高二第一学期11月数学月考试题
浙江省宁波市高二上学期数学11月月考试卷
浙江省宁波市高二上学期数学11月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）若则（）A . (-2，2)B . (-2，0)C . (0，2)D . (-2，-1)2. （2分） (2016高一下·湖北期中) 等差数列的前4项之和为30，前8项之和为100，则它的前12项之和为（）A . 130B . 170C . 210D . 2603. （2分）设x＞0，y＞0，，，则A，B的大小关系是（）A . A=BB . A＜BC . A≤BD . A＞B4. （2分）在平面直角坐标系中，若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为（）A . -5B . 1C . 2D . 35. （2分）在△ABC中，若，则△ABC是（）A . 等腰三角形B . 直角三角形C . 等腰或直角三角形D . 等腰直角三角形6. （2分） (2015高一下·湖州期中) 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2+bc﹣a2=0，则 =（）A . ﹣B .C . ﹣D .7. （2分）已知集合，若，则实数a的取值范围是（）A .B .C . [-2,2]D .8. （2分） (2016高一下·长春期中) 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A . ﹣B .C . 1D .9. （2分）已知数列{an}为等差数列，且a5+a6=22，a3=7，则a8=（）A . 11B . 15C . 29D . 3010. （2分） (2018高二下·辽宁期末) 已知的内角对的边分别为 , , , 且,则的最小值等于（）A .B .C .D .11. （2分）的值为（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高二上·会宁期中) 在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＝3，a8＝8，则a12的值是（）A . 15B . 30C . 31D . 64二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2018高二上·海口期中) 已知A(1,2,0)，B(0,1，－1)，P是x轴上的动点，当取最小值时，点P的坐标为________．14. （1分）(2019·河南模拟) 在中，角，，的对边分别是，，，若，，则 ________．15. （1分） (2016高一下·望都期中) 若关于x的不等式2x2﹣8x﹣4﹣a＞0在1＜x＜4内有解，则a的取值范围________．16. （2分） (2016高二上·昌吉期中) 一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （5分） (2017高一上·雨花期中) 已知集合 A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|0＜x＜2}，集合 C={x|x＞a}．（1）求集合A UCRB；（2）若A∩C≠φ，求实数a的取值范围．18. （10分）已知函数f（x）=2cos2x+2 sinxcosx．（1）求函数f（x）在区间[﹣， ]上的值域；（2）在△ABC中，若f（C）=2，2sinB=cos（A﹣C）﹣cos（A+C），求tanA的值．19. （10分） (2017高三上·郫县期中) 等比数列{an}的各项均为正数，且．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列的前n项和Tn．20. （10分） (2016高一下·海南期中) 在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且2bcosC=2a ﹣c．（1）求角B；（2）若△ABC的面积S= ，a+c=4，求b的值．21. （10分） (2016高二上·济南期中) 已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}．（1）求实数a，b的值；（2）解关于x的不等式：＞0（c为常数）．22. （10分） (2019高三上·杭州月考) 已知锐角中，角的对边分别为，向量, ，且．（1）求角；（2）求的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
高二数学上学期11月月考试题含解析
HY 中学2021-2021学年高二数学上学期11月月考试题〔含解析〕一、选择题〔每一小题3分，一共36分〕1.假设1x +与1y -的等差中项为5，那么x y +=〔 〕 A. 5 B. 10C. 20D. 不确定【答案】B 【解析】 【分析】根据等差中项公式，得出()()2511x y ⨯=++-，即可求解，得到答案．【详解】由题意，因为1x +与1y -的等差中项为5，所以()()2511x y ⨯=++-，即10x y +=，应选B ．【点睛】此题主要考察了等差中项公式的应用，其中解答中熟记等差中项公式，列出关于,x y 的方程是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题．2.设{n a }是首项为1a ，公差为﹣2的等差数列，n S 为前n 项和，假设S 1，S 2，S 4成等比数列，那么1a ＝〔 〕 A. 2 B. ﹣2C. 1D. ﹣1【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的前n 项和公式,求出1S ,2S ,4S ,再根据S 1，S 2，S 4成等比数列,列方程可求得. 【详解】由等差数列的前n 项和公式得211(1)(2)(1)2n n n S na n a n -=+⨯-=-++, 所以11S a =,2122S a =-,41412S a =-,因为S 1，S 2，S 4成等比数列,所以2214S S S ,即2111(22)(412)a a a -=-,解得11a =-.应选D .【点睛】此题考察了等差数列的前n 项和公式、等比数列的性质.属于根底题. 3.在ABC ∆中，假设1a =，1b =，c =，那么ABC ∆中最大角的度数为〔 〕 A. 60° B. 90°C. 120°D. 150°【答案】C 【解析】 【分析】比拟三边a b c ，，的大小，最大边c 所对的角C 为最大角，再利用余弦定理求解. 【详解】由于c a b >>，所以ABC ∆中的最大角为C ，所以2211101cos 2C +-==-，所以120C =.【点睛】此题考察三角形边角关系以及余弦定理运用.三角形边与角之间满足：大边对大角，大角对大边；余弦定理在解三角形中常见的两种类型：1、三边求角；2、两边及夹角解三角形.4.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，那么当S n 取最小值时，n 等于( ) A. 6 B. 7C. 8D. 9【答案】A 【解析】分析：条件已提供了首项，故用“a 1，d 〞法，再转化为关于n 的二次函数解得． 解答：解：设该数列的公差为d ，那么a 4+a 6=2a 1+8d=2×〔-11〕+8d=-6，解得d=2，所以S n =-11n+()n n 12-×2=n 2-12n=(n-6)2-36，所以当n=6时，S n 取最小值．应选A点评：此题考察等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用，考察二次函数最值的求法及计算才能．【此处有视频，请去附件查看】5.数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 分别满足以下各式，其中数列{}n b 必为等差数列的是〔 〕 A. ||n n b a =B. 2n n b a =C. 1n nb a =D.2nn a b =-【答案】D 【解析】 【分析】对每一个选项逐一分析判断得解. 【详解】设数列{}n a 的公差为d ，选项A,B,C,都不满足1n n b b --=同一常数，所以三个选项都是错误的； 对于选项D ，1112222n n n n n n a a a a d b b -----=-+==-, 所以数列{}n b 必为等差数列. 应选：D【点睛】此题主要考察等差数列的断定和性质，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度，属于根底题.6.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设a 5+a 7+a 9＝21，那么S 13＝〔 〕 A. 36 B. 72C. 91D. 182【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求出77a =,根据等差数列的前n 项和公式13713S a =可得. 【详解】因为{a n }为等差数列,所以5797321a a a a ++==, 所以77a =, 所以1131313()2a a S +=71322a ⨯=71313791a ==⨯=. 应选C .【点睛】此题考察了等差数列的性质、等差数列的前n 项和.属于根底题. 7.n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和．假设2m S =，210m S =，那么3m S = A. 14 B. 24C. 32D. 42【答案】D 【解析】因为各项为正，根据等比数列中232,,m m m m m S S S S S --成等比数列的性质，知32,102,10m S --成等比数列，所以31032m S -=，342m S =，应选D.8.我国古代数学名著?算法统宗?中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，一共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？〞意思是：“一座7层塔一共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，那么塔的顶层一共有灯多少？〞现有类似问题：一座5层塔一共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，那么塔的底层一共有灯 A. 81盏 B. 112盏C. 162盏D. 243盏【答案】D 【解析】 【分析】从塔顶到塔底每层灯盏数可构成一个公比为3的等比数列，其和为363．由等比数列的知识可得．【详解】从塔顶到塔底每层灯盏数依次记为12345,,,,a a a a a ，此数列是等比数列，公比为3，5项的和为363，那么51(13)36313a -=-，13a =，∴4451333243a a =⨯=⨯=．应选D ．【点睛】此题考察等比数列的应用，解题关键是根据实际意义构造一个等比数列，把问题转化为等比数列的问题．