12-15次课

43;p
j =1 i =1 n
m
相角条件：
i
1 = K*
∑ ∠(s + z ) − ∑ ∠(s + p ) = (2l + 1)π
i j i =1 j =1
m
n
(l = 0,±1,±2 ⋯)
j
第三节 一般根轨迹的绘制法则
0→+∞变化时的 负反馈系统根轨迹增益k*由0→+∞变化时的 根轨迹，称为一般根轨迹。 根轨迹，称为一般根轨迹。 根轨迹的分支(1 条下两页举两个例子) (1一、根轨迹的分支(1-5条下两页举两个例子) 连续， 二、根轨迹的连续性和对称性——连续，复平面上根轨迹对称于实轴。 连续 复平面上根轨迹对称于实轴。 三、根轨迹的起点和终点——起于开环极点，终于开环零点或无穷远。 起于开环极点，终于开环零点或无穷远。 起于开环极点 奇偶分布特性。 四、根轨迹在实轴上的分布规律——奇偶分布特性。 奇偶分布特性 坐标： 倾角： 五、根轨迹的渐近线——坐标： 坐标 倾角： n m (2l + 1)π − p j − ∑ − zi θ= ∑ i=1 根轨迹的重合点（重根） 六、根轨迹的重合点（重根） n−m j =1 − δa = n −m 七、根轨迹与虚轴的交点 八、根轨迹的出射角和入射角 九、开环零极点与闭环极点特性 课后练习一 十、典型开环零极点分布对应的典型根轨迹 课后练习二
三、根轨迹与系统性能之间的关系
1、稳定性——系统所有特征根在S平面的位置 2、稳态性能——系统型别、开环增益 3、动态性能——确定主导极点及其位置 四、闭环零极点与开环零极点的关系(p84或胡139)
闭环增益等于前向通道增益 闭环零点=前向通道零点 前向通道零点+反馈通道极点 闭环零点 前向通道零点 反馈通道极点 闭环极点与开环零点、 闭环极点与开环零点、开环极点及 K* 均有关
k * Q(s) ′ G k (s) = P(s) ⇒
= Q ′(s)P(s) − Q(s) P ′(s) = 0 益的取值）
′
K * （重合点时，根轨迹增 s 1,2（重合点坐标）
d
分离角的确定： 分离角的确定： θ 分离点的判定 三重根的确定
a + p j)
入射角：θ 入射角：θ − z b = (2k + 1)π +
∑ ∠( − z
i =1
n
b + pi ) −
∑ ∠( − z
j =1 j≠b
m
b + z j)
举例：
G k (s) =
K * (s + 2) s(s + 3)(s
2
+ 2s + 2)
； G k (s) =
(s 2 + 2s + 5)
1) Gk (s) = 3) Gk (s) = k(s + 4) ; s(s + 2) k(s + 4) (s + 4)
2
2) Gk (s) = 4) Gk (s) =
k(s + 4)(s + 3) ; s(s + 2) k(s + 4) 2 (s + 2s + 2)
2
;
;
开环传递函数 根轨迹
课后练习二
利用ROUTH判据可以求解！ 判据可以求解！ 利用 判据可以求解
举例： 举例：
k* = −1 G k (s) = s(s + 1)(s + 2)
课后练习一
一、简答题： 1、根轨迹方程与特征方程的区别是什么？ 2、怎样检验复平面上的点是否在根轨迹上？ 3、怎样确定根轨迹上确定点的K值？ 4、根轨迹箭头所指的方向是K增加还是减小的方向？ 二、根据开环零极点分布，绘制根轨迹草图。 1、两个极点、一个零点在实轴上的不同分布位置； 2、两个极点、两个零点在实轴上的不同分布位置； 3、三个极点、一个零点在实轴上的不同分布位置。
根轨迹的出射角和入射角
相角条件：
∑ ∠(s + z ) − ∑ ∠(s + p ) = (2k + 1)π
i j i =1 j =1
m
n
(k = 0, ±1, ±2 ⋯)
n
出射角： θ − p a = (2k + 1)π +
∑ ∠( −p
i =1
m
a + zi ) −
∑ ∠( −p
j =1 j≠a
K * (s + 2)
开环零极点与闭环极点特性
Kg 1 + Gk (s) = 1 +
∏
j =1 =1
i =1 n
∏(s + z )
i
m
=0 ⇒
(s + p j )
∏(s + s ) = ∏(s + p ) + K ∏(s + z )
j j g i j =1 j =1 i =1
n
n
n
m
当n-m≥2时，闭环极点之和等于开环极点之和，即 时 闭环极点之和等于开环极点之和，
