材料力学 第8章—应力状态分析与强度理论
材料力学课件第八章应力状态与强度理论
在这一章中，我们将深入研究材料的应力状态和强度理论。了解应力的分类 和表示方法以及强度指标的应用，探讨应力状态与强度理论的关系和实际应 用。
应力状态的定义
什么是应力状态?
应力状态是材料内部受力的 分布情况，包括应力的大小、 方向和分布。
为什么应力状态重 要?
应力状态决定了材料的力学 性能和强度，对材料的使用 和设计至关重要。
如何描述应力状态?
应力状态可以通过应力张量 来表示，应力张量的分量表 示了各个方向上的应力大小 和方向。
强度理论的基本概念
1 什么是强度理论?
强度理论是研究材料强
2 强度理论的目的是
什么?
3 强度理论的应用范
围?
度和破坏的理论体系，
强度理论的目的是确定
强度理论可以应用于各
通过分析材料的应力和
材料在受力过程中是否
强度理论的分类
1
线性弹性强度理论
线性弹性强度理论假设材料的应力和应变之间的关系是线性的，适用于弹性材料。
2
塑性强度理论
塑性强度理论考虑了材料的塑性变形，并通过屈服条件来描述材料的强度。
3
能量强度理论
能量强度理论通过能量的积累和释放来描述材料的强度和破坏行为。
应力状态和强度理论的关系
应力状态对强度理论 的影响
结构分析
应力状态和强度理论的实际应 用包括结构的静力分析和疲劳 强度分析。
材料选择
选择适合的材料需要考虑其强 度特性和应力状态，以确保结 构的安全和可靠。
失效分析
应力状态和强度理论的失效分 析可以帮助确定结构失效的原 因，为改进设计提供依据。
不同的应力状态会导致不 同的强度理论适用，需要 选择适合的强度理论来分 析材料的强度。
材料力学课程内容总结
第二章 轴向拉伸和压缩
一、概念
轴向拉伸(压缩)变形受力变形特点：轴向外力产生轴向伸长(缩短)变形。
内力——由于外力引起的构件内部相邻部分相互作用力的改变量。
截面法——1）截开；2）代替；3）平衡。
拉压杆内力——轴力FN: 拉为正，压为负。
静定结构的内力只与外力有关；
FN Fix
正负规定，取左右两段计算的内力符号相同。
FS
S
* z
I zb
----τ沿截面高度抛 物线规律变化
最大切应力位置中性轴上；
计算公式
max
k
FS A
矩形截面k=3/2; 圆形截面k=4/3; 圆环形截面k=2; 型钢截面k≈1.
三、梁的强度计算 最大应力所在截面称为危险截面， 危险截面上最大应力所在点称为危险点。
等直梁的正应力 强度条件：
圆轴扭转时的刚度条件：
m ax
Tmax GI
180
三类强刚度计算问题：校核、设计、确定许可荷载。
第四章 弯曲内力
一、平面弯曲——外力作用面（纵向对称平面）与杆轴弯曲面重合。
二、梁的内力——剪力和弯矩
剪力FS—左上有下为正，单位：N、kN。 弯矩M —下凸或左顺右逆为正，单位：N·m、kN·m。
横截面上的最大正应力： 上下边缘
max
Mymax
z
M WZ
WZ
IZ ymax
--截面对中性轴的弯曲系数
矩形 截面
IZ
bh3 12
;
WZ
bh2 6
.
圆形 截面
D 4
IZ 64 ;
D3
WZ 32 .
