3-2平面应力在任意斜截面上的应力分量pdf
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弹性与塑性力学基础 第1章 应力分析
1 1 2 2 1 2 1 2 2 4
2
(1-7)
应力圆：任一截面正应力与剪应力关系图 确定任一截面上 的 和。 坐标系： － 圆 半 应力圆 心： 轴上点 径：
1 ( 1 2 ) 2
1 ( 1 2 ) 2
单 向 拉 伸 时 轴 与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
哈工大（威海） 材料学院
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.2 应力的方向性
为了便于研究，通常将任意方向
截面上的应力分解为两个分量：
σ－垂直于截面的分量（正应力） τ－平行于截面的分量（剪应力）
即：
边 界 存 在 正 应 力 时 斜 截 面 受 力 图
1 cos2 2 sin 2
(1-4)
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
哈工大（威海） 材料学院
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系 沿a-a方向,力的平衡方程为：
边 界 存 在 正 应 力 时 斜 截 面 受 力 图
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
哈工大（威海） 材料学院
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系
任一截面上 的 和 确定方法：
取任一截面上法向 和 的值。第一主应力截面法向夹角的二倍 2 ，由 轴逆时针旋转，应力圆上对应于2点的轴上的 和
弹性与塑性力学基础
哈工大（威海） 材料学院
第 一 章
应 力 分 析
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
1.1.1 应力定义
哈工大（威海） 材料学院
2平面问题的基本理论(平面应力与应变,受力状态,圣维兰原理)
当面积 AB 无限减小而趋于 P 点时，平面 AB 上的 应力就是上述斜面上的应力。 现设斜面上的全应力p可以分解为沿坐标向的分 量（ px ， py ），或沿法向和切向的分量（ σn ， τn），如图 2-4b所示。
用n代表斜面AB的外法线方向，其方向余弦为：
cosn, x l， cosn, y m
c
0
，则有
F 0， F Mc 0
x
y
0
yx dy dy dx dx xy dy 1 ( yx dy)dx 1 yx dx 1 0 2 2 y 2 2
力矩方程化简后得到：
xy
1 xy 1 yx dx yx dy 2 x 2 y
x yx fx 0 y x xy y f 0 y x y
4.平衡微分方程适用的条件是，只要求符合连 续性和小变形假定。 5.对于平面应力问题和平面应变问题，平衡微 分方程相同。 6.由于τxy =τyx，以后只作为一个独立未知函数 处理。因此，2个独立的平衡微分方程（2-2） 中含有 3个应力未知函数。
由式（2-4）及（2-5）就可以求得经过P点的任意 斜面上的正应力 n 及切应力 n 。
3.然后，再求出主应力和应力主向
设经过P点的某一斜面上的切应力等于零，则该斜 面上的正应力称为在P点的一个主应力，而该斜面 称为在P点的一个应力主平面，该斜面的法线方向 称为在P点的一个应力主向。
（2）只在侧边上受有平行于板面且不沿厚度变化 的面力和体力，且不沿厚度变化，体力 f x , f y , o 和面 力 f x , f y , o ，只是x，y的函数，并构成平衡力系；
第一章 应力.ppt
y , yx , yz
z , zx , zy
用矩阵表示：
z
z
x xy xz yx y yz zx zy z
应力符号的意义：
x
O
xz xy y y yx yz x zx zy z
z
zy
A
o
z
x x + dx x
xz xz + dx x x
