理论力学 (3)
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理论力学-3-力系的平衡
z
F2
O
F1
F
z
0
M F 0 M F 0
x y
自然满足，且
M F 0
z
M F 0
O
平面力系平衡方程的一般形式
于是，平面力系平衡 方程的一般形式为： z O y
Fx 0 Fy 0 M F 0 o
其中矩心 O 为力系作用面 内的任意点。
静不定次数：静不定问题中，未知量的个数与独立的平 衡方程数目之差。
多余约束：与静不定次数对应的约束，对于结构保持静 定是多余的，因而称为多余约束。 关于静不定问题的基本解法将在材料力学中介绍。
P A m a B q
解：对象：梁 受力：如图 方程：
C
b
F F
0, FAx P cosq 0, FAx P cosq # FAy FB P sin q 0 1 y 0, M A F 0, m FBa Pa bsinq 0 2
B A
FR FR
x
A
B
FR
A、B 连线不垂直于x 轴
B A
FR
x
3.3 平面力系的平衡方程 “三矩式” M A = 0， MB = 0 , MC = 0。
C B A C B A
FR FR
满足第一式？ 满足第二式？ 满足第三式？
B A
FR
FR
A、B、C 三点不 在同一条直线上
C A
B
M (F ) 0 Fy 0
A
FQ (6 2) FP 2 FB 4 W (12 2) 0
FQ FA FP FB W 0
理论力学第三章
M
F'
F
二、空间力偶等效定理
空间力偶的等效条件是：作用在同一刚体上的两个力偶， 如果力偶矩矢相等，则两力偶等效。
理论力学 中南大学土木工程学院 24
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25
理论力学
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26
三、空间力偶系的合成与平衡
1、合成
力偶作用面不在同一平面内的力偶系称为空间力偶系。 空间力偶系合成的最后结果为一个合力偶，合力偶 矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。即：
8
[例]图示起重机吊起重物。起重杆的A端用球铰链固定在地面上，B端用 绳CB和DB拉住，两绳分别系在墙上的C点和D点，连线CD平行于x轴。 已知CE=EB=DE，角a =30o ，CDB平面与水平面间的夹角∠EBF= 30o， 重物G=10kN。如不计起重杆的重量，求起重杆所受的力和绳子的拉力。 解：1、取杆AB与重物为研究 对象，受力分析如图。
空间力系向点O简化得到一空间汇交力系和一空间 力偶系，如图。
z O
F1 y F2 z M2 z F'1 Mn F'2 y
Fn x
＝
M1 x
O F'n
＝
MO
F'R
O y
x
( i 1，， 2 ，n )
Fi Fi M i M O ( Fi ) ri Fi
M M cos( M，k ) z M
27
理论力学
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[例]工件如图所示，它的四个面上同时钻五个孔，每个孔所受的切削力偶 矩均为80N· m。求工件所受合力偶的矩在x，y，z轴上的投影Mx，My，Mz， 并求合力偶矩矢的大小和方向。
理论力学答案完整版(清华大学出版社)3
2 静定和静不定问题 未知约束力分量的数目等于独立平衡方程的数目，这类平衡问题称为静定问题； 未知约束力分量的数目大于独立平衡方程的数目，这类平衡问题称为静不定问题，两者
之差称为静不定次数。这类问题需要补充与静不定次数相同数量的变形协调方程才能求解。 未知约束力分量的数目小于独立平衡方程的数目，这类平衡问题是不存在的。 解题要领：
为自锁。反之，主动力的合力作用线位于摩擦锥外时，不论这个力多小，物体总不平衡。
1 滚动摩擦
维持滚动体平衡的滚阻力偶 M f 的值只能在零和 M f ,max 之间，即 0 ≤ M f ≤ M f ,max . 最大滚阻力偶 M f ,max 与正压力 FN 成正比，即
M f ,max = δFN 。
(a) 解：以 AB 以梁为研究对象，画受力图，列平衡方程
∑ Fx = 0 ， FC cos 60o + F1 cos 60o = 0 ，
FC = −F1 = −30 kN
∑ mB = 0,
−
FA
×8
−
M
−
FC
sin
60o
×3+
F1
sin 60o
×8
,
+ F2 × 4 + q × 3×1.5 = 0
平面力偶系:
∑mz = 0
∑my ≡ 0
平面平行力系:
∑ Fz = 0 ∑mx = 0
解题要领： 1 解平衡问题的三部曲：确定研究对象、画受力图、列平衡方程； 2 通常先以整体为研究对象，再以部分为研究对象； 3 平衡方程的两种形式：投影式和对轴的力矩式，两者都与轴有关，选择合适的坐标轴可
避免解联立方程。 4 做一定数量的习题是掌握平衡问题的关键。
