考研数学：协方差和相关系数例题(一).
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概率论与数理统计 5.3 协方差与相关系数
存在，称它为X的k阶中心矩
概率论
均值 EX是X一阶原点矩，方差DX是X的二阶
中心矩。
四、课堂练习
概率论
1、设随机变量（X，Y）具有概率密度
f (x, y) 81(x y) 0 x 2,0 y 2
0
其它
求E(X ), E(Y ),Cov(X ,Y ), D(X Y )。
2、设X ~ N(, 2),Y ~ N(, 2)，且设X，Y相互独立 试求Z1 X Y和Z2 X Y的相关系数(其中，
Cov(aX b,cY d ) acCov( X ,Y ); Cov(aX bY ,cX dY ) acDX bdDY (ad bc)Cov( X ,Y ).
(6) D(XY) = DX+ D Y 2 Cov(X, Y) .
一般地， D(aXbY) =a 2DX + b2DY 2 abCov(X, Y).
1
1
dx
1 x 8xydy 8
0
x
15
EY
yf ( x, y)dxdy
o
1x
1
dx
1 y 8xydy 4
0
x
5
EXY
xyf ( x, y)dxdy
1
dx
0
1 xy 8xydy 4
x
9
Cov( X ,Y ) EXYEXEY 4
225
类似地，EX 2
1
X与Y不独立.
EX EY EXY 0, Cov( X ,Y ) 0, XY 0,
X与Y不相关.
例6 设 X 的分布律为
X 1 0 1 P 13 13 13
Y X 2, 求 XY , 并讨论 X 与Y 的独立性. 解 EX 0, EY EX 2 2 3, E( XY ) EX 3 0,
概率论
均值 EX是X一阶原点矩，方差DX是X的二阶
中心矩。
四、课堂练习
概率论
1、设随机变量（X，Y）具有概率密度
f (x, y) 81(x y) 0 x 2,0 y 2
0
其它
求E(X ), E(Y ),Cov(X ,Y ), D(X Y )。
2、设X ~ N(, 2),Y ~ N(, 2)，且设X，Y相互独立 试求Z1 X Y和Z2 X Y的相关系数(其中，
Cov(aX b,cY d ) acCov( X ,Y ); Cov(aX bY ,cX dY ) acDX bdDY (ad bc)Cov( X ,Y ).
(6) D(XY) = DX+ D Y 2 Cov(X, Y) .
一般地， D(aXbY) =a 2DX + b2DY 2 abCov(X, Y).
1
1
dx
1 x 8xydy 8
0
x
15
EY
yf ( x, y)dxdy
o
1x
1
dx
1 y 8xydy 4
0
x
5
EXY
xyf ( x, y)dxdy
1
dx
0
1 xy 8xydy 4
x
9
Cov( X ,Y ) EXYEXEY 4
225
类似地，EX 2
1
X与Y不独立.
EX EY EXY 0, Cov( X ,Y ) 0, XY 0,
X与Y不相关.
例6 设 X 的分布律为
X 1 0 1 P 13 13 13
Y X 2, 求 XY , 并讨论 X 与Y 的独立性. 解 EX 0, EY EX 2 2 3, E( XY ) EX 3 0,
43(协方差与相关系数)
P{Y = aX + b} = 1．
定义 若XY = 0，称X与Y不相关．0 < XY 1，称X与Y正相关， – 1 XY < 0，称X与Y负相关．
事实上,相关系数XY是X与Y线性关系强弱的一个度量,X 与Y的线性关系程度随着|XY|的减小而减弱,
当|XY| = 1时X与Y的线性关系最强， 当XY = 0时，意味X与Y的不存在线性关系，即X与Y不相关.
