命题逻辑与条件判断(1)
第2章 命题逻辑(1)
析取
符号
读作“析取”
定义2.3：设p，q为两命题，复合命题“p或q” 称为p与q的析取式，
记作p Ú q ，符号 称为析取联结词。并规定p q为假当且仅当p与q
同时为假。
真值表：
PQ 00
P Q
0
例子 小李是学数学或者计算
01
1
10
1
11
1
机科学pq p：小李是学数学 q：小李是学计算机 科学
2.1.1 命题与联结词
例3：判断下列命题是否为复合命题
（1）5能被2整除。
原子命题
（2）2是素数当且仅当三角形有三条边。 复合命题
（3）4是2的倍数或是3的倍数。
复合命题
（4）李明与王华是同学。
原子命题
（5）蓝色和黄色可以调配成绿色。
原子命题
（6）3不是偶数。
复合命题
（7）林芳学过英语或日语。
复合命题
合取
例：将下列命题符号化。
（1）吴颖既用功又聪明。
p q
（2）吴颖不仅用功而且聪明。
p q
（3）吴颖虽然聪明，但不用功。
p q
（4）张辉与王丽都是三好学生。
r s
（5）张辉与王丽是同学。
t
p:吴颖用功。
q:吴颖聪明。
r:张辉是三好学生。
s:王丽是三好学生。
t:张辉与王丽是同学。
注意：若“和”、“与”连接的是主语成分，则该陈述句为简单命题。
FT
T
F
F
补充：翻译语句
因为语言（包括一切人类语言）常有二义性，把 句子译成逻辑表达式可以消除歧义
把语言翻译成由命题变量和逻辑联接词组成的表 达式
离散数学-----命题逻辑
离散数学-----命题逻辑逻辑：是研究推理的科学。
公元前四世纪由希腊的哲学家亚里斯多德首创。
作为一门独立科学，十七世纪，德国的莱布尼兹(Leibniz)给逻辑学引进了符号, 又称为数理逻辑(或符号逻辑)。
逻辑可分为：1. 形式逻辑（是研究思维的形式结构和规律的科学，它撇开具体的、个别的思维内容，从形式结构方面研究概念、判断和推理及其正确联系的规律。
）→数理逻辑（是用数学方法研究推理的形式结构和规律的数学学科。
它的创始人Leibniz，为了实现把推理变为演算的想法，把数学引入了形式逻辑中。
其后，又经多人努力，逐渐使得数理逻辑成为一门专门的学科。
）2. 辩证逻辑（是研究反映客观世界辩证发展过程的人类思维的形态的。
）一、命题及其表示方法1、命题数理逻辑研究的中心问题是推理,而推理的前提和结论都是表达判断的陈述句，因而表达判断的陈述句构成了推理的基本单位。
基本概念：命题：能够判断真假的陈述句。
命题的真值：命题的判断结果。
命题的真值只取两个值:真（用T(true)或1表示）、假（用F(false)或0表示）。
真命题：判断为正确的命题，即真值为真的命题。
假命题：判断为错误的命题，即真值为假的命题。
因而又可以称命题是具有唯一真值的陈述句。
判断命题的两个步骤：1、是否为陈述句；2、是否有确定的、唯一的真值。
说明：（1）只有具有确定真值的陈述句才是命题。
一切没有判断内容的句子，无所谓是非的句子，如感叹句、祁使句、疑问句等都不是命题。
（2）因为命题只有两种真值，所以“命题逻辑”又称“二值逻辑”。
（3）“具有确定真值”是指客观上的具有，与我们是否知道它的真值是两回事。
2、命题的表示方法在书中，用大写英文字母A,B,…,P,Q或带下标的字母P1,P2,P3 ,…,或数字(1),*2+, …,等表示命题，称之为命题标识符。
命题标识符又有命题常量、命题变元和原子变元之分。
命题常量：表示确定命题的命题标识符。
命题变元：命题标识符如仅是表示任意命题的位置标志，就称为命题变元。
命题逻辑的基本概念
命题逻辑的基本概念命题逻辑（propositional logic），又称命题演算，是数理逻辑的一个分支，它研究命题与命题之间的逻辑关系。
在命题逻辑中，命题是语句或陈述，可以判断为真或假。
命题逻辑的基础概念包括命题、联结词和复合命题等。
一、命题在命题逻辑中，命题是用来陈述某种事实或陈述的语句，可以判断为真或假。
命题通常用字母表示，如p、q、r等。