之差称为静不定次数。这类问题需要补充与静不定次数相同数量的变形协调方程才能求解。 未知约束力分量的数目小于独立平衡方程的数目，这类平衡问题是不存在的。 解题要领：
为自锁。反之，主动力的合力作用线位于摩擦锥外时，不论这个力多小，物体总不平衡。
1 滚动摩擦
维持滚动体平衡的滚阻力偶 M f 的值只能在零和 M f ,max 之间，即 0 ≤ M f ≤ M f ,max . 最大滚阻力偶 M f ,max 与正压力 FN 成正比，即
M f ,max = δFN 。
(a) 解：以 AB 以梁为研究对象，画受力图，列平衡方程
∑ Fx = 0 ， FC cos 60o + F1 cos 60o = 0 ，
FC = −F1 = −30 kN
∑ mB = 0,
−
FA
×8
−
M
−
FC
sin
60o
×3+
F1
sin 60o
×8
,
+ F2 × 4 + q × 3×1.5 = 0
平面力偶系:
∑mz = 0
∑my ≡ 0
平面平行力系:
∑ Fz = 0 ∑mx = 0
解题要领： 1 解平衡问题的三部曲：确定研究对象、画受力图、列平衡方程； 2 通常先以整体为研究对象，再以部分为研究对象； 3 平衡方程的两种形式：投影式和对轴的力矩式，两者都与轴有关，选择合适的坐标轴可
避免解联立方程。 4 做一定数量的习题是掌握平衡问题的关键。
理论力学第3章 力系的平衡
基础部分——静力学第3 章力系的平衡主要内容：§3-7 重心即：力系平衡的充分必要条件是，力系的主矢和对任一点3-2-1 平衡方程的一般形式∑=iF F R ∑=)(i O O F M M 已知∑=iF F R ∑=)(i O O F M M 投影式：平衡方程i即：力系中所有力在各坐标轴上投影的代数和分别等于零；所有力对各坐标轴之矩的代数和分别等于零。
说明：¾一般¾6个3个投影式，3个力矩式；¾一般形式基本形式3-2-2 平面一般力系的平衡方程xy zOF1F2Fn平面内，¾一般形式¾3个2个投影式，1个力矩式；¾ABAzzCC附加条件：不垂直附加条件：不共线Bx二矩式的证明必要性充分性合力平衡AA 点。
B 点。
过ABBx故必有合力为零，力系平衡证毕平面问题3个3个 解题思路BAMFo45l l[例3-1] 悬臂梁，2解：M A 校核：0)(=∑F MB满足！解题思路？AyF AxF[例3-2] 伸臂梁F AxF AyF BF q 解：0=∑x F 0)(=∑F AM3(F −+0=∑yF3(F −+(F −+0)(=∑F AM=∑yF0=∑x F F AxF AyF BF q 思考：如何用其他形式的平衡方程来求解？0=∑x F 3(F −+0)(=∑F AMF AxF F BF q 0)(=∑F BM(F −+二矩式思考练习][练习FFlll F ACB DlllACB DM=F l[思考][思考]lll F ACB DlllACB DF见书P54例3-1—约束lllACB DF—约束CBADEFM—约束—约束—整体平衡局部平衡CB ADEFM研究对象的选取原则¾仅取整体或某个局部，无法求解；¾一般先分析整体，后考虑局部；¾尽量做到一个方程解一个未知力。
qCBAm2m2m2m2MBCM[例3-3] 多跨梁，求：如何选取研究对象？F CqF CFAxF AyM ABAqF'BxF'ByM A F Ax F AyF Bx F By解：先将分布力用合力来代替。
理论力学3
第3章 力系的平衡
3.4 例 题 分 析
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第3章 力系的平衡
3.4 例 题 分 析
例3-1 外伸梁ABC上作用有均布载荷q=10 kN/m，集中力 F=20 kN，力偶矩m=10 kNm，求A、B支座的约束力。
解：画受力图
m A F 0 FNB 4 q 4 2 m F sin 6 0
m = 0
三力平衡汇交定理 刚体受不平行的三个力作用而平衡时，此三力的作用线 必共面，且汇交于一点。
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第3章 力系的平衡
3.1.5 静定问题与超静定问题
3.1 主要内容
•物体系统：由若干个物体通过适当的约束相互连 接而成的系统 。 •静定问题：单个物体或物体系未知量的数目正好 等于它的独立的平衡方程的数目。
M y F 0
Fx 0, Fy 0, Fz 0
结论：各力在三个坐标轴上投影的代数和以及 各力对此三轴之矩的代数和都必须同时等于零。
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第3章 力系的平衡
1. 空间汇交力系 如果使坐标轴的原点与各力的汇交点重合，则有 Mx≡My≡Mz≡0，即空间汇交力系平衡方程为
F
F
选刚架为研究对象 画受力图
FA FD
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第3章 力系的平衡
解：几何法
F
3.4 例 题 分 析
选刚架为研究对象 画受力图
FA FD FA
作力多边形，求未知量
选力比例尺F=5 kN/cm作封
理论力学总复习(3).
