浙江省台州市10-11学年高二下学期期末质量评估试题数学理

浙江省台州市10-11学年高二下学期期末质量评估试题数学理2011.7命题：李建明（台州一中） 汤香花（台州一中）审题： 陈军杰（温岭中学）一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．下列抛物线中，开口最小的是A ．x y 212=B ．x y =2C ．x y 22=D ．x y 42=2． 复数()()R a i a z ∈+-=1是纯虚数，则ia i-+1= A ．1- B ．1C ．i -D ．i3．在空间直角坐标系中，(3,3,0)A ，(0,0,1)B ，点(,1,)P a c 在直线AB 上，则A ．11,3a c ==B ．21,3a c ==C ．12,3a c == D ．22,3a c ==4．若曲线xe y =在1=x 处的切线与直线012=++my x 垂直，则m =A ．e 2-B ．e 2C ．e2-D ．e 25．在四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面是正方形，侧棱垂直于底面，若1BB ，则1CA与AB 所成的角的大小为A ．30B ．45C ．60D ．906．若双曲线2213x y m -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为 A ．03=±y xB ．03=±y xC ．02=±y xD ．02=±y x7．若,x y 均为实数，则“22x y >”是“x y x y ><或”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．在棱长都为2的直三棱柱111ABC A B C -中，线段1AB 与侧面11ACC A 所成角的正弦值为A ．22 B ．23 C ． 43D ．469.下列各坐标系中是一个函数与其导函数的图象，其中一定错误的是10．已知椭圆1422=+y x 的焦点为21,F F ，点M 在该椭圆上，且021=⋅MF MF ，则点M 到y 轴的距离为 A ．332 B ．362 C ．33D ．311. 在平行六面体1111ABCD A BC D -中，6011=∠=∠=∠AB A AD ABAD ， 21===AA AD AB ，则对角线1B D 的长度为A ． 62B ． 4C ． 32D ． 2212．设0>a 为常数，点21,F F 的坐标分别是()()0,,0,a a -，动点(,)(0)M x y y ≠与21,F F 连线的斜率之积为定值λ，若点M 的轨迹是离心率为3的双曲线（去掉双曲线的两个顶点），则λ的值为 A ．2B ．－2C ．3D ．313. 直线l 经过抛物线x y 42=的焦点，且与抛物线相交于B A ,两点，以线段AB 为直径的圆截y 轴所得到的弦长为4，则圆的半径为 A ．2 B ．25C ．3D ．27 14．)(x f '是函数3221()(1)3f x x mx m x n =-+-+的导函数，若函数['()]y f f x =在区间]1,[+m m 上单调递减，则实数m 的取值范围是A ．[]0,1-B ．[]1,0C ．[]1,1-D ．R 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）．15．已知函数x x x f -=sin )(，其导函数为)(x f '，则)3(πf '= ▲ ．16．已知空间四边形OABC ，点,M N 分别为,OA BC 的中点，且,,OA a OB b OC c === ，用,,a b c表示MN ，则MN= ▲ ．17．设面积为S 的平面四边形的第i 条边的边长记为)4,3,2,1(=i a i ，P 是该四边形内任意一点，P 点到第i 条边的距离记为i h ，若31241234a a a a k ====, 则412()i i S ih k ==∑.类比上述结论，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为)4,3,2,1(=i S i ，Q 是该三棱锥内的任意一点，Q 点到第i 个面的距离记为i H ，则相应的正确命题是：若31241234S S S S k ====,则 ▲ ． 18． 若函数()x x x f 33-=在区间()a a ,52-上有最大值，则实数a 的取值范围是 ▲ ．19．已知椭圆C ：)0,0(12222>>=+b a by a x ，21,F F 是椭圆C 的两个焦点，若点P 是椭圆上一点，满足||||212F F PF =，且2F 到直线1PF 的距离等于椭圆的短轴长，则椭圆C 的离心率为 ▲ ． 20．已知函数),2)(()3)(2)(1()(*N n n n x x x x x f ∈≥++++= ，其导函数为)(x f '， 设)2()0()(-'=f f ng ，则=)100(g ▲ ．