第36课时 平面向量的数量积 一轮复习学案
高考数学一轮复习 5.3 平面向量的数量积及应用精品教学案(教师版)新人教版
2013年高考数学一轮复习精品教学案5.3 平面向量的数量积及应用（新课标人教版，教师版）【考纲解读】 1．平面向量的数量积（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义． （2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系．（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 2．向量的应用（1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．（3）会用向量方法解决某些简单的力学问题及其他一些实际问题．【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.平面向量是历年来高考重点内容之一,经常与三角函数、立体几何、解析几何、不等式等知识结合起来考查，在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，平面向量的数量积的考查，经常以选择题与填空题的形式单独考查,有时也在解答题中与其他知识结合起来考查，在考查平面向量知识的同时，又考查转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查平面向量与其他知识的结合，或在选择题、填空题中继续搞创新,命题形式会更加灵活. 【要点梳理】1.向量数量积的定义:||||cos ,a b a b a b ⋅=⋅.2.数量积的几何意义:向量a 与向量b 在a 方向上的投影的乘积.3.向量数量积的性质(1)如果e 是单位向量,则a ·e =e ·a =||cos ,a a b ⋅. (2) a b ⊥⇒a ·b =0,且a ·b =0⇒ a b ⊥. (3) a ·a =2||a ;|a a a ⋅. (4)cos<a ,b >=||||a ba b ⋅⋅.(5)| a ·b |≤|a |·|b |.4.数量积的运算律 (1)交换律a ·b =b a ⋅.(2)分配律(a +b )·c =a c b c ⋅+⋅.(3)对λ∈R ,λ( a ·b )=(λ a )·b =a ·(λb ). 5.数量积的坐标运算 设a =()12,a a ,b =()12,b b . (1) a ·b =1122a b a b +. (2) a ⊥b ⇔1122a b a b +. (3)| a(4) cos<a ,b【例题精析】考点一 向量的数量积运算例1.(2012年高考湖南卷理科7)在△ABC 中，AB=2，AC=3，AB BC = 1则___BC =【变式训练】1.(2011年高考江苏卷10)已知→→21,e e 是夹角为π32的两个单位向量，,,22121→→→→→→+=-=e e k b e e a 若0=⋅→→b a ，则k 的值为 .考点二 向量数量积的综合应用例2. （2012年高考江苏卷9）如图，在矩形ABCD 中，2AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF =，则AE BF 的值是 ▲ ．【变式训练】2. (2012年高考湖南卷文科15)如图4，在平行四边形ABCD 中 ，AP ⊥BD ，垂足为P ，3AP =且AP AC = .【易错专区】问题：平面向量的数量积例.(2012年高考湖北卷文科13)已知向量a =（1,0），b =（1,1），则 （Ⅰ）与2a b +同向的单位向量的坐标表示为____________； （Ⅱ）向量3b a -与向量a 夹角的余弦值为____________。
高考数学一轮复习讲义平面向量数量积
变式训练 1
(1)若向量 a 的方向是正南方向，向量 b 的方向是正东方向，且|a|
＝|b|＝1，则(－3a)·(a＋b)＝______.
(1)如图所示，由已知，作O→A＝a， O→B＝b，O→A、O→B的方向分别是正南、正东方 向，且|a|＝|b|＝1，则O→C＝－3a 的方向是正北 方向，|O→C|＝|－3a|＝3|a|＝3，O→D＝O→A＋O→B＝ a＋b 的方向是东南方向，|a＋b|＝ 2(四边形 OADB 是正方形)， 且O→C与O→D的夹角是∠COD＝135°，所以(－3a)·(a＋b)＝3× 2 ×cos 135°＝3 2×－ 22＝－3.
探究提高
方法一的难点是如何利用条件建立|c|的表达式，突破这一难点的 方法就是结合条件利用向量的数量积将|c|用|a＋b|cos θ＝ 2cos θ 来表示即可．方法二的难点是如何建立 c 坐标的关系式，要突 破这一难点就要先设向量 a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，再由 条件建立 c 的坐标的关系式x－122＋y－122＝12即可．方法三的 难点是对向量几何意义的挖掘，突破这一难点，要由条件得出向 量 c 是向量 a，b，a－c，b－c 构成的圆内接四边形的对角线．
答案 (1)－3 (2) 3
向量的夹角与向量的模
例 2 已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61， (1)求 a 与 b 的夹角 θ； (2)求|a＋b|； (3)若A→B＝a，B→C＝b，求△ABC 的面积．
运用数量积的定义和|a|＝ a·a. 解 (1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61， ∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61. 又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6. ∴cos θ＝|aa|·|bb|＝4－×63＝－12.