R ，质量为
m的匀质圆盘在其自身平面内作平面运动。
点速度大小为 B
在图示位置时，若已知图形上 A、B 二点的速度方向如图所示。
45 ，且知
v B ，则圆轮的动能为
②
2、已知匀质杆长L，质量为m，端点B的速度为v，则杆的动能为 ②
3、图示三棱柱重P，放在光滑的水平面上，重Q的匀质圆柱体静止释放后
(a 0 g ) sin / L 0
1、倾角为 的楔形块A质量为 m1 ，置于光滑水平面上，物块B的 质量为 m2 ，放置在楔块斜面上。系统由静止开始运动。求A、 B的相互作用力。（不计两物块之间的摩擦）
第九章 质点系动力学基础
一、是非题
1、任意质点系（包括刚体）的动量可以用其质心（具有系统的质量）的动量来 表示。 （√ ） 2、质点系中各质点都处于静止时，质点系的动量为零。于是可知如果质点系的 动量为零，则质点系中各质点必须静止。 （ ×） 3、不管质点系作什么样的运动，也不管质点系内各质点的速度如何，只要知道 质点系的总质量和质点系质心的速度，即可求得质点系的动量。 （√ ） √ 4、冲量的量纲与动量的量纲相同。 （ ） 5、质点系对某轴的动量矩等于质点系中各质点的动量对同一轴之矩的代数和。 （√ ） 6、刚体的质量是刚体平动时惯性大小的度量，刚体对某轴的转动惯量则是刚体 绕该轴转动时惯性大小的度量。 （ ） √
1、半径为r，质量为M的光滑圆柱放在光滑水平面上，如图所示。一质 量为m的小球从圆柱顶点无初速下滑，试求小球离开圆柱前的轨迹。
2、重为 W1 的物体A，沿三棱体D的光滑斜面下降，同时借一绕过滑轮 C的绳子使重为 W2 的物块B运动。三棱体D重为 W 0 ，斜面与水平 面成 角，如略去绳子和滑轮的重量，求三棱体D给凸出部分E
理论力学3—空间力系
r r ur
uur uur r
i jk
M O (F ) r Fuur = x y z
z MO(F)
kr Oj
ih x
Fx Fy Fz
r
r
ur
( yFz zFy )i (zFx xFz ) j (xFy yFx )k
B F
A(x,y,z) y
3.2.1 力对点的矩以矢量表示－力矩矢
力矩矢MO(F)在三个坐标轴上的投
偶系，如图。
z F1
z M2
z
Fn O
x F2
＝ M1
y
O
x F'n
F'1
＝ MO
Mn y
O
F'2
x
F'R y
uur uur
uFuri Fuiur uur
M i M O (Fi ) (i 1, 2,L , n)
3.4.1 空间力系向一点的简化
空间汇交力系可合成一合力F'R：
uur uur uur FR Fi Fi
如图所示，长方体棱长为a、b、c，力F沿BD，求力F对AC之矩。
解：
uur uur uur M AC (F ) M C (F ) AC
uur uur
M C (F ) F cos a
Fba
a2 b2
B
C
F
D
c
A
a
b
uur uur uur
M AC (F ) M C (F ) cos
Fabc a2 b2 a2 b2 c2
(F ) uur
[M O (F )]y M y (F )
uur uur
uur
[M O (F )]z M z (F )
理论力学 第三章
于静止状态，已知作用在滑块B的水平力F，角度θ、β和曲
柄长r，不计机构重量、摩擦和滑块尺寸，求作用在曲柄OA上
的力偶M。
MA
r
Oθ
β
B
F
(a)
解：连杆AB为二力体。
MA
取曲杆OA为研究对象，由
于力偶只能与力偶平衡，受
r
Oθ
B F
β
力如图b所示。
M A θ+β
由 Mi 0
r
θ
FAB
得 r ·FAB sin(θ+β) M = 0
z
F2 F2
O
F3 y
F3
F1
x
F1
z
M1
M3
45°
M2
45° y
O
x
3.合力偶矩矢MR 的大小和方向余弦。
MR
M
2 Rx
M
2 Ry
M
2 Rz
42.7
N m
cosMR , i
