2015-2016学年高中数学 3.1.1 倾斜角与斜率练习
3.1.1直线的倾斜角与斜率题型全归纳
3.1.1直线的倾斜角与斜率题型全归纳【知识梳理】1.倾斜角的定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx ，直线l ′的倾斜角是∠BPx .2．倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.3．倾斜角与直线形状的关系的正切值叫做这条直线的斜率．即k ＝tan_α.5．斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.当x 1＝x 2时，直线P 1P 2没有斜率．6．斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度．【常考题型】题型一、直线的倾斜角例1：若直线l 的向上方向与y 轴的正方向成30°角，则直线l 的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120°变式1：直线l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角范围是( )A ．[0°，90°)B ．[90°，180°)C ．(90°，180°)D ．(0°，180°) 变式2：设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( )A ．α＋45°B ．α－135°C ．135°－αD ．当0°≤α＜135°时为α＋45°，当135°≤α＜180°时为α－135° 题型二、直线的斜率例2：(1)已知过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y ＝________；(2)过点P (－2，m )，Q (m,4)的直线的斜率为1，则m 的值为________；(3)已知过A (3,1)，B (m ，－2)的直线的斜率为1，则m 的值为________．变式1：若直线过点 (1,2)，(4，2＋3)，则此直线的倾斜角是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°变式2：已知过两点)3,2(22-+m m A ，)2,3(2m m m B --的直线l 的倾斜角为045，则m = . 变式3：已知三点A (a,2)，B (3,7)，C (－2，－9a )在同一条直线上，实数a 的值为________． 变式4：已知A (m ，－m ＋3)，B (2，m －1)，C (－1,4)，直线AC 的斜率等于直线BC 的斜率的3倍，则m = ．题型三、直线的斜率的应用例3:在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率为1,-1,2及-3直线1l ，2l ，3l 及4l .例4:如图直线l 1，l 2，l 3，l 4的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k 4，比较斜率的大小关系变式1：已知点A （-2,3）、B （3,2），过点P （0,-2）的直线l 与线段AB 有公共点，试求直线l 的斜率的取值范围。
高中数学人教版必修2 3.1.1直线的倾斜角与斜率 作业3
3.1.1 直线的倾斜角与斜率一、选择题(每小题6分,共30分)1.直线l经过原点O和点P(-1,-1),则它的倾斜角是()A.45°B.135°C.135°或225°D.0°2.若直线l经过第二、三、四象限,则直线l的倾斜角的范围是()A.0°≤α<90°B.90°≤α<180°C.90°<α<180°D.0°≤α<180°3.如图,已知直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则()A.k1<k2<k3B.k3<k1<k2C.k3<k2<k1D.k1<k3<k24.已知直线l过(a,1)和(a+1,tanα+1),则()A.α一定是直线l的倾斜角B.α一定不是直线l的倾斜角C.α不一定是直线l的倾斜角D.180°-α一定是直线l的倾斜角5.(2013·保定高一检测)点M(x,y)在函数y=-2x+8的图象上,当x∈[2,5]时,y1x1++的取值范围是()A.[-16,2] B.[0,53]C.[-16,53] D.[2,4]二、填空题(每小题8分,共24分)6.已知A(a,2),B(3,1)且直线AB的倾斜角为90°,则a=.7.已知a,b,c是两两不等的实数,则经过P(-b,-b-c),Q(a,a-c)两点的直线l的倾斜角为.8.(2013·太原高一检测)若三点A(3,3),B(a,0),C(0,b)(其中a·b≠0)共线,则11a b＋=.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.已知点A(1,2),点P为坐标轴上一点,且直线PA的倾斜角为120°,求P点的坐标.10.如图,菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合,一边在x轴的正半轴上,已知∠BOD=60°,求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角及斜率.11.