2022届高三数 学一轮复习-平面向量的数量积 教案
平面向量的数量积一、教学目标掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、的问题；掌握向量垂直的条件。
二、教学的重点和难点教学重点：平面向量的数量积定义。
教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用。
三、教学过程复习导入：向量的概念及线性运算。
新课讲授：1.平面向量的数量积定义:已知两个非零向量a 与b ,它们的夹角为θ,则数量 |a||b|cos θ 叫作a 与b 的数量积(或内积),记作a ·b ,即a ·b=|a||b|cos θ.规定零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0.投影：|a |cos θ叫作向量a 在向量b 方向上的投影,|b |cos θ叫作向量b 在向量a 方向上的投影几何意义:数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 方向上的投影|b|cos θ(θ为向量a 与b 的夹角)的乘积.2..向量的夹角定义：已知两个非零向量 a 和 b ，作 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，则 ∠AOB =θ(0∘≤θ≤180∘) 叫作a 与b 的夹角，记作 ⟨a,b⟩ .【注意】向量a ,b 的夹角为锐角⇔a ·b>0且a ,b 不共线;向量a ,b 的夹角为钝角⇔a ·b<0且a ,b 不共线.3. 平面向量数量积的性质设a ，b 都是非零向量，θ为a 与b 的夹角，则.(1)a ⊥b ⇔ a•b ＝0.(2)当a 与b 同向时，a •b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a •b ＝－|a||b|.特别地，a •a ＝|a|2 或|a|＝a•a .4.向量数量积的运算律(1)a ·b=b ·a; （交换律）.(2)(λa)·b=λ(a ·b)=a ·(λb); （数乘结合律）.(3)(a+b)·c=a ·c+b ·c. （分配律）注意：向量的数量积运算不满足乘法结合律考点一 平面向量数量积的运算例1: [2019年天津卷] 在四边形 ABCD 中， AD//BC ， AB =2√3 ， AD =5 ， ∠A =30∘ ，点E 在线段CB 的延长线上，且 AE =BE ，则 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______.[解析] 如图， AD//BC ，且 ∠DAB =30∘ ，∴∠ABE =30∘ .又 AE =BE,∴∠EAB =30∘ ， ∴∠E =120∘ ，∴ 在 △AEB 中， AE =BE =2 ，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE⃗⃗⃗⃗⃗ ) =−BA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE⃗⃗⃗⃗⃗ =−12+2√3×2×cos30∘+5×2√3×cos30∘+5×2×cos180∘ =-12+6+15-10=-1.变式1：(2019·上饶模拟)设D ，E 为正三角形ABC 中BC 边上的两个三等分点，且BC ＝2，则AD →·AE →等于( )A.49B.89C.269D.263[解析] 如图，|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,⟨AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=60∘ ∵D,E 是边BC 的两个三等分点，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB⃗⃗⃗⃗⃗ ) =(23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =29|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+59AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +29|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 =29×4+59×2×2×12+29×4=269 .考点二 平面向量数量积的性质及其应用考向1 平面向量的模例2 如图，在 △ABC 中， O 为 BC 的中点，若 AB =1 ， AC =3 ， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为 60∘ ，则 |OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |= ___________.