M Rx MR
0
cosMR ,
j
M Ry MR
0.262
cosMR , k
M Rz MR
0.965
4. 为使这个刚体平衡，需加一力
M = F1 ·d=F' 1·d'
F2
d
F1
F2
=
d
F1
F
=
M
F
因此，可用圆箭头来表示力偶。
三.平面力偶系的合成和平衡条件
已知：M1, M2 , Mn;
任选一段距离d
M1 d
F1
M1 F1d
M2 d
F2
M2 F2d
Mn d
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当 时， 取极小值，其值为
5-2重量为 的物体放在倾角为 的斜面上，物体与斜面之间的摩擦角为 ，如图5.22所示。如在物块上作用力 ，此力与斜面的夹角为 。求拉动物块时的 值，并问当角 为何值时，此力为极小。
解：选择物块为研究对象，受力分析
如图所示。列平衡方程，有
其中 ，联立求解，可得
当 时， 取极小值，其值为
在鼓轮处于滑动的临界状态下，有 。联立求解，可得
≤ ≤
5-13如图5.33所示，均质杆AB重 ，木块C重 ，杆与木块间的静摩擦系数 ，木块与水平面间的静摩擦系数 ，求拉动木块的水平力 的最小值。
解：分别选择均质杆AB与木块C为研究对象，受力分析如图所示。列平衡方程，有
均质杆AB：
木块C：
其中， ， 。在木块滑动的临界状态下，有 ， 。联立求解，可得
(A) (B)
(C) (D)
图5.15
3．重量为 、半径为R的圆轮，放在水平面上，如图5.16所示，轮与地面间的滑动摩擦系数为 ，滚动摩阻系数为 ，圆轮在水平力 的作用下平衡，则接触处的摩擦力 和滚动摩阻力偶矩 的大小分别为( C )。
(A) ，
(B) ，
(C) ，
(D) ，
4．重量分别为 和 的物体重叠地放置在粗糙的水平面上，水平力 作用于物体A上，如图5.17所示。设A，B间的摩擦力最大值为 ，B与水平面间的摩擦力的最大值为 ，若A，B能各自保持平衡，则各力之间的关系为( B )。
解：分别选择整体与BC杆为研究对象，受力分析如图所示。列平衡方程，有
整体：
BC杆：
其中 ≤ ，联立求解，可得
≤
5-11 如图5-31所示托架，安装在直径 的水泥柱子上，托架与柱子之间的静摩擦系数 ，且 ，问作用于托架上的荷载 距圆柱中心线应为多远时才不致使托架下滑？托架自重不计。
解：选择托架为研究对象，受力分析如图所示。列平衡方程，有
解：由整体的受力图可知，工作时在点 加力 大小应等于 。分别选取曲杆 和砖块为研究对象，受力分析如图所示。列平衡方程，有
曲杆 ：
砖块：
其中， 。由于对称性，可知 。而 ≤ 。联立求解，可得
≤
5-16 楔形夹具如图5.36所示。 块顶角为 ，受水平向左的力P作用， 块受垂直向下的力Q作用。 块与 块之间的静滑动摩擦系数为 ，如不计 、 的重量，试求能保持平衡的力P的围。
5．斜面自锁的条件是：斜面的倾角小于斜面间的摩擦角。 ( √ )
二、填空题
1．当物体处于平衡时，静滑动摩擦力增大是有一定限度的，它只能在0≤Fs≤Fsmax围变化，而动摩擦力应该是不改变的。
2．静滑动摩擦力等于最大静滑动摩擦力时物体的平衡状态，称为临界平衡状态。
3．对于作用于物体上的主动力，若其合力的作用线在摩擦角以，则不论这个力有多大，物体一定保持平衡，这种现象称为自锁现象。
解：分别选择圆柱体A与方块B为研究对象，受力分析如图所示。力 较小时，圆柱体A与方块B均有向下运动的趋势。此时，由平衡方程，有
A：
B：
其中 ， ， ，联立求解，可得
5-10 如图5.30所示的均质杆AB和BC重均为W，长均为L，A、B为铰链连接，C端靠在粗糙的墙上，设静摩擦系数为f= 0.35，求系统平衡时θ角的围。
由于问题的对称性，可知圆柱 在C、D两处受到的全约束反力相等，即 。联立求解，可得