xy +
xy x
y
dx
首先，以连接六面体前后两面中心的直线
为矩轴，列出
力矩的平衡方程
z
z z + dz z C zy zy + dz zx z + yz zx + dz dy z yz
（2）两主应力相等，设
由第一式自然满足 由第二式，得
方程的解为
表示通过oz轴的平面，该组平面上，剪应力为零。
表示任一个与圆锥面相切的微分面。在该组 面上剪应力取最大值。
（3）三个主应力相等
空间任一方向都为主方向，即任一平面都是主平面， 剪应力均为零。 该应力状态称为均匀受力状态，也称为静水应力状态。
y yz P
yx
dz
e
e'
dx
o A
zy
dy
zx
y y y+ dy y yx yx + dy B y
z
y
x
整理，并略去微量后，得
同样可以得出
剪应力互等定理
列出x轴方向的力的平衡方程
由其余两个平衡方程 和 可以得出与之相似的两个方
程。化简，除以dxdydz，得
工程力学第9章 应力状态与强度理论
27
根据广义胡克定律，有
解 （1）m-m 截面的内力为：
（2）m-m 截面上 K 点的应力为：
28
29
30
9.5 强度理论
9.5.1 强度理论的概念 在第7章中介绍了杆件在基本变形情况下的强度计 算，根据杆件横截面上的最大正应力或最大切应力及相 应的试验结果，建立了如下形式的强度条件：
31
32
33
（2）第二强度理论———最大伸长线应变理论
34
（3）第三强度理论———最大切应力理论
35
（4）第四强度理论———最大形状改变比能理论
36
37
（2）校核正应力强度
（3）校核切应力强度
38
（4）按第三强度理论校核 D 点的强度
39
思考题 9.1 某单元体上的应力情况如图9.18所示，已知 σx=σy。试求该点处垂直于纸面的任意斜截面上的正应力、 切应力及主应力，从而可得出什么结论？
6
9.2.1 方位角与应力分量的正负号约定 取平面单元体位于Oxy平面内，如图9.5（a）所示。 已知x面（外法线平行于x轴的面）上的应力σx及τxy，y 面上的应力σy及τyx。根据切应力互等定理，τxy=τyx。现 在为了确定与z轴平行的任意斜截面上的应力，需要首 先对方位角α以及各应力分量的正负号作如下约定：
10
11
9.2.3 平面应力状态下的主应力 与极值切应力由式（9.1）和式（9.2）可知，当σx， σy和τxy已知时，σα和τα将随α的不同而不同，即随斜截面 方位不同，截面上的应力也不同。因而有可能存在某种 方向面，其上之正应力为极值。设α=α0时，σα取极值。 由
12
13
14
15
16
斜截面上的应力
第十章 应力状态 分析
● 应力状态的概念 ● 平面应力状态分析的解析法
7- 1 应力状态的概念 一、问题的提出
杆件在基本变形时横截面上应力的 分布规律
轴向拉压：
N A
圆轴扭转：
M
n
p
I
平面弯曲：
My Iz
* QS z bI z
危险点处于单向应力状态或处于纯剪应
1、空间应力状态的概念
三个主应力均不为零
2、最大正应力和最大剪应力
max 1 1 - 3 max
2
3、广义虎克定律
单向应力状态下有
由 1引 起 的 应 变 1
1
E
纵向应变 E 横 向 应 变 - - E
- 由 2引 起 的 应 变 1
-
sin 2a - xy cos 2a
a + x + y C
结论：两个相互垂直的截面正应力之和为常数 2、比较a 、 : a = - 结论：在相互垂直的两截面上的剪应力数值相 等，它们的方向是共同指向或背离这个 平面的交线（剪应力互等定理）
二、主应力
力状态，相应强度条件为：
max max
实际问题：杆件的危险点处于更复杂的
受力状态
薄壁圆筒承受内压
x
破坏现象
脆性材料受压 和受扭破坏
钢筋混凝土梁
二、一点的应力状态
在受力构件内，在通过 同一点各个不同方位的 截面上，应力的大小和 方向是随截面的方位不 同而按照一定的规律变 化 通过构件内某一点的各 个不同方位的截面上的 应力及其相互关系，称 为点的应力状态
● 应力状态的概念 ● 平面应力状态分析的解析法
7- 1 应力状态的概念 一、问题的提出
杆件在基本变形时横截面上应力的 分布规律
轴向拉压：
N A