9.定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，假设()()0,(0)1f x f x f '+<=， 那么不等式()1xe f x <的解集为〔 〕 A. (,0)-∞B. (0,)+∞C. (,1)-∞D.(1,)+∞【答案】B 【解析】 【分析】不等式的()1xe f x <的解集等价于函数()()xg x e f x =图像在1y =下方的局部对应的x 的取值集合，那就需要对函数()()xg x e f x =的性质进展研究，将()()'0f x f x +<复原为()()'()'0x x e f x e f x +<，即()()'()0x g x e f x '=<，在R 上单调递减，且()01g =，故当0x >，()1g x <,即可解得不等式解集. 【详解】解：令()()xg x e f x =因为()()'0f x f x +< 所以，()()'()'0x xe f x e f x +<故()()'()0xg x e f x '=<故()g x 在R 上单调递减， 又因为()01f = 所以，()01g =所以当0x >，()1g x <，即()1xe f x <的解集为()0,+∞应选B.【点睛】不等式问题往往可以转化为函数图像问题求解，函数图像问题有时借助函数的性质〔奇偶性、单调性等〕进展研究，有时还需要构造新的函数.10.设二次函数f 〔x 〕＝x 2+ax +b ，假设对任意的实数a ，都存在实数122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，使得不等式|f 〔x 〕|≥x 成立，那么实数b 的取值范围是〔 〕 A. [)1,2,3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦B. ][1134∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭，，C. ][1944∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭，，D. ][1934∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭，，【答案】D 【解析】【分析】根据补集思想先将问题转化为条件的反面〞 1[,2]2x ∀∈,11bx a x-<++<〞进一步转化为〞 ()g x b x x =+,1[,2]2x ∈的最大值与最小值之差小于2”,然后利用导数求出函数()g x 的最大最小值代入,求得b 的范围.再求出其补集即可.【详解】问题条件的反面为〞假设存在实数a ,对任意实数1[,2]2x ∈,使得不等式|()|f x x <成立|,即1[,2]2x ∀∈,11b x a x -<++<,设()g x b x x =+,1[,2]2x ∈ 所以max ()1g x a +<,min ()1g x a +>-,所以min ()1g x a --<, 所以max min ()()11g x a g x a +--<+, 即max min ()()2g x g x -<.因为2()1b g x x '=-22x bx-=,1[,2]2x ∈, 当4b ≥时,()0g x '≤()g x 为1[,2]2上的递减函数,所以max 11()()222g x g b ==+,min ()(2)22bg x g ==+,所以122222b b +--<,解得76b <(舍去);当144b <<时,()g x在1[2上递减,在2]上递增, max 11()()222g x g b ==+或者max ()(2)22bg x g ==+,min ()g x g ==所以1222222b b ⎧+-<⎪⎪⎨⎪+-⎪⎩,解得1944b <<.当14b ≤时,()0g x '≥,()g x 在1[,2]2上递增, max ()(2)22b g x g ==+,min 11()()222g x g b ==+,所以122222b b +--<,解得1134b -<≤,所以1934b -<<. 综上所述,所务实数b 的取值范围是13b ≤-或者94b ≥. 应选D.【点睛】此题考察了补集思想,不等式恒成立问题,分类讨论思想,转化思想,利用导数研究函数的单调性,利用单调性求函数的最值等.此题属于难题.此题解题的关键是利用补集思想将问题转化为条件的反面求b 的范围.然后可得满足题目条件的b 的范围.11.在数列{a n }，a 1＝8，那么数列{a n }的通项公式为〔 〕 A. a n ＝2〔n +1〕2 B. a n ＝4〔n +1〕C. a n ＝8n 2D. a n ＝4n〔n +1〕 【答案】A 【解析】 【分析】利用是等差数列可得.=,-=所以==的等差数列,(1)n =+-(n =+,所以22(1)n a n =+.应选A.【点睛】此题考察了等差数列的定义以及通项公式,属于根底题.12.假设不等式12a b <-≤，24a b ≤+<，那么42a b -的取值范围是〔 〕 A. []5,10 B. ()5,10C. []3,12D. ()3,12【答案】B 【解析】分析：,a b x a b y -=+=用变量交换，再得出解集详解：(),,12,244a 2b 3x y 5,10a b x a b y x y -=+=<≤≤<∴-=+∈ 点睛：不等式只能线性运算,。
高二数学上学期11月月考试题 试题
卜人入州八九几市潮王学校红河州县文澜高级二零二零—二零二壹高二数学上学期11月月考试题第一卷(选择题一共60分)一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕1．以下表达中,正确的选项是〔〕A. αα∈∈Q P ,∴α∈PQB. βα∈∈Q P ,,∴PQ =βαC ． ABD AB C AB ∈∈⊂,,α,∴α∈CD D ． ,,βα⊂⊂AB AB ∴AB =βα2．以下说法正确的选项是〔〕A ．三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形 C ．梯形一定是平面图形 D ．分别在不同平面内的两条直线是异面直线 3．在ABC ∆中,060,2,1===B BC AB ,ABC ∆面积等于 〔〕A ．46B ．43C ．23D ．43 4．如右所示在正方体1111D C B A ABCD -中异面直线AB 1和A 1C 1所成的角为〔〕A ．450B ．600C ．900D ．3005．将球的半径变为原来的两倍，那么球的体积变为原来的〔〕6．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，假设,357=S 那么=4a 〔〕A ．8B ．7C ．6D ．57．假设l 、a 、b 表示直线，α、β〕A ．l a l a αα⊂⇒∥,∥B ．a a b b αα⇒∥,∥∥C ．,a b a b αα⊥⇒⊥∥D ．a a ααββ⇒∥,∥∥8．设a,b 实数，且3=+b a ，那么b a 22+的最小值为〔〕A ．6B ．24C ．22D ．89．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥,022,0,0y x y x y 那么y x z 23-=的最大值为〔〕A ．0B ．2C ．3D ．6〕A ．平行于同一直线的平行投影重合B ．平行于同一直线的两个平面平行C ．垂直于同一平面的两个平面平行D ．垂直于同一平面的两条直线平行11．一空间几何体的三视图如下页图所示，那么该几何体的体积为〔〕A ．3322+πB ．324+πC ． 322+πD ．3324+π12．如图在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB 1，BC 1的中点，那么以下结论中不成立的是〔〕A ．EF 与BB 1垂直B ．EF 与BD 垂直C ．EF 与CD 异面D ．EF 与A 1C 1异面第II 卷〔非选择题一共90分〕二、填空题：本大题一一共4分，每一小题5分，一共20分13．不等式0322>-+-x x 的解集为_____________.14．函数)0(9>+=x xx y 的最小值为________. 15.各顶点都在一个球面上的正四棱柱〔其底面是正方形且侧棱垂直于底面〕高为4，体积为16，那么这个球面的外表积是.16.①假设所成角相等与所成角和与，则∥ααb a b a ;②假设两条直线和第三条直线所成的角相等，那么这两条直线互相平行;③假设直线平行的直线内不存在与，则，且不平行于a a a ααα⊄;④假设直线l 平行于平面α内的无数条直线，那么α∥l .；三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明、证明或者演算步骤17．(此题总分值是10分)某文具店购进一批新型台灯，假设按每盏台灯15元的价格销售，每天卖出30盏；假设售价每进步1元，日销售量将减少2盏。
高二数学上学期11月月考试题含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校南侨二零二零—二零二壹高二数学上学期11月月考试题〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕(2,1)-，(1,4)的直线l 的倾斜角为()A.30B.45︒C.60︒D.135︒【答案】B 【解析】分析：利用两点间的斜率公式，求得直线的斜率，进而求解直线的倾斜角． 详解：设过两点的直线l 的倾斜角为α， 由直线的斜率公式可得4111(2)k -==--，即00tan 1,(0,180)αα=∈，所以045α=，应选B ．点睛：此题主要考察了直线的倾斜角与斜率，其中熟记公式是解答的关键，着重考察了推理与运算才能．60ax by ++=在x 轴、y 轴上的截距分别是-2和3，那么a ，b 的值分别为〔〕A.3，2B.-3，-2C.-3，2D.3，-2【答案】D 【解析】分析：将(2,0),(0,3)-代入直线方程即可求解．详解：由题意，得260360a b -+=⎧⎨+=⎩，解得32a b =⎧⎨=-⎩．点睛：此题考察直线的方程等知识，意在考察学生的根本计算才能和数学转化才能．()()1,,2,2,1,2a n b ==-，假设2a b -与b 垂直，那么||a 等于〔〕B.2C.2【答案】D 【解析】∵a =〔1，n ，2〕，b =〔﹣2，1，2〕， ∴2a ﹣b =〔4，2n ﹣1，2〕， ∵2a ﹣b 与b 垂直， ∴〔2a ﹣b 〕•b =0， ∴﹣8+2n ﹣1+4=0，解得，n=52， ∴a =〔1，52，2〕∴|a ． 应选：D ．00Ax By C ABC ++=≠（）经过第一、二、三象限，那么系数A B C ，，满足的条件为()A.A B C ，，同号B.00AC BC ><，C.00AC BC <>，D.00AB AC ><，【答案】B 【解析】【详解】因为直线()00Ax By C ABC ++=≠经过第一、二、三象限，所以斜率0AB->，在y 轴上的截距0,0CBC B->∴<，两式相乘可得0,AC >应选B.