[解析] AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅ cos60∘=1×3×12=32 ， 又 AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ ) ， 所以 AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2) ， 即 AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=14×(1+3+9)=134 ，所以 |OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√132 .变式2： [2020年全国Ⅰ卷] 设a ，b 为单位向量，且 |a +b|=1 ，则 |a −b|= _________.四、小结：1平面向量数量积的运算2平面向量数量积的性质及其应用（求模长）五、作业 大本P122-123。
高三数学一轮复习梳理学案《6.3.平面向量的数量积》
一轮复习学案姓名☆复习目标：1．理解向量数量积的概念及几何意义;2．掌握数量积的运算式及其变式与运算律.☻基础热身：1. 设,,, 则( )A. B. C. D.2. 关于平面向量．有下列三个命题：①若，则．②若，，则．③非零向量和满足，则与的夹角为．其中真命题的序号为．（写出所有真命题的序号）3. 已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值是( )（A）1 （B）2 （C）（D）☻知识梳理：１.向量的数量积的定义：已知两个非零向量，它们的夹角为，则把数量叫做的数量积（或内积），记作，即＝规定：零向量与任一向量的数量积为格；注意公式的变形＝．２.向量的数量积的几何意义10. 投影的概念: 设，20.向量数量积的几何意义：数量积等于与在方向上的投影的乘积３.向量的数量积的性质：设都是非零向量，为的夹角．①特殊情况: ．＝或②当同向时，＝；当反向时，＝．③④运算律: ; ;; 注意:.4.向量的数量积的坐标运算：设,10.= ; 20.．30.= ; 40.☆案例分析：例1. (1) 若向量，满足且与的夹角为，则．(2) 已知向量与的夹角为，且，那么的值为 .(3) 已知, 且, 那么 .例2.已知,(1)求与的夹角; (2)求; (3)若, 求.例3.平面内有向量=(1,7),=(5,1），=(2,1)，点X为直线OP上的一个动点.(1)当.取最小值时,求的坐标；(2)当点X满足(1)条件和结论时,求cos∠AXB的值.参考答案:基础热身：1. C 2. ② 3. C例1. (1) ; (2) 0.(3)例2.例3.剖析：因为点X在直线OP上，向量与共线，可以得到关于坐标的一个关系式，再根据·的最小值，求得的坐标，而cos∠AXB是与夹角的余弦，利用数量积的知识易解决.解：（1）设=（x，y），∵点X在直线OP上，∴向量与共线.又=(2,1），∴x－2y=0，即x=2y. ∴=（2y，y）.又=－，=（1，7），∴=（1－2y，7－y）. 同样=－=（5－2y，1－y）.于是·=（1－2y）（5－2y）+（7－y）（1－y）=5y2－20y+12=5（y－2）2－8. ∴当y=2时，·有最小值－8，此时=（4，2）.（2）当=（4，2），即y=2时，有=（－3，5），=（1，－1）.∴||=，||=.∴cos∠AXB==－。
高三数学一轮复习学案5.3平面向量的数量积
5.3平面向量的数量积考试要求1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.了解用平面向量的数量积处理有关长度、角度、垂直问题,掌握向量垂直的条件. 基础知识1.向量,的夹角：已知两个非零向量,，过O 点作___=OA ，__=OB 则∠AOB=θ叫做向量b a ,的____.θ的范围_____________. 当且仅当两个非零向量b a ,同方向时，θ=___，当且仅当b a ,反方向时θ=___，同时0 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。
2.与垂直；如果b a ,的夹角为____则称与垂直，记作_____.3.数量积：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，a ⋅b =__________________(0)θπ≤≤,规定⋅=0注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量. 4.在方向上的投影：R OP ∈==(θ（注意OP 是射影） 所以⋅的几何意义：⋅等于的长度与在方向上的投影的乘积.5.平面向量数量积的性质 设,是两个非零向量，是单位向量，于是有：①θcos e a a e =⋅=⋅ ②___________⇔⊥b a ③当与同向时，_________=⋅b a ；当与反向时，__________=⋅b a ， 特别地，__________==⋅。