圆环形截面：I Z
D4
64
材料力学应力状态和强度理论
x 122.5MPa x 64.6MPa
σy 0
τ y 64.6
(122.5 , 64.6)
D1
B2
o
C
B1
(0 , - 64.6)
由 x ， x 定出 D1 点 由 y ， y 定出 D2 点 以 D1D2 为直径作应力圆。
D2
A1，A2 两点的横坐标分别代表 a 点的两个主应力
1 oA1 150MPa
1 x 136.5MPa
σ x 136.5MPa σy 0
τx0 τy0
2 3 0
D2 (0,0)
D1(136.5,0)
x 136.5MPa
b
σ1
σ x 136.5MPa τ x 0
σy 0
τy0
1 所在的主平面就是 x 平面 , 即梁的横截面 C 。
解析法求 a 点的主平面和主应力
解： x 100MPa, y 20MPa, x 40MPa, 300
20
300
100 40
x 100MPa, y 20MPa, x 40MPa, 300
x
2
y
x
2
y
cos
2
x
sin
2
x
2
y
sin
2
x
cos
2
300
100
(20) 2
100
(20) 2
cos( 600)
m
F
A
F
m
A
F
F
A
A 点 横截面 m—m 上的应力为： F
A
n
m
F
A
F
m
n
F
A
2
08强度理论dou-lan-2010
3 Effect of stress state brittle material
σ1 ≥ m { σ 2 , σ 3 } cross section ax
First Strength Theory
σ1 = σ2
longetudinal section Second Strength Theory = 0 Testing directly 45 °inclined section Third or fourth Strength Theory
C）The third（Maximum shear stress）strength theory ） （ ） Yielding occurs when τ max reaches ultimate value τ max = τ 0 σs σ1 − σ 3 σ1 0 τ = τ max = τmax = 2 2 2 Strength σ1 −σ 3 ≤ σ s n = [σ ] widely applicable to Criterion various ductile material D）The fourth（ASR shear stress）strength theory ） （ ） 0 Yielding occurs when τ m reaches ultimate value τm =τm
τ0
n
n
σ 0 :σ s ,σ b τ 0 :τ s ,τ b
}
直接实验并不可行 分析破坏原因 分清破坏形式 分离破坏因素 宏观破坏现象 塑性屈服 破坏原因 剪切应力 强度理论
}
σ1 ,σ 2 ,σ 3
复杂 多变
实验 确定
简单可靠方便可行
}
总结 破坏 规律 脆性断裂 拉伸应力
第8章 点的应力状态
第八章 点的应力状态
三. 平面应力状态中的正应力 极值和剪应力极值
第八章 点的应力状态
本节将对平面应力公式
2 σ xx＋σ yy σ xx－σ yy ＋ σ α＝ cos2α－τ xy sin2α xy α 2 2 进行讨论,主要内容有:
(1)平面应力状态中的正应力极值和极值面方位 以及正应力极值面上的剪应力; (2)平面应力状态中的剪应力极值和极值面方位 以及剪应力极值面上的正应力.
第八章 点的应力状态
(4) σmax× σmin可大于或小于零,也可等于零. 对于前两种情况, 称原 单元体为平面应力或二 单元体为 向应力状态;对后一种情 况,称原单元体为单向应 力状态. 若构件上某点是平面 应力状态,则描述该点应 力状态的单元体有无数 多个,但该点的主单元体 表述却是唯一的,这是一 种既简单且又能反映一 点应力状态本质内涵的 表述. 只要知道某点应力的 一个单元体表述，就能 找到它的主单元体表述.
第八章 点的应力状态
由四个主平面围成的单元体称为原单元体的主 单元体，在主单元体上剪应力为零。若围绕研 究点取出的是它的主单元体，则称该点的应力 表述为主单元体表述或主应力表述。 2τ xy kπ 1 − arctan ; k = 0,±1,±2 主方向角 α p = σ x −σ y 2 2