(1,3)P ，并且在两坐标轴上的截距相等的直线有〔〕A.1条B.2条C.3条D.4条【答案】B 【解析】 【分析】按照截距为零和不为零分类讨论即可求出．【详解】(1)当截距为零时，即直线经过原点，可得直线方程为：3y x =； (2)当截距不为零时，设直线方程为：1x ya a+=，因为直线经过点(1,3)P ， 所以有，131a a+=，解得4a =．综上可知，这样的直线有2条． 应选：B ．【点睛】此题主要考察直线的截距式方程的应用，解题需注意截距式方程的使用条件，意在考察学生分类讨论思想和数学运算才能．6.M N 、分别是四面体OABC 的棱,OA BC 的中点，P 点在线段MN 上，且2MP PN =，,,OA a OB b OC c ===，那么OP =〔〕A.111663a b c ++ B.111333a b c ++ C.111633a b c ++D.111366a b c ++ 【答案】C 【解析】 如下列图：()()11,,231,,2121111111.336633633OP ON NP ON OB OC NP NM NM NO OM OM OA OP ON NO OM ON OA OA OB OC a b c =+=+==+=∴=++=+=++=++此题选择C 选项.A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为3，且|PA|=|PB|，假设直线PA 的方程为10x y -+=，那么直线PB 的方程是()A.50x y ++=B.210x y --=C.240x y -+=D.70x y +-=【答案】D 【解析】 【分析】根据点P 在直线PA 上可以求出其纵坐标，然后根据|PA|=|PB|可知，点A ，B 关于直线3x =对称，即可求出点B 的坐标，由点,P B 的坐标即可求出直线PB 的方程．【详解】因为点P 在直线PA 上，所以310y -+=，解得4y =，即点P 的坐标为()3,4， 又|PA|=|PB|，点A ，B 关于直线3x =对称，点A 的坐标为()1,0-，所以点B 的坐标为()7,0，40137PB k -==--，所以PB ：()017y x -=-⨯-，即70x y +-=． 应选：D ．【点睛】此题主要考察轴对称、中点公式的应用以及直线方程的求法．22()10m x m m y +-+=与210x y --=互相垂直，那么实数m =〔〕A.1-B.0C.1-或者0D.1【答案】A 【解析】由题意得222()001m m m m m --=⇒==-或，当0m =时直线()2210m x m m y +-+=方程为10=不成立，舍去，选A.xoy 中，直线l 上的一点向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后，仍在该直线上，那么直线l 的斜率为()A.－2B.－12C.12D.2【答案】A 【解析】 【分析】首先设出直线l 上的一点00(,)P x y ，进而求得挪动变换之后点00'(2,4)P x y +-，根据点在直线上，利用两点斜率坐标公式求得斜率0000422y y k x x --==-+-，从而求得结果.【详解】根据题意，设点00(,)P x y 是直线l 上的一点，将点00(,)P x y 向右平移2个单位后再向下平移4个单位得到点00'(2,4)P x y +-， 由有：点00'(2,4)P x y +-仍在该直线上， 所以直线l 的斜率0000422y y k x x --==-+-，所以直线l 的斜率为2-， 应选A.【点睛】该题考察的是有关直线的斜率问题，涉及到的知识点有平移变换，两点斜率坐标公式，属于简单题目.10.(3,2,3),(1,1,1)a b x =--=--，且a 与b 的夹角为钝角，那么x 的取值范围是〔〕 A.(2,)-+∞B.552,,33⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.(,2)-∞-D.5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】根据a 与b 的夹角为钝角，所以0a b ⋅<且a 与b 不一共线，列出不等式组，即可解出． 【详解】由题知，0a b ⋅<且a 与b 不一共线，即()()()()3121310(3,2,3)(1,1,1)x x λ⎧⨯-+-⋅-+-⨯<⎨--≠--⎩，解得2x >-且53x ≠． 应选：B ．【点睛】此题主要考察利用向量的数量积解决向量夹角问题，解题关键是向量夹角大小与数量积符号之间的等价转化．二、多项选择题〔本大题一一共2小题，每一小题5分，一共10分.在每一小题给出的四个选项里面，至少有两个项是符合题目要求的，只选一个正确的项给2分，多项选择算零分.〕(1,1,0)a =，那么与a 一共线的单位向量e =〔〕A.(22-- B.(0,1,0)C.(,0)22D.(1,1,1)【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量数乘的概念，可知单位向量的求法，a e a=±，即可求出．【详解】设与a 一共线的单位向量为e ，所以a e λ=，因此a e λλ==，得到a λ=±．故a e a=±，而11a =+=2(,22e =或者2(,22e =--．应选：AC ．【点睛】此题主要考察单位向量的求法以及一共线向量定理的应用．12.以下说法正确的选项是〔〕 A.截距相等的直线都可以用方程1x ya a+=表示 B.方程20()x my m R +-=∈能表示平行y 轴的直线C.经过点(1,1)P ，倾斜角为θ的直线方程为1tan (1)y x θ-=-D.经过两点111(,)P x y ，222(,)P x y 的直线方程211211()()()()0y y x x x x y y -----= 【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线方程的使用条件，逐项判断即可得出．【详解】对于A ，假设直线过原点，横纵截距都为零，那么不能用方程1x ya a+=表示，所以A 不正确；对于B ，当0m =时，平行于y 轴的直线方程形式为2x =，所以B 正确；对于C ，假设直线的倾斜角为90，那么该直线的斜率不存在，不能用1tan (1)y x θ-=-表示，所以C 不正确；对于D ，设点(),P x y 是经过两点111(,)P x y ，222(,)P x y 的直线上的任意一点，根据 121//PP PP 可得211211()()()()0y y x x x x y y -----=，所以D 正确． 应选：BD ．【点睛】此题主要考察各种形式的直线方程的适用范围． 三、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕(3,6)P -，(5,2)Q -，(,9)R x -且P Q R 、、三点一共线，那么x =__________.【答案】6 【解析】根据P Q R 、、三点一共线，所以//PQ PR ，由向量平行的坐标表示列出方程，求解即可． 【详解】根据P Q R 、、三点一共线，所以//PQ PR ，而()8,8PQ =-，()3,3PR x =--， 即有()()83830x -⨯---=，解得6x =． 故答案为：6．【点睛】此题主要考察三点一共线的证明和应用，常用证明方式有：利用向量平行、利用斜率相等．(1,,2),(2,1,2),(1,4,4)a b c λ==-=，且,,a b c 一共面，那么λ=_________【答案】1 【解析】 【分析】根据向量,b c 不一共线，以它们为基底，利用空间向量根本定理，可知存在实数,x y 使得a xb yc =+，即可解出．【详解】因为向量,b c 不一共线，且,,a b c 一共面，所以存在实数,x y 使得a xb yc =+，即有124224x y x y x y λ=+⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩，解得1λ=． 故答案为：1．【点睛】此题主要考察空间向量根本定理的应用以及向量的运算．ABC-A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA 1=∠CAA 1=60°那么异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为____________.【详解】如图设1,,AA a AB b AC c===设棱长为1，那么，因为底面边长和侧棱长都相等，且所以，所以，，，设异面直线的夹角为，所以11116cos 23AB BC AB BC θ⋅===⨯. l ：3y kx =23-60x y +=的交点位于第一象限，那么直线l 的倾斜角的取值范围是___________. 【答案】(,)62ππ【解析】假设直线:3l y kx =-2360x y +-=的交点位于第一象限，如下列图： 那么两直线的交点应在线段AB 上〔不包含,A B 点〕,当交点为()0,2A 时，直线l 的倾斜角为2π，当交点为()3,0B 时，斜率(03330k --==-l 的倾斜角为6π ∴直线的倾斜角的取值范围是,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭。
高中高二数学上学期11月月考试卷(含解析)-人教版高二全册数学试题
2014-2015学年江苏省连云港市赣榆高中高二（上）11月月考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1．已知函数f（x）=1+cosx，则f′（x）．2．在△ABC中，A=π，b=12，则a= ．3．命题：∃x∈R，x2﹣x+1＜0是命题（填写“真“或“假”）4．若直线y=﹣x+b为函数的一条切线，则实数b= ．5．在△ABC中，a﹣bcosC﹣ccosB的值为．6．已知等差数列{a n}的首项a1=16，公差d=﹣，当|a n|最小时的n值为．7．（1﹣2n）= ．8．等差数列{a n}前n项和为S n．已知a m﹣1+a m+1﹣a m2=0，S2m﹣1=38，则m= ．9．已知抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为3，则点M到y轴的距离为．10．已知双曲线的焦点是，渐近线方程为y=±x，则双曲线的两条准线间的距离为．11．若等比数列{a n}满足：a1+a2+a3+a4+a5=3，a12+a22+a32+a42+a52=12，则a1﹣a2+a3﹣a4+a5的值是．12．若函数f（x）=x2+ax+2b在区间（0，1）、（1，2）内各有一个零点，则的取值范围为．13．已知“关于x的不等式＜3对于∀x∈R恒成立”的充要条件是“a∈（a1，a2）”，则a1+a2= ．14．正实数x1，x2及f（x）满足，且f（x1）+f（x2）=1，则f（x1+x2）的最小值等于．二、解答题：本大题共7小题，共计90分.请在答题纸上书写答案，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A是锐角，且b=2asinB．（1）求A；（2）若a=7，：△ABC的面积为10，求b+c的值．16．