三、解答题(本大题共5题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) ． 21．(本题满分6分)设命题p ： 方程1122=--ay a x 表示双曲线； 命题q ：“函数2()4f x x ax =-在()+∞,1上单调递增”. 若“q p ∨”为真，“q p ∧”为假，求实数a 的取值范围．22．(本题满分8分）在函数列(){}x f n 中，()x xx f +=11,()()()x f f x f n n 11=+. (Ⅰ)求()()x f x f 32,；（II ）试猜想()x f n 的解析式，并用数学归纳法证明. 23．（本题满分8分）如图甲，直角梯形ABCD 中，CD AB //，2DAB π∠=，点N M ,分别在CD AB ,上，且AB MN ⊥，CB MC ⊥，22==BC MC ，现将梯形ABCD 沿MN 折起，使平面AMND 与平面MNCB 垂直（如图乙）. (Ⅰ)求证：//AB 平面DNC ；（II ）当DN 的长为何值时，二面角N BC D --的大小为6π？24．(本题满分8分）图乙CDNABAND BCM图甲（第23题）如图，抛物线C 的顶点在原点，对称轴是x 轴，并经过点()2,2A . (Ⅰ)求抛物线C 的标准方程；（II ）设过点A 的直线交x 轴于M 点，交抛物线C 于B 点，λ=①当4=λ时，求AOB ∆的面积；②当94≤≤λ时，求点M 横坐标的取值范围.25．(本题满分10分）已知函数()()x a x a x f ln 22++=，b x x x g ++=2)(2（R b a ∈,）. (Ⅰ)求)(x f 的单调区间；（II ）设两曲线)(x f y =与)(x g y =有公共点，且在公共点处的切线相同，若0>a ，试建立b 关于a的函数关系式，并求b 的最小值；（III ）设a a b 222+=，若对任意给定的∈0x (]1,0，总存在两个不同的)2,1(=i x i ，使得()()00=+x f x g i 成立，求a 的取值范围.台州市2010学年第二学期高二年级期末质量评估试题数学答题卷（理科） 2011.7一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,请将正确答案填入下表内）二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）15． ．16． ． 17． ． 18． ．19． ． 20． ． 三、解答题(本大题共5题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．(本题满分6分)（第24题）22．(本题满分8分）23．（本题满分8分）图乙CD NA AND BCM图甲 （第23题）市高二数学（理）答题卷—1（共4页）24．(本题满分8分）市高二数学（理）答题卷—2（共4页）（第24题）25．(本题满分10分）市高二数学（理）答题卷—3（共4页）……………………………………装……………………………………订……………………………………线………………………………台州市2010学年第二学期高二年级期末质量评估试题数学（理科）参考答案 2011.7一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,请将正确答案填入下表内） 二、填空题：（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）15．21-； 16．111222a b c -++； 17．413()i i V iH k ==∑；18．21<<-a ； 19．75； 20．-9900． 三、解答题(本大题共5题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．解：命题p 为真，则10<<a ，………………………… 2分 命题q 为真，则21≤a .………………………… 3分p 真q 假，则01,1,2a a <<⎧⎪⎨>⎪⎩ 即121<<a ；p 假q 真，则01,1,2a a a ≤≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或即0≤a . ………………………… 5分故121<<a 或 0≤a . ……………………………………………… 6分 22．解：（Ⅰ）()x x x f 212+=，()xxx f 313+=. ………………………… 3分（Ⅱ）猜想()nxxx f n +=1.………………………………………… 4分下面用数学归纳法证明：①n ＝1,2,3时，上面已证，猜想正确； ②设n ＝k (k ≥2)时，()kxxx f k +=1 则()()()()()()xk xxx k x xx kf x f x f f x f k k 1111111111++=+++=+==+ 市高二数学（理）参答—1（共4页）市高二数学（理）答题卷—4（共4页）YXZ即n ＝)1(+k 时，猜想也正确．