新华教育高中部数学同步人教A版必修二第二章 点、直线、平面之间的位置关系-空间点、直线、平面之间的位置
人教A版高中数学必修二 第二章 点、直线、平面之间的
第二章 点、直线、平面之间的位置关系 复习教学目标：1．理解掌握空间点、直线、平面之间的位置关系．2．熟练应用直线、平面平行和垂直的判定及其性质解决立体几何问题．3．通过本章学习逐步提高学生的空间想像能力，学会用数学方法认识世界改造世界． 教学重点：总结证明平行问题和证明垂直问题的方法。
教学难点：总结求二面角的方法。
教学过程： 一、知识结构--------------------------------------------------------------------------------------------------（平行）（垂直）-------------------------- ---------------------------------二、典例解析：例1．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别为棱BC 、CC 1、C 1D 1、AA 1的中点，O 为AC 与BD 的交点（如图），求证：（1）EG ∥平面BB 1D 1D ；（2）平面BDF ∥平面B 1D 1H ；（3）A 1O ⊥平面BDF ；（4）平面BDF ⊥平面AA 1C 。
解析： （1）欲证EG ∥平面BB 1D 1D ，须在平面BB 1D 1D 内找一条与EG 平行的直线，构造辅助平面BEGO ’及辅助直线BO ’，显然BO ’即是。
（2）按线线平行线面平行⇒面面平行的思路，在平面B 1D 1H 内寻找B 1D 1和O ’H两条关键的相交直线，转化为证明：B 1D 1∥平面BDF ，O ’H ∥平面BDF 。
（3）为证A 1O ⊥平面BDF ，由三垂线定理，易得BD ⊥A 1O ，再寻A 1O 垂直于平面BDF 内的另一条直线。
猜想A 1O ⊥OF 。
借助于正方体棱长及有关线段的关系计算得：A 1O 2+OF 2=A 1F 2⇒A 1O ⊥OF 。
（4）∵ CC 1⊥平面AC∴ CC 1⊥BD 又BD ⊥AC ∴ BD ⊥平面AA 1C 又BD ⊂平面BDF ∴ 平面BDF ⊥平面AA 1C评注：化“动”为“定”是处理“动”的思路例2．如图，三棱锥D —ABC 中，平面ABD 、平面ABC 均为等腰直角三角形，∠ABC=∠BAD=900，其腰BC=a ，且二面角D —AB —C=600。
人教A版高中数学必修二第二章 点、直线、平面之间的位置关系
的直线与另一个平面垂直
二面角二 范围 面： 角[的0°平，面18角0°]
专题突破
专题一 空间中的位置关系 1．空间中两直线的位置关系：相交、平行、异面． 2．空间中直线与平面的位置关系：直线在平面内、直线 与平面平行、直线与平面相交． 3．两个平面的位置关系：平行、相交．
[例 1] 下面四个命题中，正确命题的个数是( )
如上图，AB∥平面 CDD′C′，BB′∥平
③ × 面 CDD′C′，AB∩BB′＝B，即 AB 与
BB′不平行，③不正确
序号 正误
原因分析
如上图，设直线 l 是平面 ABB′A′内与 AB 平行的任一条直线，l 有无数条，即 AB 与 ④× 平面 ABB′A′内的无数条直线平行，但 AB⊂平面 ABB′A′，④不正确
[解析] ∵AB 为⊙O 直径，C 为⊙O 上一点， ∴BC⊥AC，
DBCA⊂⊥平平面面AABBCC⇒DA⊥BC
BC⊥AC
AC∩DA＝A
⇒BACF⊂⊥平平面面DDAACC ⇒
BC⊥
AF⊥DC
BC∩DC＝C
⇒ABFD⊥⊂平平面面DDCCBB⇒ BD⊥AF
BD⊥AE
AF∩AE＝A
判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，
则这两个平面平行 平面与平面平行
性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么 它们的交线平行
平面与平面之间的位置关系
判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
平面与平面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线
[例2] (2011·江苏高考)如图，在四棱锥P－ABCD中，平 面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是 AP，AD的中点．