⎛ 2 τ xy ⎞ ⎛ 2 τ xy ⎞ tan 2 2α p 1 2 (3) 主应力: 将 tan 22α pp＝⎜⎜ cos 2α p = ± ; sin 2α p = ± ⎟ tan 2α ＝⎜ ⎟ 2 ⎜ σ x − σ y ⎟代入 ⎟ 1 + tan 2α p 1 + tan 2 2α p ⎝ σ x −σ y ⎠ ⎝ ⎠
第八章 点的应力状态
周建方版材料力学习题解答[第八章9]分析
![周建方版材料力学习题解答[第八章9]分析](https://img.taocdn.com/s3/m/cbb06210a417866fb94a8e07.png)
8-49现用某种黄铜材料制成的标准圆柱形试件做拉伸试验。
已知临近破坏时，颈缩中心部位的主应力比值为113321::::=σσσ；并已知这种材料当最大拉应力达到770MPa 时发生脆性断裂，最大切应力达到313MPa 时发生塑性破坏。
若对塑性破坏采用第三强度理论，试问现在试件将发生何种形式的破坏？并给出破坏时各主应力之值。
解： 令主应力分别为：σσ31=，σσσ==32脆性断裂时，由第一强度理论=1r σσσ31==770MPa所以，塑性破坏时，由第三强度理论 所以故，试件将发生脆性断裂。
破坏时MPa 7701=σ，MPa 25732==σσ8-50 钢制圆柱形薄壁压力容器（参见图8-13），其平均直径mm d 800=，壁厚mm 4=δ，材料的M P a ][120=σ，试根据强度理论确定容器的许可内压p 。
解：在压力容器壁上取一单元体，其应力状态为二向应力状态。
p pd 504'==δσ ，p pd1002"==δσ 其三个主应力为p 100"1==σσ， p 50'2==σσ，03=σ据第三强度理论所以 ，MPa p 2.13≤，许可内压MPa p 2.13= 据第四强度理论所以，MPa p 39.14≤，许可内压MPa p 39.14=8-51 空心薄壁钢球，其平均内径mm d 200=，承受内压MPa p 15=，钢的MPa ][160=σ。
试根据第三强度理论确定钢球的壁厚δ。
解：钢球上任一点应力状态如图示 其三个主应力为：σσσ==21，03=σ而 MPa MPa d p R R p δδδδππσ4342.0152222=⨯=⋅=⋅⋅=据第三强度理论 所以 mm m 69.41069.41601433=⨯=⨯≥-δ 8-52 图8-77所示两端封闭的铸铁圆筒，其直径mm d 100=，壁厚mm 10=δ，承受内压MPa p 5=，且在两端受压力kN F 100=和外扭矩m kN T ⋅=3作用，材料的许用拉应力MPa ][40=+σ，许用压应力MPa ][160=-σ，泊松比250.=ν，试用莫尔强度理论校核其强度。
材料力学各章重点内容总结
材料力学各章重点内容总结第一章 绪论一、材料力学中工程构件应满足的3方面要求是：强度要求、刚度要求和稳定性要求。
二、强度要求是指构件应有足够的抵抗破坏的能力；刚度要求是指构件应有足够的抵抗变形的能力；稳定性要求是指构件应有足够的保持原有平衡形态的能力。
三、材料力学中对可变形固体进行的3个的基本假设是：连续性假设、均匀性假设和各向同性假设。
第二章 轴向拉压一、轴力图：注意要标明轴力的大小、单位和正负号。
二、轴力正负号的规定：拉伸时的轴力为正，压缩时的轴力为负。
注意此规定只适用于轴力，轴力是内力，不适用于外力。
三、轴向拉压时横截面上正应力的计算公式：N FAσ= 注意正应力有正负号，拉伸时的正应力为正，压缩时的正应力为负。
四、斜截面上的正应力及切应力的计算公式：2cos ασσα=，sin 22αστα=注意角度α是指斜截面与横截面的夹角。
五、轴向拉压时横截面上正应力的强度条件[],maxmax N F Aσσ=≤六、利用正应力强度条件可解决的三种问题：1.强度校核[],maxmax N F Aσσ=≤一定要有结论 2.设计截面[],maxN F A σ≥3.确定许可荷载[],maxN F A σ≤七、线应变ll ε∆=没有量纲、泊松比'εμε=没有量纲且只与材料有关、 胡克定律的两种表达形式：E σε=，N F ll EA∆=注意当杆件伸长时l ∆为正，缩短时l ∆为负。
八、低碳钢的轴向拉伸实验：会画过程的应力－应变曲线，知道四个阶段及相应的四个极限应力：弹性阶段（比例极限p σ，弹性极限e σ）、屈服阶段（屈服极限s σ）、强化阶段（强度极限b σ）和局部变形阶段。
会画低碳钢轴向压缩、铸铁轴向拉伸和压缩时的应力－应变曲线。
九、衡量材料塑性的两个指标：伸长率1100l llδ-︒=⨯︒及断面收缩率1100A A Aϕ-︒=⨯︒，工程上把5δ︒≥︒的材料称为塑性材料。
十、卸载定律及冷作硬化：课本第23页。
材料力学：第八章-应力应变状态分析
正负符号规定:
