高考数学专题讲座--第5讲：数学思想方法之分类思想探讨

【备战2014高考数学专题讲座】 第5讲：数学思想方法之分类思想探讨数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。

通常混称为“数学思想方法”。

常见的数学思想有：建模思想、归纳思想，分类思想、化归思想、整体思想、数形结合思想等。

数学中的所谓分类，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想。

它既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法。

有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。

掌握好这类问题对提高综合学习能力会有很大帮助，它既有利于培养学生的创新精神与探索精神，又有利于培养学生严谨、求实的科学态度。

分类思想解题的过程（思维、动因和方法）我们把它归纳为WHDS 四个方面：W （WHI ）即为什么要进行分类。

一般地说，高考数学中，当我们研究的问题是下列五种情形时可以考虑使用分类的思想方法来解决问题：（1）涉及到分类定义的概念，有些概念是分类定义的，如绝对值的概念等，当我们应用这些概念时就必须考虑使用分类讨论的方法。

（2）直接运用了分类研究的定理、性质、公式、法则，如等比数列的求和公式就分为1q =和1q ≠两种情况；对数函数的单调性就分为11a a ＞，＜两种情况；直线方程分为斜率存在与不存在等，当我们应用这些受到适用范围条件限制的定理、性质、公式、法则来解决问题时，如果在解决问题中需要突破对定理、性质、公式、法则的条件限制可以考虑使用分类讨论的方法。

（3）问题中含有的参变量的不同取值（如分段函数）会导致不同结果而需要对其进行分类讨论。

（4）几何问题中几何图形的不确定（如两点在同一平面的同侧、异侧）而需要对其进行分类讨论；（5）由数学运算引起的分类讨论，如排列组合的计数问题，概率问题又要按题目的特殊要求，分成若干情况研究。

H （HOW ）即如何进行分类。

首先，明确分类讨论思想的三个原则：（1）不遗漏原则；（2）不重复原则；（3）同标准原则。

其次，查找引起分类讨论的主要原因，即上述五个主要原因的哪一种。

第三，掌握分类讨论思想的常用方法。

分类方法一般为分区间讨论法，即把参数的变化范围（或几何图形中动态的变化范围）划分成若干个以参数特征为分界点（或几何图形中的端点）的小区间分别进行讨论，根据题设条件或数学概念、定理、公式的限制条件确定参数(如零点，几何图形中的顶点)。

D （DO ）即正确进行逐类逐级分类讨论。

S （SUMMARY ）即归纳小结，总结出结论。

结合2012年全国各地高考的实例，我们从下面四方面探讨分类方法的应用：（1）涉及到分类定义概念和直接运用了分类研究的定理、性质、公式、法则的应用；（2）含有的参变量的不同取值的分类应用；（3）几何图形的不确定的分类应用；（4）由数学运算引起的分类应用。

一、涉及到分类定义概念和直接运用了分类研究的定理、性质、公式、法则的应用： 典型例题：例1. （2012年全国大纲卷文5分）已知集合A ={x ︱x 是平行四边形}，B ={x ︱x 是矩形}，C ={x ︱x 是正方形}，D {x ︱x 是菱形}，则【 】A.A B ⊆B.C B ⊆C.D C ⊆D.A D ⊆【答案】B 。

【考点】集合的概念，集合的包含关系。

【解析】平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系如图，由图知A 是大的集合，C 是最小的集合，因此，选项A 、C 、、D 错误，选项B 正确。

故选B 。

例2. （2012年上海市文4分）若集合{}210A x x =->，{}1B x x =<，则B A ＝ ▲【答案】1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭。

【考点】集合的概念和性质的运用，一元一次不等式和绝对值不等式的解法。

【解析】由题意，得12101121211x >x ><x <x <<x <⎧-⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎪⎩⎪-⎩，∴1,12A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 。

例3. （2012年四川省理5分）函数29,3()3ln(2),3x x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪-≥⎩在3x =处的极限是【 】A 、不存在B 、等于6C 、等于3D 、等于0 【答案】A 。

