第9节 多项式插值
讲解多项式插值(包含例题)
第三章多项式插值方法教学目的及要求：要求掌握基本的定理及各种插值方法。
插值方法是数学分析中很古老的一个分支.它有悠久的历史.等距结点内插公式是由我国隋朝数学家刘焯(公元544—610年)首先提出的;而不等距结点内插公式是由唐朝数学家张遂(公元683—727年) 提出的.这比西欧学者相应结果早一千年.插值方法在数值分析的许多分支(例如, 数值积分, 数值微分, 微分方程数值解,曲线曲面拟合,函数值近似计算,等等)均有应用.下面仅以近似计算函数值为例来说明设已知某个函数关系()x f y =的列表函数值nn y y y yx x x x110而()n i x x i ,1,0=≠问应该如何估值().x f y =对于函数关系()x f y =,我们所知道仅仅上述的表列值,它们常常是间接求得的.例如是由实验(观测)得来的,或者是从级数或微分方程求得的.我们可以使用插值方法估计y. 插值方法的目的是寻求简单的连续函数()x ϕ,使它在n+1个点n x x x ,,,10 处取给定值()()),,1,0(n i x f y x i i i ===ϕ,而在别处希望它也能近似地代表函数()x f .因为()x ϕ已是有解析表达式的简单函数,所以它在x x =处的值可以按表达式精确地计算出来.这样我们就可以将()x ϕ看成().x f y =的近似值了给定点n x x x ,,,10 为插值结点.称函数()x ϕ为函数()x f 的关于n x x x ,,,10 的插值函数.称()x f y =为被插函数.严格的说,插值方法一词只用于x 落在给定点n x x x ,,,10 之间的情形,所以也称它为内插法.如果x 落在给定点n x x x ,,,10 之外,并且仍以插值函数()x ϕ在x 处近似地代替().x f ,则一般称这种近似计算函数的方法为外插法.本章我只研究多项式插值，亦即()x ϕ是x 的多项式的情形.这不仅仅因为多项式是最简单的函数，而且因为在许多场合，函数()x f 容易用多项式近似地表示出来.此外,用多项式作插值函数可满意地解决一系列有应用价值的重要问题.特别是数值积分与数值微分的问题.本章讲不涉及三角插值法.其实,只要理解了代数多项式插值方法的实质读者就不难自行导出关于三角多项式插值方法的一系列相应与代数多项式插值方法的理论结果§1. Lagrange 插值公式设()x f y =是实变量x 得单值函数，且已知()x f 在给定的n+1个互异点n x x x ,,,10 处的值n y y y ,,,10 ,即().,,0,n i x f y i i ==插值的基本问题是,寻求多项式()x p ,使得 ()()1.1.,0,n i y x p i i ==设()x p 是一个m 次多项式()0,2210≠++++=m m m a x a x a x a a x p则插值问题是，如何确定()x p 中的系数m a a a ,,,10 ,使得(1.1)式得以满足.所以该问题等价于求解下述的线性方程组:()2.1,,,22101121211000202010⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++n m n m n n mm mm y x a x a x a a y x a x a x a a y x a x a x a a上述的线性方程组的系数矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m n m m nnx x x x x x x x x A102211200111 它是一个(n+1)×（m+1）矩阵.当m>n 时，A 的列数大于行数.不难证明矩阵A 的秩数为n+1.因为A 的前n+1列所组成的行列式为(称为Vandermonde 行列式)()mnmm n n n n x x x x x x x x x d e f x x x W10221120010111,.,-我们有()()()3.1,.,10∏>--=ij i j n n x x x x x W为证(1.3),考虑n 次多项式()nnnn n n n n n xx xx x x x x x x x x x x x W2121112110200101111,.,----= 显然110,,,-n x x x 均为它的零点,且它的n x 系数恰为()10.,-n x x W 即 ()()()()101010.,,.,-----=n n n x x x x x x W x x x W 从而有下述递推关系式()()()()101010.,,.,-----=n n n n n n x x W x x x x x x x W运用它即可证明(1.3)式根据(1.3),并注意到诸n x x x ,,,10 互异，从而线性方程组(1.2)的系数矩阵的秩数为n+1 .它表明(1.2)的解是不唯一的，即插值问题(1.1)的解不唯一。