∴猜想成立………………………… 8分23．解：（Ⅰ）如图建立空间直角坐标系N-xyz.设t DN =，则A(2,0,t)，B(2，4，0)，),4,0(t AB -= 又易知平面DNC 的一个法向量为)0,0,1(=， 由0=⋅m AB ，得AB ∥平面DNC .………………………… 3分（Ⅱ）设t DN =，则D(0,0,t)，C(0,2,0)，B(2,4,0)，故=CD (0,-2,t)，=CB (2,2,0)，设平面DBC 的一个法向量为),,(z y x n =，则20,220.y z x y -+=⎧⎨+=⎩取1-=x ，则t z y 2,1==，即)2,1,1(tn -=， 又易知平面BCN 的一个法向量为)1,0,0(=，………………………… 6分=∴6cosπ2411223t t ++=，解得36=t . ……………… 8分另解：（Ⅰ）∵MB ∥NC ，MB ⊄平面DNC ，NC ⊂平面DNC ，∴MB ∥平面DNC . 同理MA ∥平面DNC ， 又MA ∩MB ＝M 且MA 、MB ⊂平面MAB ， ∴平面MAB ∥平面NCD ， 又AB ⊂平面MAB ，∴AB ∥平面NCD . ………………………… 3分 （Ⅱ）过N 作NH ⊥BC 交BC 延长线于H ，连结DH ， ∵平面AMND ⊥平面MNCB ，DN ⊥MN∴DN ⊥平面MNCB ，从而DH ⊥BC ，∴∠DHN 为二面角D －BC －N 的平面角.………………………… 5分=， ∴DN NH ===. ………………………… 8分24．解：（Ⅰ）设抛物线C 的标准方程为22y px =，∵经过点A （2，2），∴1=p ，∴抛物线C 的标准方程为22y x =. ………………… 2分（Ⅱ）设()()0,,,22a M y x B ，∵λ=，∴()222,2.a x a y λλ-=-⎧⎪⎨-=⎪⎩∴222,2,a x a y λλ-⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩又()22,y x B 在抛物线上，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a λλ2222 … 4分 ①当4=λ时，21,212-==y a ，AOB ∆的面积为8521212122121=⨯⨯+⨯⨯……………………… 6分②当94≤≤λ时，由 ⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a λλ2222知方程02)2(2=--+λλa a 在[4，9]上有解，得2192≤≤a 即点M 横坐标的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,92. ………………………… 8分25．解：（Ⅰ）()0,22'>++=x xa a x f ， ∴当02≥+a ，即2-≥a 时，()0'>x f ，()x f 的单调递增区间是()+∞,0；当02<+a ，即2a <-时，()x f 的单调递增区间是⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-a a 2,02，单调递减区间是⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞+-,22a a . ……………… 3分（Ⅱ）设两曲线)(x f y =与)(x g y =的公共点为()00,y x ，则()2200002002ln 2,22 2.a x a x x x b a a x x ⎧++=++⎪⎨++=+⎪⎩消去0x ，得a a b ln 2=. 又⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21ln 2'a ab ，故a a b ln 2=在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0上递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1e 上递增. 故b 的最小值为e21-. ………………………… 6分（III ）当∈0x (]1,0时，()02222'>++≥++=a a xa a x f ， 市高二数学（理）参答—3（共4页）故()x f 在(]1,0上单调递增，()(]a x f +∞-∈∴2,0，()),2[0+∞--∈-a x f .………………… 8分 由题意得，函数()x g 的最小值a a a b --<-+=-212212，22310a a ∴++>，211-<<-∴a . ………………………… 10分市高二数学（理）答题卷—4（共4页） 市高二数学（理）参答—4（共4页）。