随机过程知识点

§ 1.4 特征函数、母函数和拉氏变换
定义 1. 10 设随机变量的分布函数为 F（x），称
g(t) @E(e jtX ) e jtxdF x, t
1
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为 X 的特征函数
随机变量的特征函数具有下列性质：
(1) g(0) 1, g(t) 1, g(t) g(t) 1
定理 2.3 设 W (t), t 是参数为 2 的维纳过程，则
（1（ 任意 t (, ) ,W (t) ~ N 0, 2 | t | ；
（2（ 对任意 a s,t ,
E(W (s) W (a))(W (t) W (a)) 2 min(s a,t a) , 特别： Rws,t 2 mins,t。
(1)任意A F,0 PA 1；
（2）P 1；
（3）对两两互不相容事件A1, A2 ,L 当i j时，Ai Aj ,有
U P
i 1
Ai

i 1
P
Ai
则称 P 是 , F 上的概率，（ ，F，P ）称为概率空间，P(A)为事件 A 的概率。
程，也称狭义平稳过程。
其中：
n
gt1,L ,tn (1,2,L ,n ) E(exp{i k x(tk )}) k 1
定义 2.3 设 X t ={X(t),t∈T }的均值函数 mX (t)def E[ X (t)] ， t T 。
二阶矩过程，协方差函数： DX (t) BX (t,t)def E[ X (t) mX (t)]2,t T
五、平稳过程
定义
2.12
设X t ,t T是随机过程，如果对任意常数 和正整数 n, 当
t1,L , tn , t1 ,L , tn 时， t1 , t2 ,L tn 与 t1 , t2 ,L , tn 有相同的联合分布，则称X t,t T为严平稳过
立增量过程，又称可加过程。
定义 2.8 设t, t 是平稳独立增量过程，若对任意 s t, 随机变量 t s的 分布仅依赖于 t s ，则称t, t 是平稳独立增量过程。
三、马尔可夫过程
定义 2.9 设 X t ,t T为随机过程，若对任意正整数 n 及 t1 t2 ,L tn , PX (t1 ) x1,L , X tn1 xn1 0 ，且其条件分布
则称 F 为 代数(Borel 域)。( ,F)称为可测空间，F 中的元素称为事件。
由定义易知：
(4) F；
（5)若A, B F,则A \ B F；
n
n

U I I （6）若Ai F，i 1，2，L 则 Ai， Ai， Ai F.
i1 i1 i1
定义 1.2 设( ,F)是可测空间，P(·)是定义在 F 上的实值函数。如果
式
3
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t2 t1 t4 t3 0 ， 则称 t正交增量过程。

s,
t
R
s,
t

2
mins,
t
二、独立增量过程
定义 2.7 设t, t 是随机过程，若对任意的正整数 n 和 t1 t2 L tn , 随机 变量 t2 t1 , t3 t2 ,L , tn tn1 是互相独立的，则称t, t 是独
PX (tn ) xn | X t1 x1,L , X tn1 xn1= PX (tn ) xn | X tn1 xn1 ，(2.6) 则称X t,t T为马尔可夫过程。
四、正态过程和维纳过程
定义 2.10 设 X t ,t T是随机过程，若对任意正整数 n 和 t1,t2 ,L t T ,( X t1 , X t2 ,L , X tn )是 n 维正态随机变量，则称X t,t T是正态过程或高斯过程。
本函数的全体称为样本函数的空间。
§ 2.2 随机过程的函数特征
X t ={X(t),t∈T }的有限维分布函数族。
有限维特征函数族：
{gt1,L ,tn (1,2,L ,n ) : t1,t2,L ,tn T , n 1}
§ 1.6 条件期望
给定 Y=y 时，X 的条件期望定义为
E( X | Y y) xdF(x | y) xf (x | y)dx
由此可见除了概率是关于事件｛Y=y｝的条件概率以外，现在的定义与无条件的情况完全 一样。
E(X|Y=y)是 y 的函数，y 是 Y 的一个可能值。若在已知 Y 的条件下，全面地考虑 X 的 均值，需要以 Y 代替 y，E(X|Y)是随机变量 Y 的函数，也是随机变量，称为 X 在 Y 下的 条件期望。
相关函数： RX (s,t) E[ X (s) X (t)]
定义 2.4 设{X(t),t∈T }，{Y(t),t∈T }是两个二阶矩过程， 互协方差函数，互相关函数。
§ 2.3 复随机过程
定义 2.5 设{X t ,t T}，{Yt ,t T}是取实数值的两个随机过程，若对任意 t T Zt X t iYt ，
定义 1.12
设 X 是非负整数值随机变量，分布列
pk PX xk , k 1,2,L
则称
def