多项式插值典型算法及其应用
多项式插值典型算法及其应用一、任务简介 (2)1、1任务题目 (2)1、2任务目得 (2)1、3任务案例 (2)二、总体设计 (3)三、算法原理 (3)3、1分段线性插值 (3)3、2保形插值 (4)3、3三次样条插值 (4)3、4最邻近点插值 (7)3、5分片线性插值 (7)3、6双线性插值 (8)四、算法介绍 (8)4、1分段线性插值 (8)4、2保形插值 (9)4、3三次样条插值 (9)4、4最邻近点插值 (9)4、5分片线性插值 (9)4、6双线性插值 (9)五、软件功能 (10)六、运行结果 (10)6、1主界面 (10)6、2二级界面 (11)6、3程序结果 (11)七、个人总结 (16)八、参考资料 (17)附录 (17)一、任务简介1、1任务题目多项式插值典型算法及其应用1、2任务目得基于MATLAB图形界面对测试案例利用分段线性插值、保型插值、三次样条插值、最邻近点插值、分片线性插值、双线性插值实现。
1、3任务案例案例一、数控机床加工零件待加工零件得外形根据工艺要求由一组数据(x,y)给出(在平面情况下),用数控机床加工时刀具必须沿这些数据点前进,并且由于刀具每次只能沿x方向或y方向走非常小得一步,所以需要将已知数据加密,得到加工所要求得步长很小得(x,y)坐标。
图1就是待加工零件得轮廓线,表1给出了轮廓线上x每间隔0、2(长度单位)得加工坐标x,y(顺时针方向为序,由轮廓线得左右对称性,表中只给出右半部得数据),假设需要得到x或y坐标每改变0、05时得坐标,试完成加工所需得加密数据,画出曲线。
图1、零件得轮廓线(x间隔0、2)0 0、2 0、4 0、6 0、8 1 1、25 4、71 4、31 3、68 3、05 2、5 2、051、4 1、6 1、8 22、2 2、4 2、61、69 1、4 1、18 1 0、86 0、74 0、642、8 33、2 3、4 3、6 3、8 40、57 0、5 0、44 0、4 0、36 0、32 0、294、2 4、4 4、6 4、8 5 4、8 4、60、26 0、24 0、2 0、15 0 -1、4 -1、96二、总体设计3、1分段线性插值给定n+1 个结点a=x0<x1<…<xn =b上得函数值y0, y1,…,yn ,求一折线函数Ih(x)满足:则称Ih(x)为分段线性插值函数。
插值法及拉格朗日插值多项式
x0 )( x − x2 ) x0 )( x1 − x2 )
+
f
(
x2
)
(
(x
x2
− −
x0 x0
) )
( (
x − x1)
x2 − x1
)
以类似的方法教师可以推导三次多项式。为了学生的
兴趣，教师也可以引入「拉格朗日乘数函数」。
最后教师可帮助学生引出 pn (x) , n = 1, 2, 3 的次数是 n 及在 n + 1 个表列点到 xi 上， pn (xi ) = f (xi ) 的结论， 但不须要将其引伸至一般情况。
作为进一步的说明，一些常用函数如正弦及余弦函数 是值得作为课堂上示范的。教师可要求学生将利用拉格朗 日插值多项式估计的中间函数值与由计算器算得的数值 作一比较。教师亦可举出一些实际例子如经济走势图表及 人口数据表并要求学生估计其中缺掉的一些数据。
3.4 插值各项式的误差估计
3
在此阶段，教师应提醒学生拉格朗日插值多项式只是
学生应知道多项式逼近函数是数值法最常用的一种。 利用多项式 p(x) 替代函数 f(x) 是因为多项式容易计算， 它只涉及整数幂；而其导数及积分本身又为多项式，并不 难求得；况且多项式方程的根亦很容易确定。
3.2 拉格朗日播值多项式的 构造
3
作为引入，教师可展示拉格朗日插值多项式 pn(x) 在
n = 1 的情形。以下的图解可帮助学生了解插值法的实际
3.3 拉格朗日插值多项式的 2