4.3 协方差与相关系数
对于二维随机变量(X，Y)，除了讨论X与Y的数 学期望和方差外，还需讨论描述X与Y之间相互关 系的数字特征：协方差和相关系数．
4.3.1 协方差
由方差的性质(3)知,若随机变量X与Y相互独立, 则D(X + Y) = D(X) + D(Y),也就是说,当随机变量X与 Y相互独立时,有E{[X – E(X)][Y – E(Y)]}= 0成立,这 意味着当E{[X – E(X)][Y – E(Y)]}0时,X与Y不相互 独立,由此可见这个量的重要性．
3 ydydx 9 / 20,
0 x2
1
E( XY )
x
3xydydx 1/ 4,
E(X 2) 1
x 3x2dydx 9 / 35,
0 x2
0 x2
E(Y 2 ) 1 x 3 y2dydx 9 / 35, 0 x2
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 9 / 35 (9 / 20)2 153 / 2800,
4.3.1 协方差
定义4.4 设有二维随机变量(X，Y)，如果E{[X – E(X)][Y – E(Y)]}存在，则称其为随机变量X与Y的 协方差．记为Cov(X，Y)，即
随机变量的协方差及相关系数
§1.1 随机变量的协方差及相关系数例1.1《熟悉原理》设(X,Y)在xoy 平面上由圆周122=+y x所围成的区域D 内服从均匀分布，试证明：X 与Y 不相关也不相互独立。
21x --21x -证明：因为(X,Y)的联合分布密度⎪⎩⎪⎨⎧∈=,,0),(,),(1other D y x if y x p π所以，E(X),0),(1121211===⎰⎰⎰⎰----xoyxx xdydx dxdy y x xp πE(Y),0),(1121211===⎰⎰⎰⎰----xoyxxydydx dxdy y x yp πE(XY),0),(1121211===⎰⎰⎰⎰----xoyxxxydydx dxdy y x xyp πcov(X,Y)=E(XY)-(EX)(EY)=0,ρ(X,Y)=0, X 与Y 不相关。
又因为11<<-x 时，⎰⎰∞+∞-----===2211221,1),()(x x x dy dy y x p x p X ππ11<<-y 时，⎰⎰∞+∞-----===2211221,1),()(y y y dx dx y x p y p Y ππ⎪⎩⎪⎨⎧<<--=,,011,1)(22other x if x x p X π ⎪⎩⎪⎨⎧<<--=,,011,1)(22o t h e r y if y x p Y π又由于,)0,0(,)0()0(12ππ===p p p YX),0()0()0,0(YX p p p =≠所以X 与Y 不相互独立。
例1.2《熟悉方法》设X 与Y 的相关系数为ρ，试求X*=a +b X 与Y*=c +d Y的相关系数，其中a 、b 、c 、d 均为常数，且b 、d 不为零。
证明：cov(X*,Y*)= E[a +b X-E(a+b X)][c+d Y -E(c +d Y)]= E[b X-b EX][ d Y -d EY] = E[b (X-EX)d (Y -EY)] = bd E[(X-EX)(Y -EY)]=bd cov(X, Y)。
概率论--方差、协方差和相关系数
称为与的相关系数。
2021/5/23
26
一般地， ||1
若 | | 1 ,称 与 完 全 线 性 相 关 。 若 0 ,称 与 不 相 关 。 若 0 | | 1 ,表 明 与 近 似 有 线 性 关 系 。 0 时 ,称 与 正 相 关 ， 0 时 ,称 与 负 相 关 。 当 与 独 立 时 ， 由 于 - E 与 - E 独 立 。
平均抗拉强度都是126
若最低抗拉强度要求为110，
第二批质量较差。
在平均值或期望值相同的情况下，
随机变量的离散程度也是分布的一个特征。
一 般 考 虑 随 机 变 量 对 E 的 偏 离 程 度 。
2021/5/23
4
由此可见,研究随机变量与其均值的偏离程度是十 分必要的.那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢?