高中数学必修2(人教A版)第二章几点、直线、平面的位置关系2.1知识点总结含同步练习及答案
描述：高中数学必修2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系一、学习任务理解空间点、线、面的位置关系，会用数学语言规范地表述空间点、线、面的位置关系；了解可以作为推理依据的公理和定理，能正确地判断空间线线、线面与面面的位置关系．二、知识清单平面的概念与基本性质 点、线、面的位置关系三、知识讲解1.平面的概念与基本性质平面的概念生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象．几何里所说的平面就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是几何中的平面是没有厚度、无限延展的．平面的画法我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，用平行四边形表示平面，平行四边形的锐角通常画为 ，且横边长等于其邻边长的 倍．如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡的部分用虚线画出来．平面的表示为了表示平面，常把希腊字母 等等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面 、平面 ；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称，如图中的平面可以表示为平面 、平面 或者平面 ．集合符号在立体几何中的应用以点作为元素，直线和平面都是由点构成的集合．几何中许多符号的规定都是源于将图形视为点集．例如：点 在平面 内，记作 ；点 不在平面 内，记作 ．直线 在平面 内，记作 ；直线 不在平面 内，记作 ；直线 与 相交于点 ，记作 ；平面 与平面 相交于直线 ，记作 ．平面的基本性质平面的基本性质是由三条公理描述的：公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．45∘2α,β,γαβABCD AC BD A αA ∈αA αA ∉αl αl ⊂αl αl ⊄αl m A l ∩m =A αβa α∩β=a A ∈l A ∈α例题：符号语言：，，且 ，．公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论1 经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．符号语言：，且 ，且 ．空间位置关系与几何量的基础平行公理 平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．A∈l B∈l A∈αB∈α⇒l⊂αP∈αP∈β⇒α∩β=l P∈l用符号语言表示下列语句．（1）点 在平面 外，点 在平面 内，直线 经过点 ，；（2） 与 交于 ， 与 交于 ．解：（1），，，．（2），．AαBαl A B平面ABD平面BCD BD平面ABC平面ADC ACa∉αB∈αA∈l B∈l平面ABD∩平面BCD=BD平面ABC∩平面ADC=AC如图所示，在四面体 中，、、、 分别是 、、、 上的点，且 ，求证 ，， 三点共线．ABCD E F G H AB AD BC CDEF∩GH=PB D P2.点、线、面的位置关系证明：因为 ，，所以 ，同理，，又，所以 ，，而 ，所以 ，即 ，， 三点共线．E ∈ABF ∈AD EF ⊂平面 ABD GH ⊂平面 BCD EF ∩GH =P P ∈平面 ABD P ∈平面 BCD 平面 ABD ∩平面 BCD =BD P ∈直线BD B D P 已知：如图，，，．求证：直线 ，， 在同一平面内．证法一：（同一法）因为 ，所以 和 确定一个平面 ． 因为 ，所以 ．又因为 ，所以 ．同理可证 ．又 ，，所以 ．因此，直线 ，， 在同一个平面内．证法二：（重合法）因为 ，所以 ， 确定一个平面 ．因为 ，所以 ， 确定一个平面 ．又因为 ，，所以 ．又 ，，所以 ．同理可证得 ，，，．所以不共线的三个点 ，， 在平面 内，又在平面 内．所以平面 和平面 重合，即直线 ，， 在同一平面内．