)2×71+(6－4)2×71+(7－4)2×71=(32+22+12+02+12+22+32)×71=2×14×71=4∴σξ1=41=ξD =2E ξ2=37×71+38×71+39×71+4×71+41×71+42×71+43×71=71×(37+38+39+4+41+42+43)= 71×282)3.47.3(7=+⨯=4 D ξ2=(37－4)2×71+(38－4)2×71+(39－4)2×71+(4－4)2×71+(41－4)2×71+(42－4)2×71+(43－4)2×71=(032+022+012+02+012+022+032)×71=1001×2×14×251100471===004∴σξ2=512512==ξD =02 ［师］此题中Eξ1=Eξ2，但Dξ1≠Dξ2，ξ1和ξ2都是以相等的概率取各个不同的数值，ξ1取较为分散的数值1，2，3，4，5，6，7，ξ2取较为集中的数值37，38，39，4，41，42，43Eξ1=Eξ2=4，Dξ1=4，Dξ2=004方差比较清楚地指出了ξ2比ξ1取值更集中，由σξ1=2，σξ2=02可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差，这个偏差甚至可以让生从随机变量的分布列通过猜想得到［例2］(原课本P 14例6)甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下表：用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平(教师先在黑板上列出两张表格，请生命题，但又不同于上题)［师］请同们根据表中提供的数据编拟一道试题［生］甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，各有关数据如表所示，求甲、乙两名射手的击中环数的期望、方差和标准差［师］可以！还有哪位同提出新的问题[]［生］甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，根据所给的数据，问哪个水平高？［师］这个问法比较好，也是目前生产、生活中常见的问题，从实际问题抽象成数问题，这个过程就需要建构要想更好地回答这个问题，必须要计算期望与方差，利用它们分析［生］Eξ1=8×02+9×06+10×02=9，Dξ1=(8－9)2×02+(9－9)2×06+(10－9)2×02=02+0+02=04Eξ2=8×04+9×02+10×04=9，Dξ2=(8－9)2×04+(9－9)2×02+(10－9)2×04=04+0+04=08从上可知，Eξ1=Eξ2，Dξ1<Dξ2所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得环数的平均值很接近，均在9环左右，但射手甲所得环数比较集中，得9环较多，而射手乙所得环数比较分散，得8环和10环的次数要多些［师］ξ1和ξ2所可能取的值是一致的，只是P(ξ=8)，P(ξ=9)，P(ξ=10)的分布情况不一样Eξ1=Eξ2，这时通过Dξ1和Dξ2比较ξ1与ξ2的集中与离散程度，即两名射手射击成绩的稳定状况在许多问题中常常在Eξ1=Eξ2或Eξ1与Eξ2很接近时用Dξ1和Dξ2比较两个随机变量ξ1和ξ2，并决定取舍下面再看一题(打出幻灯片112 A)请一位同读题，然后谈谈你的解题策略是什么？［生］(读完题后说)要比较它们的质量，首先要看他们的平均抗拉强度是否达标，即它们的数期望是否低于120，再比较它们的方差［生］解：EξA=110×01+120×02+125×04+130×01+135×02=125 EξB=100×01+115×02+125×04+130×01+145×02=125两种钢筋的平均抗拉强度都是125此时我们再看它们与平均强度的偏离程度，即它们的方差大小：DξA=01×(110－125)2+02×(120－125)2+04×(125－125)2+01×(130－125)2+02×(135－125)2=50DξB=01×(110－125)2+02×(115－125)2+04×(125－125)2+01×(130－125)2+02×(145－125)2=165∵DξB>DξA，∴B种钢筋的抗拉强度指标与其平均值偏差很大，即取值较分散，所以尽管它们中有的抗拉强度指标很大，但不合格的数量比A 种的要多，故可以认为A 种钢筋比B 种钢筋质量要好［师］这个例子说明，在实际问题中仅靠期望值还不能完善地说明随机变量的分布特征，还必须研究其偏离平均值的离散程度即离散型随机变量的方差请同们注意收集整理这些信息，一定能有更大的收获 Ⅲ课堂练习课本P 15练习题，1、2、3、4题(生板演)Ⅳ课时小结[]［师］今天我们习离散型随机变量的方差，它是随机变量的又一个重要特征数离散型随机变量的方差的公式是Dξ=∑-ni i E x 2)(ξ·p ,即Dξ=E (ξ－Eξ)2特例是①D (ξ+b )=2Dξ;②如果ξ~B (，p )，那么Dξ=p (1－p );③D (ξ=c )=0要灵活运用方差研究有关问题注重以致用Ⅴ．课后作业(一)课本P 16，7、8题(二)预习课本P 17，13抽样方法●板书设计ξ~1。
离散型随机变量的方差精品教案
导学生回忆上节课 内容.