(能力挑战题)若0<a<b,并且p>0,求证：a p ab p b ++＞.答案1.【解析】选A.过点P 作PA ⊥x 轴,垂足为A,则在Rt △POA 中,∠POA=45°,即倾斜角为45°.2.【解析】选C.因为直线l 经过第二、三、四象限,所以斜率k<0,所以倾斜角为钝角,故选C.【变式训练】直线l 经过第一、三、四象限,其倾斜角为α,斜率为k,则( )A.ksinα>0B.ksinα≥0C.kcosα<0D.kcosα≤0【解析】选A.因为直线l 经过第一、三、四象限,所以倾斜角α为锐角,所以sinα>0,k=tanα>0,所以ksinα>0.3.【解题指南】当直线的倾斜角为锐角时,倾斜角越大斜率越大,此时斜率大于0;当倾斜角为钝角时,倾斜角越大斜率越大,但此时斜率小于0.【解析】选D.由图可知l 1的倾斜角为钝角,所以k 1<0,直线l 2与l 3的倾斜角为锐角且α2>α3,所以k 2>k 3>0,故选D.4.【解析】选C.根据题意,直线l 的斜率为k=(tan 1)1(a 1)aα+-+-=tanα,令θ为直线l 的倾斜角,则一定有0°≤θ<180°,且tanθ=k,所以若0°≤α<180°,则α是直线l 的倾斜角;若α<0°或α≥180°,则α不是直线l 的倾斜角;由以上可知α不一定是直线l 的倾斜角,所以应选C.5.【解析】选C.y 1y (1)x 1x (1)+--=+--的几何意义是过M(x,y), N(-1,-1)两点的直线的斜率.因为点M 在函数y=-2x+8的图象上,且x ∈[2,5],所以设该线段为AB,且A(2,4),B(5,-2).因为k NA =53,k NB =-16, 所以-16≤y 1x 1++≤53. 所以y 1x 1++的取值范围是[-16,53]. 6.【解析】直线AB 的倾斜角为90°,所以A,B 两点的横坐标相等,所以a=3.答案：37.【解析】直线l 的斜率k=a c b c a b a (b)a b----+=--+()=1,所以直线l 的倾斜角为45°.答案：45°8.【解析】由于A,B,C 三点共线,则k AB =k AC , 所以03b 3a 303－－＝－－.所以ab=3a+3b,即111a b 3＋＝. 答案：13 【变式训练】三点A(m,2),B(5,1),C(-4,2m)在同一条直线上,则m 的值为.【解析】k AB =125m --,k BC =2m 145---,因为A,B,C 三点共线, 所以k AB =k BC ,即122m 15m 45--=---,解得m=2或72. 答案：2或72 9.【解析】因为点P 为坐标轴上一点,(1)当点P 在x 轴上时,设P 点的坐标为(x,0),因为直线PA的倾斜角为120°,所以直线PA 的斜率k=tan120°,又A 点坐标为(1,2),所以02x 1-=-,所以+1.所以(2)当点P 在y 轴上时,设P 点的坐标为(0,y),则y 201-=-所以所以综上知P 点的坐标为1,0+)或). 10.【解题指南】利用菱形的基本性质：对边平行且相等,对角线平分一组内对角,两条对角线互相垂直等,先求倾斜角,再求斜率.【解析】因为OD ∥BC,∠BOD=60°,所以直线OD,BC 的倾斜角都是60°,斜率都是tan60°DC ∥OB,所以直线DC,OB 的倾斜角都是0°,斜率也都为0;由菱形的性质知,∠COB=30°,∠OBD=60°,所以直线OC 的倾斜角为30°,斜率k OC =tan30°,直线BD 的倾斜角为∠DBx=180°-60°=120°,斜率k BD =tan120°.11.【解题指南】把a p b p++看作过(0,0)和(b+p,a+p)两点的直线的斜率,把a b 看作过(b,a)和(0,0)两点的直线的斜率,通过比较两直线斜率来证明不等式.【证明】如图,在平面直角坐标系中,构造直角三角形OAB,使AB=a,OA=b,则ab 即为直线OB 的斜率,由0<a<b 可知直线OB的斜率小于45°.以点B 为一个顶点构造正方形BCDE,使BC 与x 轴平行,且正方形的边长为p,则点B 在直线OD 的下方,直线OD 的斜率为a p b p ++,由图易知,k OD >k OB ,即a p a b p b ++＞.。
第三章 3.1 3.1.1 倾斜角与斜率
[课时作业][A 组 基础巩固]1.直线x =1的倾斜角和斜率分别是( )A.45°，1B.135°，-1C.90°，不存在D.180°，不存在【答案】C【解析】直线x =1与y 轴平行，∴倾斜角为90°，但斜率不存在.2.若直线过点(1,2)，(4,2，则此直线的倾斜角是( )A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】A【解析】由题意得22413k ==-，∴直线的倾斜角为30°.3.经过点M (-2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为() A.1B.4C.1或3D.1或4【答案】A【解析】由两点斜率公式得412mm -=+，解之得m =1.4.若A (-2,3)，B (3，-2)，1(,)2C m 三点共线，则m 的值为( )A.-2B.12-C.1 2D.2【答案】C【解析】由23213(2)32m--+=---得12m=.5.