已知a＞0，命题p：∀x＞0，x+恒成立；命题q：∀k∈R直线kx﹣y+2=0与椭圆有公共点．是否存在正数a，使得p∧q为真命题，若存在，请求出a的范围，若不存在，请说明理由．17．某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，ABCD（AB＞AD）为长方形薄板，沿AC折叠后，AB折痕为AB′，AB′交DC于点P，当凹多边形ACB′PD的面积最大时制冷效果最好．（1）设AB=x米，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；（2）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？18．如图，已知椭圆C：=1的离心率为，过椭圆C上一点P（2，1）作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于点A、B，直线AB与x轴交于点M，与y轴负半轴交于点N．（Ⅰ）求椭圆C的方程：（Ⅱ）若S△PMN=，求直线AB的方程．19．已知a＞0，函数f（x）=ax3﹣bx（x∈R）图象上相异两点A，B处的切线分别为l1，l2，且l1∥l2．（1）判断函数f（x）的奇偶性；并判断A，B是否关于原点对称；（2）若直线l1，l2都与AB垂直，求实数b的取值范围．20．已知函数﹣，g（x）=（3﹣k2）（log a x+log x a），（其中a＞1），设t=log a x+log x a．（Ⅰ）当x∈（1，a）∪（a，+∞）时，试将f（x）表示成t的函数h（t），并探究函数h （t）是否有极值；（Ⅱ）当x∈（1，+∞）时，若存在x0∈（1，+∞），使f（x0）＞g（x0）成立，试求k的范围．21．设f k（n）为关于n的k（k∈N）次多项式．数列{a n}的首项a1=1，前n项和为S n．对于任意的正整数n，a n+S n=f k（n）都成立．（I）若k=0，求证：数列{a n}是等比数列；（Ⅱ）试确定所有的自然数k，使得数列{a n}能成等差数列．2014-2015学年江苏省连云港市赣榆高中高二（上）11月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1．已知函数f（x）=1+cosx，则f′（x）=﹣sinx ．考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：利用和的导数的运算法则解答即可．解答：解：f′（x）=（1+cosx）′=﹣sinx．故答案为：﹣sinx．点评：本题考查了导数的运算；只要利用导数的运算公式以及导数的运算法则解答，属于基础题．2．在△ABC中，A=π，b=12，则a= ．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用正弦定理即可得出．解答：解：由正弦定理可得：，∴==．故答案为：4．点评：本题查克拉正弦定理的应用，属于基础题．3．命题：∃x∈R，x2﹣x+1＜0是假命题（填写“真“或“假”）考点：特称命题．专题：简易逻辑．分析：根据特称命题的定义进行判断即可．解答：解：∵判别式△=1﹣4=﹣3＜0，∴x2﹣x+1＞0恒成立，即命题：∃x∈R，x2﹣x+1＜0是假命题，故答案为：假．点评：本题主要考查含有量词的命题的判断，比较基础．4．若直线y=﹣x+b为函数的一条切线，则实数b= ±2 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：设切点为P（m，n），求出函数的导数，得切线斜率为﹣1=，再根据切点P既在切线y=﹣x+b上又在函数图象上，列出关于m、n、b的方程组，解之即可得到实数b之值．解答：解：函数的导数为设直线y=﹣x+b与函数相切于点P（m，n），则解之得m=n=1，b=2或m=n=﹣1，b=﹣2综上所述，得b=±2故答案为：±2点评：本题给出已知函数图象的一条切线，求参数b的值，着重考查了导数的运算公式与法则和利用导数研究曲线上某点切线方程等知识，属于基础题．5．在△ABC中，a﹣bcosC﹣ccosB的值为0 ．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：原式利用正弦定理化简，计算即可得到结果．解答：解：在△ABC中，由正弦定理===2R化简得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，a﹣bcosC﹣ccosB=2RsinA﹣2RsinBcosC﹣2RsinCcosB=2R[sinA﹣sin（B+C）]=2R（sinA﹣sinA）=0，故答案为：0点评：此题考查了正弦定理，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．6．已知等差数列{a n}的首项a1=16，公差d=﹣，当|a n|最小时的n值为22 ．考点：等差数列的通项公式．分析：由题意可得通项公式，可得前22项均为正数，从第23项开始为负，求a22和a23，比较绝对值可得．解答：解：∵等差数列{a n}的首项a1=16，公差d=﹣，∴通项公式a n=16﹣（n﹣1）=（67﹣3n），令a n=（67﹣3n）≤0可得n≥，∴等差数列{a n}的前22项均为正数，从第23项开始为负，又a22=，a23=，∴当|a n|最小时的n值为22故答案为：22点评：本题考查等差数列的通项公式，属基础题．7．（1﹣2n）= ﹣399 ．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：可得数列为首项为1，公差为﹣2的等差数列，代入求和公式可得．解答：解：（1﹣2n）=1+（﹣1）+（﹣3）+…+（﹣39）==﹣399．故答案为：﹣399点评：本题考查等差数列的求和公式，属基础题．8．等差数列{a n}前n项和为S n．已知a m﹣1+a m+1﹣a m2=0，S2m﹣1=38，则m= 10 ．考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的性质a n﹣1+a n+1=2a n，我们易求出a m的值，再根据a m为等差数列{a n}的前2m﹣1项的中间项（平均项），我们可以构造一个关于m的方程，解方程即可得到m的值．解答：解：∵数列{a n}为等差数列，∴a n﹣1+a n+1=2a n，∵a m﹣1+a m+1﹣a m2=0，∴2a m﹣a m2=0解得：a m=2，又∵S2m﹣1=（2m﹣1）a m=38，解得m=10故答案为10．点评：本题考查差数列的性质，关键利用等差数列项的性质：当m+n=p+q时，a m+a n=a p+a q，同时利用了等差数列的前n和公式．9．已知抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为3，则点M到y轴的距离为 2 ．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先设出该点的坐标，根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得x的值，代入抛物线方程求得y值，即可得到所求点的坐标．解答：解：∵抛物线方程为y2=4x∴焦点为F（1，0），准线为l：x=﹣1设所求点坐标为M（x，y）作MQ⊥l于Q根据抛物线定义可知M到准线的距离等于M、Q的距离即x+1=3，解之得x=2，代入抛物线方程求得y=±4故点M坐标为：（2，y）即点M到y轴的距离为2故答案为：2．点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．在涉及焦点弦和关于焦点的问题时常用抛物线的定义来解决．10．已知双曲线的焦点是，渐近线方程为y=±x，则双曲线的两条准线间的距离为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据双曲线的渐近线方程焦点坐标设出双曲线的方程，求出双曲线中的c，再根据双曲线的焦点坐标求出参数的值，得到双曲线的方程，再由双曲线方程求出准线方程，最后计算两准线间距离．解答：解：∵双曲线的两条渐近线的方程为：y=±x，一个焦点为F1（﹣，0），∴设双曲线方程为=1（λ＞0）则双曲线中a2=4λ，b2=9λ，∴c2=a2+b2=4λ+9λ=13λ又∵一个焦点为F1（﹣，0），∴c=，∴13λ=26，λ=2．∴双曲线方程为=1∴准线方程为x=±=±=∴两准线间距离为：．故答案为：．点评：本题主要考查了双曲线的标准方程及其几何性质，待定系数法求双曲线的标准方程，双曲线的渐近线、准线、焦点坐标间的关系11．若等比数列{a n}满足：a1+a2+a3+a4+a5=3，a12+a22+a32+a42+a52=12，则a1﹣a2+a3﹣a4+a5的值是 4 ．考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：先设等比数列{a n}公比为q，分别用a1和q表示出a12+a22+a32+a42+a52，a1+a2+a3+a4+a5和a1﹣a2+a3﹣a4+a5，发现a12+a22+a32+a42+a52除以a1+a2+a3+a4+a5正好与a1﹣a2+a3﹣a4+a5相等，进而得到答案．解答：解：设数列{a n}的公比为q，则a1+a2+a3+a4+a5==3①，a12+a22+a32+a42+a52==12②∴②÷①得÷==4∴a1﹣a2+a3﹣a4+a5==4故答案为：4点评：本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．12．若函数f（x）=x2+ax+2b在区间（0，1）、（1，2）内各有一个零点，则的取值范围为．考点：简单线性规划的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：根据函数零点的条件，得到不等式关系，利用线性规划的知识即可得到结论．解答：解：若函数f（x）=x2+ax+2b在区间（0，1）、（1，2）内各有一个零点，则，即，作出不等式组对应的平面区域如图：设z=，则z的几何意义为区域内点到点D（1，2）的斜率，由图象可知AD的斜率最小，CD的斜率最大，由，解得，即A（﹣3，1），此时AD的斜率k=，CD的斜率k=，即，故答案为：．点评：本题主要考查线性规划的应用，根据函数零点分布以及一元二次函数根的分布是解决本题的关键．13．已知“关于x的不等式＜3对于∀x∈R恒成立”的充要条件是“a∈（a1，a2）”，则a1+a2= 6 ．考点：全称命题；充要条件．专题：计算题．分析：由于x2﹣x+1＞0，转化为整式不等式x2﹣ax+2＜3x2﹣3x+3恒成立，利用△＜0解出．解答：解：∵x2﹣x+1＞0，∴原不等式化为x2﹣ax+2＜3x2﹣3x+3，即2x2+（a﹣3）x+1＞0．∵∀x∈R时，2x2+（a﹣3）x+1＞0恒成立，∴△=（a﹣3）2﹣8＜0．∴3﹣2＜a＜3+2，∴a1+a2=6．故答案为：6．点评：本题考查函数恒成立问题，考查数形结合思想，关于二次函数恒成立问题，往往采取数形结合思想进行解决14．正实数x1，x2及f（x）满足，且f（x1）+f（x2）=1，则f（x1+x2）的最小值等于．