∩=A l 1l 2∩=B l 2l 3∩=C l 1l 3l 1l 2l 3∩=A l 1l 2l 1l 2α∩=B l 2l 3B ∈l 2⊂αl 2B ∈αC ∈αB ∈l 3C ∈l 3⊂αl 3l 1l 2l 3∩=A l 1l 2l 1l 2α∩=B l 2l 3l 2l 3βA ∈l 2⊂αl 2A ∈αA ∈l 2⊂βl 2A ∈βB ∈αB ∈βC ∈αC ∈βA B C αβαβl 1l 2l 3结合空间想象回答下列问题：（1） 个平面可以分空间为______部分；（2） 个平面可以分空间为______部分；（3）正方体的各个面延伸后将空间分成______部分．解：（1），；（2），，，；（3）．对于（1）：当 个平面平行时，分成 部分；当两个面相交时，分成 部分；对于（2）：当 个平面两两平行时，分成 部分；当其中两个平面平行，和另外一个平面相交或者三个平面相交于一条直线时，分成 部分；当 个平面两两相交且交线两两平行时，分成 部分；当 个平面两两相交且交线相交于一点时，分成 部分；对于（3）：首先，将正方体的四个侧面延伸，可知将空间分成 部分，然后，将正方体的上下底面延伸可知将之前部分分成了 层，每层 部分，共 部分 ．233446782723434637389393×9=27若直线 、、 相交于一点，则这 条直线可能确定的平面有（ ）A． 个 B． 个 C．无数个 D． 个或 个解：D当 、、 三线共面时，平面只有 个；当三线不共面时，任意两条可确定一个平面，共 个．a b c 30113a b c 13描述：例题：点与平面的位置关系平面内有无数个点，平面可以看成点的集合．点 在平面 内，记作 ；点 不在平面 内，记作 ．直线与直线的位置关系空间直线与直线的位置关系共有以下两种：共面直线 在同一平面内的两条直线．更进一步，若这两条直线有且只有一个公共点，则称它们是相交直线 ，若这两条直线没有公共点，则称它们是平行直线；异面直线 不同在任何一个平面内的两条直线．直线垂直如果两条直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直，记作 ．在空间，两条直线垂直包括两种情形：共面垂直和异面垂直．直线与平面的位置关系空间直线与平面的位置关系共有以下三种：直线在平面内 直线上的所有点都在平面内；直线与平面相交 直线与平面有且仅有一个公共点；直线与平面平行 直线与平面没有公共点．平面与平面的位置关系空间平面与平面的位置关系共有以下两种：平行 两个平面没有公共点，则称这两个平面平行；相交 两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，此时这条公共直线称为这两个平面的交线．A αA ∈αA αA ∉αa ⊥b 如果在两个平面内分别各有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系是（）A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．垂直相交解：C可根据题意作图判断，如图所示，分别为两个平面平行、相交的情况 ．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是（ ）A．相交 B．异面 C．异面或相交 D．平行解：C如图所示，可能相交，也可能异面，若两直线平行，则此两条直线确定一个平面，且原两条异面直线均在此平面内，故矛盾 ．四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）若直线 不平行于平面 ，且 ，则（ ）A． 内的所有直线与 异面 B． 内不存在与 平行的直线 C． 内存在唯一的直线与 平行 D． 内的直线与 都相交解：B依题意，设直线 ，如图． 内的直线若经过点 ，则与直线 相交；若不经过点 ，则与直线 是异面直线，但不可能与 平行．l αl ⊄ααl αl αl αl l ∩α=A αA l A l l 答案：解析：1. 如图，在正方体 中， 是底面正方形 的中心， 是 的中点， 是 上的动点，则直线 、 的位置关系是 ．A ．平行B ．相交C ．异面垂直D ．异面不垂直C和点 确定平面 ，且 平面 ， 判定 与平面 的位置关系，只需判定直线 的位置关系即可．ABCD −A 1B 1C 1D 1O ABCD M D D 1N A 1B 1NO AM ()A 1B 1O O A 1B 1NO ⊂O A 1B 1∴MA O A 1B 1NO 、AM 答案：2. 平行六面体 中，既与 共面也与 共面的棱的条数为 A ．B ．C ．D ．C ABCD −A 1B 1C 1D 1AB C C 1()3456答案：3. 