教师应展示拉格朗日插值多项式的应用例子。
应用
例一
下表列出在 0, 1, 2, 4 点上的四个函数值。
xk
012源自4yk11
2
插值多项式
由插值条件
Pn ( xi ) yi
i 0, 1, , n
得到如下线性代数方程组：
1
a0
1
a0
x0a1 x1a1
x0nan x1nan
y0 y1
1 a0 xna1 xnnan yn
7
存在唯一性定理证明(续)
此方程组的系数行列式为
且 ( x0 ) ( x1 ) 0 存在 (x0, x1)使得 。
( ) 0
推广：若 ( x0 ) ( x1 ) ( x2 ) 0 0 ( x0 , x1 ), 1 ( x1, x2 )
使得 (0 ) (1 ) 0
函数值：
x x0 x1
xn1 xn
y y0 y1
yn1 yn
• 插值问题：根据这些已知数据来构造函数
y f (x) 的一种简单的近似表达式,以便于计算 点 x xi ,i 0,1,L , n 的函数值 f (x) ，或计算函数 的一阶、二阶导数值。
3
多项式插值定义
在众多函数中,多项式最简单、最易计算，已知函数 y f (x)在n 1
0
0L
0
l1 ( x)
0
1
0
L
0
L
L
L
L
LL
ln (x)
0
0
0
L
1
24
N次插值多项式4
求n次多项式 lk ( x) ， k = 0, 1,…, n
1, lk ( xi ) 0,
则
ki ki
n
几种常用的插值方法
几种常用的插值方法常用的插值方法包括线性插值、多项式插值、样条插值和径向基函数插值等，下面将依次介绍这些方法。
1.线性插值：线性插值是最简单的插值方法之一，它假设函数在两个已知点之间的变化是线性的。
对于给定的两个点(x0,y0)和(x1,y1)，线性插值公式为：y=y0+(x-x0)*(y1-y0)/(x1-x0)其中，y是需要插值的点对应的函数值，x是插值点的横坐标。
2.多项式插值：多项式插值方法通过在给定的一组点上构建一个多项式函数来进行插值。
常用的多项式插值方法包括拉格朗日插值和牛顿插值。
- 拉格朗日插值通过构建一个n次多项式来插值n+1个给定的点。
具体来说，对于给定的n+1个点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，拉格朗日插值公式为：y = Σ(yk * lk(x))其中，lk(x)是拉格朗日基函数，计算公式为：lk(x) = Π((x - xj) / (xi - xj))，(j ≠ i)- 牛顿插值通过构建一个n次插值多项式来插值n+1个给定的点。
具体来说，对于给定的n+1个点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，牛顿插值公式为：y = Σ(Π(x - xj) / Π(xi - xj) * finDiff(yj))其中，finDiff(yj)是每个节点的差商，计算公式为：finDiff(yj) = (ΣΠ(xj - xi) * yj) / ΣΠ(xi - xj)，(i ≠ j) 3.样条插值：样条插值方法通过使用分段函数来逼近给定的一组点。
常用的样条插值方法有线性样条插值和三次样条插值。
-线性样条插值在每两个相邻点之间使用线性函数进行插值，保证了插值函数的一阶导数是连续的。
-三次样条插值在每两个相邻点之间使用三次多项式进行插值，保证了插值函数的一阶和二阶导数都是连续的。
三次样条插值具有良好的平滑性和精度。
4.径向基函数插值：径向基函数插值是一种基于局部函数的插值方法，它假设函数值仅取决于与插值点的距离。
第9节 多项式插值PPT课件
证 明 ： f(n＋ 1)()0
多项式插值误差
• 例：已 知 sin1,sin1,sin3
6 2 0.85
sin
42
32
分别利用 sin0.x8 的1次外 内推 插、2次 Lagrange 插值计算 sin 50 并估计误差。
数值逼近（Approximation）
• Approximation theory is concerned with how functions can best be approximated with simpler functions, and with quantitatively characterizing the errors introduced thereby.