j =1
d
p j ') + Kq K f
∏ ( s + z )∏ ( s + z
i i =1 i =1
a
i
')
第一节 根轨迹的基本概念
一、根轨迹定义：特征方程中某待定参数从0-∞发生变 化时，特征根随之行走的轨迹。 二、简单系统根轨迹的绘制举例
(1) Gk (s) = k (s + 2) ; (2) Gk (s) = k s(s + 2)
本章四次课) 第三章 根轨迹分析法 (本章四次课 本章四次课
特征根位置是确定系统稳定与否的唯一条件； 特征根位置是确定系统稳定与否的唯一条件； 特征根位置（闭环极点）和闭环零点共同决定了系统的动态性能； 特征根位置（闭环极点）和闭环零点共同决定了系统的动态性能； 动态性能分析的难点——确定特征根在左半平面的位置。 确定特征根在左半平面的位置。 动态性能分析的难点 确定特征根在左半平面的位置
应用举例
[例1] [例2]
G(s)H(s) = 10(1 + Ks) = −1 ⇒ s(s + 2) s 2 + 2s + 10 10ks = −1
1+
k 2k + =0 s + 1 (s + 1)(s + 2)
⇒
(s + 1)(s + 2) + k(s + 4) = 0
⇒
k(s + 4) = −1 (s + 1)(s + 2)
第四节 参量根轨迹
一、问题的提出：研究其它参量变化对系统性能的影响，并简化研究过程。 问题的提出：研究其它参量变化对系统性能的影响，并简化研究过程。 二、解决问题的方法：等效根轨迹方程的引入（数学变换）。 解决问题的方法：等效根轨迹方程的引入（数学变换）。 三、可能引发的问题
应用举例
1、等效根轨迹方程规范后右边为正1，故原一般根轨迹的绘制法则不能直接使用； 、等效根轨迹方程规范后右边为正 ，故原一般根轨迹的绘制法则不能直接使用； 2、等效开环零点的个数多于等效开环极点的个数。 、等效开环零点的个数多于等效开环极点的个数。 3、依据等效根轨迹方程绘制根轨迹与根轨迹方程绘制根轨迹的区别。 、依据等效根轨迹方程绘制根轨迹与根轨迹方程绘制根轨迹的区别。
n
∑ s = ∑p
j j =1 j =1
n
j
闭环极点之积和开环零、极点有如下关系： 闭环极点之积和开环零、极点有如下关系：
K * = 6 k* 举例：Gk (s) = 举例：G = −1 ⇒ s(s + 1)(s + 2) ω = ± 2
∏ s = ∏p + K ∏ z
j j g j =1 j =1 i =1
n
m
i
⇒ 求另一闭环极点？
时根轨迹分布规律： 当n-m≥2时根轨迹分布规律：对称放射性分布。 时根轨迹分布规律 对称放射性分布。
典型开环零极点分布对应的典型根轨迹
开环传递函数含有两个极点和一个或两个零点， 开环传递函数含有两个极点和一个或两个零点，则 若复平面上有根轨迹，根轨迹一定是圆或圆弧。 若复平面上有根轨迹，根轨迹一定是圆或圆弧。 两个极点和一个有限零点组成的开环系统,只要有限零点没有位于 两个极点和一个有限零点组成的开环系统 只要有限零点没有位于 实数极点之间,当增益 从零变化到无穷时,闭环根轨迹的复数部分 当增益K从零变化到无穷时 实数极点之间 当增益 从零变化到无穷时 闭环根轨迹的复数部分 是以有限零点为圆心,以有限零点到分离点的距离为半径的一个圆 是以有限零点为圆心 以有限零点到分离点的距离为半径的一个圆 或圆的一部分. 或圆的一部分 应用(及下面四个 及下面四个)#14. 开环传递函数 根轨迹举 应用 及下面四个 根轨迹举 例
开环传递函数 根轨迹
开环传递函数 G(S)H(S)=k*/s(s+1)(s+2)(s+3) 根轨迹
根轨迹的重合点(判定,分离点,分离角) 根轨迹的重合点(判定,分离点,分离角)
二重根的确定：满足特征方程和特征方程的导数方程。 二重根的确定：满足特征方程和特征方程的导数方程。 G k (s) = − 1
=
(2k +1) π L
举例： 举例：
k = −1 s(s + 2) k(s + 2) = −1 Gk (s) = s(s + 1) Gk (s) =
根轨迹与虚轴的交点
令：s 令：s = jω 带入特征方程得： ⇒ 1 + G k (jω) = 0 迹增益的取值） Re[1 + G k (jω)] = 0 Im[1 + G k (jω)] = 0 k * （产生等幅振荡时根轨 ω（等幅振荡频率）