正方体 中， 、 、 分别是 、 、 的中点．那么，正方体的过 、 、 的截面图形是 A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形D ABCD −A 1B 1C 1D 1P Q R AB AD B 1C 1P Q R ()4. 下列正方体或正四面体中，，，， 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是 P Q R S ()高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
新人教A版必修2高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系单元总结
学习本章应着眼于以下几个方面：(1)从图形入手，学会识 图、画图，并注意图形语言、符号语言及文字语言之间的转 化；(2)整体把握空间点、线、面之间的位置关系，在具体的学 习中，对定理的学习要做到细致入微，从条件到结论，必须做 到准确的表达，论证要严谨，有理有据，计算要有依据，尽量 的追求简便；
(3)把握处理立体几何问题的思想方法，即把空间问题转化 为平面问题去解决，化繁为简，这是解决立体几何问题的基本 方法，也是最重要的思想方法；(4)培养处理立体几何问题必备 的三个方面能力：一是空间想象能力，二是逻辑思维能力，三 是推理论证能力．
9、 人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定 。21.4 .421.4 .4Sun day, April 04, 2021 10、低头要有勇气，抬头要有低气。 08:48 :1308 :48:1 308:4 84/4/ 2021 8:48:13 AM 11、人总是珍惜为得到。21.4.408: 48:13 08:48 Apr-2 14-Apr-21 12、人乱于心，不宽余请。08:48:1 308:4 8:130 8:48Sunday , April 04, 2021 13、生气是拿别人做错的事来惩罚自 己。21 .4.42 1.4.40 8:48: 1308: 48:13 April 4, 2021 14、抱最大的希望，作最大的努力。 2021 年4月4 日星期 日上午 8时48 分13秒 08:48 :1321. 4.4 15、一个人炫耀什么，说明他内心缺 少什么 。。20 21年4 月上午 8时48 分21.4 .408: 48Apri l 4, 2021 16、业余生活要有意义，不要越轨。 2021 年4月4 日星期 日8时4 8分13 秒08:4 8:134 April 2021 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。上 午8时4 8分13 秒上午 8时48 分08: 48:13 21.4.4
人教A版高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系教案(1)
② 两条异面直线所成的
导出异
角 θ∈（ 0， π）； 2
③ 当两条异面直线所成
面直线 所成的 角的概
的角是直角时，我们就说
念.
这 两条 异面直 线互相 垂 例 3 让
直，记作 a⊥ b；
学生掌
④ 两条直线互相垂直， 有 握了如
共面垂直与异面垂直两种
何求异
情形；
面直线
⑤ 计算中，通常把两条异 所成的
例 3（投影）
2. 利用已有的知识与经验归纳整 理本节所学知识 .
三、情感、态度与价值观
感受空间中图形的基本位置关系，形成严谨的思维品质
.
教学重点、难点
线在此平面内．
师：把一把直尺边缘
A
B
α· C ·
·
上的任意两点放在桌边， 可以看到，直尺的整个边 缘就落在了桌面上，用事 实 引导 学生 归纳出 公理
符号表示为 A∈L
1． 教师引导学生阅读教材
B∈ L ? L ? α． A∈α B∈α
公理 1： 判断直线是否在平
P42 前几行相关内容，并 加以解析．
β
α
P
·
L
平面是有的，而且只有一 个”，也即不共线的三点 确定一个平面 .
“有且只有一个平
面”也可以说成“确定一
符号表示为： P∈ α∩β? α∩β =，L 个平面 . ”
且 P∈ L ．
引导学生阅读 P42 的
公理 3 作用：判定两个平面 是否相交的依据 .
思考题，从而归纳出公理 3．
通过类比 探索，培 养学生知 识迁移能 力，加强 知识的系 统性 .