当 较大时，圆柱O有向上滚动的趋势。分别选择圆柱 与板AB为研究对象，受力分析如图所示。列平衡方程，有
圆柱 ：
AB杆：
由于问题的对称性，可知圆柱 在C、D两处受到的全约束反力相等，即 。联立求解，可得
因此，圆柱平衡时力 的大小为
其中 ≤ ，联立求解，可得
≥
5-12 如图5.32所示圆柱 重量为 ，半径为 ，夹放在用铰链连接的两板AB、BC之间，若圆柱与板之间的摩擦系数为 ，试求圆柱平衡时力 的大小。设 ， 。
解：当 较小时，圆柱O有向下滚动的趋势。分别选择圆柱 与板AB为研究对象，受力分析如图所示。列平衡方程，有
圆柱 ：
AB杆：
解：选择物块为研究对象，受力分析如图所示。列平衡方程，有
联立求解，可得
，
由于 ，故能保持平衡。
5-5 欲转动一放在V形槽中的钢棒料，如图5.25所示，需作用力矩M= 15N·m的力偶，已知棒料重 ，直径 ，试求棒料与槽间的摩擦系数f。
解：选择V形槽中的钢棒料为研究对象，受力分析如图所示。列平衡方程，有
楔形块A：
楔形块B：
其中， ， 。在木块处于滑动的临界状态下，有 。联立求解，可得
综合考虑以上两种可能出现的情况，可知能保持夹具平衡的力P的围为
≤ ≤
5-17 如图5.37所示，均质杆 长 ，重量为 ，放在水平面和半径为 的固定圆柱上。设各处摩擦系数都是 ，试求杆处于平衡时 的最大值。
解：选均质杆AB为研究对象，当平衡时 较大时，均质杆有向下倾倒的趋势。此时均质杆的受力分析如图所示。列平衡方程，有
(A) 16kN(B) 15kN
(C) 20kN(D) 5kN
图5.18
7．如图5.19所示为一方桌的对称平面，水平拉力 和桌子重 都作用在对称平面，桌腿A、B与地面之间的静滑动摩擦系数为 。若在对称平面研究桌子所受的滑动摩擦力。以下四种情况下哪一种说法是正确的？( B )
(A) 当 时，滑动摩擦力为
5-7同一物块在如图5.27所示的两种受力情况下，均保持物体不下滑时力F1和F2是否相同？为什么？设物块重为Q，与铅垂面间的摩擦系数为 。
解：分别选择物块为研究对象，受力分析如图所示。分别列平衡方程，有
(1)
其中 ，联立求解，可得保持物体不下滑时力F1为
(2)
其中 ，联立求解，可得保持物体不下滑时力F2为
5-3重力为 的物体 置于重力为 的物体B上，B又置于水平面C上，如图5.23所示。已知A、B之间的摩擦系数 ， 与水平面之间的摩擦系数 ，今在A上作用一与水平面成 的力 ，问：(1) 当力 逐渐加大时，是A先滑动呢，还是A、B一起滑动？(2) 如果B物体重力为 ，情况又如何？
解：(1)分别选择物块A和B为研究对象，受力分析如图所示。不妨假设当力 逐渐加大时，物块A先处于滑动的临界状态，此时，由平衡方程，有
(A) (B)
(C) (D)
图5.16 图5.17
5．当物体处于临界平衡状态时，静摩擦力 的大小( C )。
(A) 与物体的重量成正比
(B) 与物体的重力在支撑面的法线方向的大小成正比
(C) 与相互接触物体之间的正压力大小成正比
(D) 由力系的平衡方程来确定
6．已知物块A重100kN，物块B重25kN，物块A与地面间的滑动摩擦系数为0.2，滑轮处摩擦不计，如图5.18所示，则物体A与地面间的摩擦力的大小为( B )。
(C) 只有当 时，杆不平衡
(D) 在 时，杆都不平衡
图5.19 图5.20
四、计算题
5-1如图5.21所示，重量为 的物块，放在粗糙的水平面上，接触面之间的摩擦系数为 。试求拉动物块所需力 的最小值及此时的角 。
解：选择物块为研究对象，受力分析
如图所示。列平衡方程，有
其中 ，引入 ，联立求解，可得
5-14 如图5.34所示，两无重杆在B处用套筒式无重滑块连接，在杆AD上作用一力偶 ，其力偶矩 ，滑块和杆AD间的摩擦系数 ，在图示瞬时 ，求保持系统平衡时力偶矩 的围。
解：分别选择杆AD与杆BC为研究对象，当力偶矩 较小时，物块相对于杆AD有向上运动的趋势，此时两杆的受力分析如图所示。列平衡方程，有