④_______________cos =θ6.平面向量数量积的运算律 ①交换律成立：_________=⋅b a ②对实数的结合律成立：()()()R ∈⋅==⋅λλλ_______ ③分配律成立：()________________=⋅±c b a ()±⋅=特别注意：（1）结合律不成立：()()⋅⋅≠⋅⋅；（2）消去律不成立⋅=⋅不能得到⋅=c b （3）b a ⋅=0不能得到a =0或b =0④乘法公式：()()____________b a b a -==-⋅+； ()______________________2=±2b a +⋅±=； 7.平面向量数量积的坐标表示① 若=(x 1,y 1),=(x 2,y 2)则⋅=_________________② 若=(x ,y ),则||2=.__________=③ 若A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),__________________________= ④ 若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)则___________________⇔⊥b ab a //_________________________________⑤ 若=(x 1,y 1),=(x 2,y 2)则______________________cos =θ基础练习1．下列各命题：（1）00=⋅； （2）0=⋅；（3）若⋅=⋅≠,0，则c b =；（4）若c a b a ⋅=⋅，则c b ≠当且仅当0=a 时成立；（5）)()(⋅⋅=⋅⋅对任意,,向量都成立；（6）对任意向量，有2a =.其中正确的有______________________.2．已知2,5,(1)||a b a b ==若;则________=⋅b a (2) a b ⊥;则________=⋅b a(3) a b 与的夹角为030,则________=⋅ 3．已知0000(cos23,cos67),(cos68,cos22)a b ==则________=⋅4．若1,2,a b c a b ===+,且c a ⊥,则向量a 与向量b 的夹角为 ( )A. 030B. 060C. 0120D. 0150 典型例题：例1．已知向量,a b 满足6,4a b ==,且a b 与的夹角为060,求3a b a b +-和例2．已知向量(sin ,1),(1,cos ),22a b ππθθθ==-<<.（1）若,a b θ⊥求 ; (2)求a b +的最大值例3．已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ==,且,a b 满足3ka b a kb +=-,k R +∈(1)求证()()a b a b +⊥- ; (2)将a 与b 的数量积表示为关于k 的函数()f k ;(3)求函数()f k 的最小值及取得最小值时向量a 与向量b 的夹角θ随堂练习：1.已知(1,2),(4,2)a b =-=,)a a b -与(夹角为θ,则cos θ= .2.已知2,3,7a b a b ==-=,向量a 与向量b 的夹角夹角为θ，则θ3.已知向量(2,2),(5,)a b k =-=,若a b +不超过5,则k 的取值范围 ( )A. [4,6]-B. [6,4]-C. [6,2]-D. [2,6]-4.已知a b 与的夹角为0120,3a =,13a b += ,则b 等于( )A. 5B. 4C. 3D. 1。
2018年一轮复习《平面向量的数量积及应用》教学教案
平面向量的数量积及应用知识梳理：平面向量的夹角及表示:(1).平面向量的夹角的定义(2).范围: 表示方法:当夹角为0或错误！未找到引用源。
时,则称a与b ,记作: ;当夹角为9错误！未找到引用源。
时,则称a与b ,记作: ;2.向量的数量积定义:3.数量积几何意义与投影的概念:4.数量积的性质:设a与b是非零向量,e是单位向量,错误！未找到引用源。
是a与e的夹角,则①错误！未找到引用源。
= ；②a错误！未找到引用源。
b时，a错误！未找到引用源。
b错误！未找到引用源。
③错误！未找到引用源。
同向量，错误！未找到引用源。
④错误！未找到引用源。
反向量，错误！未找到引用源。
⑤错误！未找到引用源。
|错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
特别地：错误！未找到引用源。
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+错误！未找到引用源。
+2a错误！未找到引用源。
b 错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
-2a 错误！未找到引用源。
b (a+b)错误！未找到引用源。
(a-b)=错误！未找到引用源。
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⑥数量积的运算律: 交换律：；结合律：；分配律：⑦数量积的坐标运算：；⑧两向量垂直叛定：；⑨两向量夹角公式： ；⑩向量的模及两点间的距离： ；二、题型探究探究一：平面向量的数量积运算例1：已知|a |=5，|b |=4，a 与b 的夹角为12错误！未找到引用源。
，求：○1错误！未找到引用源。
○2错误！未找到引用源。
○3错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
；○4（2a-b ）错误！未找到引用源。