P(s) E(s X ) ＝ Pk sk
k 0
为 X 的母函数。
§ 1.5 n 维正态分布
定义 1.13 若 n 维随机变量 X ( X1, X 2,L , X n ) 的联合概率密度为
定义 1.3 设（ ，F，P ）是概率空间， G F ，如果对任意 A1, A2,L , An G ，
n 1,2,L 有：
I P
n i 1
Ai


n i 1
P
Ai
,
则称 G 为独立事件族。
§1.2 随机变量及其分布
随机变量 X，分布函数 F (x) ，n 维随机变量或 n 维随机向量，联合分布函数，
条件期望在概率论、数理统计和随机过程中是一个十分重要的概念，下面我们介绍一 个极其有用的性质。
性质 若随机变量 X 与 Y 的期望存在，则
2
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E( X ) E[E( X | Y )] E( X | Y y)dFY ( y)
--------(1)
如果 Y 是离散型随机变量，则上式为
可以证明，若 X ~ N (a, B) ，则 X 的特征函数为
g(t)
g (t1, t2 ,L
,tn ) exp{iat
1 iBt} 2
为了应用的方便，下面，我们不加证明地给出常用的几个结论。
性质 1 若 X ~ N (a, B) 则 E( X k ) ak , BX k Xl bkl ,l 1,2,L , n 。 性质 2 设 X ~ N (a, B) ，Y XA ，若 ABA 正定，则Y ~ N (aA, ABA) 。即正态
定义 1 . 11 设 X ( X1, X 2 ,L , X n ) 是 n 维随机变量，t = ( t1, t2 ,L , tn ) R, 则称
n
g(t) g(t1, t2 ,L , tn ) E(eitX ) E[exp(i tk X k )] , k 1
为 X 的特征函数。
定义 2.11 设 W (t), t 为随机过程，如果
（1）W (0) 0 ；
（2）它是独立、平稳增量过程；
（3）对 s,t ，增量W (t) W (s) ~ N 0, 2 | t s | , 2 0 ，则称W (t), t 为
维纳过程，也称布朗运动过程。
随机变量的线性变换仍为正态随机变量。
性质 3 设 X ( X1, X 2, X 3, X 4 ) 是四维正态随机变量， E( X k ) 0, k 1,2,3,4 ，
则
E(X1X2X3X4) E(X1X2)E(X3X4) E(X1X3)E(X2X4) E(X1X4)E(X2X3)
E( X ) E( X | Y y)P{Y y}
y
如果 Y 是连续型，具有概率密度 f(x)，则（1）式为

E( X ) E( X | Y y) f ( y)dy
第二章 随机过程的概念与基本类型
§2.1 随机过程的基本概念
定义 2.1 设（ ，F，P ）是概率空间,T 是给定的参数集,若对每个 t∈T，有一个随机变 量 X(t,e)与之对应，则称随机变量族{X (t,e),t T} 是（ ，F，P ）的随机过程,简记为随机 过程{X (t),t T} 。T 称为参数集，通常表示时间。
f (x)
f
(x1, x2,L
, xn )

1 (2 )n / 2
B n/2
exp{ 1 (x a)B1(x a)T } 2
式中， a (a1, a2 ,L , an ) 是常向量， B (bij )nn 是正定矩阵，则称 X 为 n 维正态随机
变量或服从 n 维正态分布，记作 X ~ N (a, B) 。
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第一章：预备知识
§1.1 概率空间
随机试验，样本空间记为 Ω。
定义 1.1 设 Ω 是一个集合，F 是 Ω 的某些子集组成的集合族。如果
（1） F；
（2） 若A F ， 则A \ A F；

U （3）若 An F ， n 1，2，L ，则 An F； n 1
通常将随机过程{X (t,e),t T} 解释为一个物理系统。X(t)表示在时刻 t 所处的状态。
X(t)的所有可能状态所构成的集合称为状态空间或相空间，记为 I。
从数学的观点来说，随机过程{X (t,e),t T} 是定义在 T×Ω 上的二元函数。对固定的 t，X(t,e)是定义在 T 上的普通函数，称为随机过程{X (t,e),t T} 的一个样本函数或轨道，样