求D() 解 法 一 ： 1 0 1
P 0.180.540.28
E ( ) ( 1 ) 0 . 1 8 0 0 . 5 4 1 0 . 2 8 0 . 1 E ( ) 2 ( 1 ) 2 0 . 1 8 0 2 0 . 5 4 1 2 0 . 2 8 0 . 4 6
2021/5/23
28
部分资料从网络收集整 理而来，供大家参考，
感谢您的关注！
2 8.5 8.8 9 9.2 9.5 P 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 两者的平均长度是相同的，均为9 第二批零件更好。 因为它的误差相对较小。
2021/5/23
2
例2，某零件的真实长度为a，现用甲、
乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐
标上的点表示如图：
• • • •• a•• • • •
协方差和相关系数
2021/5/23
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一般地， ||1
若 | | 1 ,称 与 完 全 线 性 相 关 。 若 0 ,称 与 不 相 关 。 若 0 | | 1 ,表 明 与 近 似 有 线 性 关 系 。 0 时 ,称 与 正 相 关 ， 0 时 ,称 与 负 相 关 。 当 与 独 立 时 ， 由 于 - E 与 - E 独 立 。
平均抗拉强度都是126
若最低抗拉强度要求为110，
第二批质量较差。
在平均值或期望值相同的情况下，
随机变量的离散程度也是分布的一个特征。
一 般 考 虑 随 机 变 量 对 E 的 偏 离 程 度 。
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由此可见,研究随机变量与其均值的偏离程度是十 分必要的.那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢?
求D() 解 法 一 ： 1 0 1
P 0.180.540.28
E ( ) ( 1 ) 0 . 1 8 0 0 . 5 4 1 0 . 2 8 0 . 1 E ( ) 2 ( 1 ) 2 0 . 1 8 0 2 0 . 5 4 1 2 0 . 2 8 0 . 4 6
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部分资料从网络收集整 理而来，供大家参考，
感谢您的关注！
2 8.5 8.8 9 9.2 9.5 P 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 两者的平均长度是相同的，均为9 第二批零件更好。 因为它的误差相对较小。
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2
例2，某零件的真实长度为a，现用甲、
乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐
标上的点表示如图：
• • • •• a•• • • •
协方差和相关系数
2021/5/23
4.3协方差 相关系数
不独立。 故 ξ 与η 不独立。
ξ
-1 0 1
η
－1 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 3/8
0 1/8 1/8 0 1/8 1/8 2/8
1 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 3/8
pi•
3/8 2/8 3/8
p• j
信息系刘康泽
ξ 服从 − 1 , 1 内的均匀分布 而 η = cos ξ 例6、 设 、 内的均匀分布,而 2 2 不难求得： 不难求得：cov(ξ ,η ) = 0
信息系刘康泽 二、相关系数
1、定义： 、定义： 设 (ξ ,η ) 存在有 cov(ξ ,η ) ，且 Dξ > 0 , Dη > 0 ,
cov(ξ ,η ) 的相关系数, 称 为 ξ 与 η 的相关系数,记作 ρξη . Dξ Dη cov(ξ ,η ) ρξη = 即 . Dξ Dη
.
事实上， 事实上，相关系数实质上是
信息系刘康泽
【定义 不相关。 2、 定义】若 ρξη = 0 ，则称 ξ 与 η 不相关。 【定义】
3、 性质】 【性质】
(1) | ρξη | „ 1 .
由方差的性质和协方差的定义知, 证: 由方差的性质和协方差的定义知 对任意实数b，有：
D(η − bξ ) = Dη + b Dξ − 2bCov(ξ ,η )
(4) cov(ξ ,η ) = E (ξη ) − Eξ ⋅ Eη .
协方差的一个 简洁计算公式
(5) D (ξ ± η ) = Dξ + Dη ± 2 cov(ξ ,η ) .
即： D (ξ ± η ) = Dξ + Dη ± 2 E (ξ − Eξ )(η − Eη )
ξ
-1 0 1
η
－1 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 3/8
0 1/8 1/8 0 1/8 1/8 2/8
1 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 3/8
pi•
3/8 2/8 3/8
p• j
信息系刘康泽
ξ 服从 − 1 , 1 内的均匀分布 而 η = cos ξ 例6、 设 、 内的均匀分布,而 2 2 不难求得： 不难求得：cov(ξ ,η ) = 0
信息系刘康泽 二、相关系数
1、定义： 、定义： 设 (ξ ,η ) 存在有 cov(ξ ,η ) ，且 Dξ > 0 , Dη > 0 ,
cov(ξ ,η ) 的相关系数, 称 为 ξ 与 η 的相关系数,记作 ρξη . Dξ Dη cov(ξ ,η ) ρξη = 即 . Dξ Dη
.
事实上， 事实上，相关系数实质上是
信息系刘康泽
【定义 不相关。 2、 定义】若 ρξη = 0 ，则称 ξ 与 η 不相关。 【定义】
3、 性质】 【性质】
(1) | ρξη | „ 1 .