【考点】分段函数，极限。

【解析】分段函数在3x =处不是无限靠近同一个值，故不存在极限。

故选A 。

例4. （2012年广东省理14分）设a ＜1，集合{}{}20,23(1)60A x R x B x R x a x a =∈>=∈-++>，D A B =（1）求集合D （用区间表示）（2）求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点。

【答案】解：（1）设2()23(1)6g x x a x a =-++，方程()0g x =的判别式219(1)489()(3)3a a a a D =+-=-- ①当113a <<时，0D <，223(1)60x a x a -++>恒成立， ∴{}223(1)60B x R x a x a R =∈-++>=。

∴{|0}D A B A x x ===>，即集合D =(0,)+ 。

②当103a <时，0D ，方程()0g x =的两根为10x =，2x =∴{}223(1)60B x R x a x a =∈-++>|{x x x =<>∴0|{D A B A x x x ===>< ， 即集合D=(0) + 。

③当0a £时，0D >，方程()0g x =的两根为10x £=，20x =。

∴{}223(1)60B x R x a x a =∈-++>3333{|0}44a a x x x =<≤+++>或。

∴334{|}a D A B A x x ==+>= ，即集合D =)+ 。

（2）令322'()[23(1)6]'66(1)66()(1)0f x x a x ax x a x a x a x =-++=-++=--=得32()23(1)6f x x a x ax =-++的可能极值点为,1a 。

①当11a <<时，由（1）知D =(0,)+∞，所以(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：∴32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内有两个极值点为,1a ：极大值点为x a =，极小值点为1x =。

②当103a <时，由（1）知D =(0) + =12(0,)(,)x x +∞ 。

∵12()2()()f x x x x x x =--， ∴1201a x x <<<≤， ∴(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：∴32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内仅有一个极值点：极大值点为x a =，没有极小值点。

③当0a £时，由（1）知D=)+ 。

∵0a £，∴131a <a --。

)(33133133==1444a a a >>+-++-+。

∴10a <£。

∴32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内没有极值点。

【考点】分类思想的应用，集合的计算， 解不等式，导数的应用。

【解析】（1）根据2()23(1)6g x x a x a =-++根的判别式应用分类思想分113a <<、103a < 、0a £讨论即可，计算比较繁。

【版权归锦元数学工作室，不得转载】（2）求出322'()[23(1)6]'66(1)66()(1)f x x a x ax x a x a x a x =-++=-++=--，得到()f x 的可能极值点为,1a 。

仍然分113a <<、103a < 、0a £讨论。

例5. （2012年江苏省16分）已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}nb 满足：221nn n n n b a b a a ++=+，*N n ∈，（1）设n n n a b b +=+11，*N n ∈，求证：数列2n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列； （2）设nnn a b b ∙=+21，*N n∈，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值． 【答案】解：（1）∵n n n a b b +=+11，∴1n a +=∴11n n b a ++=()2222111*n n n n n n b b b n N a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

∴数列2n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是以1 为公差的等差数列。

（2）∵00n n a >b >，，∴()()22222nn n n n n a b a b <a b +≤++。

∴11n <a +≤（﹡） 设等比数列{}n a 的公比为q ，由0n a >知0q >，下面用反证法证明=1q 若1,q >则212=a a <a q ≤1log q n >时，11n n a a q += 若01,<q <则212=1a a >a >q ，∴当11log q n >a 时，111n n a a q <+=，与（﹡）矛盾。

∴综上所述，=1q 。

∴()1*n a a n N =∈，∴11<a又∵11n n n n b b b a +=()*n N ∈，∴{}n b1若1a11>，于是123b <b <b 。

又由221nn n n n b a b a a ++=+即1a =，得1n b 。

∴123b b b ，，中至少有两项相同，与123b <b <b矛盾。

∴1a∴1n b -∴ 12=a b【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。

【解析】（1）根据题设221nn n n n b a b a a ++=+和n n n a b b +=+11，求出11n n ba ++=22111n n n n b b a a ++⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭而得证。

（2）根据基本不等式得到11n <a +≤{}n a 的公比=1q 。

从而得到()1*n a a n N =∈的结论，再由11n n n n b b b a +=知{}n b1最后用反证法求出12=a b例6. （2012年广东省理5分）不等式21x x +-≤的解集为 ▲ 。