圆轴扭转：
M
n
p
I
平面弯曲：
My Iz
* QS z bI z
危险点处于单向应力状态或处于纯剪应
1、空间应力状态的概念
三个主应力均不为零
2、最大正应力和最大剪应力
max 1 1 - 3 max
2
3、广义虎克定律
单向应力状态下有
由 1引 起 的 应 变 1
1
E
纵向应变 E 横 向 应 变 - - E
- 由 2引 起 的 应 变 1
-
sin 2a - xy cos 2a
a + x + y C
结论：两个相互垂直的截面正应力之和为常数 2、比较a 、 : a = - 结论：在相互垂直的两截面上的剪应力数值相 等，它们的方向是共同指向或背离这个 平面的交线（剪应力互等定理）
二、主应力
力状态，相应强度条件为：
max max
实际问题：杆件的危险点处于更复杂的
受力状态
薄壁圆筒承受内压
x
破坏现象
脆性材料受压 和受扭破坏
钢筋混凝土梁
二、一点的应力状态
在受力构件内，在通过 同一点各个不同方位的 截面上，应力的大小和 方向是随截面的方位不 同而按照一定的规律变 化 通过构件内某一点的各 个不同方位的截面上的 应力及其相互关系，称 为点的应力状态
平面应力状态理论分析
2
称此圆为应力圆。
R x y xy 2 2
2
由于应力圆最早由德 国工程师莫尔 （otto.mohr,18351918）提出，故又称 为莫尔圆。
R
B
O
x y
2
A
O1
工程力学系
二、应力圆作法 (1)在坐标系内画出A1( x , xy) (2)在坐标系内画出B1( y , yx)
2 0 21
2
即：剪应力极值平面和主平面夹角为45°
工程力学系
第九章 应力状态分析
§9-3 平面应力状态分析的图解法
一、应力圆方程
x y x y cos 2 xy sin 2 2 2 斜截面应力解析表达式 x y sin 2 xy cos 2 2
y yx
zx
yz
xz
z
zy
xy
x
工程力学系
三、应力状态分类
第九章 应力状态分析
三向应力状态（空间应力状态）：三个方向的主应力 都不等于0;
二向应力状态（平面应力状态）：两个方向的主应力 都不等于0;
单向应力状态：只有一个方向的主应力都不等于0
y yx
zx
y yx
o
25
30
30
o
30 40
o
x y
2
x y
2
cos 60o xy sin 60o 49.7MPa
30
o
x y
2
cos 60o xy sin 60o 13.1 MPa
max
称此圆为应力圆。
R x y xy 2 2
2
由于应力圆最早由德 国工程师莫尔 （otto.mohr,18351918）提出，故又称 为莫尔圆。
R
B
O
x y
2
A
O1
工程力学系
二、应力圆作法 (1)在坐标系内画出A1( x , xy) (2)在坐标系内画出B1( y , yx)
2 0 21
2
即：剪应力极值平面和主平面夹角为45°
工程力学系
第九章 应力状态分析
§9-3 平面应力状态分析的图解法
一、应力圆方程
x y x y cos 2 xy sin 2 2 2 斜截面应力解析表达式 x y sin 2 xy cos 2 2
y yx
zx
yz
xz
z
zy
xy
x
工程力学系
三、应力状态分类
第九章 应力状态分析
三向应力状态（空间应力状态）：三个方向的主应力 都不等于0;
二向应力状态（平面应力状态）：两个方向的主应力 都不等于0;
单向应力状态：只有一个方向的主应力都不等于0
y yx
zx
y yx
o
25
30
30
o
30 40
o
x y
2
x y
2
cos 60o xy sin 60o 49.7MPa
30
o
x y
2
cos 60o xy sin 60o 13.1 MPa
max
(推荐)平面应力问题
l
yx
m yx l y
yx P xy
x
y A
fx px
x
为 l2、m2，则
y
B fy py
n
tan 2
cos(90 2 ) cos 2
m2 l2
2 x xy
(或 xy ) 2 y
22
应力主向的计算公式：
tan
1
x
(x
dx,
y)
x
(
x,
y)
x (x, x
y)
dx
1 2!
2 x (x,
x2
y)
(dx)2
1 n!