由方差的性质和协方差的定义知, 证: 由方差的性质和协方差的定义知 对任意实数b，有：
D(η − bξ ) = Dη + b Dξ − 2bCov(ξ ,η )
(4) cov(ξ ,η ) = E (ξη ) − Eξ ⋅ Eη .
协方差的一个 简洁计算公式
(5) D (ξ ± η ) = Dξ + Dη ± 2 cov(ξ ,η ) .
即： D (ξ ± η ) = Dξ + Dη ± 2 E (ξ − Eξ )(η − Eη )
4.3 协方差与相关系数
同样，得 E(Y)＝0，
所以，Cov(X，Y)＝E(XY)－E(X) E(Y)＝0 .
此外，Var(X) > 0，Var(Y) > 0 .所以，XY ＝0，即 X 与 Y 不相关．
但是，在例 3.13 已计算过: X 与 Y 不独立．
4.3.2 相关系数
相关系数的性质：
性质 1 | | 1 ;
c11
c21
c12 c22
，
称此矩阵为二维随机变量(X1，X2)的协方差矩阵，简称协方差阵．
4.3.3 矩与协方差矩阵
n 维随机向量 (X1，X2，…，Xn) 的协方差阵：若随机向量 的所有的二阶中心矩
cij E{[ Xi E( Xi )][ X j E( X j )]}, i, j 1, 2, , n
4.3.3 矩与协方差矩阵
例 4.16 设随机变量 X 和Y 相互独立，且 X ~ N (1，2)，Y ~ N (0， 1)．求 Z 2X Y 3 的概率密度．
解 : 由 X ~ N (1，2)，Y ~ N (0，1)，且 X 与 Y 相互独立，知 Z 2X Y 3服从正态分布，且
性质 2 X 和 Y 独立时，ρ ＝0，但其逆不真； 性质 3 |ρ|＝1 充分必要条件是存在常数 a，b(b≠0)，使 P{ Y＝ a+bX }＝1 ，即 X 和 Y 以概率 1 线性相关．
若 X 与 Y 独立，则 X 与 Y 不相关；但由 X 与 Y 不相关，
不一定能推出 X 与 Y 独立． 若(X，Y )服从二维正态分布，则 X 与 Y 独立的充分必
n
n
Var( Xi ) Var(Xi ) .
i1
i1
4.3.2 相关系数
第4节 协方差与相关系数
{ } = E ( X − E ( X ))2 + (Y − E (Y ))2 + 2 ⎡⎣ X − E ( X )⎤⎦ ⎡⎣Y − E (Y )⎤⎦
{ } = D( X ) + D(Y ) + 2E ⎡⎣ X − E ( X )⎤⎦ ⎡⎣Y − E (Y )⎤⎦
由X ,Y相互独立知, X − E ( X ) 与 Y − E (Y ) 也相互独
令
⎧⎪ ⎨
∂e ∂a
=
2a
+
2bE
(
X
)
−
2E
(Y
)
=
0
⎪⎩∂e = 2bE ( X 2 ) − 2E ( XY ) + 2aE ( X ) = 0
∂b
(1)×E( X )−(2)
⇒
⎧ Cov ( X ,Y ) ⎪⎨b0 = D( X )
⎪ ⎩a0
=
E
(Y
)
−
E
(
X
)
Cov ( X ,Y D( X )
例 已知分布律：
Y X -2
-1 1
10
¼
¼
4¼
0
0
P{X=i} ¼ ¼
¼
2 P{Y=j} 0 1/2
¼ 1/2 ¼1
E( X ) = 0, E(Y ) = 5 2 , E( XY ) = 0, ⇒ ρ XY = 0
可知X与Y不相关，这表示X与Y之间不存在线性关系.
P{X= -2，Y=1}=0 ≠ P{X= -2} P{Y=1}=1/8 可知X与Y不相互独立.