学击中目标靶的环数 X 2 Y 4 ，其中Y ~ B(5,0.8) 。请问应该派哪名
二、探究新 知
同学参赛？ 利用二项分布均值的计算公式，有
EX1 10 0.8 8, EX 2 EY 4 5 0.8 4 8
这说明两名学生的平均射击水平没有差异。 思考：除用均值外，还有其他可以刻画两名学生射击特点的指标吗？ 比较分布列图，可以发现：第二名同学的射击成绩更集中于 8 环，即第二 名同学的射击成绩更稳定。 引入新知：能否用一个与样本方差类似的量来刻画随机变量的稳定性？ 1、离散型随机变量方差的定义
巩固知识， 培养技能.
(2) 重复 5 次投篮时,命中次数η服从二项分布,即 ~ B(5,0.6)
E 5 0.6 3 D 5 0.6 0.4 1.2
例 2.有甲乙两个单位都愿意聘请你,而你获得如下的信息:
甲单位不同职位月工资 X 1 /元
1200 1400 1600
(1)求一次投篮命中次数ξ的期望和方差 (2)求重复 5 次投篮时,命中次数η的期望和方差 分析:投篮一次可能投中,也可能不中, 命中次数ξ服从两点分布;重复 5 次投篮,每次命中的概率都是一样的,所以命中次数η服从二项分布. 解: (1)一次投篮命中次数ξ服从两点分布
E p 0.6 D p(1 p) 0.6 0.4 0.24
1800
获得相应职位的概率 P
0.4 0.3 0.2 0.1
与其均值 EX 的偏离程度。称 DX 为随机变量 X 的方差，其算术平方根 DX
为随机变量 X 的标准方差，记作σX.
注意：
１．随机变量的方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方
最新高中数学教案精选随机变量的方差知识讲解
单位； 若认为自已的能力不强， 应该选择
练习 4． 甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数的分布列是
X
6
7
8
9
10
P甲
0.16 0.14 0.42 0.1 0.18
P乙
0.19 0.24 0.12 0.28 0.17
根据环数的期望和方差比较这两名射击队手的射击水平．
单位．
三、总结提升 1．离散型随机变量的方差、标准差； 2．方差的性质，几个常见的随机变量的方差． 3．求随机变量的方差，首先要求随机变量的分布列；再求出均值；最后计算方差（能利用Βιβλιοθήκη 式的直接用公式，不必列分布列） ．
；
（ 2）两点分布： DX
；
（ 3）二项分布： DX
．
※ 典型例题
例 1． 已知 随机变量 X 的分布列为：
X
0
1
2
3
4
5
P
0.1
0.2
0.3
0.2
0.1
0.1
求 DX 和 X ．
名师精编
优秀教案
练习 1． 已知随机变量 X 的分布列：
X
P
求 DX , D ( 2 X 1)
2 0.16
1 0. 44
品才能安装；若取出的是不合格品，则不再放回
A．0
B． c(1 c) C． c
D．1
5． D ( D ) 的值为 ( ) ．
名师精编
优秀教案
A ．无法求 B． 0
C． D
D ． 2D
1 6． 已知随机变量 的分布为 P ( k ) ， k 1,2,3 ，则 D (3 5) 的值为（ ）．
3
A．6
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§2.3.2离散型随机变量的方差（第2课时）一、教材分析：数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值．今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究．其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差.回顾一组数据的方差的概念：设在一组数据1x ，2x ，…，nx 中，各数据与它们的平均值x 得差的平方分别是21)(x x -，22)(x x -，…，2)(x x n -，那么[12n S =21)(x x -＋22)(x x -＋…＋])(2x x n -叫做这组数据的方差 。
二、学情分析：学生学习本节应该比较轻松，定义比较简单，初中已经接触过方差，高中阶段是将原先学得知识进一步提升。
主要学生能将离散型随机变量的分布列列出来，进行套公式运算就可以，应注意的是要求学生在计算过程中细心。
有过探究、交流的课堂教学的尝试。
三、教学目标： 1、知识与技能了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。
2、过程和方法：通过教师指导下的探究活动，经历数学思维过程，熟悉理解“观察—归纳—猜想—证明”的思维方法，养成合作的意识，获得学习和成功的体验．了解方差公式“D (a ξ+b )=a 2Dξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则Dξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
3、情感和价值：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
四、教学重点、难点：重点：离散型随机变量的方差、标准差。
难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题。
五、教学过程（一）复习引入：1.数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为ξ x 1 x 2 … x n … Pp 1p 2…p n…则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望． 2. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平 .9. 期望的一个性质: b aE b a E +=+ξξ)( （二）新课讲授1. 方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋…称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望．2. 标准差:ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ．3.方差的性质：（1）ξξD a b a D 2)(=+；（2）22)(ξξξE E D -=； （3）若ξ～B (n ，p )，则=ξD np (1-p ) . 4.其它：⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛. 三、讲解范例：例4．已知离散型随机变量1ξ的概率分布为1ξ1 2 3 4 5 6 7P71 71 71 71 71 71 71 离散型随机变量2ξ的概率分布为2ξ3．7 3．8 3．9 4 4．1 4．2 4．