切应力 t － 使微体沿顺时针 旋转为正 方位角 a － 以 x 轴为始边、逆时针旋转 为正
斜截面应力公式推导 设α斜截面面积为dA, 则eb侧面和bf 底面面积分别为dAcosα, dAsinα
由于tx 与 ty 数值相等，同时
sa+90 ,ta+90
E
sa+90 ,ta+90
结论: 所画圆确为所求应力圆
应力圆的绘制与应用3
应力圆的绘制
已知 sx , tx , sy ,
画相应应力圆
t
先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
Ds x ,t x , E s y ,t y
t
C OE
s 2 , 0
s 1 , 0
应力圆绘制 作D, E连线中垂线,与x轴相交即为应力圆圆心
tb sb
t
sa
O
C
ta
D
sa ,ta
t
s
E
sb ,tb
O
D
sa ,ta
C
s
E
sb ,tb
由|DC|=|CE|,可得sC值:
sC
s
2 β
+
t
2 β
s
2 α
+
t
2 α
2 sα sβ
点、面对应关系
转向相同, 转角加倍 互垂截面, 对应同一直径两端
应变状态
构件内一点处沿所有方位的应变总况或集合, 称为该点处的 应变状态
研究方法
环绕研究点切取微体, 因微体边长趋于零, 微体趋于所研究 的点, 故通常通过微体, 研究一点处的应力与应变状态
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τmax =τ
屈服条件 强度条件
0
σ1 − σ 3 ≤
σs
ns
低碳钢拉伸
= [σ ]
低碳钢扭转
四种常用强度理论
形状改变比能理论 第四强度理论） 能理论（ 4. 形状改变比能理论（第四强度理论） 无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服, 无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是 由于微元的最大形状改变比能达到一个极限值。 由于微元的最大形状改变比能达到一个极限值。
ε1 －构件危险点的最大伸长线应变
ε1 = ε
0
ε
ε1 =[σ1 − µ(σ2 +σ3 )]/ E
ε =σb / E
0
0 －极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得 极限伸长线应变，
四种常用强度理论
最大切应力理论（第三强度理论） 3. 最大切应力理论（第三强度理论） 无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服, 无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都 是由于微元内的最大切应力达到了某一极限值。 是由于微元内的最大切应力达到了某一极限值。
2
F
k τα
pα
σ
直杆拉伸应力分析结果表明： 直杆拉伸应力分析结果表明： 即使同一点不同方向面上的应力也是 各不相同的， 各不相同的，此即应力的面的概念。
应力状态的概念
位置
方向
哪个点
应力
哪个点
哪个面
哪个 方向
应力状态的概念
σz
τ zx
σx
τ xz
τ zy τ yz
σ2
σ3
τ xyτ yx
σy
σ1
单元体上没有切应力的面称为主平面； 单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力 主平面 称为主应力， 表示， 称为主应力，分别用 σ1,σ2,σ3 表示，并且 主应力 该单元体称为主应力单元体。 该单元体称为主应力单元体。 主应力单元体
σ1 ≥σ2 ≥σ3
应力状态的概念
（1）单向应力状态：三个主应力中只有一个不为零 单向应力状态： （2）平面（二向）应力状态：三个主应力中两个不为零 平面（二向）应力状态： （3）空间（三向）应力状态：三个主应力都不等于零 空间（三向）应力状态： 平面应力状态和空间应力状态统称为复杂应力状态 平面应力状态和空间应力状态统称为复杂应力状态
σ σ
x 2
σ2 σ σ1
1
σ
x
σ
σ3
1
σ
σ3 σ2
1
σ
2
二向和三向应力状态的实例
p
A
A
广义胡克定律 1. 基本变形时的胡克定律 1）轴向拉压胡克定律
y x
σx = Eεx
横向变形
σx
ε y = −µεx = −µ
2）纯剪切胡克定律
σx
E
τ
τ = Gγ
广义胡克定律 2、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法 三向应力状态的广义胡克定律－
断裂条件 强度条件
σ1 =σb