（a+3b ）（答案：-10；21；9；-48）探究二、数量积的综合应用例2：已知向量a 和b 的夹角是120°，且2||=a ，5||=b ，则a b a ⋅-)2(=例3：已知平面上三个向量a 、b 、c 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°，（1）求证：)(b a -⊥c ；（2）若1||>++c b a k )(R k ∈，求k 的取值范围.解：（1）∵ 1||||||===c b a ，且a 、b 、c 之间的夹角均为120°，∴ 0120c o s ||||120cos ||||)(00=-=⋅-⋅=⋅-c b c a c b c a c b a∴ 0)(=⋅-c b a（2）∵ 1||>++c b a k ，即1||2>++c b a k也就是12222222>⋅+⋅+⋅+++c b c a k b a k c b a k ∵ 21-=⋅=⋅=⋅c a c b b a ，∴022>-k k 所以 0<k 或2>k ．例4：已知：a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a =（1，2）（1）若|c |52=，且//，求的坐标；（2）若|b |=,25且b a 2+与-2垂直，求a 与b 的夹角θ. 解：（1）设),(y x =，由//和52|=c 可得：⎩⎨⎧2002122=+=⋅-⋅y x x y ∴ ⎩⎨⎧42==y x 或 ⎩⎨⎧42-=-=y x ∴)4,2(=，或)4,2(--=（2） ),2()2(-⊥+ 0)2()2(=-⋅+∴b a b a 即222320,a a b b +⋅-= 222||32||0a a b b ∴+⋅-=∴ 0452352=⨯-⋅+⨯b a ， 所以25-=⋅b a ∴ ,1||||c o s -=⋅=b a b a θ ∵ ],0[πθ∈ ∴ πθ=.三、方法提升运用向是的数量积可以解决有关长度、角度等问题，也可以解决有关向量位置关系问题。
(完整版)《平面向量的数量积》教学设计及反思
《平面向量的数量积》教学设计及反思交口第一中学赵云鹏平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，它是沟通代数、几何与三角函数的一种重要工具，在每年高考中也是重点考查的内容。
向量作为一种运算工具，其知识体系是从实际的物理问题中抽象出来的，它在解决几何问题中的三点共线、垂直、求夹角和线段长度、确定定比分点坐标以及平移等问题中显示出了它的易理解和易操作的特点。
一、总体设想：本节课的设计有两条暗线：一是围绕物理中物体做功，引入数量积的概念和几何意义；二是围绕数量积的概念通过变形和限定衍生出新知识――垂直的判断、求夹角和线段长度的公式。
教学方案可从三方面加以设计：一是数量积的概念；二是几何意义和运算律；三是两个向量的模与夹角的计算。
二、教学目标：1.了解向量的数量积的抽象根源。
2.了解平面的数量积的概念、向量的夹角3.数量积与向量投影的关系及数量积的几何意义4.理解掌握向量的数量积的性质和运算律，并能进行相关的判断和计算三、重、难点：【重点】1.平面向量数量积的概念和性质2.平面向量数量积的运算律的探究和应用【难点】平面向量数量积的应用四、课时安排：2课时五、教学方案及其设计意图：1．平面向量数量积的物理背景平面向量的数量积，其源自对受力物体在其运动方向上做功等物理问题的抽象。
首先说明放置在水平面上的物体受力F的作用在水平方向上的位移是s，此问题中出现了两个矢量，即数学中所谓的向量，这时物体力F 的所做的功为Wθ⋅F，这里的θ是矢量F和s的夹角，也即是两个=scos⋅向量夹角的定义基础，在定义两个向量的夹角时，要使学生明确“把向量的起点放在同一点上”这一重要条件，并理解向量夹角的范围。
这给我们一个启示：功是否是两个向量某种运算的结果呢？以此为基础引出了两非零向量a, b的数量积的概念。
2．平面向量数量积（内积）的定义已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ的数量积，记作a⋅b，即有a⋅b = |a||b|cosθ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.零向量的方向是任意的，它与任意向量的夹角是不确定的，按数量积的定义a⋅b = |a||b|cosθ无法得到，因此另外进行了规定。
金新学案高三数学一轮复习平面向量的数量积文全国重庆专PPT学习教案
又∵|a|＝1，∴|b|＝
|a|2－12＝
2 2.
1
设 a 与 b 的夹角为 θ，则 cos θ＝|aa|·|bb|＝
2
＝ 2
22，
1·2
∴θ＝45°.
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(2)∵(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×12＋12＝12，
∴|a－b|＝
2 2.
(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×12＋12＝52，
• 规定：零向量与任何向量的数量积为 .