0.2
0
-0.2
5
-0.4-5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
5
-5
0
4阶
0
10阶
注意：
上述插值 结果是正 确的多项 式插值结 果，而且 5 是唯一的 多项式插 值结果。 Rung现象 是多项式 插值本身 的缺陷而 非误差。
5
埃尔米特（Hermite）插值
在不少实际问题中，对插值不但要求在节点上函数值相等而且还要求 它的导数值也相等。
det xx10nn xnn
... ...
...
x0 x1
xn
1
1
i j
(xi
xj )
0
1
范德蒙矩阵的行列式的值为xi- xj 的连乘积，当 xi≠xj时，该 行列式的值不为零，即线性方程组有解，且存在唯一解
多项式的插值多项式与Newton插值知识点
多项式的插值多项式与Newton插值知识点多项式的插值多项式是数值分析中的一个重要概念，它用于将给定的一组数据点拟合为一个多项式函数。
在多项式的插值问题中，给定n + 1个数据点(x0, y0), (x1, y1), ... , (xn, yn)，其中xi不相等，yi可以是任意实数，要求找到一个n次多项式P(x)，使得P(xi) = yi，i = 0, 1, ..., n。
插值多项式的目的是通过已知的数据点，找到一个多项式函数，从而能够在这些数据点上精确地插值。
Newton插值是一种常用的插值方法，它采用了差商的概念。
差商是一种用于表示多项式系数的方法，通过递推关系可以快速计算出插值多项式的系数。
为了使用Newton插值，首先需要计算出差商表。
差商表的第一列是给定的数据点的纵坐标值，第二列是相邻数据点的差商，第三列是相邻差商的差商，以此类推。
差商表的对角线上的元素即为插值多项式的系数。
插值多项式的计算过程可以通过以下步骤来完成：1. 根据给定的数据点，构建差商表。
2. 根据差商表的对角线上的元素，计算插值多项式的系数。
3. 根据插值多项式的系数，构建插值多项式。
在实际应用中，多项式的插值多项式可以用于数据的拟合和插值计算。
通过插值多项式，我们可以通过已知数据点推断出未知数据点的值，从而实现对数据的预测和估计。
总结起来，多项式的插值多项式与Newton插值是数值分析中常用的方法。
它们通过利用已知的数据点，构建插值多项式来拟合数据，从而实现数据的预测和插值计算。
在实际应用中，我们可以根据具体的问题和数据特点选择适合的插值方法，并利用插值多项式进行数据的分析和处理。
多项式插值_Lagrange插值
l1( x)
(x ( x1
x0 x0
)( )(
x x2) x1 x2 )
l2
(
x)
(x ( x2
x0 x0
)( )(
x x1 ) x2 x1 )
则有
l j ( xi
)
ij
1, 0,
i j i j
称 l0(x) , l1(x)，l２(x)为二次插值多项式的基函数。
An
(
xn
x0 )(
xn
yn x1)( xn
xn1 )
将
A0
(
x0
x1 )(
x0
y0 x2 )(x0
xn )
A1
(
x1
x0
)(
x1
y1 x2
)(
x1
xn
)
代入下式：
,
An
(xn
x0
)(
xn
yn x1 )(
xn
xn1 )
Ln(x) A0(x x1)( x x2 )(x xn ) A1(x x0 )( x x2 )(x xn )
xi yi
x0 y0
x1 y1
求解 L1(x)=a1 x+a0
使得 f(x) ≈ L1(x), x ∈[x0 , x1].