师：生活中，我们看 到三脚架可以牢固地支撑
面内．
照相机或测量用的平板仪
人教A版高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系课件
C D
B A
C1 D1
B1 A1
知识小结
实例引 入平面
平面的画 法和表示
点和平面的 位置关系
平面三 个公理
空间图形
文字叙述
符号表示
2.1.2空间中两直线的位置 关系
平面有知识（复习 ）
判断下列命题对错： 1、如果一条直线上有一个点在一个平面上，则这条直线上
的所有点都在这个平面内。（ ）
2、将书的一角接触课桌面，这时书所在平面和课桌所在平
直线。（既不相交也不平行的两条直线） 判断：
(1)
m
β
m
l
α
l
直线m和l是异面直线吗?
(2)
,则 与 是异面直线
(3)a,b不同在平面 内,则a与b异面
异面直线的画法:
通常用一个或两个平面来衬托,异面直线
不同在任何一个平面的特点
a
b
b
a
b
a
2、空间中两直线的三种位置关系
1、相交
m P
l
2、平行
m l
b′
平
a′ θ O
移
若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直。 异面直线a与b垂直也记作a⊥b 异面直线所成角θ的取值范围：
例 3 在正方体ABCD—A1B1C1D1中指出下列各对线段所
成的角：
D1
C1
1）AB与CC1； 2）A1 B1与AC； A1
B1
3）A1B与D1B1。
1）AB与CC1所成的角 = 9 0°
4、平面的基本性质
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，
那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
符号表示为:
P l, Pl.
高一数学人教A版必修二 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1平面 教学课件
解析： ∵M、N 是 AA1、AB 中点， ∴MN∥A1B，A1B∥CD1， ∴MN∥CD1，∴D1M 与 CN 在一个面内 ∴D1M∩CN＝P，∴P∈CN，CN⊂平面 ABCD， ∴P∈面 ABCD 同理 P∈平面 ADD1A1 ∴P 在平面 ABCD 与平面 ADD1A1，∴P∈DA. 答案： 共点
3．假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”.
2．已知：A∈l，B∈l，C∈l，D∉l，如图，求证：直线 AD，BD，CD 共面．
数学 必修2
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
证明： 因为直线 l 与点 D 可以确定平面 α，所以只需证明 AD，BD，CD 都在平面 α 内．
第二章
点、直线、平面之 间的位置关系
数学 必修2
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2．1.1 平面
学案·新知自解
数学 必修2
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
1．了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法． 2．能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系． 3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与 作用．
3．如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，设线段 A1C 与平面 ABC1D1 交于点 Q，求证：B，Q，D1 三点共线．
解析： 如图所示，连接 A1B，CD1.显然 B∈平面 A1BCD1，D1∈平面 A1BCD1. ∴BD1⊂平面 A1BCD1. 同理 BD1⊂平面 ABC1D1. ∴平面 ABC1D1∩平面 A1BCD1＝BD1. ∵A1C∩平面 ABC1D1＝Q， ∴Q∈平面 ABC1D1. 又∵A1C⊂平面 A1BCD1， ∴Q∈平面 A1BCD1. ∴Q∈BD1，即 B，Q，D1 三点共线．
高中数学必修2(人教A版)第二章几点、直线、平面的位置关系2.3知识点总结含同步练习及答案