如图，设直线l₁，l₂，l₃的斜率分别为k₁，k₂，k₃，则k₁，k₂，k₃的大小关系为()A.k₁＜k₂＜k₃B.k₁＜k₃＜k₂C.k₂＜k₁＜k₃D.k₃＜k₂＜k₁【答案】A【解析】根据“斜率绝对值越大，直线的倾斜程度越大”可知k₁＜k₂＜k₃.6.已知直线l₁的倾斜角为α，直线l₂与l₁关于x轴对称，则直线l₂的倾斜角为()A.180°-αB.90°-αC.90°+αD.45°+α【答案】A【解析】如图所示，可得直线l₂与l₁的倾斜角互补，故直线l₂的倾斜角为180°-α.7.(填空题)设斜率为m (m ＞0)的直线上有两点(m,3)，(1，m )，则此直线的倾斜角为________°.(填数字)【答案】60【解析】由31m m m-=-得：23m =，∵m ＞0，∴m =.又在[0°，180°)内tan 60︒=∴倾斜角为60°.8.已知实数x ，y 满足方程x +2y =6，当1≤x ≤3时，12y x --的取值范围为( ) A.13(,][,)22-∞-⋃+∞ B.35(,][,)22-∞⋃+∞ C.31(,][,)22-∞-⋃+∞ D.1(,][1,)2-∞-⋃+∞ 【答案】C 【解析】12y x --的几何意义是过M (x ，y )，N (2,1)两点的直线的斜率，因为点M 在函数x +2y =6的图象上，且1≤x ≤3，所以可设该线段为AB ，且53(1,),(3,)22A B ，由于31,22NA NB k k =-=，所以12y x --的取值范围是31(,][,)22-∞-⋃+∞.9.(主观题)已知A (m ，-m +3)，B (2，m -1)，C (-1,4)，直线AC 的斜率等于直线BC 的斜率的3倍，求m 的值.【解析】由题意直线AC 的斜率存在，即m ≠-1. ∴(3)41AC m k m -+-=+，(1)42(1)BC m k --=--. ∴(3)4(1)4312(1)m m m -+---=⋅+--.整理得：-m-1=(m-5)(m+1)，即(m+1)(m-4)=0，∴m=4或m=-1(舍去).∴m=4.10.(主观题)已知M(2m+3，m)，N(m-2,1).(1)当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？(2)当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？(3)当m为何值时，直线MN的倾斜角为直角？【解析】(1)斜率大于0，即1123(2)5m mkm m m--==>+--+，解之得m＞1或m＜-5.(2)斜率小于0，即110 23(2)5m mkm m m--==<+--+，解之得-5＜m＜1.(3)当直线垂直于x轴时直线倾斜角为直角，即2m+3=m-2，解之得m=-5.[B组能力提升]1.已知点P(1,1)，直线l过点P且不经过第四象限，则直线l的倾斜角α的最大值为()A.135°B.90°C.45°D.30°【答案】C【解析】如图所示，因为直线l不经过第四象限，故当直线l处于图示位置，即过坐标原点(0,0)时，它的倾斜角有最大值，易求得其值为45°.2.过点M (0,1)和N (-1，m ²)(m ∈R)的直线l 的倾斜角α的取值范围是( )A.0°≤α＜180°B.45°≤α＜180°C.0°≤α≤45°或90°＜α＜180°D.0°≤α≤45°或90°≤α＜180°【答案】C【解析】如图所示，当点N 从点A 移动到点B (-1，1)时，倾斜角由45°减小到0°；当从点B 上移时，倾斜角为钝角并逐渐减小，且向90°接近.由倾斜角的定义，得直线l 的倾斜角α为0°≤α≤45°或90°＜α＜180°.3.已知A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)三点共线，则11a b+=( ) A.1 B.12D.2【答案】B【解析】由题知22,22AB AC b k k a -==- 又A ，B ，C 三点共线，∴AB AC k k =，∴4=(2-a )(2-b )，∴2a +2b =ab ，∴1112a b +=.4.已知点P (3,2)，点Q 在x 轴上，若直线PQ 的倾斜角为150°，则点Q 的坐标为( )A.B.3,0)C.3,0)D.【答案】B【解析】设点Q 的坐标为(x,0)，则20tan1503k x -==︒=-，解得3x =.5.(主观题)已知坐标平面内三点A (-1,1)，B (1,1)，1)C .(1)求直线AB 、BC 、AC 的斜率和倾斜角；(2)若D 为△ABC 的边AB 上一动点，求直线CD 的斜率k 的变化范围.【解析】(1)由斜率公式得 1101(1)AB k -==--.3113BC k +-==. 3113AC k +-==. 倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.又∵tan 0°=0，3tan 603,tan 30︒=︒=， ∴AB 的倾斜角为0°，BC 的倾斜角为60°，AC 的倾斜角为30°.(2)如图，当斜率k 变化时，直线CD 绕C 点旋转，当直线CD 由CA 逆时针方向旋转到CB 时，直线CD 与AB 恒有交点，即D 在线段AB 上，此时k 由CA k 增大到CB k ，所以k 的取值范围为3[,3]3.6.(主观题)已知实数x，y满足y=-2x+8，且2≤x≤3，求yx的最大值和最小值.【解析】如图，由点(x，y)满足关系式2x+y=8，且2≤x≤3，知点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为A(2,4)，B(3,2)，故22,3 OA OBk k==.因为yx的几何意义是直线OP的斜率，且OB OP OAk k k≤≤，所以yx的最大值为2，最小值为23.。
