关于两类拉伸杆的斜截面应力分布的探究
工程力学第21讲 应力状态分析：求斜截面应力
工程力学第21讲应力状态分析：求斜截面应力在工程力学中，应力状态分析是研究物体受到外力作用后内部应力分布的一门学科。
在实际工程中，经常需要求解物体内部某一点的应力值。
在本文中，我们将着重介绍如何求解斜截面上的应力值。
斜截面应力状态的分析是典型的三维问题，但在一些实际应用中，我们只需要在某一平面上求解应力分量。
为了方便分析，我们通常假设物体是等截面的，其剖面可以看成一个平面截形，如下图所示。
假设物体受到一个外作用力F，我们需要分析该力作用在斜截面xy上，求解点P处的应力状态（包括法向应力σn和切应力τxy）。
点P的坐标可以表示为(x,y,z)。
截面上的任一元素dA的面积可以表示为dA=dxdy，其对应的法向为b。
为了求解点P处的应力状态，我们可以采用以下的步骤：### 第一步：求解对x分量的力和对y分量的力为了便于分析，我们可以将作用力F分解成两个分量F_x和F_y，如下图所示。
在这里，我们需要注意F_x和F_y的方向。
如图所示，F_x沿x轴正方向，F_y沿y轴正方向，因为较难确定夹角a和b的正负号，所以F_x和F_y以及后面的应力分量都是以箭头的方向表示。
同时我们还需要注意到式中的F_z。
如下图所示，我们可以建立一个平面一对应着力分解后的F_x，F_y和截面。
然后我们可以求解在x和y方向上的应力分量。
对应的应力分量为：$$\sigma_x=\frac{F_x}{A_x}$$$$\sigma_y=\frac{F_y}{A_y}$$其中，Ax和Ay分别是上图中标注的x和y方向上的面积。
由于F_x和F_y都垂直于z 轴，所以在z方向上不存在应力分量。
### 第三步：求解点P处的应力状态现在我们已经求解了对x分量的力和对y分量的力在x和y方向上的应力分量，接下来我们需要求解点P处的应力状态。
如下图所示，我们需要确定切线方向上的应力σ_t和法线方向上的应力σ_n。
材料拉伸应力
试计算图示杆件1 试计算图示杆件1-1、2-2、和3-3截面上的正 应力.已知横截面面积A=2 A=2× 应力.已知横截面面积A=2×103mm2 1 20KN 20KN 2 40KN 3 40KN
1
2
40kN
3
σ 1−1 = −10 MPa σ 2−2 = 0
20kN
σ 3−3 = 20 MPa
图示支架，AB杆为圆截面杆， 图示支架，AB杆为圆截面杆，d=30mm, 杆为圆截面杆 BC 杆为正方形截面杆，其边长a=60mm F=10KN， a=60mm， 杆为正方形截面杆，其边长a=60mm，F=10KN，试求 AB杆和BC杆横截面上的正应力 杆和BC杆横截面上的正应力。 AB杆和BC杆横截面上的正应力。
NL ∆L = EA
上式只适用于 在杆长为l长度内N 均为常值的情况下， 1、在杆长为l长度内N、E、A均为常值的情况下，即在 杆为l长度内变形是均匀的情况。 杆为l长度内变形是均匀的情况。 否则，则应分段计算ΔL=Δ …+Δ 否则，则应分段计算ΔL=ΔL1+ΔL2+…+ΔLn 2、应力不超过比例极限 、 E为拉压弹性模量，反映了材料抗拉压的能力，是材料的拉 为拉压弹性模量，反映了材料抗拉压的能力， 压刚度指标，单位Pa EA称为杆的拉压刚度 Pa。 压刚度指标，单位Pa。EA称为杆的拉压刚度 ,反映了杆件 抵抗拉压的能力 虎克定律的另一表达式： 虎克定律的另一表达式：
例3
解：(1)、计算支反力 (1)、 ∑X=0 P2-P1-RA=0 RA=P2-P1=-20KN (2)、计算各段杆件 (2)、 横截面上的轴力 AB段 AB段： NAB=RA=－20kN BD段 BD段： NBD=F2=10kN
(3)、画出轴力图，如图（ (3)、画出轴力图，如图（c）所示。 所示。 (4)、 (4)、计算各段应力 AB段 AB段： σ AB
拉压杆斜截面上的应力
应力计算公式