下面是一些例子：1. p：今天是晴天。
2. q：明天会下雨。
3. r：1+1=2。
二、联结词联结词是用来连接命题的词语，它们可以表示不同的逻辑关系。
常见的联结词有否定、合取、析取、条件、双条件等。
1. 否定（¬）：表示命题的否定，将命题的真值取反。
例如，¬p表示命题p的否定。
2. 合取（∧）：表示逻辑与的关系，表示两个命题都为真时，结果命题才为真。
例如，p∧q表示命题p和命题q都为真。
3. 析取（∨）：表示逻辑或的关系，表示两个命题中至少一个为真时，结果命题为真。
例如，p∨q表示命题p或命题q至少一个为真。
4. 条件（→）：表示逻辑蕴含的关系，表示命题p成立时，命题q也必定成立。
例如，p→q表示命题p蕴含命题q。
5. 双条件（↔）：表示逻辑等价的关系，表示命题p和命题q有相同的真值。
即当p和q同时为真或同时为假时，结果命题为真。
例如，p↔q表示命题p和命题q等价。
三、复合命题复合命题是由多个命题通过联结词构成的新命题。
复合命题的真假取决于其组成命题的真假以及联结词的逻辑关系。
例如：1. (p∧q)→r：表示命题p和命题q的合取蕴含命题r。
2. ¬(p∨q)：表示命题p和命题q的析取的否定。
3. p↔q∧r：表示命题p和命题q等价，并且命题r为真。
在命题逻辑中，通过运用联结词的组合和推理规则，可以进行逻辑推理和推断。
命题逻辑为我们提供了分析和解决复杂问题的思维工具。
总结：命题逻辑是数理逻辑的一个重要分支，研究命题与命题之间的逻辑关系。
逻辑与的名词解释
逻辑与的名词解释逻辑与，也称为“逻辑与运算”，是数学和计算机科学领域的一个基本概念。
在逻辑学中，逻辑与是一种二元运算，用于判断两个语句的真假关系。
逻辑与的符号是“∧”，在数学和计算机科学中经常用于表示逻辑与运算。
当两个语句都为真时，逻辑与的结果即为真，否则为假。
这个运算与日常生活中常常使用的“而且”、“同时”等概念类似，它要求两个条件同时满足。
在逻辑学中，逻辑与是命题逻辑的基本运算之一。
命题逻辑是研究命题间的关系与推理的一门学科。
将各个命题用逻辑符号表示，并通过逻辑运算来推导命题之间的关系，是逻辑学的核心内容之一。
逻辑与的运算规则非常简单直观。
假设有两个命题P和Q，它们分别有两个可能的取值：真（T）和假（F）。
那么，逻辑与运算的结果可以总结如下：- 当P为真而Q为真时，逻辑与的结果为真。
- 在其他所有情况下，结果为假。
这个规则可以通过真值表来展示，真值表是描述逻辑运算结果的一种二维表格。
例如，以下是逻辑与的真值表：```P Q P∧Q---------T T TT F FF T FF F F```从真值表中可以看出，只有当P和Q都为真时，逻辑与的结果才会是真。
否则，结果都是假。
逻辑与作为命题逻辑的基本运算，广泛应用于计算机科学领域。
在编程中，逻辑与常用于条件判断和逻辑运算。
例如，在程序中我们可以使用逻辑与来判断两个条件是否同时满足，从而决定程序的执行路径。
另外，逻辑与也常用于构建复杂的逻辑表达式。
通过嵌套多个逻辑与运算，我们可以实现更复杂的逻辑关系。
这在计算机科学中十分重要，因为它能帮助程序进行复杂的决策和判断。
总而言之，逻辑与是一种基本的逻辑运算，用于判断两个命题的真假关系。
它广泛应用于逻辑学、数学和计算机科学领域。
逻辑与的运算规则简单明了，通过逻辑与运算可以构建复杂的逻辑表达式，用于条件判断和逻辑推理。
命题逻辑(联言、选言、负命题)
再次，同一语句，可以表达不同的命题。
命题和判断
• 判断：就是被断定者断定了的命题。 • 判断的主要特征：有所断定。
想想看
• 两个女学生走进一餐厅，翻开桌上的菜单，突 然眼前一亮，‚看，熊掌！每盘20元，来两盘 怎么样？‛‚人们都说熊掌名贵，价钱也不贵， ok!‛一会儿，她们吃完了，叫来招待员结帐， 招待员开出帐单：‚一共4025元‛‚什么？你 没搞错吧？‛学生几乎吓晕了。‚熊掌每盘 2000元，你看菜单。‛学生仔细一看，果然是 2000元，中间没有小数点。这下她们急得要哭 了。这时老板出来了，看了几眼付不起钱的学 生，‚没钱，就将证件留下。‛她们乖乖的将 证件交出。学生会出面交涉，老板斩钉截铁说： ‚一分也不能少，如果三天之内不把钱付清， 便立即向法院起诉。……学生只好自认倒霉， 一律师知道了，帮他们追回了所被敲诈的钱。 如何讨？