【红对勾】高中数学(人教A版)必修二练习：3-1-1倾斜角与斜率(含答案解析)
1．已知直线l 的倾斜角α＝30°，则其斜率k 的值为( )A ．0 B.33C.3 D ．1 解析：k ＝tan30°＝33. 答案：B2．若直线l 经过点M(2,3)，N(2，－1)，则直线l 的倾斜角为( )A ．0°B ．30°C ．60°D ．90°解析：M ，N 的横坐标相同，所以l 的倾斜角为90°.答案：D3．已知直线l 的斜率k 满足－1≤k<1，则它的倾斜角α的取值范围是( )A ．－45°<α<45°B ．－45≤α<45°C ．0°<α<45°或135°<α<180°D ．0°≤α<45°或135°≤α<180°答案：D4．已知点P(3,2)，点Q 在x 轴上，若直线PQ 的倾斜角为150°，则点Q 的坐标为________． 解析：设Q(x,0)，则由tan150°＝－2x －3＝－33可求之． 答案：(3＋23，0)5．如图，已知△ABC 三个顶点坐标A(－2，1)，B(1,1)，C(－2，4)，求三边所在直线的斜率，并根据斜率求这三条直线的倾斜角．解：由斜率公式知直线AB 的斜率k AB ＝1－11－－＝0.直线BC 的斜率k BC ＝4－1－2－1＝－1.由于点A，C的横坐标均为－2，所以直线AC的倾斜角为90°，其斜率不存在．又∵α∈[0°，180°)时，tan0°＝0，∴AB的倾斜角为0°，∴tan135°＝－tan45°＝－1，∴BC的倾斜角为135°.∴直线AB的斜率为0，倾斜角为0°；直线BC的斜率为－1，倾斜角为135°，直线AC 的斜率不存在，倾斜角为90°.课堂小结。
3.1.1 倾斜角与斜率
思考1：求证A（1，1），B（ 2， 7）， C（0， 3）三点共线；（提示： P37练习5）
证1： kAB kAC 2; 证2： AB 3AC；
证3： AB AC CB;
证4： 设C' (0, y0 ),C'分 AB所成的比
为，求出y0 3。
(1)直线和x轴的交点； (2)直线按逆时针方向旋转；
旋转到和直线重合时所转的最小正角记为 ， (3)最小正角．
那么 就叫做直线的倾斜角。
x 特别地，当与 轴平行或重合时，规定倾斜角为0°。
由此定义，角的范围如何？
因此,倾斜角的取值范围是 0o≤α＜180o
Y
.p
Y
00 900
思考2：已知两点M（2， 3）、 N（ 3， 2），直线L过点 P（1，1）且与线段MN相交， 求直线L的斜率k的取值范围？
直线L的倾斜角的取值范围？
思考3：已知2x y 8,
当2 x 3时，求 y 的 x
最大值与最小值。
课外作业：
直线的倾斜角和斜率同步练习
顾名思义，“斜率”就是“倾斜的程度”。过去我们 在学习解直角三角形时，教科书上就说过：斜坡坡面的铅 直高度h与水平宽度l的比值i叫做坡度；如果把坡面与水平
• 现实世界中，到处有美妙的曲线．从飞 逝的流星到雨后的彩虹，从古代石拱桥 到现代立交桥……这些曲线都和方程息 息相关．
• 行星围绕太阳运行，人们要认识行星的 运行规律，首先就要建立起行星运行的 轨道方程．
• 在建造桥梁时，我们首先要确定桥拱的 方程，然后才能进一步地设计和施工．
引言:
通过坐标系把点和坐标、曲线和方程联系起来， 使形和数结合，是研究几何图形的一种重要的方法， 这一方法是用代数方法研究几何问题的基础，它的 产生对于促进教学的发展起到了巨大的作用。
高中数学 直线的倾斜角与斜率(常见例题 考题 练习)附答案
直线的倾斜角与斜率、直线方程知识点1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角。
当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°。
(2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0，π)。
2．直线的斜率(1)定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k ＝tan θ。
(2)计算公式：若由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)确定的直线不垂直于x 轴，则k ＝y 2－y 1x 2－x 1。
3．直线方程的五种形式基础专练一 、走进教材1．直线l ：x sin30°＋y cos150°＋1＝0的斜率是( )A.33B.3 C ．－ 3 D ．－332． 已知点A (1,2)，B (3,1)，则线段AB 的垂直平分线方程为( )A ．4x ＋2y －5＝0B ．4x －2y －5＝0C ．x ＋2y －5＝0D ．x －2y －5＝0走进教材答案1．A ； 2． B ；二、查漏补缺1．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )A ．1B ．4C ．1或3D ．1或42．直线x ＋3y ＋m ＝0(m ∈R )的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°3．已知直线l 过点P (－2,5)，且斜率为－34，则直线l 的方程为( ) A ．3x ＋4y －14＝0 B ．3x －4y ＋14＝0 C ．4x ＋3y －14＝0 D ．4x －3y ＋14＝04．若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为__________。