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：平面向量及应用．分析：根据f（x）的解析式，将f（x1）+f（x2）=1表示出来，然后求出，再表示出f（x1+x2），将其中的代入其中，将所得表达式进行化简，整理成乘积为定值的形式，运用基本不等式求解，即可得到f（x1+x2）的最小值．解答：解：∵，且f（x1）+f（x2）=1，∴+=1，∴，∴=≥=，当且仅当，即，x2=log43时取得最小值，∴f（x1+x2）的最小值等于．故答案为：．点评：本题考查了基本不等式在最值问题中的应用，应用基本不等式时，要注意“一正、二定、三相等”的判断．本题解题的关键是将两个变量转化为一个变量来表示，然后构造成乘积为定值的形式，运用基本不等式进行求解．同时考查了化简运算的能力．属于中档题．二、解答题：本大题共7小题，共计90分.请在答题纸上书写答案，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A是锐角，且b=2asinB．（1）求A；（2）若a=7，：△ABC的面积为10，求b+c的值．考点：正弦定理；余弦定理．专题：计算题；三角函数的求值；解三角形．分析：（1）运用正弦定理，结合特殊角的三角函数值，即可得到A；（2）运用余弦定理和面积公式，结合完全平方公式，即可得到b+c．解答：解：（1）由正弦定理，可得，b=2asinB即为=2sinAsinB，即有sinA=，由于A是锐角，则A=；（2）由面积公式可得，10bcsinA=bc，即bc=40，由余弦定理，可得，49=b2+c2﹣2bccos，即有49=（b+c）2﹣3bc，即有b+c==13．点评：本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．16．已知a＞0，命题p：∀x＞0，x+恒成立；命题q：∀k∈R直线kx﹣y+2=0与椭圆有公共点．是否存在正数a，使得p∧q为真命题，若存在，请求出a的范围，若不存在，请说明理由．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：利用基本不等式求得命题p为真时a的取值范围；根据直线与椭圆的位置关系确定a满足的条件，再由复合命题真值表知，若p∧q为真命题，则p与q都为真命题，求得a 的范围．解答：解：对∀x＞0，∵x+≥2，∴要使x+恒成立，∴有2≥2⇒a≥1，∴命题p为真时，a≥1；∵∀k∈R直线kx﹣y+2=0恒过定点（0，2），要使直线kx﹣y+2=0与椭圆有公共点．∴有，解得a≥2，由复合命题真值表知，若p∧q为真命题，则p与q都为真命题，因此⇒a≥2，综上，存在a≥2使得命题p∧q为真命题．点评：本题借助考查复合命题的真假判定，考查基本不等式的应用及直线与椭圆的位置关系，解题的关键是求出组成复合命题的简单命题为真时的条件．17．某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，ABCD（AB＞AD）为长方形薄板，沿AC折叠后，AB折痕为AB′，AB′交DC于点P，当凹多边形ACB′PD的面积最大时制冷效果最好．（1）设AB=x米，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；（2）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由题意，设DP=y，则PC=x﹣y．因△ADP≌△CB′P，故PA=PC=x﹣y．由 PA2=AD2+DP2，代入即可求出；（2）记△ADP的面积为S，则S=x（2﹣x）+（1﹣）（2﹣x）=3﹣（x2+）（1＜x＜2）求出当x=时，S取得最大值，从而求出长和宽．解答：解：（1）由题意，AB=x，BC=2﹣x．因x＞2﹣x，故1＜x＜2，设DP=y，则PC=x﹣y．因△ADP≌△CB′P，故PA=PC=x﹣y．由 PA2=AD2+DP2，得（x﹣y）2=（2﹣x）2+y2⇒y=2（1﹣）（1＜x＜2）．（2）记凹多边形的面积为S，则S=x（2﹣x）+（1﹣）（2﹣x）=3﹣（x2+）（1＜x＜2）于是，S′=（2x﹣）==0⇒x=，关于x的函数S在（1，）上递增，在（，2）上递减．所以当x=时，S取得最大值故当薄板长为米，宽为2﹣米时，制冷效果最好．点评：本题考查了函数解析式的求法，自变量的取值范围，考查求函数的最值问题，是一道综合题．18．如图，已知椭圆C：=1的离心率为，过椭圆C上一点P（2，1）作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于点A、B，直线AB与x轴交于点M，与y轴负半轴交于点N．（Ⅰ）求椭圆C的方程：（Ⅱ）若S△PMN=，求直线AB的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由椭圆的离心率为，椭圆过定点P（2，1）及条件a2=b2+c2联立可求a2，b2，则椭圆的方程可求；（Ⅱ）设出过P点的直线方程，和椭圆方程联立后由根与系数关系求出A的坐标，同理求出B的坐标，由两点式求出过AB直线的斜率，再设出AB的斜截式方程，利用三角形PMN的面积等于就能求出截距，则直线AB的方程可求．解答：解：（Ⅰ）由题意：，∴，∴①．又∵P（2，1）在椭圆上，所以②．联立①②得：a2=8，b2=2．∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）设直线PA的方程为y﹣1=k（x﹣2），代入椭圆方程得：x2+4[k（x﹣2）+1]2=8，整理得：（1+4k2）x2﹣8k（2k﹣1）x+16k2﹣16k﹣4=0．∵方程一根为2，由根与系数关系得，∴．则．∴A．∵PA与PB倾斜角互补，∴k PB=﹣k PA=﹣k．则B．∴=．设直线AB方程为，即x﹣2y+2m=0，则M（﹣2m，0），N（0，m）（m＜0），P到直线AB的距离为d=．|MN|=．∴．解得，或m=（舍）．所以所求直线AB的方程为x﹣2y﹣=0．点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、面积问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．19．已知a＞0，函数f（x）=ax3﹣bx（x∈R）图象上相异两点A，B处的切线分别为l1，l2，且l1∥l2．（1）判断函数f（x）的奇偶性；并判断A，B是否关于原点对称；（2）若直线l1，l2都与AB垂直，求实数b的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（1）先由函数的解析式求出函数的定义域，要判断出其定义关于原点对称，进而由函数的解析式，判断出f（﹣x）=﹣f（x），最后由函数奇偶性的定义，得到结论；再设A（x1，y1），B（x2，y2）且x1≠x2，利用导数的几何意义得出x1=﹣x2从而得到A，B关于原点对称．（2）由（1）知A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），利用斜率公式及导数的几何意义结合直线l1，l2都与AB垂直，得到方程3t2﹣4bt+b2+1=0有非负实根，利用根的判别式即可求出实数b的取值范围．解答：解：（1）∵f（﹣x）=a（﹣x）3﹣b（﹣x）=﹣（ax3﹣bx）=﹣f（x），…（2分）∴f（x）为奇函数．…（3分）设A（x1，y1），B（x2，y2）且x1≠x2，又f'（x）=3ax2﹣b，…（5分）∵f（x）在两个相异点A，B处的切线分别为l1，l2，且l1∥l2，∴，∴，又x1≠x2，∴x1=﹣x2，…（6分）又∵f（x）为奇函数，∴点A，B关于原点对称．…（7分）（2）由（1）知A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），∴，…（8分）又f（x）在A处的切线的斜率，∵直线l1，l2都与AB垂直，∴，…（9分）令，即方程3t2﹣4bt+b2+1=0有非负实根，…（10分）∴△≥0⇒b2≥3，又，∴．综上．…（14分）点评：本题考查函数性质和导数的运算与应用、一元二次方程根的分布；考查换元法考查推理论证能力．20．已知函数﹣，g（x）=（3﹣k2）（log a x+log x a），（其中a＞1），设t=log a x+log x a．（Ⅰ）当x∈（1，a）∪（a，+∞）时，试将f（x）表示成t的函数h（t），并探究函数h （t）是否有极值；（Ⅱ）当x∈（1，+∞）时，若存在x0∈（1，+∞），使f（x0）＞g（x0）成立，试求k的范围．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：函数的性质及应用．分析：（I）由t=log a x+log x a，可得=t2﹣2，=t3﹣3t，进而可将f（x）表示成t的函数h（t），进而利用导数法，可判断出函数h（t）是否有极值；（Ⅱ）存在x0∈（1，+∞），使f（x0）＞g（x0）成立等价于f（x）﹣g（x）的最大值大于0，构造函数m（t）=f（x）﹣g（x）=﹣t3+kt2+k2t﹣2k，（t≥2），利用导数法，分类讨论函数的最大值，最后综合讨论结果，可得答案．解答：解：（Ⅰ）∵t=log a x+log x a，a＞1，∴=﹣2=t2﹣2，==t3﹣3t，∴f（x）可转化为：h（t）=﹣t3+kt2+3t﹣2k，（t＞2）∴h′（t）=﹣3t2+2kt+3…（3分）设t1，t2是h′（t）=0的两根，则t1•t2=﹣1＜0，∴h′（t）=0在定义域内至多有一解，欲使h（t）在定义域内有极值，只需h′（t）=﹣3t2+2kt+3=0在（3，+∞）内有解，且h′（t）的值在根的左右两侧异号，∴h′（2）=4k﹣9＞0解得k＞…（6分）综上：当k＞时h（t）在定义域内有且仅有一个极值，当k≤时h（t）在定义域内无极值．（Ⅱ）∵存在x0∈（1，+∞），使f（x0）＞g（x0）成立等价于f（x）﹣g（x）的最大值大于0，∵令m（t）=f（x）﹣g（x）=﹣t3+kt2+k2t﹣2k，（t≥2）∴m′（t）=﹣3t2+2kt+k2，令m′（t）=0，解得t=k或t=﹣当k＞2时，m（t）max=m（k）＞0得k＞2；当0＜k≤2时，m（t）max=m（2）＞0得＜k≤2…（12分）当k=0时，m（t）max=m（2）＜0不成立…（13分）当﹣6≤k＜0时，m（t）max=m（2）＞0得﹣6≤k＜；当k＜﹣6时，m（t）max=m（﹣）＞0得k＜﹣6；综上得：k＜或k＞…（16分）点评：本题考查的知识点是对数的运算性质，函数的极值，函数的最值，存在性问题，是函数图象和性质与导数的综合应用，难度较大，属于难题21．设f k（n）为关于n的k（k∈N）次多项式．数列{a n}的首项a1=1，前n项和为S n．对于任意的正整数n，a n+S n=f k（n）都成立．（I）若k=0，求证：数列{a n}是等比数列；（Ⅱ）试确定所有的自然数k，使得数列{a n}能成等差数列．考点：数列递推式；等差关系的确定；等比关系的确定．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）若k=0，不妨设f0（n）=c（c为常数）．