σ=F/A，其中σ为横截面 上的应力，F为轴向拉伸 力，A为横截面面积。
压杆
定义
压杆是受到压缩作用的杆 件，其轴向压力垂直于杆 轴线。
受力特点
压杆在轴向压力作用下， 其横截面上的应力分布呈 现均匀性，且方向与压缩 力方向相反。
应力计算公式
σ=F/A，其中σ为横截面上 的应力，F为轴向压缩力， A为横截面面积。
常用的计算方法包括：截面法、能量法等，具体计算方法的选择取决于问题的具 体条件和要求。
04 斜截面上的应力对拉压杆 的影响
斜截面上的应力对拉杆的影响
拉杆在受到拉伸时，斜截面上的应力分布不均匀，表现为拉应力。拉应力的大小与拉杆的长度、截面 尺寸和材料有关。斜截面上的拉应力会导致拉杆发生伸长变形，影响其承载能力和稳定性。
拉压杆的设计原则与注意事项
设计原则
拉压杆的设计应遵循力学原理和相关标准规范，确保其具有足够的强度、刚度 和稳定性。
注意事项
在拉压杆的设计过程中，还需要考虑制造工艺、使用环境和维修保养等因素， 以确保其性能和安全可靠性。
感谢您的观看
THANKS
为了提高拉压杆的整体稳定性，可以通过优化设计、选择合 适的材料和加强结构措施等手段来改善斜截面上的应力分布 。例如，可以通过改变截面形状、增加加强筋或采用复合材 料等方法来提高拉压杆的承载能力和稳定性。
05 拉压杆的设计与优化
拉杆的设计与优化
拉杆的设计
拉杆的设计应考虑其承受的拉力 大小、方向和作用点，以及使用 环境和材料特性等因素。
表面。
斜截面上的应力方向与截面的 法线方向垂直，并垂直于杆件
的轴线。
在拉压杆的轴线方向上，斜截 面上的应力呈现对称分布，而 在垂直方向上呈现非对称分布 。
应力分布规律.
（a）
3. 根据钢管的横截面尺寸算得：
π 2 [ D ( D 2d ) 2 ] 4 40.8 10 4 m 2 π I [ D 4 ( D 2d ) 4 ] 64 868108 m 4 I W 124 10 6 m3 D/2 A
1
max
例题 1 图a所示折杆ACB由钢管焊成，A和B处铰支,C 处作
用有集中荷载F=10 kN。试求此折杆危险截面上的最大拉应力 和最大压应力。已知钢管的外直径D =140 mm，壁厚d =10 mm。
解： 1.约束力FA=FB= 5 kN。折杆的受力图如图b。
根据对称性，只需分析折杆的一半，例如AC杆；将约束 力FA分解为FAx =3 kN和FAy=4 kN后可知，AC 杆的危险截面为
350000 350 506 0.20.3 0.20.32
d
200 300 200 P
2 max
11.7 MP a
M
图（1）
2019/3/8
图（2）
F A 350000 8.75MP a 0.2 0.2
10
例2图示钢板受力F=100kN，试求最大正应力；若将缺口移至板 宽的中央，且使最大正应力保持不变，则挖空宽度为多少？ F
2019/3/8
y 已知 ay， az 后 ， 可求 F力的一个作用点( z F , yF ) 9
可见中性轴与力的作用点在对称的象限,力作 用点离坐标原点越近，中性轴离其越远。
例1 图示不等截面与等截面杆，受力F=350kN，试分别求出两柱
内的绝对值最大正应力。 解：两柱均为压应力
F F
斜拉实验报告
斜拉实验报告引言：斜拉实验是一种常见的力学实验，用于研究杆件或桥梁的力学性质。
通过施加不同角度的拉力并测量相应的变形，我们可以了解杆件或桥梁在斜拉状态下的强度和稳定性。
本实验旨在通过斜拉实验研究一种新型结构材料的力学性能，并对实验结果进行分析和讨论。
实验方法：首先，我们根据实验要求制备了一根长度为1米、直径为10毫米的实验杆。
然后，我们在实验室灵活调整的支点上悬挂该实验杆，并使用称重仪器施加垂直于实验杆的拉力。
为了保证实验准确性，我们使用多次试验并取平均值。
实验过程：我们首先施加了一个与实验杆呈30度角的斜向拉力，并记录了实验杆的变形情况。
随后，我们逐渐增大拉力，并测量相应的变形。
当拉力达到一定程度时，我们观察到实验杆出现明显的塑性变形，这时我们停止拉力的增加并记录相关数据。