5．过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程是________。
查漏补缺答案5．4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0直击考点考点一 直线的倾斜角与斜率……母题发散【典例1】 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π6，π3B.⎣⎡⎦⎤π4，π3C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________。
高中数学第三章直线与方程3.1.1倾斜角与斜率练习含解析新人教A版必修208192187
对应学生用书P57知识点一直线的倾斜角高中数学第三章直线与方程3.1.1倾斜角与斜率练习含解析新人教A 版必修2081921871．给出下列命题：①任意一条直线有唯一的倾斜角；②一条直线的倾斜角可以为－30°；③倾斜角为0°的直线只有一条，即x 轴；④若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0，1)；⑤若α是直线l 的倾斜角，且sinα＝22，则α＝45°． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 任意一条直线有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y 轴，因此①正确，②③错误． ④中α＝0°时sinα＝0，故④错误．⑤中α有可能为135°，故⑤错误．2．已知直线l 过点(m ，1)，(m ＋1，1－tanα)，则( ) A ．α一定是直线l 的倾斜角 B ．α一定不是直线l 的倾斜角 C ．180°－α不一定是直线l 的倾斜角 D ．180°－α一定是直线l 的倾斜角 答案 C解析 设θ为直线l 的倾斜角，则tanθ＝1－tanα－1m ＋1－m ＝－tanα．当α＝0°时，tanθ＝0，此时θ＝0°；当α＝30°时，tanθ＝－33，此时θ＝150°．比较各选项可知选C ．知识点二直线的斜率3．下列叙述不正确的是( )A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B．若直线的倾斜角为α，则必有斜率与之对应C．与y轴垂直的直线的斜率为0D．与x轴垂直的直线的斜率不存在答案 B解析每一条直线都有倾斜角且倾斜角唯一，但并不是每一条直线都有斜率；垂直于y 轴的直线的倾斜角为0°，其斜率为0；垂直于x轴的直线的倾斜角为90°，其斜率不存在，故A，C，D正确．4．如图，在平面直角坐标系中有三条直线l1，l2，l3，其对应的斜率分别为k1，k2，k3，则下列选项中正确的是( )A．k3>k1>k2B．k1－k2＞0C．k1·k2＜0D．k3＞k2＞k1答案 D解析由图可知，k1＜0，k2＜0，k3＞0，且k2＞k1，故选D．知识点三斜率公式的应用①A(－2，0)，B(－5，3)；②A(3，2)，B(5，2)；③A(3，－1)，B(3，3)；(2)已知直线l过点A(2，1)，B(m，3)，求直线l的斜率及倾斜角的范围．解(1)①∵A(－2，0)，B(－5，3)，∴k AB＝3－0－5－－2＝3－3＝－1，直线AB的倾斜角为135°．②∵A(3，2)，B(5，2)，∴k AB ＝2－25－3＝0．直线AB 的倾斜角为0°．③∵A(3，－1)，B(3，3)；∴直线AB 的倾斜角为90°，斜率不存在． (2)设直线l 的斜率为k ，倾斜角为α， 当m ＝2时，A(2，1)，B(2，3)．直线AB 的倾斜角为90°，斜率k 不存在； 当m ＞2时，k ＝3－1m －2＝2m －2＞0，此时，直线l 的倾斜角为锐角，即α∈(0°，90°)； 当m ＜2时，k ＝3－1m －2＝2m －2＜0，此时，直线l 的倾斜角为钝角，即α∈(90°，180°)．知识点四三点共线问题6．若A(a ，0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则a ＋b ＝________．答案 －12解析 由题意得b ＋22＝2a ＋2，ab ＋2(a ＋b)＝0，1a ＋1b ＝－12．对应学生用书P58一、选择题1．已知直线l 的倾斜角为β－15°，则下列结论中正确的是( ) A ．0°≤β＜180° B．15°＜β＜180° C ．15°≤β＜180° D．15°≤β＜195° 答案 D解析 因为直线l 的倾斜角为β－15°，所以0°≤β－15°＜180°，即15°≤β＜2．在平面直角坐标系中，正三角形ABC 的BC 边所在直线的斜率是0，则AC ，AB 边所在直线的斜率之和为( )A ．－2 3B ．0C ． 