在均质杆 处于滑动的临界状态下，有 ， 。联立求解，可得
5-18 如图5.38所示鼓轮 重量为 ，放在墙角里。已知鼓轮与水平地板间的摩擦系数 ，而铅直墙壁则假定是绝对光滑的。鼓轮上的绳索下端挂着重物。设半径 ， ，求平衡时重物 的最大重量。
解：选取鼓轮 (包括重物A)为研究对象，受力分析如图所示。列平衡方程，有
杆AD：
杆BC：
其中， ， 。在木块滑动的临界状态下，有 。联立求解，可得
同理，当力偶矩 较小时，物块相对于杆AD有向下运动的趋势。此时，列平衡方程，有
杆AD：
杆BC：
其中， ， 。在木块滑动的临界状态下，有 。联立求解，可得
综合考虑以上两种可能情况，可得保持系统平衡时力偶矩 的围为
≤ ≤
5-15 如图5.35所示，砖夹由曲杆 和 在点 铰接而成。工作时在点 加力 ，点 在 的中心线上。若砖夹与砖块之间的摩擦系数 ，不计各杆自重，问距离 为多大时才能将砖块夹起？图中长度单位为 。
5-8如图5.28所示系统中，已知物体ABCD重P= 50kN，与斜面间的摩擦系数为f= 0.4，斜面倾角 ，AB = CD =10cm，AD = BC =50cm，绳索AE段水平，试求能使系统平衡时物体M重量Q的最小值。
解：当重量Q的较小时，物块可能有两种运动趋势：向下滑动或向下倾倒。画出物块的受力图，分别计算这两种运动所需要的Q的最小值。
当物块有向下滑动趋势时，由物块的平衡，有
其中 ， ，联立求解，可得保持物体不下滑时力Q的最小值为
当物块有向下倾倒趋势时，物块受钭面的法向约束反力通过C点，由物块的平衡，有
其中： ，解得保持物体不倾倒时力Q的最小值为
要保证物块既不向下滑动又不向下倾倒，重量Q的最小值应取为
5-9 如图5.29所示，圆柱体A与方块B均重W= 100N，置于与水平成 的斜面上，若所有接触处的滑动摩擦角均为 ，求保持物体平衡所需要的最小力 。
A：
其中 = ，联立求解，可得 ， 。而此时，由物块B的平衡方程有
B：
其中 ， ，联立求解，可得
，Байду номын сангаас
可知 ，故物块B未达到临界状态。故A先滑动。
(2) 如果B物体重力为 ，仿照前面计算过程，可得 ， ，可知 。故A、B一起滑动。
5-2重量为 的物体放在倾角为 的斜面上，物体与斜面之间的摩擦角为 ，如图5.22所示。如在物块上作用力 ，此力与斜面的夹角为 。求拉动物块时的 值，并问当角 为何值时，此力为极小。
解：选择物块为研究对象，受力分析
如图所示。列平衡方程，有
其中 ，联立求解，可得
当 时， 取极小值，其值为
在鼓轮处于滑动的临界状态下，有 。联立求解，可得
≤ ≤
5-13如图5.33所示，均质杆AB重 ，木块C重 ，杆与木块间的静摩擦系数 ，木块与水平面间的静摩擦系数 ，求拉动木块的水平力 的最小值。
解：分别选择均质杆AB与木块C为研究对象，受力分析如图所示。列平衡方程，有
均质杆AB：
木块C：
其中， ， 。在木块滑动的临界状态下，有 ， 。联立求解，可得
(A) (B)
(C) (D)
图5.15
3．重量为 、半径为R的圆轮，放在水平面上，如图5.16所示，轮与地面间的滑动摩擦系数为 ，滚动摩阻系数为 ，圆轮在水平力 的作用下平衡，则接触处的摩擦力 和滚动摩阻力偶矩 的大小分别为( C )。
(A) ，
(B) ，
(C) ，
(D) ，
4．重量分别为 和 的物体重叠地放置在粗糙的水平面上，水平力 作用于物体A上，如图5.17所示。设A，B间的摩擦力最大值为 ，B与水平面间的摩擦力的最大值为 ，若A，B能各自保持平衡，则各力之间的关系为( B )。
解：分别选择整体与BC杆为研究对象，受力分析如图所示。列平衡方程，有
整体：
BC杆：
其中 ≤ ，联立求解，可得
≤