整个实验过程中，我们还注意到了实验室环境因素，如温度和湿度的变化，以排除其对实验结果的影响。
实验结果：通过实验获得的数据，我们制作了一条拉力-位移曲线，并通过曲线上的数据点进行分析。
首先，我们观察到在拉力增加的初期，实验杆的变形较小，与预期一致。
然而，当拉力逐渐增大时，实验杆的变形也随之增加，并且变形速度呈现出逐渐加快的趋势。
最终，当拉力达到杆件的强度极限时，我们观察到杆件出现塑性变形，丧失了原有的结构稳定性。
实验讨论：通过斜拉实验，我们对这种新型结构材料的力学性能有了初步的了解。
首先，我们观察到杆件在不同角度的拉力下会产生不同的变形情况，这说明力的方向对杆件的力学性质有重要影响。
其次，我们观察到杆件在拉力逐渐增大时呈现出塑性变形的特点，这提醒我们在实际工程中选择合适的材料和结构以确保结构的稳定性。
此外，我们还发现在实验过程中环境因素对实验结果有一定影响。
例如，温度的变化可能导致材料的热胀冷缩，从而改变了杆件的刚度和变形特性。
因此，在实际应用中，我们需要考虑环境因素的影响，并进行相应的修正和调整。
结论：通过斜拉实验，我们对一种新型结构材料的力学性能进行了初步研究，并获得了实验结果。
斜截面应力演示文稿
x
x
第十六页，共20页。
第四节 拉压杆内的应力单元体
拉压杆内的应力单元体
F
B
Cα
F
N
B
A
B
N
A
β=1350
α=450
C
单向应力状态
x
第十七页，共20页。
例5-3 已知：F=10kN，d=10mm，α=450。
取拉杆内C点的应力单元体，计算各面应力
F
Cα
F
解：横截面应力
取C点的应力单元体 α截面应力
x
正负号规定
2
sin 2
α——从x轴到外法线n，逆时针为正
正应力σα——拉为正
讨论
切应力τα——顺时针为正
1. α= 0 ，σα=σmax=σ ，τα= 0
2. α=45°，
2
max
2
第十四页，共20页。
3. α= 90°，σα= 0 ，τα= 0
拉压杆内的应力
F
F
F
N
A
F
pα = σcos α
F
α pα α
全应力为
p
N A
F
A / cos
cos
α截面上的全应力分解为正应力σα 和切应力τα
p cos cos2
p
sin
2
sin
2
2
1
cos 2
第十三页，共20页。
二、 拉压杆斜截面上的应力
m F
α截面上的应力为
F 正应力σα 和切应力τα
F F
α α α
m
α
α
pα
pα
n
2
1 cos 2
横截面和斜截面上的应力
已知h=25mm，h0=10mm，b=20mm。试求杆内的最大
正应力。
1
2
解:
F
F
①计算轴力
1
2
FN =-20KN ②计算最大的正应力值
A11—1
A22—2
h h0 h
Amin= A2=（h- h0）b=（25 -10）×20mm2= 300mm2
F
b
b
FN
σmax= FN/A 2=-20×103/300（MPa）=-66.7 MPa
第十四讲
教学内容：
§12-3横截面和斜截面上的应力
§12-4拉压杆的变形及虎克定律
教学要求：
1、理解正应力、切应力的概念，掌握拉压杆横截面 和斜截面上的应力计算公式。
2、理解应变、泊松比，掌握虎克定律及其应用方法。
可编辑ppt
1
第三节 横截面和斜截面上的应力
一、应力的概念
平均应力：横截面某范围内单位面积上微内力的平 均集度 p F
面，仅沿轴向产生了相对可平编辑移ppt。
5
由此可推断出：横截面上各点的变形程度相 同，受力相同；亦即内力——轴力在横截面上均 匀分布。由材料均匀性假设可的如下结论：
轴向拉压杆横截面上各点的应力大小相等， 方向垂直于横截面。
F
FN FN
A
即横截面上的正应力计算式为
可编辑ppt
6
例 一中段开槽的直杆，承受轴向载荷F＝20kN作用，
A
F1
m F微内力
O点 A微面积
F2
m
可编辑ppt
2
一点的应力：当面积趋于零时，平均应力的大小和