3D ．2 3 答案 B解析 由BC 边所在直线的斜率是0，知直线BC 与x 轴平行，所以直线AC ，AB 的倾斜角互为补角，根据直线斜率的定义，知直线AC ，AB 的斜率之和为0．故选B ．3．若直线l 的斜率为k ，且二次函数y ＝x 2－2kx ＋1的图象与x 轴没有交点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A ．(0°，90°) B．(135°，180°)C ．[0°，45°)∪(135°，180°) D．[0°，180°) 答案 C解析 由抛物线y ＝x 2－2kx ＋1与x 轴没有交点，得(－2k)2－4＜0，解得－1<k<1，所以直线l 的倾斜角的取值范围是[0°，45°)∪(135°，180°)，故选C ．4．如果直线l 先沿x 轴负方向平移2个单位长度，再沿y 轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 答案 B解析 设A(a ，b)是直线l 上任意一点，则平移后得点A′(a－2，b ＋2)，于是直线l 的斜率k ＝k AA′＝b ＋2－b a －2－a＝－1．故选B ．5．已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l 过点P(1，1)，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 满足( )A ．k≥34或k≤－4B ．k≥34或k≤－14C ．－4≤k≤34D ．34≤k≤4答案 A解析 如图所示，过点P 作直线PC⊥x 轴交线段AB 于点C ，作出直线PA ，PB ．①直线l 与线段AB 的交点在线段AC(除去点C)上时，直线l 的倾斜角为钝角，斜率的范围是k≤k PA ．②直线l 与线段AB 的交点在线段BC(除去点C)上时，直线l 的倾斜角为锐角，斜率的范围是因为k PA ＝－3－12－1＝－4，k PB ＝－2－1－3－1＝34，所以直线l 的斜率k 满足k≥34或k≤－4．二、填空题6．已知M(2m ，m ＋1)，N(m －2，1)，则当m ＝________时，直线MN 的倾斜角为直角． 答案 －2解析 由题意得，直线MN 的倾斜角为直角，则2m ＝m －2，解得m ＝－2．7．已知点M(5，3)和点N(－3，2)，若直线PM 和PN 的斜率分别为2和－74，则点P 的坐标为________．答案 (1，－5)解析 设P 点坐标为(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧y －3x －5＝2，y －2x ＋3＝－74，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－5，即P 点坐标为(1，－5)．8．若经过点P(1－a ，1)和Q(2a ，3)的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13解析 ∵直线PQ 的斜率k ＝3－12a －1－a ＝23a －1，且直线的倾斜角为钝角，∴23a －1<0，解得a<13．三、解答题9．已知点A(1，2)，在坐标轴上有一点P ，使得直线PA 的倾斜角为60 °，求点P 的坐标．解 ①当点P 在x 轴上时，设点P(a ，0)． ∵A(1，2)，∴k PA ＝0－2a －1＝－2a －1．又直线PA 的倾斜角为60 °， ∴－2a －1＝3，解得a ＝1－233， ∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233，0．②当点P 在y 轴上时，设点P(0，b)． 同理可得b ＝2－3， ∴点P 的坐标为(0，2－3)．综上，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233，0或(0，2－3)．10．已知实数x ，y 满足关系式x ＋2y ＝6，当1≤x≤3且x≠2时，求y －1x －2的取值范围．解y －1x －2的几何意义是过M(x ，y)，N(2，1)两点的直线的斜率．因为点M 在y ＝3－12x 的图象上，且1≤x≤3，所以可设该线段为AB ，其中A1，52，B3，32．由于k NA ＝－32，k NB ＝12，所以y －1x －2的取值范围是－∞，－32∪12，＋∞．。
直线的倾斜角与斜率练习及答案
直线的倾斜角与斜率 第1题.设点(23)A -，，(32)B --，，直线过(11)P ，且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是（ ） Ａ．34k ≥或4k -≤ Ｂ．344k -≤≤ Ｃ．344k -≤≤Ｄ．以上都不对第2题. 直线l 经过原点和点(11)-，，则它的倾斜角是（ ）Ａ．34πＢ．54π Ｃ．4π或54π Ｄ．4π-第3题. 斜率为2的直线过（3，5），(a ，7)，(－1，b )三点，则a ，b 的值是（ ）Ａ．4a =，0b = Ｂ．4a =-，3b =- Ｃ．4a =，3b =- Ｄ．4a =-，3b =第4题. 直线l 过点()12A ，，且不过第四象限，那么直线l 的斜率的取值范围是（）Ａ．[]02，Ｂ．[]01，Ｃ．