σ1 ≤ σb
n = [σ]
铸铁拉伸
铸铁扭转
四种常用强度理论
2. 最大伸长拉应变理论（第二强度理论） 最大伸长拉应变理论（第二强度理论） 无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂, 无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂, 都是由于微元内的最大拉应变（线变形） 都是由于微元内的最大拉应变（线变形）达到简单 拉伸时的破坏伸长应变数值。 拉伸时的破坏伸长应变数值。
广义胡克定律 3、广义胡克定律的一般形式
σz
σx
τ zx τ zy τ xz τ yz
τ xyτ yx
σy
1 εx = [σx − µ(σ y +σz )] E 1 ε y = [σ y − µ(σz +σx )] E 1 εz = [σz − µ(σx +σ y )] E
γ xy =
τ xy
G
γ yz =
构件由于强 度不足将引 发两种失效 形式
脆性材料 塑性材料
屈服
断裂
四种常用强度理论
第一强度理论
第三强度理论
最大拉应力 理论 断裂
第二强度理论
最大切应力 理论
破坏
屈服
第四强度理论
最大伸长线应变 理论
畸形能密度 理论
四种常用强度理论
最大拉应力理论（第一强度理论） 1. 最大拉应力理论（第一强度理论） 无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂, 无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂, 都是由于微元内的最大拉应力达到简单拉伸时的破 坏拉应力数值。 坏拉应力数值。
习题
6
LOGO
应力状态分布和强度理论
柴占丽
2010-11-30
第8章 章
主要内容
1 2 3
应力状态的概念
广义胡克定律 四种常见的强度理论
应力状态的概念
铸
铁
低碳钢
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？ 塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
应力状态的概念 低碳钢 铸 铁
脆性材料扭转时为什么沿45 螺旋面断开 脆性材料扭转时为什么沿45º螺旋面断开？ 45 螺旋面断开？
νsf－构件危险点的形状改变比能 0 形状改变比能的极限值， νsf－形状改变比能的极限值，由单拉实验测得
实验表明：对塑性材料， 实验表明：对塑性材料，此理论比第三强度理 论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。 论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。
vsf = v
0 sf
LOGO
本章结束
第8章 章
σ2
σ2
σ1
σ3
σ1
σ3
ε1
=
( ) + (−µ ) + (−µ ) E E E 1 ε1 = [σ1 −µ(σ2 +σ3 )] E
σ1
σ2
σ3
广义胡克定律
σ2
1 ε1 = [σ1 −µ(σ2 +σ3 )] E
σ1 ε2 = 1 [σ2 −µ(σ3 +σ1)]
σ3
E
1 ε3 = [σ3 −µ(σ1 +σ2 )] E
* z
（切应力强度条件） 切应力强度条件）
τmax ≤[τ ]
四种常用强度理论
材料破坏前发生显著的塑 性变形， 性变形，破坏断面粒子较 光滑， 光滑，且多发生在最大剪 应力面上，例如低碳钢拉、 应力面上，例如低碳钢拉、 铸铁压。 扭，铸铁压。 材料无明显的塑性变形即发 生断裂，断面较粗糙， 生断裂，断面较粗糙，且多 发生在垂直于最大正应力的 截面上，如铸铁受拉、 截面上，如铸铁受拉、扭， 低温脆断等。 低温脆断等。
τ yz
G
γ zx =
τzx
G
四种常用强度理论
杆件基本变形下的强度条件 （拉压） 拉压）
F ,max N σmax = ≤[σ] A
Mmax （弯曲） σmax = 弯曲） ≤[σ] W
（弯曲） 弯曲） （扭转） 扭转）
（正应力强度条件） 正应力强度条件）
σmax ≤[σ]
FS τmax = s ≤[τ] bIz T τmax = ≤[τ] W p
应力状态的概念
z F M N
F Q
横截面上正应力分析和切应力分 析的结果表明： 析的结果表明：同一面上不同点的应 力各不相同， 力各不相同，此即应力的点的概念。
应力状态的概念
直杆拉伸
F
k
α
k
k
F
σα
{
σ α = pα cos α = σ cos 2 α
τα = pα sinα = σ cos