即a n+S n=c，结合数列中a n与 S n关系求出数列{a n}的通项公式后再证明．（Ⅱ）由特殊到一般，实质上是由已知a n+S n=f k（n）考查数列通项公式求解，以及等差数列的判定．解答：（Ⅰ）证明：若k=0，则f k（n）即f0（n）为常数，不妨设f0（n）=c（c为常数）．因为a n+S n=f k（n）恒成立，所以a1+S1=c，c=2a1=2．而且当n≥2时，a n+S n=2，①a n﹣1+S n﹣1=2，②①﹣②得 2a n﹣a n﹣1=0（n∈N，n≥2）．若a n=0，则a n﹣1=0，…，a1=0，与已知矛盾，所以a n≠0（n∈N*）．故数列{a n}是首项为1，公比为的等比数列．（Ⅱ）解：（1）若k=0，由（Ⅰ）知，不符题意，舍去．（2）若k=1，设f1（n）=bn+c（b，c为常数），当n≥2时，a n+S n=bn+c，③a n﹣1+S n﹣1=b（n﹣1）+c，④③﹣④得 2a n﹣a n﹣1=b（n∈N，n≥2）．要使数列{a n}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有a n=b﹣d（常数），而a1=1，故{a n}只能是常数数列，通项公式为a n=1（n∈N*），故当k=1时，数列{a n}能成等差数列，其通项公式为a n=1（n∈N*），此时f1（n）=n+1．（3）若k=2，设f2（n）=pn2+qn+t（a≠0，a，b，c是常数），当n≥2时，a n+S n=pn2+qn+t，⑤a n﹣1+S n﹣1=p（n﹣1）2+q（n﹣1）+t，⑥⑤﹣⑥得 2a n﹣a n﹣1=2pn+q﹣p（n∈N，n≥2），要使数列{a n}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有a n=2pn+q﹣p﹣d，且d=2p，考虑到a1=1，所以a n=1+（n﹣1）•2p=2pn﹣2p+1（n∈N*）．故当k=2时，数列{a n}能成等差数列，其通项公式为a n=2pn﹣2p+1（n∈N*），此时f2（n）=an2+（a+1）n+1﹣2a（a为非零常数）．（4）当k≥3时，若数列{a n}能成等差数列，根据等差数列通项公式可知Sn是关于n的二次型函数，则a n+S n的表达式中n的最高次数为2，故数列{a n}不能成等差数列．综上得，当且仅当k=1或2时，数列{a n}能成等差数列．点评：本题考查数列通项公式的求解，等差数列的判定，考查阅读理解、计算论证等能力．。
2022-2023学年河北省唐县第一中学高二上学期11月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年河北省唐县第一中学高二上学期11月月考数学试题一、单选题1．三名学生分别从4门选修课中选修一门课程，不同的选法有（ ） A ．24种 B ．81种 C ．64种 D ．32种【答案】C【分析】根据分步乘法计数原理计算可得；【详解】三名学生分别从4门选修课中选修一门课程，对于任意1名同学均有4种不同的选法，故不同的选法有3464=种； 故选：C2．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A ．120种 B ．90种 C ．60种 D ．30种【答案】C【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解. 【详解】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有16C ； 然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有25C ； 最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有126561060C C ⋅=⨯=种.故选：C【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题. 3．设随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，(1)P p ξ>=，则(10)P ξ-<<= A ．12p B ．1p - C ．12p -D ．12p -【答案】D【详解】分析：由题可知，正态曲线关于0ξ=对称，根据(1)P p ξ>=，即可求出(10)P ξ-<< 详解：随机变量ξ服从正态分布()0,1N∴正态曲线关于0ξ=对称(1)P p ξ>=∴ 1(10)2P p ξ-<<=- 故选D.点睛：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题解题的关键是正态曲线的对称性. 4．若随机变量X 的分布列为：已知随机变量()0Y aX b a b a ∈>R ＝＋，，，且()10E Y =，()4D Y =，则a 与b 的值分别为( )A ．10a =，3b = B ．3a =，10b = C ．5a =，6b = D ．6a =，5b =【答案】C【分析】根据分布列概率的性质可计算出m ，根据平均数和方差的计算即可计算a 、b . 【详解】由随机变量X 的分布列可知，10.20.8m =-=．∴()00.210.80.8E X =⨯+⨯=，()()()2200.80.210.80.80.20.80.16D X =-⨯+-⨯=⨯=．∴()()10E Y aE X b =+=，()()24D Y a D X ==，∴0.810a b +=，20.164a =，又0a >，解得5a =，6b =﹒ 故选：C ．5．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率( ) A ．310 B ．13C ．38D ．29【答案】B【详解】事件A ：“第一次拿到白球”，B ：“第二拿到红球”，则P(A)＝210＝15，P(AB)＝210·39＝115，故P(B|A)＝()()P AB P A ＝13. 6．已知()01223344414729n n n n n n n n C C C C C -+-+⋅⋅⋅+-⋅⋅=，则123n n n n n C C C C +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．64B ．32C ．63D ．31【答案】C【解析】根据二项式定理展开式的逆运算即可求得n 的值,进而由二项式系数和求得123nn n n n C C C C +++⋅⋅⋅+的值.【详解】根据二项式定理展开式的逆运算可知()()0122334441414n n n n n n n n nC C C C C -+-+⋅⋅⋅+-⋅⋅=- 所以()6147293n -== 解得6n =所以12360622163n n n n n n C C C C C +++⋅⋅⋅+=-=-=故选:C【点睛】本题考查了二项式定理展开式的逆运用,二项式系数和的应用,属于基础题.7．有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3，0.2,0.1,0.4，迟到的概率分别为0.25,0.3,0.1,0，则他迟到的概率为（ ） A ．0.85 B ．0.65 C ．0.145 D ．0.075【答案】C【详解】设A 1＝“他乘火车来”，A 2＝“他乘船来”，A 3＝“他乘汽车来”，A 4＝“他乘飞机来”，B ＝“他迟到”.则Ω＝A 1∪A 2∪A 3∪A 4，且A 1，A 2，A 3，A 4两两互斥，由全概率公式得P (B )＝(Ai )·P (B |Ai )＝0.3×0.25＋0.2×0.3＋0.1×0.1＋0.4×0＝0.145.8．把座位编号为1，2，3，4，5，6的6张电影票分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少分一张，至多分两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同分法种数为( ) A ．240 B ．144 C ．196 D ．288【答案】B【分析】将6张票按照要求分给4个人，是有2人各得两张，另外2人各得1张票.再将2张具有连续的编号的票的情况求出后可计算出答案.【详解】由题4人分6张票，则有2人各得两张，且具有连续的编号的票，另外2人各得1张票．2张具有连续的编号的票的情况有12和34；12和45；12和56；23和45；23和56；34和56共6种情况．所以不同的分法种数是446A 144=．故选：B二、多选题9．若圆22240x y x y +--=的圆心到直线0x y a -+=的距离为22，则实数a 的值为（ ） A ．2 B ．2-C ．12D ．0【答案】AD【解析】求出圆心坐标后，利用点到直线的距离公式列式可解得结果. 【详解】因为圆22240x y x y +--=的圆心为(1,2)，所以圆心(1,2)到直线0x y a -+=的距离为|12|2211a -+=+，所以0a =或2a =. 故选：AD【点睛】关键点点睛：掌握点到直线的距离公式是解题关键.10．已知椭圆E ：22194x y +=的左､右焦点分别为1F ，2F ，点P 在E 上，若12F PF △是直角三角形，则12F PF △的面积可能为（ ） A ．5 B ．4 C ．453D ．253【答案】BC【分析】根据对称性只需考虑112PF F F ⊥或12PF PF ⊥，当112PF F F ⊥时，求出1PF 的长，再由面积公式即可求面积，当12PF PF ⊥时，结合122PF PF a +=，()222122PF PF c +=求出12PF PF ⋅，再由面积公式即可求面积.【详解】由22194x y +=可得3a =，2b =，所以22945c a b =-=-=， 根据对称性只需考虑112PF F F ⊥或12PF PF ⊥，当112PF F F ⊥时，将5x =-代入22194x y+=可得43y =±， 如图：12225F F c ==，143PF =，所以12F PF △的面积为144525233⨯⨯=，当12PF PF ⊥时，由椭圆的定义可知：1226PF PF a +==，由勾股定理可得()22212220PF PF c +==， 因为()2221212122PF PF PF PF PF PF +=+-⋅， 所以1220362PF PF =-⋅，解得：128PF PF ⋅=， 此时12F PF △的面积为12142PF PF ⋅=，综上所述：12F PF △的面积为445故选：BC.11．已知椭圆2222x y a b +=1与椭圆222516x y +=1有相同的长轴，椭圆2222x y a b +=1的短轴长与椭圆22219y x +=1的短轴长相等，则下列结论不正确的有（ ） A ．a 2=25，b 2=16B ．a 2=9，b 2=25C ．a 2=25，b 2=9或a 2=9，b 2=25D ．a 2=25，b 2=9【答案】ABC【解析】由椭圆22221x y a b +=与椭圆2212516x y +=有相同的长轴可确定椭圆22221x y a b +=的焦点位置且225a =，然后再结合条件可得到29b =，进而可得答案．