• 规则： 肯定前件就要肯定后件，否定后件就要否定前件 否定前件就要否定后件，肯定后件就要肯定前件 • 推理蕴涵式为： • （p↔q）∧p →q • （p↔q）∧q →p • （p↔q）∧ p → q • （p↔q）∧ q →p • 某甲犯了罪当且仅当某甲应受刑罚处罚； • 某甲是案犯当且仅当某乙是案犯；
• 负判断由支命题和联结词‚并非‛构成。负 命题的逻辑联结词‚并非‛可以用否定词 ‚‛来表示。 • 日常用语中，负命题的联结词还可以表达为 ‚没有‛、‚不‛、‚这是假的‛、‚这是 错误的‛等。被否定的命题称为支命题，它 可以是简单命题，也可以复合命题。 • 负命题的形式：并非p，也可表示为： p • 负命题的真假表：当支命题为真时，负命题 为假；当支命题为假时，负命题为真。
1.1命题逻辑
【课题】命题【课型】新授课【教学目标】理解命题的概念．知道真命题与假命题的意义；【教学重点】命题的真假．【教学难点】命题的真假．【教学设计】（1）通过日常生活、生产中的实例导入命题的概念；（2）引导学生认识命题、真命题和假命题的概念；【教学备品】多媒体设备、课件【课时安排】一课时【教学过程】*第一章引言我们经常说到一个词叫做“逻辑”,它指的是思维的规律.人们常说“说话要有条有理”,有条有理就是思路清晰,思路清晰就是思维逻辑合理.通常我们说的每一句话都需要合乎逻辑.“我和小张一起上网”,“如果下午不下雨,那么我们去踢球”.你知道这些话里包含了哪些逻辑关系吗?在这一章里我们将学习命题逻辑与条件判断的知识,它们帮助我们学会思维,学会理性地去思考与分析问题.*创设情景兴趣导入在日常生产、生活中和科学研究中,经常要说一些表示判断的语句,如“今天是星期二”、“含有未知数的等式叫做方程”等.这种句子叫做陈述句.有些陈述句叙述的事情是真的,有些陈述句叙述的事情是假的,有些陈述句叙述的事情,可能在叙述的时候尚不能判断是真是假,但到一定的时候能判断是真是假.下列陈述句叙述的事情是真的:(1)中国是亚洲最大的国家;(2)4>3;下列陈述句叙述的事情是假的:(3)地球是方的;(4)-1是自然数;下列陈述句叙述的事情,可能在叙述的时候尚不能判断是真是假,但到一定的时候能判断其是真是假:(5)明天是晴天.*动脑思考探索新知能判断真假的陈述句叫做命题.一个命题叙述的事情如果是真的，则称其为真命题.一个命题叙述的事情如果是假的，则称其为假命题.例1下列语句是命题吗?（1）4大于3吗?（2）请关门.(3)x大于y.(4)本页这一行的这句话是假话.解(1) 是一个疑问句,不是陈述句,它不是命题．(2) 是一个祈使句,不是陈述句,它不是命题.(3) 是一个不能确定其真假的陈述句,它可能为真,也可能为假,从而不是命题.(4) 在判断一个语句是否是命题时,从语法上看就是看它是否是陈述句,但需注意,这类陈述句不包括那些”自指谓”的语句,如本句这样的结论是对自身而言的,这种自指谓的语句往往会产生自相矛盾的结论,即所谓的悖论.命题通常用小写字母表示p,q,r,…,例如：p:4>3,意思是p表示命题“4大于3”.通常用大写字母T表示真值为真，用F表示真值为假，有时也可分别用1和0表示.*运用知识强化练习练习1.1.1下列语句哪些是命题？如果是命题,在后面的括号中写出它的真假(真命题用1,假命题用0,不是命题用×)．(1) 我们的教室太小啦. ( )(2) 半径的大小决定圆的周长. ( )(3) 不准乱扔垃圾. ( )(4) 6<2. ( )(5) x∈{x}. ( )(6) {a,b,c}{b,c,d}={b,c}. ( )(7) 0是{0,1,2}的真子集. ( )(8) {0}是{0,1,2}的子集. ( )【板书设计】【课题】逻辑连接词一【课型】新授课【教学目标】知识目标：（１）了解简单命题和复合命题的概念；（２）掌握连接词“且”，掌握该复合命题的真假判断。