• (2)数量积的几何意义
|a|cos θ
• 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的
•
的乘积．
0
投影|b|cos θ
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(1)平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、也可 以为零．
(2)向量 a 在 b 方向上的投影是一个实数， 当 0≤θ＜2π时，非零向量 a 在 b 方向上的投影是一个 正数； 当π2＜θ≤π 时，非零向量 a 在 b 方向上的投影是一个 负数； 当 θ＝2π时，非零向量 a 在 b 方向上的投影为零．
• 【答案】 A
•( )
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3．已知 a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则 a 在 b 上的投影 为
A. 13
13 B. 5
()
65 C. 5
D. 65
第11页/共42页
【解析】
|a|cos
θ
＝
|a|
a·b |a||b|
＝
2×(－4)＋3×7 (－4)2＋72
＝
13 ＝ 65
65 5.
金新学案高三数学一轮复习平面向量的数量积文全国重 庆专
1．向量的夹角 (1)已知两个 非零 向量 a 和 b，作O→A＝a， O→B＝b，则∠AOB＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角． (2)向量夹角 θ 的范围是 [0，π] ，a 与 b 同向时，夹 角 θ＝ 0 ；a 与 b 反向时，夹角 θ＝π . (3)如果向量 a 与 b 的夹角是 90°，我们说 a 与 b 垂直， 记作 a⊥b .
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第36课时平面向量的数量积
一，回归课本
1. 两个向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则a·b= ,
其中|b|·cosθ称为规定：零向量与任一向量的数量积为0.
2. 两个向量的数量积的性质
设a与b是非零向量，θ是a与b的夹角.
(1) 若a与b同向，则a·b= ,若a与b反向，则a·b= , 特别地，a·a=
(2) a·b=0 ⇔ ,
(3) cosθ=
3．数量积的运算律
(1) 交换律 (2) 数乘结合律 (3) 分配律
4．已知|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为0
120，则a∙b= |a+b|= ．
5.已知|a|=1，|b|=3， a+b=(3 ,1),试求：
a-；
（1）b
（2）a+b与a-b的夹角；
6.设△ABC中，b
,，且a.b=b.c=c.a, 判断△ABC的形状。
=,
c=
a
=
二．高考再现：
1.（安徽理13）已知向量,a b 满足()()a b a b +2⋅-=-6，且1a =，2b =，则a 与b 的夹角为 .
2.（2012年高考（江苏））如图,在矩形ABCD
中,2AB BC ==，点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若
AB AF 则AE BF 的值是____.
3．（2012年高考（新课标理））已知向量,a b 夹角为45︒ ,且1,2a a b =-= ;则_____b =
三、归纳考点及考纲要求：
四．例题分析：
例1.（2010江苏卷15）在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。
(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t 满足(t -)·=0，求t 的值。
例2：(2010年无锡市高质量调研)如图，在△OAB 中，已知P 为线段AB 上的一点，.OP x OA y OB =⋅+⋅
（1)若BP PA = ，求x ，y 的值；
（2)若3BP PA = ，||4OA = ，||2OB = ，且OA 与OB
的夹角为60°时，求OP AB ⋅
的值。
例3.（2012江苏高考）在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC ⋅=⋅
（1） 求证：tan 3tan B A =
（2） 若cos C =，求A 的值
例4：设a=（x,3）,b=(2,-1),若a 与b 的夹角为钝角，求x 的取值范围.
五、随堂练习：
1．判断正误，并简要说明理由。
(1) a ·0＝0
(2) 0·a ＝0；
(3) 若a 与b 是两个单位向量则a ２＝b ２.；
(4) |a ·b |＝|a |·|b |；
(5) 若a ≠0，则对任一非零ba ·b ≠0；
(6) 若a ·b ＝0，则a 与b 中至少一个为0；
(7) 对任意向量a ，b ，с都(a ·b )с＝a (b ·с)
2.（上海理11）在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，3,1AB BD ==，则AB AD ⋅= 。
3.（湖南理14）在边长为1的正三角形ABC 中, 设2,3,BC BD CA CE ==
则AD BE ⋅= __________________． 4.（江西理11）已知2a b == ,(2)a b + ·a b - （）=-2，则a 与b 的夹角为
5．设向量a ，b 满足|a|=|b|=1，|3a-2b|=3，则|3a+b|=
6.设a ，b 是两个非零向量，如果（a +3b ）⊥(7a-5b),且（a -4b ）⊥(7a-2b)，求a 与b 的夹角。