【详解】椭圆2212516x y +=的长轴长为10，椭圆221219y x +=的短轴长为6，由题意可知椭圆22221x y a b+=的焦点在x 轴上，即有5a =，3b =.故只有D 对故选：ABC【点睛】本题考查椭圆中基本量的判定，解题的关键是掌握椭圆标准方程的特征，特别是注意焦点在标准方程中大的分母对应的变量所在的轴上，属于基础题．12．已知圆22:4O x y +=和圆22:4240M x y x y +--+=交于P ，Q 两点，则（ ） A ．两圆有两条公切线 B ．PQ 垂直平分线段OM C ．直线PQ 的方程为240x y +-=D ．线段PQ 的长为455【答案】ACD【解析】根据圆O 和圆M 的位置关系判断A ；数形结合可知PQ 垂直线段OM 但不平分线段OM ，圆22:4O x y +=和圆22:4240M x y x y +--+=的方程相减判断C ；先求得圆心O 到直线PQ 的距离，再利用弦长公式求解判断D.【详解】对于A ：因为圆22:4O x y +=和圆22:4240M x y x y +--+=交于P ，Q 两点，所以两圆有两条公切线，故正确；对于B ：数形结合可知PQ 垂直线段OM 但不平分线段OM ，故错误；对于C ：圆22:4O x y +=和圆22:4240M x y x y +--+=的方程相减得：240x y +-=，所以直线PQ 的方程为240x y +-=，故正确； 对于D:圆心O 到直线PQ 的距离为：445541d ==+，所以线段PQ 的长为22224545||222()55PQ r d =-=-=，故正确； 故选：ACD.三、填空题13．椭圆2212x y +=的焦距长为__________．【答案】2【分析】根据椭圆方程求出c ，进而可求出结果.【详解】因为椭圆2212x y +=中22a =，21b =，所以2221c a b =-=，所以焦距为22c =. 故答案为2【点睛】本题主要考查椭圆的焦距，熟记椭圆的性质即可，属于基础题型. 14．双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________．【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【详解】由已知，3c ，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线280x y +-===15．已知P 是圆22:2410C x y x y +-+-=外一点，过P 作圆C 的两条切线，切点分别为,,A B 则PA PB ⋅的最小值为____________.【答案】18【分析】先将圆的方程化为标准方程，由此确定出圆的半径，设PC d =，根据长度表示出cos APB ∠，然后根据向量的数量积计算公式求解PA PB ⋅，结合基本不等式求解出PA PB ⋅的最小值.【详解】圆C 的标准方程为()2212)6(x y -++=，则圆C ，设PC d =，则PA PB ==因为sin APC ∠=所以2212121cos APB d ∠=-=-⎝⎭，所以()2222127261181818PA PB d d d d ⎛⎫⋅=--=+-≥= ⎪⎝⎭，当且仅当2272d d=，即26d =>时，等号成立，故PA PB ⋅的最小值为18，故答案为：18.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是将PA PB ⋅表示为d 有关的形式，通过统一变量利用基本不等式简化求最值的方法，其中cos APB ∠的计算需要借助圆的半径去完成.16．已知a ，b ，c 分别是椭圆E 的长半轴长、短半轴长和半焦距长，若关于x 的方程220ax bx c ++=无实根，则椭圆E 的离心率e 的取值范围是_______________________.【答案】1⎫⎪⎪⎝⎭【分析】根据判别式为负可求,,a b c 的关系，从而可求离心率e 的取值范围. 【详解】由题有2440b ac ∆=-<，即220a c ac --<， 故210e e +->，得e <或e >01e <<，1e <.故答案为：⎫⎪⎪⎝⎭四、解答题17．（1）已知点()1,1A -在圆C ：22220x y x y m +-++=外，求实数m 的取值范围. （2）已知椭圆221x ny +=的离心率为12，求实数n 的取值. 【答案】（1）62m -<<；（2）43n =或34. 【分析】(1)由点在圆外，代入圆的方程大于0即可.(2)根据椭圆的离心率求方程，分椭圆焦点在x 轴上，或者焦点在y 轴上，由离心率找到,,a b c 之间的关系就可得到结果.【详解】解：（1）若方程22220x y x y m +-++=表示圆，则4440m +->，解得2m <， 根据点()1,1A -在圆外，可得11220m ++++>，则6m >-， 所以62m -<<.（2）由椭圆方程221x ny +=，得22111x y n+=， ①若焦点在x 轴上，则1n >，即21a =，21b n=， ∴22211c a b n=-=-， ∴22211114c n e a -===，即43n =. ②若焦点在y 轴上，则01n <<，即21a n=，21b =， ∴22211c a b n=-=-，∴得到22211114c n e a n-===，即34n =. 故43n =或34. 18．已知圆C 经过原点且与直线40x y --=相切，圆心C 在直线0x y +=上. (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过点()2,1，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程. 【答案】(1)()()22112x y -++= (2)2x =或3420x y --=【分析】（1）由d OC =可求得圆心()1,1C -和半径； （2）分直线k 存在和不存在两种情况讨论.【详解】（1）因为圆心C 在直线0x y +=上，可设圆心为(),C a a -， 则点C 到直线40x y --=的距离d =，OC =据题意，d OC ==解得1a =，所以圆心为()1,1C -，半径r d = 则所求圆的方程是()()22112x y -++=.（2）当弦长为21=. 当k 不存在时，直线2x =符合题意；当k 存在时，设直线方程为210kx y k --+=，1=，∴34k =， ∴直线方程为3420x y --=.综上所述，直线方程为2x =或3420x y --=.19．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为12，且过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.(1)求椭圆的标准方程；(2)倾斜角为45︒的直线l 过椭圆的右焦点F 交椭圆于A ､B 两点，求OAB 的面积. 【答案】(1)22143x y +=..【分析】（1）设椭圆方程，根据题意列出方程组，求得答案即可；（2）由题意求得直线方程，联立椭圆方程，整理得根与系数的关系式，利用弦长公式求得弦长，继而求得原点到直线AB 的距离，即可求得答案. 【详解】（1）因为椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上， 所以设椭圆的标准方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的离心率为12，且过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以22222222191441,321a b a c b a c a b c ⎧+=⎪⎧=⎪⎪⎪=∴=⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎪⎩，所以椭圆的标准方程为：22143x y +=； （2）由（1）可知：()1,0F ，倾斜角为45︒的直线l 的斜率为1， 所以直线l 的方程为：01(1)y x -=⨯-即10x y --=， 代入椭圆方程中，得22(1)143x x -+=， 27880x x ∴--=，设()11,A x y ，()22,B x y ， 所以1287x x +=，1287x x =-因此724AB =， 原点到直线AB的距离d =1124227OAB S d AB =⋅=⨯=△ 所以OAB 的面积为7. 20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，AP AB =，E 为CD 的中点.（1）求证：CD ⊥平面PAE ；（2）求平面PAE 与平面PBC 所成二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）277. 【分析】（1）在菱形中证明CD AE ⊥，再由已知的线面垂直得线线垂直，从而可证得线面垂直． （2）以A 为坐标原点，向量AB ，AE ，AP 方向分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．【详解】（1）证明：连AC∵底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒∴AC AD =∵AC AD =，DE CE =，∴AE CD ⊥∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA CD ⊥∵PA CD ⊥，AE CD ⊥，AE ，PA ⊂平面PAE ，AEAP A =∴CD ⊥平面PAE（2）由（1）知CD AE ⊥，又由//AB CD ，可得AB AE ⊥，可得AB 、AE 、AP 两两垂直令2AB =，可得2AD AP ==，3AE =，1ED CE ==以A 为坐标原点，向量AB ，AE ，AP 方向分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系可得点A 的坐标为()0,0,0，点P 的坐标为()0,0,2，点B 的坐标为()2,0,0，点E 的坐标为()，点C 的坐标为()()2,0,0AB =，()BC =-，()2,0,2BP =-由（1）可知AB 为平面PAE 的法向量设平面BCP 的法向量为(),,m x y z =，有30220BC m x BP m x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取x =1y =，z =可得(3,1,m = 由23AB m ⋅=||2AB =，||7m =，有2cos ,7AB m =故平面PAE 与平面PBC 【点睛】方法点睛：本题考查用空间向量法求二面角．求二面角的方法：（1）几何法，通过作证算三个步骤求解，即作出二面角的平面角，并证明，然后计算出这个角．（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，用空间向量法求角，即求出二面角两个面的法向量，由法向量的夹角与二面角相等或互补得解．21．已知圆C ：221x y +=，直线l ：()()1110++--=m x m y （m ∈R ）．