方向都将趋于一定极限(即全应力)，
得到
拉压杆横截面上的应力应变及胡克定律
拉压杆横截面上的应力应变及胡克定律机械工业出版社/doc/be3628979.html,用同一材料制成而横截面积不同的两杆，在相同拉力的作用下，随着拉力的增大，横截面小的杆件必然先被拉断。
这说明，杆的强度不仅与轴力的大小有关，而且还与横截面的大小有关，即杆的强度取决于内力在横截面上分布的密集程度。
分布内力在某点处的集度，即为该点处的应力。
第二节拉、压杆横截面上的应力、应变及胡克定理一、杆件在一般情况下应力的概念m F 2F 1O 点F 微内力A 微面积AF p ??=m研究图示杆件。
在截面m-m 上任一点O 的周围取一微小面积?A ，设在?A 上分布内力的合力为?F ，?F 与?A 的比值称为?A 上的平均应力，用p m 表示，即m F 2F 1m F 2F 1O 点?F 微内力A 微面积p m AF p ??=m全应力一般情况下，内力在截面上的分布并非均匀，为了更真实的描述内力的实际分布情况，应使?A 面积缩小并趋近于零，则平均应力p m 的极限值称为m-m 截面上O 点处的全应力，并用p 表示，即OAFA F p A d d lim 0==→?m F P2F P1mF P2F P1K 点F 微内力A 微面积p 全应力K全应力p m 的方向即?F 的方向。
通常将应力分解成垂直于截面的法向分量σ和相切于截面的切向分量τ。
σ称正应力，τ称为切应力。
στ正应力切应力m F P2F P1F P2F P1K 点F 微内力A 微面积p 全应力K在我国的法定计量单位中，应力的单位为Pa（帕），1Pa=1N/m 2。
在工程实际中，这一单位太小，常用兆帕（MPa ）和吉帕（GPa ），其关系为1MPa=106Pa ，1GPa=109Pa 。
στ正应力切应力/doc/be3628979.html,1．实验观察取一等截面直杆，在杆上画出与杆轴线垂直的横向线1-1和2-2 ，再画上与杆轴向平行的纵向线，然后沿杆的轴线作用拉(压)力F ，使杆件产生拉伸变形。
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对策实施 ：首先假定其它因素维持不变，对 7 月份船只， 只考虑改变储罐操作压力，来提高 BOG 量的稳定性。
在全速卸船阶段，将储罐压力保持在 16.0kPa（现有操作 16.1kPa），在此压力下，BOG 总量为 8.69t/h，开启一台 BOG 压缩机。在卸船后的非卸船状态期间，虽然漏热产生的 BOG 只有 8.3t/h，但将压缩机的处理量仍保持 8.69t/h 不变，储罐压 力持续下降，当压力降低到10.85kPa。之后调整处理量为8.3t/h， 储罐压力维持 10.85kPa 不变。新一轮的卸船开始时，储罐压 力迅速上升，最高时可达 19.8kPa，罐内液体成为过冷液体， 可将船上来的 BOG 冷凝。在此过程中，BOG 量由 8.3t/h 升高
针对第一种情况，由于 Fp 是施加在杆件轴线上的，结合 材料力学的均匀、连续、各向同性的基本假设，可知杆内的
内力是均匀分布的，且斜截面上应力是处处相等的。
假设斜截面与杆件横向成 α 角度，则截开后的面上轴向 方向的内力是相同的，将这些内力都向轴线简化，可 α 得到 总的轴力也为 Fp。现以平行于斜截面方向为 x 轴，垂直于斜 截面为 y 轴建立直角坐标系，将力 Fp 分别投影到两坐标轴上， 分别记为 FN 和 FQ。
《化工设计通讯》杂志系经国家新闻出版广电总署批准国内外公开发行的全国性石油化工科技类期刊，创刊于 1975 年，由 湖南化工医药设计院主办，主管单位为湖南省石油化学行业管理办公室。是 2014 年国家新闻出版广电总署《第一批认定的学术 期刊名单（共 5756 种）》中的 2804 号。被美国化学文摘（CA）、中国期刊网（CNKI）、中国期刊全文数据库（CJFD）、中国学 术期刊综合评价数据库（CAJCED）、《中国学术期刊（光盘版）》等收录。是中国科技论文统计源期刊。