描述：高中数学必修2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质一、学习任务认识和理解空间中线面垂直的有关判定定理和性质定理，能用图形语言和符号语言表述这些定理，并能证明有关性质定理；能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．二、知识清单空间的垂直关系 点面距离三、知识讲解1.空间的垂直关系直线与平面垂直的判定如果直线 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 与平面 互相垂直．记作．直线 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点 叫做垂足．直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．用符号表示：，，，，．平面与平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．用符号表示：，．l αl αl ⊥αl ααl P a b ⊂αa ∩b =P l ⊥a l ⊥b ⇒l ⊥αl ⊥αl ⊂β⇒α⊥β例题：直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行．用符号表示：，．平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．用符号来表示：，，，．a ⊥αb ⊥α⇒a ||b α⊥βα∩β=CD AB ⊂αAB ⊥CD ⇒AB ⊥β下列命题中，正确的序号是______．①若直线 与平面 内的无数条直线垂直，则 ；②若直线 与平面 内的一条直线垂直，则 ；③若直线 不垂直于平面 ，则 内没有与 垂直的直线；④若直线 不垂直于平面 ，则 内也可以有无数条直线与 垂直；⑤过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条．解：④⑤当直线 与平面 内的无数条平行直线垂直时， 与 不一定垂直，所以①不正确；当 与 内的一条直线垂直时，不能保证 与平面 垂直，所以②不正确；当 与 不垂直时，可能与 内的无数条平行直线垂直，所以③不正确，④正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确．故填④⑤．l αl ⊥αl αl ⊥αl ααl l ααl l αl αl αl αl αl α如图，三棱锥 中，，底面 的斜边为 ， 为 上一点．求证： ．证明：因为 ，，所以 ．又 ，，所以 ．又 ，所以 ．P −ABC P A ⊥平面 ABC Rt△ABC AB F P C BC ⊥AF P A ⊥平面 ABC BC ⊂平面 ABC P A ⊥BC AC ⊥BC AC ∩P A =A BC ⊥平面 P AC AF ⊂平面 P AC BC ⊥AF 如图，已知四棱锥 ，底面 是菱形，，，，点 为 的中点．求证：．P −ABCD ABCD ∠DAB =60∘P D ⊥平面 ABCD P D =AD E AB 平面P ED ⊥平面 P ABAB⊂平面P AB又 ，所以3P C⊥AC C，求点 到平面P A⊥ABCD高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
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空间点、直线、面的位置关系（强化训练）
1．设a 、b 是异面直线，那么（ ）
A.必然存在唯一的一个平面，同时平行于a 、b
B.必然存在唯一的一个平面，同时垂直于a 、b
C.过直线a 存在唯一平面平行于直线b
D.过直线a 存在唯一平面垂直于直线b
答案：C
解析：b 与过直线a 的平面没有公共点。
2．已知直线l ⊥平面α，直线m β,有四个命题：
①α∥β⇒l ⊥m ②l ∥m ⇒α⊥β ③α⊥β⇒l ∥m ④l ⊥m ⇒α∥β
A.①与②
B.③与④
C.②与④
D.①与③
答案：A
3．与空间不共面的四点距离相等的平面有（ ）
A.3个
B.4个
C.6个
D.7个
答案：D
解析：四面体中平行于各个面的平面和平行于对棱的面。
4．m 、n 是互不垂直的异面直线，平面α、β分别过m 、n ，则下列关系中不可能是（ ）
A.m ∥β
B.α∥β
C.m ⊥β
D.α⊥β
答案：C
解析：若α⊥β则m 与n 垂直。
5、 已知正三棱锥ABC P -的体积为372，侧面与底面所成的二面角的大小为 60。
（1）证明：BC PA ⊥；
（2）求底面中心O 到侧面的距离.
证明：（1）取BC 边的中点D ，连接AD 、PD ，
则BC AD ⊥，BC PD ⊥，故⊥BC 平面APD . ∴ BC PA ⊥.
（2）如图， 由（1）可知平面⊥PBC 平面APD ，则
侧面与底面所成二面角的平面角.
过点O 作E PD OE ,⊥为垂足，则OE 就是点O 设OE 为h ，由题意可知点O 在AD 上，
∴ 60=∠PDO ，h OP 2=.
h BC h
OD 4,32=∴= ,
∴ 2234)4(43h h S ABC ==
∆， ∵ 3233823431372h h h =⋅⋅=
，∴
3=h . 即底面中心O 到侧面的距离为3。
6、如图，1l 、2l 是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段。
点A 、B 在1l 上，C 在2l 上，AM=MB=MN 。
证明AC ⊥NB
解析：221121,,,l M N l l M N l M l A B N
M N l A M M B M N A N N B A N N B ⊥⊥⋂=⊥⊥==⊥由已知可得平面由已知，＝，可知且
又AN 为AC 在平面ABN 内的射影
所以AC ⊥NB 。