102⎡⎤⎢⎥⎣⎦，Ｄ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭，第5题. 若直线50x +=的倾斜角为α，则α等于（ ) Ａ．0˚Ｂ．45˚Ｃ．90˚Ｄ．不存在第6题. 直线150l x By -+=∶与20l x B y C -+=∶´关于y 轴对称的条件是（）Ａ．5CB B =´ Ｂ．B B =-´且5C =- Ｃ．11B B =´且5C =- Ｄ．5C =- 第7题. 满足下列条件的1l 与2l ，其中12l l ∥的是（ ） （1）1l 的斜率为2，2l 过点(12)A ，，(48)B ，；（2）1l 经过点(33)P ，，(53)Q -，，2l 平行于x 轴，但不经过P ，Q 两点； （3）1l 经过点(10)M -，，(52)N --，，2l 经过点(43)R -，，(05)S ，． Ａ．（1）（2）Ｂ．（2）（3）Ｃ．（1）（3）Ｄ．（1）（2）（3）第8题. 已知三点(23)-，，(43)，及(5)2k，在同一条直线上，则k 的值是 ． 第9题. 已知两点()()230Ax B -，，，并且直线AB 的斜率为12，则x =．第10题. 若直线1260l ax y ++=：与直线()()22110l x a y a +-+-=：，平行但不重合，则a =．第11题. 在y 轴上有一点m ，它与点(连成的直线的倾斜角为︒120，则点m 的坐标为 ．第12题. 已知：直线1l 斜率为2，直线2l 上有三点(35)M ，，(7)N x ，，(1)P y -，，若12l l ∥， 则x=，y =．第13题.1l 经过点(2)A a ，，(56)B -，，2l 经过点(1)C a ，，(21)D a --，，当直线1l 与2l 平行或垂直时，求a 的值．第14题. 已知四边形MNPQ 的顶点为(11)M ，，(31)N -，，(40)P ，，(22)Q ，，求证：四边形MNPQ 为矩形．第15题. 已知直线l 的方程为34120x y +-=，求直线l '的方程，使得：（1）l '与l 平行，且过点(13)-，；（2）l '与l 垂直，且l '与两轴围成三角形面积为4．第16题. 已知(38)A -，，(24)B ，若PA 的斜率是PB 斜率的两倍，求y 轴上的点P 的坐标．第17题. 过两点22(23)M a a +-，，2(32)B a a a --，的直线l 的倾斜角为︒45，求a 的值．第22题.1l 经过点A (m ，1)，B (－3，4)，2l 经过点C (1，m )，D (－1，1m +)，当直线1l 与2l 平行时，求m 的值．第18题.（1）是否存在m 使直线221(23)()2l m m x m m y m +-+-=∶与直线21l x y -=∶平行，若存在，求m 的值；（2）是否存在m 使直线1(1)3l ax a y +-=∶与直线2(1)(23)2l a x a y -++=∶互相垂直，若存在，求a 的值答案 1.A8. 18 9. -1 10. 2 11. (0，-2) 12. 4，-3 13. 平行a=-17,垂直a=31114. 略 15.（1）3x+4y+9=0 (2) 4x-3y+64=0或4x-3y-64=0 16. (0,5)=-1,a=-2 18. (1)不存在（2）a=1,。
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3．1.1 倾斜角与斜率
一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)
1．下列说法中正确的是( )
A．一条直线和x轴的正方向所成的正角，叫作这条直线的倾斜角
B．直线的倾斜角α的取值范围是[0°，180°]
C．和x轴平行的直线的倾斜角为180°
D．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率
2．若直线过坐标平面内两点(1，2)，(4，2＋3)，则此直线的倾斜角是( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
3．已知直线l的斜率的绝对值等于3，则直线l的倾斜角为( )．
A．60° B．30°
C．60°或120° D．30°或150°
4．下列说法中，正确的个数是( )
①任何一条直线都有唯一的斜率；
②直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；
③任何一条直线都有唯一的倾斜角．
A．0 B．1 C．2 D．3
5．已知直线PQ的斜率为－3，则将直线绕点P沿顺时针方向旋转60°所得的直线的斜率是( )
A. 3 B．0 C．－ 3 D.
3 3
6．如图L311所示，若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
图L311
A．k1<k2<k3 B．k3<k1<k2
C．k3<k2<k1 D．k1<k3<k2
7．若直线l向上方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为( )
A．30° B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
8．若斜率为2的直线经过坐标平面内(3，5)，(a，7)，(－1，b)三点，则a＋b＝________ .