3P71 71 71 71 71 71 71 解：47177127111=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE ； 471)47(71)42(71)41(2221=⨯-+⋅⋅⋅+⨯-+⨯-=ξD ；211==ξσξD .4713.4718.3717.32=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE ；2ξD =0.04, 2.022==ξσξD .点评：本题中的1ξ和2ξ都以相等的概率取各个不同的值，但1ξ的取值较为分散，2ξ的取值较为集中．421==ξξE E ，41=ξD ，04.02=ξD ，方差比较清楚地指出了2ξ比1ξ取值更集中．1σξ＝2，2σξ=0.02，可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差 .例5．甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4,0.2,0.24.用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平.解：180.290.6100.29E ξ=⨯+⨯+⨯=221(89)0.2(99)0.6D ξ=-⨯+-⨯+（10-9）4.02.02=⨯；同理有8.0,922==ξξD E .由上可知，21ξξE E =，12D D ξξ<.所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、10环地次数多些．点评：本题中，1ξ和2ξ所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情况不同．21ξξE E ==9，这时就通过1ξD =0.4和2ξD =0.8来比较1ξ和2ξ的离散程度，即两名射手成绩的稳定情况 .例6．A 、B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：A 机床B 机床 次品数ξ1 0123 次品数ξ1 0123概率P0.7 0.2 0.06 0.04概率P0.8 0.06 0.04 0.10问哪一台机床加工质量较好.解： E ξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,E ξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.它们的期望相同，再比较它们的方差.D ξ1=（0-0.44）2×0.7+（1-0.44）2×0.2+（2-0.44）2×0.06+（3-0.44）2×0.04=0.6064,D ξ2=（0-0.44）2×0.8+（1-0.44）2×0.06+（2-0.44）2×0.04+（3-0.44）2×0.10=0.9264. ∴D ξ1< D ξ2 故A 机床加工较稳定、质量较好. （三）．学生练习板演 课时作业习题 六、课时小结：本节主要学习了⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出E ξ；④根据方差、标准差的定义求出ξD 、σξ.若ξ～B (n ，p )，则不必写出分布列，直接用公式计算即可．⑵对于两个随机变量1ξ和2ξ，在1ξE 和2ξE 相等或很接近时，比较1ξD 和2ξD ，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要.七、课时作业： BC 级练习：ξA 110 120 125 130 135 ξB 100 115 125 130 145 P0.10.20.40.10.2P0.1 0.2 0.4 0.1 0.2其中ξA 、ξB 分别表示A 、B 两种钢筋的抗拉强度．在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较A 、B 两种钢筋哪一种质量较好.分析： 两个随机变量ξA 和ξB &都以相同的概率0．1，0．2，0．4，0．1，0．2取5个不同的数值．ξA 取较为集中的数值110，120，125，130，135；ξB 取较为分散的数值100，115，125，130，145．直观上看，猜想A 种钢筋质量较好．但猜想不一定正确，需要通过计算来证明我们猜想的正确性.解：先比较ξA 与ξB 的期望值，因为E ξA =110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125, E ξB =100×0.1+115×0.2+125×0.4十130×0.1+145×0.2=125.所以，它们的期望相同．再比较它们的方差．因为D ξA =(110-125)2×0.1+(120-125) 2 ×0.2+(130-125) 2×0.1+(135-125) 2×0.2=50，D ξB =(100-125)2×0.1+(110-125) 2 ×0.2+(130-125) 2×0.1+(145-125) 2×0.2=165.所以，D ξA < D ξB .因此，A 种钢筋质量较好. 2. 已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ和η，已知ξ和 η的分布列如下：（注得分越大，水平越高）ξ1 2 3 pa0.10.6η 1 2 3 p 0.3b0.3试分析甲、乙技术状况解：由0.1+0.6+a+1⇒a=0.3 0.3+0.3+b=1⇒a=0.4 ∴E ξ=2.3 , E η=2.0 D ξ=0.81 , D η=0.6 .A 级练习：1. 在有奖摸彩中，一期(发行10000张彩票为一期)有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的．在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？分析：这是同学们身边常遇到的现实问题，比如福利彩票、足球彩票、奥运彩票等等．一般来说，出台各种彩票，政府要从中收取一部分资金用于公共福利事业，同时也要考虑工作人员的工资等问题．本题的“不考虑获利”的意思是指：所收资金全部用于奖品方面的费用.解：设一张彩票中奖额为随机变量ξ，显然ξ所有可能取的值为0，5，25，100依题ξ 0 5 25 100P400391 501 5001200012.02000100500255054000E =⨯+⨯+⨯+⨯=ξ答：一张彩票的合理价格是0．2元．八、板书设计：离散型随机变量的方差 （2）1. 方差:ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋…称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望．2. 标准差:ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ．例5．甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4,0.2,0.24.用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平.学生练习： 课堂练习。