D( X + Y ) = D( X ) + D(Y ) + 2Cov ( X ,Y ) = 5
{ } = D( X ) + D(Y ) + 2E ⎡⎣ X − E ( X )⎤⎦ ⎡⎣Y − E (Y )⎤⎦
由X ,Y相互独立知, X − E ( X ) 与 Y − E (Y ) 也相互独
令
⎧⎪ ⎨
∂e ∂a
=
2a
+
2bE
(
X
)
−
2E
(Y
)
=
0
⎪⎩∂e = 2bE ( X 2 ) − 2E ( XY ) + 2aE ( X ) = 0
∂b
(1)×E( X )−(2)
⇒
⎧ Cov ( X ,Y ) ⎪⎨b0 = D( X )
⎪ ⎩a0
=
E
(Y
)
−
E
(
X
)
Cov ( X ,Y D( X )
例 已知分布律：
Y X -2
-1 1
10
¼
¼
4¼
0
0
P{X=i} ¼ ¼
¼
2 P{Y=j} 0 1/2
¼ 1/2 ¼1
E( X ) = 0, E(Y ) = 5 2 , E( XY ) = 0, ⇒ ρ XY = 0
可知X与Y不相关，这表示X与Y之间不存在线性关系.
P{X= -2，Y=1}=0 ≠ P{X= -2} P{Y=1}=1/8 可知X与Y不相互独立.
D( X + Y ) = D( X ) + D(Y ) + 2Cov ( X ,Y ) = 5
协方差与相关系数
1 2
3 E ( X ) x 3 xdydx 3x xdx . 0 0 0 4 1 x 1 x2 3 E (Y ) y 3xdydx 3x dx . 0 0 0 2 8
Cov( X , Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y )
1
1 x
0 0
xy 3xdxdy
2 3 x 2 3x dx 0 10 2
2019/4/14
11
二维随机变量的协方差 例3 设( X ,Y)是二维离散型随机变量，其概率密度为
试求( X ,Y)的协方差。
1 x
3x,0 y x 1, f ( x, y ) 0, 其它.
2019/4/14
17
协方差的定义 设 n 维随机变量( X1 , X 2 ,..., X n )的二阶混合中心矩
cij Cov( X i , Yj ) E{[ X i E( X i )][ X j E( X j )]}
c11 c 21 都存在，则称矩阵 C ... c1n c12 c22 ... c2 n ... c1n ... c2 n ... ... ... cnn
2019/4/14
7
二维随机变量的协方差 例2 设( X ,Y)是二维离散型随机变量，其概率密度为 3 2 xy , 0 x 1, 0 y 2, f ( x, y ) 4 0, 其它. 试求( X ,Y)的协方差。 1 2 2 3 2 1 1 2 3 2 E ( X ) x xy dydx 3x dx 3 y dy . 0 0 0 4 12 0 4 1 2 2 3 2 3 1 3 3 E (Y ) y xy dydx 2 xdx 4 y dy . 0 0 0 0 4 32 2
3 E ( X ) x 3 xdydx 3x xdx . 0 0 0 4 1 x 1 x2 3 E (Y ) y 3xdydx 3x dx . 0 0 0 2 8
Cov( X , Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y )
1
1 x
0 0
xy 3xdxdy
2 3 x 2 3x dx 0 10 2
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二维随机变量的协方差 例3 设( X ,Y)是二维离散型随机变量，其概率密度为
试求( X ,Y)的协方差。
1 x
3x,0 y x 1, f ( x, y ) 0, 其它.
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协方差的定义 设 n 维随机变量( X1 , X 2 ,..., X n )的二阶混合中心矩
cij Cov( X i , Yj ) E{[ X i E( X i )][ X j E( X j )]}
c11 c 21 都存在，则称矩阵 C ... c1n c12 c22 ... c2 n ... c1n ... c2 n ... ... ... cnn
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二维随机变量的协方差 例2 设( X ,Y)是二维离散型随机变量，其概率密度为 3 2 xy , 0 x 1, 0 y 2, f ( x, y ) 4 0, 其它. 试求( X ,Y)的协方差。 1 2 2 3 2 1 1 2 3 2 E ( X ) x xy dydx 3x dx 3 y dy . 0 0 0 4 12 0 4 1 2 2 3 2 3 1 3 3 E (Y ) y xy dydx 2 xdx 4 y dy . 0 0 0 0 4 32 2