9．如果直线l过点(1，2)，且不过第四象限，那么直线l的斜率的取值范围是________．10．已知直线l1的倾斜角为α，若直线l2与l1关于x轴对称，则直线l2的倾斜角为________．
11．已知经过坐标平面内两点A(1，2)，B(－2，2m－1)的直线的倾斜角α∈(45°，60°)，则实数m的取值范围为________．
三、解答题(本大题共2小题，共25分)
12．(12分)若坐标平面内三点A(2，3)，B(3，2)，C(1
2
，m)共线，求实数m的值．
13．(13分)已知坐标平面内两点M(m＋3，2m＋5)，N(m－2，1)．
(1)当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？
(2)当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？
(3)直线MN的倾斜角可能为直角吗？
14．(5分)已知两点P(a，b)，Q(b－1，a＋1)，若直线PQ与直线l的夹角为45°，则l的倾斜角为( )
A．135°B．0°或90°
C．165°或75°D．90°
15．(15分)已知坐标平面内三点P(3，－1)，M(6，2)，N(－3，3)，直线l过点P.若直线l与线段MN相交，求直线l的倾斜角的取值范围．
3．1.1 倾斜角与斜率
1．D [解析] 倾斜角是直线向上方向与x 轴的正方向所成的角，故选项A 不正确；直线的倾斜角的取值范围是[0°，180°)，故选项B 不正确；当直线与x 轴平行时，倾斜角为0°，故选项C 不正确．
2．A [解析] 由题意得k ＝2＋3－24－1＝3
3，∴直线的倾斜角为30°.
3．C [解析] 由题意得|tan α|＝3，即tan α＝3或tan α＝－3，∴直线l 的
倾斜角为60°或120°.
4．B [解析] 由倾斜角和斜率的定义知③正确． 5．A [解析] 由直线PQ 的斜率为－3得直线的倾斜角为120°，故绕点P 沿顺时针方向旋转60°所得的直线的倾斜角为60°，斜率为 3.
6．B [解析] 由图易知：k 3<0<k 1<
7．D [解析] 如图所示，直线l 的倾斜角为60°或120°.
8．1 [解析] 根据题意，得⎩
⎪⎨⎪⎧7－5
a －3＝2，
b －5－1－3
＝2， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝4，
b ＝－3， 故a ＋b ＝1.
9．[0，2] [解析] 由草图可知，当直线从l 1沿逆时针方向旋转到l 2时，直线不经过第四象限．
∵kl 1＝0，kl 2＝2，∴0≤k ≤2.
10．180°－α [解析] 如图所示，可得直线2与1的倾斜角互补，故直线l 2的倾斜
角为180°－α.
11.3－3 32，0 [解析] ∵倾斜角α∈(45°，60°)，∴斜率k ∈(1，3)．又∵k ＝
2m －1－2－2－1＝3－2m 3，∴1<3－2m 3<3，解得3－3 3
2
<m <0.
12．解：由题可知，k AB ＝2－33－2＝－1，k AC ＝m －3
1
2－2，
∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，∴m －312
－2＝－1，∴m ＝9
2.
13．解：(1)若倾斜角为锐角，则斜率大于0，即k ＝2m ＋5m ＋3－（m －2）＝2m ＋4
5
>0，
解得m >－2.
(2)若倾斜角为钝角，则斜率小于0，即k ＝
2m ＋5－1m ＋3－（m －2）＝2m ＋4
5
<0，
解得m <－2.
(3)当直线MN 垂直于x 轴时直线的倾斜角为直角，
此时m ＋3＝m －2，此方程无解，故直线MN 的倾斜角不可能为直角．
14．B [解析] ∵k PQ ＝a ＋1－b
b －1－a
＝－1，∴直线PQ 的倾斜角为135°，
故直线l 的倾斜角为90°或0°.
15．解：考虑临界状态．令直线PM 的倾斜角为α1，直线PN 的倾斜角为α2，由题易知
tan α1＝1，tan α2＝－33，故直线PM 的倾斜角为π4，直线PN 的倾斜角为5π
6
，根据倾斜
角的定义知符合条件的直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4
，5π6.。