5-11 如图5-31所示托架，安装在直径 的水泥柱子上，托架与柱子之间的静摩擦系数 ，且 ，问作用于托架上的荷载 距圆柱中心线应为多远时才不致使托架下滑？托架自重不计。
解：选择托架为研究对象，受力分析如图所示。列平衡方程，有
解：由整体的受力图可知，工作时在点 加力 大小应等于 。分别选取曲杆 和砖块为研究对象，受力分析如图所示。列平衡方程，有
曲杆 ：
砖块：
其中， 。由于对称性，可知 。而 ≤ 。联立求解，可得
≤
5-16 楔形夹具如图5.36所示。 块顶角为 ，受水平向左的力P作用， 块受垂直向下的力Q作用。 块与 块之间的静滑动摩擦系数为 ，如不计 、 的重量，试求能保持平衡的力P的围。
5．斜面自锁的条件是：斜面的倾角小于斜面间的摩擦角。 ( √ )
二、填空题
1．当物体处于平衡时，静滑动摩擦力增大是有一定限度的，它只能在0≤Fs≤Fsmax围变化，而动摩擦力应该是不改变的。
2．静滑动摩擦力等于最大静滑动摩擦力时物体的平衡状态，称为临界平衡状态。
3．对于作用于物体上的主动力，若其合力的作用线在摩擦角以，则不论这个力有多大，物体一定保持平衡，这种现象称为自锁现象。
解：分别选择圆柱体A与方块B为研究对象，受力分析如图所示。力 较小时，圆柱体A与方块B均有向下运动的趋势。此时，由平衡方程，有
A：
B：
其中 ， ， ，联立求解，可得
5-10 如图5.30所示的均质杆AB和BC重均为W，长均为L，A、B为铰链连接，C端靠在粗糙的墙上，设静摩擦系数为f= 0.35，求系统平衡时θ角的围。
由于问题的对称性，可知圆柱 在C、D两处受到的全约束反力相等，即 。联立求解，可得
当 较大时，圆柱O有向上滚动的趋势。分别选择圆柱 与板AB为研究对象，受力分析如图所示。列平衡方程，有
圆柱 ：
AB杆：
由于问题的对称性，可知圆柱 在C、D两处受到的全约束反力相等，即 。联立求解，可得
因此，圆柱平衡时力 的大小为
其中 ≤ ，联立求解，可得
≥
5-12 如图5.32所示圆柱 重量为 ，半径为 ，夹放在用铰链连接的两板AB、BC之间，若圆柱与板之间的摩擦系数为 ，试求圆柱平衡时力 的大小。设 ， 。
解：当 较小时，圆柱O有向下滚动的趋势。分别选择圆柱 与板AB为研究对象，受力分析如图所示。列平衡方程，有
圆柱 ：
AB杆：
解：选择物块为研究对象，受力分析如图所示。列平衡方程，有
联立求解，可得
，
由于 ，故能保持平衡。
5-5 欲转动一放在V形槽中的钢棒料，如图5.25所示，需作用力矩M= 15N·m的力偶，已知棒料重 ，直径 ，试求棒料与槽间的摩擦系数f。
解：选择V形槽中的钢棒料为研究对象，受力分析如图所示。列平衡方程，有
楔形块A：
楔形块B：
其中， ， 。在木块处于滑动的临界状态下，有 。联立求解，可得
综合考虑以上两种可能出现的情况，可知能保持夹具平衡的力P的围为
≤ ≤
5-17 如图5.37所示，均质杆 长 ，重量为 ，放在水平面和半径为 的固定圆柱上。设各处摩擦系数都是 ，试求杆处于平衡时 的最大值。
解：选均质杆AB为研究对象，当平衡时 较大时，均质杆有向下倾倒的趋势。此时均质杆的受力分析如图所示。列平衡方程，有
(A) 16kN(B) 15kN
(C) 20kN(D) 5kN
图5.18
7．如图5.19所示为一方桌的对称平面，水平拉力 和桌子重 都作用在对称平面，桌腿A、B与地面之间的静滑动摩擦系数为 。若在对称平面研究桌子所受的滑动摩擦力。以下四种情况下哪一种说法是正确的？( B )
(A) 当 时，滑动摩擦力为
5-7同一物块在如图5.27所示的两种受力情况下，均保持物体不下滑时力F1和F2是否相同？为什么？设物块重为Q，与铅垂面间的摩擦系数为 。
解：分别选择物块为研究对象，受力分析如图所示。分别列平衡方程，有
(1)
其中 ，联立求解，可得保持物体不下滑时力F1为
(2)
其中 ，联立求解，可得保持物体不下滑时力F2为