n x (
x
x,
n
y
)
(dx)n
10
略去二阶及二阶以上的微量后便得
x
(
x,
y)
x (x, x
y)
dx
同样 y 、 xy 、 yx 都一样处理，得到图示应力状
l x m yx l
m y l xy m
19
求解得：
m l
x yx
o
m yx
l y
y
2
(
x
y )
(
x
y
2 xy
)
0
yx y
x
P
A
xy
x B
px
n
n
py p
n
p x l x m yx
应力应变经典解析
dy
σx τxy
τxz τzy
τzx D • τzy
σz τxy
y
σz
F o τxz τzx
σx
E
τyx
τyz
B
为
z
dx
dz
σ z , τ zx , τ zy
x
σy A
每个面上都有一个正应力和两个切应
图 3－2
力。那么，o 点的应力状态取决于九个应力分量，可以用矩阵形式表示为
⎛⎜⎜τσyxx
τ xy σy
化的规律表明，应力是张量（tensor）。矢量也可以用它的分量随坐标变换而变化的规律 来定义。事实上，矢量是一阶张量，应力是二阶张量。附录A给出了张量的简单介绍，可 以作为补充知识选读。
从式（3－9）还可得到如下关系：
σ x' + σ y' = σ x + σ y = cons tan t
（3－10）
应力 σz = 0。图 3－4a所示为这种状 态 下 的 微 单 元 ， 只 有 应 力 分 量 σx, σy ，τxy 和τyx 存在，其他应力分量为 零。四个应力分量可以写成如下的矩 z 阵形式：
x 图 3－3
σy
y
σx
dy τxy τyx
τyx
τxy
σx
σx
τxy
σy τyx
τxy σx
z
dx
(σx
−σ y 2
)2
+ τ xy2
(3－14)
将 2αS 代入式（3－9a，c）可知，最大切应力所在截面上的正应力
σ x'
= σ y'
=
σx
+σy 2
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3-2 平面应力在任意斜截面上的应力分量
说明：弹性力学符号体系与传统的材料力学符号体系中，切应力τ 的符号规定 方向相反，孙国钧，赵社戌编教材采用弹性力学符号体系，金忠谋等编教材采 用材料力学符号体系，下面分述之。
弹性力学符号体系
y y’
σy τy
σy’
τx’y’ σx
τx σx
x’
τ
α
x
σx'
= σα
在应力状态中主应力是正应力中的最大值或最小值。在平面应力状态下主 应力的方向，即σ1 和 与 x 轴的夹角αo 满足：
主应力σ1 和σ2
为
⎜⎜⎝⎛
σ σ
1 2
⎟⎟⎠⎞＝⎜⎜⎝⎛σσ
max min
⎟⎟⎠⎞
=
σx
+σ 2
y
±
⎜⎜⎝⎛
σ
x
−σ 2
y
⎟⎟⎠⎞
+τ
2 xy
最大剪应力 所在的截面，满足：
如令 角满足上式，则
=
σx
+ σy 2
+
σx
− σy 2
cos 2α + τxy
sin 2α
τx' y' = τα =
−
σx
− 2
σy
sin
2α
+
τxy
cos 2α
σy'
= σα+90o
=
σx
+ σy 2
−
σx
− σy 2
cos 2α − τxy sin 2α
上式建立了任意斜截面以及与其垂直的截面上的应力分量σ x' ，σ y' ，τ x' y' 与坐标 面上应力分量σx, σy, τxy 之间的关系。
注意有如下关系成立： 常量，
即通过单元体中互相垂直的两个截面上的正应力之和是常量。
τx σx
σy
α1 τy
σα1 τα1 σα σx
τα τx σy τy
n α
x
求 的极值，得到：
由此可知， 与 所在的平面就是剪应力为零的面，即是主平面 (principal plane) 。主平面上的正应力称为主应力。
σmax
min
=
σx
+ σy 2
±
(σx
− σy 2
)2
+
τxy 2
应力主轴与 x 面成αo 夹角，其值由下式确定：
tan 2α0
=
2τxy σx − σy
切应力取极值的两个截面互相垂直，与应力主轴成±45o，最大（最小）切应 力为
τmax = ±
min
(σx
− 2
σy
)2
+
τ应力
σx'
=
σy'
=
σx
+ 2
σy
材料力学符号体系
剪应力 常用两个足标来表示，第一个足标表示所在截面的法线，第二个
足标表示应力所沿的方向。如 表示在以 轴为法线的截面上，沿 轴向的剪
应力。
如图(a)所
示，设有平面单元
体。左右面作用有 正应力 和剪应力
σx
，上下面作用有
正应力 和剪应力
τ yx ，由剪应力互等 定理τ yx = τ xy 。
容易验证