收稿日期 ：2016–04–08 作者简介 ：王金城（1994—），男，四川江油人，本科在读生，主要
从事工程力学学习与研究工作。
由式（3）得斜截面切应力
F ab
x
（14）
由公式（13）可知，在考虑自重的情况下斜截面上一点 的正应力和切应力的大小不仅与斜截面和杆件横向方向的夹
角 α 有关，还与点所在位置的横坐标 xo 有关，当 α 大小确定时， xo 越大应力越小 ；xo 越小，即越接近杆的根部，应力越大。
（4） 元体切分为两半，任取一半进行分析。方法与第一种情况完
全类似，唯一区别为将第一种情况里的 Fp 替换为 Fxo。则由式
（2）得斜截面正应力
（5）
F
（13）
2.2 自重不可忽略杆 针对第二种情况，已知均布载荷为 p kN/m3，故斜截面上
轴线方向上的应力不是均匀分布的，故对斜截面上应力计算 带来了不便。换个思路，我们可以运用局部化分析思想来解 决这个问题。
其中
，
（1）
且已知斜截面面积为
，则正应力为
切应力为
（2）
在斜截面处沿横截面方向、纵截面方向切出一个小立方
体微元，沿长度方向的长度为 δx，设立方体微元上表面 A 的 横坐标为 xo，下表面 B 的横坐标为 xo+δx。由于 A、B 面都是 沿横截面切下的，故面内只有正应力，下面对 A、B 面正应力 进行计算。设杆件长为 L，横截面长为 a，宽为 b。现对 A 面 进行受力分析，设 A 面所在横截面受力为 Fxo，方向为正方向， 则 A’面所在横截面受力 Fx′o 与 Fxo 互为相反力，求出 Fx′o 相 当于求出 Fxo。则首先对整根杆做受力分析得杆的最上端受力
Wang Jin-cheng，Wang Liu-qing
Abstract ：In most cases，people are learning and research are ignored rod weight，but in some special cases，the weight of the rod is not negligible，its weight to the impact of stress caused by the inner rod may be directly related to the strength check rods， in order to make the design and application engineering rod is more secure and reliable，this thesis studied a stretch considering the weight of the rod and does not consider the weight of the various types of stress at the inner rod in case of distribution，as long as the use of a localized thinking to solve a cross-section rods discontinuity problem，the conclusion that the two types of stem stress points to
第42卷第4期
2016年4月
学术研究
Academic Research
化工设计通讯
Chemical Engineering Design Communications
关于两类拉伸杆的斜截面应力分布的探究
王金城，王柳菁 （大连理工大学运载工程与力学学部，辽宁大连 116024）
摘 要 ：在大多数工程实践中，细长杆件都是忽略自重的，但是某些特殊情况下，杆件的自重是不可忽略的，其自重给杆 内应力带来的影响直接关乎该杆件的强度校核。为了使工程中杆件的设计与应用更加安全可靠，本论文研究了拉伸杆件的在考 虑自重和不考虑自重两类情况下的杆内各点应力的分布情况，运用局部化思想解决杆件截面受力不均匀的难题，并得出两类杆 的各点应力准确计算公式。