根据点斜式得到
L1( x)
y0
y1 x1
y0 x0
(x
x0 )
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( x x0 )( x x1 ) l2 ( x) ( x2 x0 )( x2 x1 )
• 性质1：拉格朗日多项式在本插值点值为1，其它插值点值为0。
1
1 0.8
1 k j lk ( x j ) 0 k j
0.8
0.6 0.4 0.2
0.6
0.4
0 -0.2
0.2
巴尔默谱系
• 实验总结： 1885年，瑞士一位中学数学教师J.J.Balmar(巴 尔默)指出，上述谱线的频率符合下列公式：
1 1 v 3.289 10 ( 2 2 ) Hz 2 n • 由此公式可算出： – 当n＝3时，是Hα的频率 – 当n＝4时，是Hβ的频率 – 当n＝5时，是Hγ的频率 – 当n＝6时，是Hδ的频率
l ( x) 1
k 0 k
n -1
拉格朗日多项式
• 例：已知lg10=1,lg15=1.1761,lg20=1.3010,利用一次、二次多 项式插值计算 lg12的近似值。
一阶插值，选择 x 10和 20则插值基函数为： x 20 1 x 10 1 l0 ( x) ( x 20) l1 ( x) ( x 10) 10 20 10 20 10 10 1 1.3010 P ( x ) y l ( x ) y l ( x ) ( x 20) ( x 10) 1 0 0 11 10 10
• 差异：
y y
插值函数必 须经过插值点。
x xBiblioteka 拟合函数不必 经过拟合点。
插值
• 在已知 < xi, yi > 的前提下，有多少函数满足yi = f (xi) ？
y
x
• 给定任意一组< xi, yi >，存在无穷多函数满足yi = f (xi) ，因 此，在解决插值问题前，必须首先明确所采用的插值函数。 • 常用插值函数：
15
数值逼近
• 插值（interpolate）
– 已知函数在xi处的值为 yi ，求 f (x)，使之满足： yi = f (xi)
– 其中， f (x)为插值函数， xi处为插值节点，插值节点的区间称为 插值区间， yi = f (xi)为插值条件。
• 拟合（fit）
– 已知函数在xi处的值为 yi ，求 f (x)，使之满足： e =‖yi - f (xi) ‖ 在给定的准则下最小。
f ( n＋1) ( x)在（a, b）存在，节点a x0 x1 ... xn b, Pn ( x)是n次拉格朗日插值多项式，则对任意的x [a, b], 必存一点 (a, b), 使插值余项： Rn ( x)
n 1 时 n 2时 f ''' ( ) R2 ( x) ( x x0 )( x x1 )( x x2 ) 6
Pn ( x) yk
k 0 n
n 1 ( x) ( x xk ) 'n 1 ( xk )
拉格朗日多项式性质
x x1 一阶插值公式：l0 ( x) x0 x1 二阶插值公式：l0 ( x) x x0 l1 ( x) x1 x0 ( x x0 )( x x2 ) ( x x1 )( x x2 ) l1 ( x) ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 )
二阶插值，选择 x 10和 20则插值基函数为： ( x 15) ( x 20) 1 l0 ( x) ( x 15)( x 20) (10 15) (10 20) 50 ( x 10) ( x 20) 1 l1 ( x) ( x 10)( x 20) (15 10) (15 20) 25 ( x 10) ( x 15) 1 l2 ( x) ( x 10)( x 15) (20 10) (20 15) 50
n 1 n an x0 x0 ... a1 x0 a0 y0 ... x0 1 an y0 n n 1 x1 ... x1 1 ... y1 an x1 ... a1 x1 a0 y1 a1 ... ... n n 1 xn ... xn 1 a0 yn an xn ... a1 xn a0 yn
拉格朗日多项式
P2 ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x) y2l2 ( x)
1.3 log10 P1(x) P2(X) X
1 1.25 ( x 20)( x 15) 50 1.2 1.1761 1.15 ( x 10)( x 20) 25 1.1 1.3010 1.05 ( x 10)( x 15) 50 1 10 最后得到 : P 1 (12) 1.0602 （三位有效数字） P2 (12) 1.0766 （四位有效数字） log(12) 1.0792