5-3重力为 的物体 置于重力为 的物体B上，B又置于水平面C上，如图5.23所示。已知A、B之间的摩擦系数 ， 与水平面之间的摩擦系数 ，今在A上作用一与水平面成 的力 ，问：(1) 当力 逐渐加大时，是A先滑动呢，还是A、B一起滑动？(2) 如果B物体重力为 ，情况又如何？
解：(1)分别选择物块A和B为研究对象，受力分析如图所示。不妨假设当力 逐渐加大时，物块A先处于滑动的临界状态，此时，由平衡方程，有
(A) (B)
(C) (D)
图5.16 图5.17
5．当物体处于临界平衡状态时，静摩擦力 的大小( C )。
(A) 与物体的重量成正比
(B) 与物体的重力在支撑面的法线方向的大小成正比
(C) 与相互接触物体之间的正压力大小成正比
(D) 由力系的平衡方程来确定
6．已知物块A重100kN，物块B重25kN，物块A与地面间的滑动摩擦系数为0.2，滑轮处摩擦不计，如图5.18所示，则物体A与地面间的摩擦力的大小为( B )。
(C) 只有当 时，杆不平衡
(D) 在 时，杆都不平衡
图5.19 图5.20
四、计算题
5-1如图5.21所示，重量为 的物块，放在粗糙的水平面上，接触面之间的摩擦系数为 。试求拉动物块所需力 的最小值及此时的角 。
解：选择物块为研究对象，受力分析
如图所示。列平衡方程，有
其中 ，引入 ，联立求解，可得
5-14 如图5.34所示，两无重杆在B处用套筒式无重滑块连接，在杆AD上作用一力偶 ，其力偶矩 ，滑块和杆AD间的摩擦系数 ，在图示瞬时 ，求保持系统平衡时力偶矩 的围。
解：分别选择杆AD与杆BC为研究对象，当力偶矩 较小时，物块相对于杆AD有向上运动的趋势，此时两杆的受力分析如图所示。列平衡方程，有
在均质杆 处于滑动的临界状态下，有 ， 。联立求解，可得
5-18 如图5.38所示鼓轮 重量为 ，放在墙角里。已知鼓轮与水平地板间的摩擦系数 ，而铅直墙壁则假定是绝对光滑的。鼓轮上的绳索下端挂着重物。设半径 ， ，求平衡时重物 的最大重量。
解：选取鼓轮 (包括重物A)为研究对象，受力分析如图所示。列平衡方程，有
杆AD：
杆BC：
其中， ， 。在木块滑动的临界状态下，有 。联立求解，可得
同理，当力偶矩 较小时，物块相对于杆AD有向下运动的趋势。此时，列平衡方程，有
杆AD：
杆BC：
其中， ， 。在木块滑动的临界状态下，有 。联立求解，可得
综合考虑以上两种可能情况，可得保持系统平衡时力偶矩 的围为
≤ ≤
5-15 如图5.35所示，砖夹由曲杆 和 在点 铰接而成。工作时在点 加力 ，点 在 的中心线上。若砖夹与砖块之间的摩擦系数 ，不计各杆自重，问距离 为多大时才能将砖块夹起？图中长度单位为 。
5-8如图5.28所示系统中，已知物体ABCD重P= 50kN，与斜面间的摩擦系数为f= 0.4，斜面倾角 ，AB = CD =10cm，AD = BC =50cm，绳索AE段水平，试求能使系统平衡时物体M重量Q的最小值。
解：当重量Q的较小时，物块可能有两种运动趋势：向下滑动或向下倾倒。画出物块的受力图，分别计算这两种运动所需要的Q的最小值。
当物块有向下滑动趋势时，由物块的平衡，有
其中 ， ，联立求解，可得保持物体不下滑时力Q的最小值为
当物块有向下倾倒趋势时，物块受钭面的法向约束反力通过C点，由物块的平衡，有
其中： ，解得保持物体不倾倒时力Q的最小值为
要保证物块既不向下滑动又不向下倾倒，重量Q的最小值应取为
5-9 如图5.29所示，圆柱体A与方块B均重W= 100N，置于与水平成 的斜面上，若所有接触处的滑动摩擦角均为 ，求保持物体平衡所需要的最小力 。
A：
其中 = ，联立求解，可得 ， 。而此时，由物块B的平衡方程有
B：
其中 ， ，联立求解，可得
，Байду номын сангаас
可知 ，故物块B未达到临界状态。故A先滑动。
(2) 如果B物体重力为 ，仿照前面计算过程，可得 ， ，可知 。故A、B一起滑动。