945 002*1.24=1 171 802.48kW·h 活动后 2015 年下半年每天节省电量为 ：
5 192*1.24=6 438.08kW·h 当地工业用电电费为 0.878 元 / 度，活动后 2015 年下半年 每天节约电费 ：
6 438.08*0.878=5 652.63元≈0.565万元 活动后 2015 年下半年共节约电费 ：
accurately calculate the formula. Key words ：localized thinking ；Uneven stress ；Stress distribution
1 问题描述 以下两种情况下 ：（1）忽略杆件自重并将与自重等大的
轴力施加于杆件末端（2）考虑杆件自重。如何确定同一杆件 同一斜截面上同一点的应力。 2 问题分析 2.1 受轴向集中载荷无自重杆
当 xo=0，α=45° 时，截面内正应力最大，最大值为
（15）
·246·
化工设计通讯
Chemical Engineering Design Communications
学术研究
Academic Research
第42卷第4期
2016年4月
当 xo=0，α=45° 时）
3 结论 对比两种情况最终的应力公式（2）（3）（13）（14）发现，
同一斜截面上的各点的应力分布是不同的，不考虑自重情况 下，同一斜截面上的点的应力分布相同，即在其他条件不变 的情况下，应力大小只与斜截面角度 α 有关。也就是说杆件 任意与轴线成确定角度的斜截面上的点的应力是相等的，且 将斜截面沿轴线平移到任何位置，应力大小都不变化，因此
主要报道石油化工产品的设计、研究、生产、建设、技改、教学等方面的新工艺、新产品、新技术、新设备、新材料。 稿源来自全国各石油化工行业，刊登文章突出先进性、创新性、科学性、针对性、实用性、和效益性，以解决石油化工设计、 研究、教学和生产中遇到的理论和实际问题。 刊登范围 ：石油、化学、煤气、天然气、化肥、无机化工、有机化工、环境保护、三废治理、新能源、新材料、新技术、 医药工程等。主要刊登石油化工工艺技术方面的文章，也刊登化工设备、环保治理、给排水、仪表、自控、电气、热工、材料、 通风、技经、综论等方面的文章。 主要栏目 ：合成氨与尿素、煤气化与甲醇、化工教学、工业生产、勘探开发、石油工程、油气开采、钻井完井、化工装备、 化学工程、新材料与新技术、安全环保、化工能源、资源与环境、学术研究。 读者对象 ：从事石油化工生产、设计、研究、建设、教学和管理的工程技术人员、研究人员、管理干部、技术工人、大专 院校师生及信息和营销人员等。
参考文献 [1] 季顺迎 . 材料力学 [M]. 北京 ：科学出版社，2013.
（上接第244页） 4.3 预冷槽车热车产生大量BOG
对策实施 ：由槽车安检人员对槽车进行检查，禁止两天 未进行充装作业的热车进入厂区进行充装。在槽车预冷的过 程中，若预冷五分钟仍未完成，则停止装车。热车前往其他 站点由液氮预冷完成后再回接收站装车，从 7 月开始对槽车热 车进行管控，并建立槽车违规记录表，对热车进厂装车的公 司进行一定程度的处罚。
发行范围遍及全国各省市石油化工主管部门、设计院、科研院（所）、大中小化肥厂、化工企业、大专院校、图书馆及信 息部门等。世界上一些著名的大学也订阅了本刊 ：全世界排名前十的大学如哈佛大学、普林斯顿大学、加州理工学院等 ；中国 如香港大学、清华大学、北京大学等 ；还有一些世界著名的机构，如美国能源部、美国国防部、美国国会图书馆、法国国防部、 澳大利亚能源部、日本国会图书馆等 ；还有一些世界著名的跨国公司，如美国杜邦、德国巴斯夫、拜耳、中国石油、中国石化、 中国化工等。
到 8.69t/h。新一轮卸船达到全速时，罐压降至 16.0kPa，BOG 量仍为 8.69t/h。