σx' + σy' = σx + σy = cons tan t
此式表明，单元体互相垂直的两个表面上正应力之和是一常量。 主应力和主平面
切应力为零的平面定义为主平面（principal plane）。主平面的方向称为应 力主轴（principal axis for stress）。最大正应力σmax 和最小正应力σmin 所在的平 面就是主平面，主平面上的正应力称为主应力（principal stress）。其值等于
最大、最小剪应力为：
注意 ，
有：
表示主平面的法线方向， 表示最大剪应力或最小剪应力所在截面的法线方 向，由上式可知最大剪应力所在截面和主平面成 角。
τyx σy n
α
σx
τx
σy (a)
A
τα σα
n
σx
α x
τx α
τy σy t
(b)
根据平衡分析可知，任意斜截面上的正应力 和剪应力 为：
如下图所示，对单元体如截取两个互相垂直的截面，截面法线 与 x 轴成α
角，另一截面法线 则与 x 轴成
角。则外法线为 n1 的截面上的正应
力 与剪应力 为：
说明：弹性力学符号体系与传统的材料力学符号体系中，切应力τ 的符号规定 方向相反，孙国钧，赵社戌编教材采用弹性力学符号体系，金忠谋等编教材采 用材料力学符号体系，下面分述之。
弹性力学符号体系
y y’
σy τy
σy’
τx’y’ σx
τx σx
x’
τ
α
x
σx'
= σα
在应力状态中主应力是正应力中的最大值或最小值。在平面应力状态下主 应力的方向，即σ1 和 与 x 轴的夹角αo 满足：
主应力σ1 和σ2
为
⎜⎜⎝⎛
σ σ
1 2
⎟⎟⎠⎞＝⎜⎜⎝⎛σσ
max min
⎟⎟⎠⎞
=
σx
+σ 2
y
±
⎜⎜⎝⎛
σ
x
−σ 2
y
⎟⎟⎠⎞
+τ
2 xy
最大剪应力 所在的截面，满足：
如令 角满足上式，则
=
σx
+ σy 2
+
σx
− σy 2
cos 2α + τxy
sin 2α
τx' y' = τα =
−
σx
− 2
σy
sin
2α
+
τxy
cos 2α
σy'
= σα+90o
=
σx
+ σy 2
−
σx
− σy 2
cos 2α − τxy sin 2α
上式建立了任意斜截面以及与其垂直的截面上的应力分量σ x' ，σ y' ，τ x' y' 与坐标 面上应力分量σx, σy, τxy 之间的关系。
注意有如下关系成立： 常量，
即通过单元体中互相垂直的两个截面上的正应力之和是常量。
τx σx
σy
α1 τy
σα1 τα1 σα σx
τα τx σy τy
n α
x
求 的极值，得到：
由此可知， 与 所在的平面就是剪应力为零的面，即是主平面 (principal plane) 。主平面上的正应力称为主应力。
σmax
min
=
σx
+ σy 2
±
(σx
− σy 2
)2
+
τxy 2
应力主轴与 x 面成αo 夹角，其值由下式确定：
tan 2α0
=
2τxy σx − σy
切应力取极值的两个截面互相垂直，与应力主轴成±45o，最大（最小）切应 力为
τmax = ±
min
(σx
− 2
σy
)2
+
τ应力
σx'
=
σy'
=
σx
+ 2
σy
材料力学符号体系
剪应力 常用两个足标来表示，第一个足标表示所在截面的法线，第二个
足标表示应力所沿的方向。如 表示在以 轴为法线的截面上，沿 轴向的剪
应力。
如图(a)所
示，设有平面单元
体。左右面作用有 正应力 和剪应力
σx
，上下面作用有
正应力 和剪应力
τ yx ，由剪应力互等 定理τ yx = τ xy 。
容易验证
σx' + σy' = σx + σy = cons tan t
此式表明，单元体互相垂直的两个表面上正应力之和是一常量。 主应力和主平面
切应力为零的平面定义为主平面（principal plane）。主平面的方向称为应 力主轴（principal axis for stress）。最大正应力σmax 和最小正应力σmin 所在的平 面就是主平面，主平面上的正应力称为主应力（principal stress）。其值等于
最大、最小剪应力为：
注意 ，
有：
表示主平面的法线方向， 表示最大剪应力或最小剪应力所在截面的法线方 向，由上式可知最大剪应力所在截面和主平面成 角。
τyx σy n
α
σx
τx
σy (a)
A
τα σα
n
σx
α x
τx α
τy σy t
(b)
根据平衡分析可知，任意斜截面上的正应力 和剪应力 为：
如下图所示，对单元体如截取两个互相垂直的截面，截面法线 与 x 轴成α
角，另一截面法线 则与 x 轴成
角。则外法线为 n1 的截面上的正应
力 与剪应力 为：