第1篇命题逻辑
合取的定义如下表：
PQ TT TF FT
P Q
T F F
注：列表时P，Q均是先取T后取F 如P：今天下雨；Q：明天下雨
P Q：今天下雨且明天下雨。
FF
F
注意：这里的“与”运算与日常生活中的“与”意义不尽相同。
又如，P：我们去看电影；Q：房间里有张桌子。
P Q：我们去看电影和房间里有张桌子。
上述命题P Q在日常生活中无意义，无联系，但在数理逻辑中，P Q是一新的命题。“ ”是二元运算。
P Q P Q
(P、Q同为F时，P Q值为T）
TT
T
如：P:两个三角形全等。
TF
F
Q :两个三角形对应边相等。
FT
F
FF
T
P Q:两个三角形全等当且仅当它们对 应边相等。
1-2 联结词
又如 P：2+2=4, Q：雪是白的。
P Q：2+2=4当且仅当雪是白的。P 、Q可毫无联系。
总结：共介绍了五个联结词。
1-2 联结词
又如 Q：南京是一个小城市。
Q：南京不是个小城市。 Q值为F，Q取值为T “”是一元运算，相当于数学中的“求相反数”运算。
（2）合取（与）
P，Q是命题，P，Q的合取是一个复合命题，记做P Q，读 作“P与Q”，或“P且Q”。P Q当且仅当P与Q的值都真时，其值
为T，否则为F。
1-2 联结词
（2）命题公式实际上是一函数，值域为{T,F),每一个命题变元取 值也是{T,F},因而它没有真 假值，只有当公式中命题变元用确 定的命题代入后，才到一个命题，才能判断其真假。
1-3 命题公式与翻译
有了命题公式的定义后，我们如何将日常生活中的命题用具体的公 式表示呢？也就是说，如何将之翻译成公式呢？举例说明：
考研逻辑基础之必要条件假言判断
考研逻辑基础之必要条件假言判断必要条件假言命题：是陈述某一事物情况是另一件事物情况的必要条件的假言命题，即条件与结果之间存在一种可能性的关系，条件成立时，结果不一定成立。
必要条件假言命题的的命题形式可表示为：只有p，才q。
符号为：p←q 。
一、什么是假言判断假言判断，又称条件判断，是指断定某一事物情况的存在是另一事物情况存在的条件的判断。
例如：①如果他是三好学生，那么他的成绩好。
②只有他的成绩好，他才是三好学生。
③一个三角形等角，当且仅当它等边。
二、假言判断的结构从逻辑结构上看由两部分构成：(1)假言肢。
属逻辑变项，有两个：一个作为条件的称为“前件”;一个作为结果的称为“后件”。
(2)联结项。
常见三种形式“如果……那么……”;“只有……才……”;“……当且仅当……”三、假言判断的种类根据假言判断所断定的前件是后件的不同条件，假言判断又可以区分为三种：充分条件假言判断;必要条件假言判断;充要条件假言判断。
四、充分条件假言判断(1)必要条件假言判断就是断定一事物情况是另一事物情况存在的必要条件的假言判断。
例如：只有成绩好，才能当三好学生。
(2)所谓必要条件是指：设有事物情况p和事物情况q，没有P一定没有Q，有P不一定有Q(即可能有q，也可能没有q)。
在这种情况下，p就是q的必要条件。
(3)其逻辑形式如下：p←q (←读做“只有……才”)(4)语言表达式：只有p，才q除非P，才Q不p，不q除非P，否则不Q没有P，没有QP是Q的基础P是Q的前提P是Q的保障P是Q必不可少的条件P是Q的先决条件(5)必要条件假言判断的逻辑值可用下面的真值表图示：PQp←—qT T TT F TF T FF F T必要条件假言判断的逻辑特征：前件假而后件真时该判断为假，其它情况都真。
(6)应用案例：正是因为有了第二味觉，哺乳动物才能够边吃边呼吸。
很明显，边吃边呼吸对保持哺乳动物高效率的新陈代谢是必要的。
以下哪种哺乳动物的发现，最能削弱以上的断定?A.有高效率的新陈代谢和边吃边呼吸的能力的哺乳动物。