n
令： n 1 ( x) ( x x0 )( x x1 )...( x xn )
'n 1 ( xi ) ( xi x0 )...( xi xi 1 )( xi xi 1 )...( xi xn ) n 1 ( x) 则： li ( x) ( x xi ) 'n 1 ( xi )
多项式插值的另一表示-拉格朗日多项式
• 多项式插值的拉格朗日多项式表示：
– 给定插值点< xi, yi >，其插值多项式可表示为：
Pn ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x) ... ynln ( x) yk lk ( x)
k 0
n (x x ) ( x x0 )...( x xi 1 )( x xi 1 )...( x xn ) j 其中，li ( x) = ( xi x0 )...( xi xi 1 )( xi xi 1 )...( xi xn ) j 0 ( xk x j ) j k
A = vander(x) display(strcat('cond(A) = ' , num2str(cond(A)))) display(' ') display('P = A \ y.' ) P = A \ y.' ; P = P.' plot(x, y, 'o') hold on xx = 0 : 0.01 : 1; yy = P(1) * xx.^5 + P(2) * xx.^4 + P(3) * xx.^3 + P(4) * xx.^2 + P(5) * xx.^1 + P(6); plot(xx, yy)
范德蒙矩阵的行列式的值为xi- xj 的连乘积，当 xi≠xj时，该 行列式的值不为零，即线性方程组有解，且存在唯一解
多项式插值
• 例：已知 x = 0 , 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0，y = 1.0, 1.17, 1.70, 2.59, 3.93, 6.00，求5阶多项式差值。
– 问题1：已知美国1900年~2000年人口数，分析美国人口变化规律， 预测美国未来人口数目； – 问题2：已知某元件在电压为v1…vn时，其电流为i1…in，求该元件 的伏安特性曲线。
巴尔默谱系
• 当极少量的高纯氢气在高真空玻璃管中，加入高电压使之 放电，管中发出光束，使这种光经过分光作用，在可见光 区得到四条颜色不同的谱线。
7 6 5 4 3 2 1 0 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
多项式插值
clear all close all clc x = 0 : 0.2 : 1 % display('y = 3 * x.^5 - 4 * x.^4 + 2 * x.^3 + 4 * x.^2 + 1') y = 3 * x.^5 - 4 * x.^4 + 2 * x.^3 + 4 * x.^2 + 1
f ( n＋1) ( ) f ( n＋1) ( ) n f ( x) Pn ( x) n 1 ( x) (x x j ) (n 1)! (n 1)! j 0
-0.4 -0.6 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2
0 -0.1
-0.05
0
0.05
0.1
二阶拉格朗日差值函数
四阶拉格朗日差值函数
拉格朗日多项式性质
y 1 x 0 1 2 3 4 5
性质：对于任意x都有： lk ( x ) 1
k 0
n 1
证明： 根据拉格朗日插值的定义，则插值函数经过插值节点： {( x0 ,1), ( x1 ,1),..., ( xn-1 ,1)}, 所以函数f ( x) 1是经过上述插值节点的多项式函数。 又由于多项式插值的唯一性，所以有：
• • • • • •
figure hold on plot(xx, log10(xx), 'r'); plot(xx, yy1, 'g'); plot(xx, yy2, 'black'); plot(x, y, 'b')
多项式插值误差
• 定理： 设函数y f ( x)的n 阶导数f ( n ) ( x)在[a, b]上连续，
求解该线性方程组即可得到多项式的系数
插值多项式的存在唯一性
• 该线性方程组有解吗，解唯一吗？ • 唯一性定理：通过n+1个节点的n阶插值多项式存在且唯一。 证明：
n x0 ... x0 1 n x ... x 1 1 det 1 ( xi x j ) 0 i j n xn ... xn 1