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2、X+Y=1
3、如果一个三角形的两个内角相等，那么这个三角形是等腰三角形。
4、你吃过午饭了吗？
5、火星上有生物。
6、禁止吸烟！
7、平行四边形的两组对边平行且相等。
8、今天天气真好啊！
9、在同一平面内的两条直线，或者平行，或者垂直。
由以上探究可知：1、3、5、7、9为命题
其中，3、7为真命题，
课题
第4课时命题逻辑与条件判断（1）
课型
新授
学时
1
教学目标
能判断一个ห้องสมุดไป่ตู้子是否为命题，是真命题还是假命题
教学重点
命题、真命题、假命题
教学难点
真命题、假命题
教学方法
讲探练结合
学习方法
探究、讲授、练习
教学设备
触摸式一体机
教 学 过 程
教学活动内容及时间
学生活动内容及时间
【组织教学】
清点人数
【新课导入】
在日常生活中，我们经常会说一些判断性的话。例如，“今天是晴天”、“这节课是数学课”、“现在学生都到齐了”……
命题p是假命题，则命题p的值为假。
【练习巩固】
1、每位学生写出两个命题，并判断其真假。
2、下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出它是真命题还是假命题。
(1)2008年夏季奥运会在北京举行。
(2)明天的大会是否按时举行？
(3)0.01不是有理数。
(4)把门关上！
(5)如果三角形的三边长分别为3、4、5，那么这个三角形一定是直角三角形。
错误的命题叫假命题，记其值为“假”（或为0）
1、命题是能判断真假的陈述句。
2、感叹句、祈使句、疑问句都不是命题。
3、命题必须有真假之分，必须有判断内容。
二、命题的表示
用小写字母p、q、r等来表示命题。
命题p是真命题，则命题p的值为真
命题p是假命题，则命题p的值为假。
教学反思：
数学中的命题逻辑也是研究判断的，今天我们就从命题谈起。
【新课讲解】
一、命题定义
定义：能够判断真假的句子叫做命题。
正确的命题叫真命题，记其值为“真”（或为1）
错误的命题叫假命题，记其值为“假”（或为0）
一个命题非真即假，不可能既真又假，也不可能不真不假。
【讨论探究】
下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出它是真命题还是假命题。
【课堂总结】
本课时主要学习了命题的基础知识，要能判断一个句子是否为命题，是真命题还是假命题。
【作业布置】
课后复习题T4
举日常生活中经常会说一些判断性的话。
如，我穿白色的鞋子
掌握命题定义和真命题、假命题的判断
讨论探究下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出它是真命题还是假命题。
学生探究后给出答案，师生共同判断对错。
(6) 如果一个三角形一定是直角三角形，那么其三边长分别为3、4、5。
结论：(1)、(3)、(5)、(6)是命题
(1)、(3)、(5)、(6)是真命题
（2）、（4）不是命题
3、P33T4
命题：（1）、（4）、（5）、（6）、（7）
非命题：（2）、（3）、（8）
真命题：（1）、（4）、（5）、（6）、（7）
1、9为假命题，
5到目前为止还无法确定其真假。
2、4、6、8都不是命题。
【总结归纳】
1、命题是能判断真假的陈述句。
2、感叹句、祈使句、疑问句都不是命题。
3、命题必须有真假之分
4、命题必须有判断内容。
二、命题的表示
用小写字母p、q、r等来表示命题。
例如，p：2是整数。
命题p是真命题，则命题p的值为真，
共同总结归纳和记忆
掌握命题的表示及其值
分别说出一个命题。
8名学生分别说出下列句子中，哪些是命题、哪些不是命题，如果是命题，指出它是真命题还是假命题。
认真独立完成后交流
认真听讲记忆
课后认真完成
【板书设计】
第4课时命题逻辑与条件判断（1）
一、命题定义
定义：能够判断真假的句子叫做命题。
正确的命题叫真命题，记其值为“真”（或为1）