（1）求直线l 所过定点A 的坐标；（2）若直线l 被圆Cm 的值； （3）若点B 的坐标为()2,0-，在x 轴上存在点D （不同于点B ）满足：对于圆C 上任意一点P ，都有PB PD为一常数，求所有满足条件的点D 的坐标． 【答案】（1）11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）1-或1；（3）1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【分析】（1）先将方程整理成()(1)0m x y x y -++-=，令含参数m 的式子为0即解得定点；（2）先利用圆中弦长与半径，求得圆心到弦所在直线的距离，再结合点到直线的距离公式即求得参数m ；（3）先设点D 的坐标(,0)n ，结合题意计算PB PD，满足其为定值则需对应系数成比例，即求得参数n ，进而验证，即得结果.【详解】解：（1）直线l 的方程整理为：()(1)0m x y x y -++-=，令010x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得12x y ==， 故直线l 所过定点A 的坐标为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）由直线l 被圆CC 到直线l的距离为12d ==，又由点到直线的距离公式可知12d ==， 解得21m =，即1m =±，故实数m 的值为1-或1； （3）设点P 的坐标为()00,x y ，x 轴上的点D 的坐标为(,0)n ，由不同于点B 知2n ≠-，由22001,||x y PB +==||PD ==||||PB PD =， 若PB PD 为一常数，必有22145n n -+=，解得：12n =-或2n =-（舍去）， 12n =-时||PD ==，||2||PB PD =为一常数，此时1,02D ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故满足条件的点D 的坐标为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】思路点睛：直线被圆截得的弦长的相关问题，通常利用几何法解决，即直线被圆截得的半弦长2l 、弦心距d 和圆的半径r 构成直角三角形，且2222l r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可以知二求一，或者结合点到直线的距离公式构建关系式求解参数.22．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，斜率为2的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点． （Ⅰ）若直线l 与抛物线C 的准线相交于点P，且PF =l 的方程；（Ⅱ）若直线l 不过原点，且90AFB ∠=︒，求ABF △的周长．【答案】（Ⅰ）2y x =；（Ⅱ）15+【分析】（Ⅰ）设直线l 的方程为2y x m =+，则点P 的坐标为()1,2m --，联立直线与抛物线，由判别式大于0可得12m <，由PF =0m =或4m =（舍去），从而可得结果； （Ⅱ）设直线l 的方程为()20=+≠y x b b ，并代入抛物线2:4C y x =，根据韦达定理和0FA FB ⋅=可解得12b =-，根据弦长公式可得||AB =||||AF BF +，进一步可得ABF △的周长.【详解】（Ⅰ）由抛物线2:4C y x =可知(1,0)F ，准线为=1x -，设直线l 的方程为2y x m =+，则点P 的坐标为()1,2m --，联立方程242y x y x m⎧=⎨=+⎩，消去y 后整理为()224440x m x m +-+=， 又由()22441616320m m m ∆=--=->，可得12m <，由点F 的坐标为()1,0，有PF ==，解得0m =或4m =（舍去），故直线l 的方程为2y x =．（Ⅱ）设直线l 的方程为()20=+≠y x b b ，点A 、B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，联立方程242y x y x b⎧=⎨=+⎩，消去y 后整理为()224440x b x b +-+=， 可得121x x b +=-，21214x x b =， ()()()()222121212122242212y y x b x b x x b x x b b b b b b =++=+++=+-+=又由()22441616320b b b ∆=--=->，可得12b <． 又由()111,FA x y =-，()221,FB x y =-，可得()()()1212121212111FA FB x x y y x x x x y y ⋅=--+=-+++()22111123044b b b b b =--++=+=， 得0b =（舍去）或12b =-．由12b =-，可得1213x x +=，1236x x =，所以AB ==()()121211215AF BF x x x x +=+++=++=，故ABF △的周长为15+【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的定义，韦达定理和弦长公式，考查了运算求解能力，属于中档题.。
试卷山西省高二上学期11月月考数学试题(解析版)
一、单选题1．401是等差数列5，9，，的第项．（ ） 13⋯A ．98 B ．99C ．100D ．101【答案】C【分析】根据等差数列定义和通项公式即可. 【详解】等差数列5，9，13，…中， 首项，公差，15a =954d =-=， 5(1)441n a n n ∴=+-⨯=+，41401n a n =+=100.n ∴=故401是等差数列5，9，13…的第100项． 故选：C.2．准线为的抛物线标准方程是（ ）34y =-A ．B ． 23x y =223x y =-C ．D ．213y x =232y x =-【答案】A【分析】先分析抛物线的焦点位置，进而可得，求出的值，进而可得答案． 324p -=-p 【详解】解：根据题意，若抛物线的准线为，则抛物线的焦点在轴正半轴轴上，34y =-y 设抛物线方程为， 22x py =则，故，324p -=-32p =则抛物线的标准方程为， 23x y =故选：A ．3．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设，则的值为（ ）1,,AB a AD b AA c === ()a b c ⋅+A ．1B ．0C ．-1D ．-2【答案】B【分析】由正方体的性质可知两两垂直，从而对化简可得答案 1,,AB AD AA ()a b c ⋅+ 【详解】由题意可得,1,AB AD AB AA ⊥⊥所以，所以，,a b a c ⊥⊥ 0,0a b a c ⋅=⋅=所以，()0a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅=故选：B4．《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何?”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱?”在这个问题中，若不更出17钱，则公士出的钱数为（ ） A ．10 B ．14C ．23D ．26【答案】D【分析】设大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的钱数依次构成等差数列，根据，前5{}n a 217a =项和为100求解.【详解】解：设大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的钱数依次排成一列，构成数列． {}n a 由题意可知，等差数列中，前5项和为100， {}n a 217a =设公差为，前项和为， (0)d d >n n S 则，解得， 535100S a ==320a =所以，323d a a =-=所以公士出的钱数为， 532202326a a d =+=+⨯=故选：D ．5．设为等差数列{an }的前n 项和，若，则（ ） n S 93S π=()72cos S S -=A B ． C ．D ．1212-【答案】C【分析】利用等差数列求和公式和等差数列性质，求出，原式转化为，利用诱导公53a π=5cos(5)a 式即可求解.【详解】因为，所以，91595()9299322a a a S a π+⨯⨯====53a π=所以， 7234567551cos()cos()cos5cos32S S a a a a a a π-=++++===故选：C.6．已知直线与椭圆相交于、两点，若线段的中点纵坐标为，则2y x t =+2214x y +=A B AB 12t =（ ） A ．B ．C ．D ．1582152-172【答案】D【分析】联立直线与椭圆方程得，整理得，设、22214y x t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩221716440x tx t ++-=()11A x y ，，利用韦达定理和中点坐标公式，即可得出答案．()22B x y ，【详解】解：联立直线与椭圆方程得，整理得， 22214y x t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩221716440x tx t ++-=设、，则()11A x y ，()22B x y ，11222,2y x t y x t =+=+()2121212121644162,,222217171717t t t t x x x x y y x x t t -⎛⎫∴+=-⋅=+=++=⨯-+= ⎪⎝⎭线段的中点纵坐标为，AB 12解得，122117t y y ∴+==172t =故选：D .7．如图，一个底面半径为的圆柱被与其底面所成角为的平面所截，截面是一个R (090)θθ<< 椭圆，当 为 时，这个椭圆的离心率为θ30A ．B CD ．1223【答案】A【详解】由椭圆的性质得，椭圆的短半轴，b R =因为截面与底面所成角为，所以椭圆的长轴长，得 θ22cos R a θ=a R =c ==所以椭圆的离心率 12c e a ==故选A 【解析】椭圆的几何性质.8．已知函数f （x ）在（﹣1，+∞）上单调，且函数y ＝f （x ﹣2）的图象关于x ＝1对称，若数列{an }是公差不为0的等差数列，且，则{an }的前100项的和为（ ） ()()5051f a f a =A ．﹣200 B ．﹣100C ．0D ．﹣50【答案】B【分析】由函数y ＝f （x ﹣2）的图象关于x ＝1轴对称，平移可得y ＝f （x ）的图象关于x ＝﹣1对称，由题意可得a 50+a 51＝﹣2，运用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求和． 【详解】解：函数f （x ）在（﹣1，+∞）上单调，且函数y ＝f （x ﹣2）的图象关于x ＝1对称， 可得y ＝f （x ）的图象关于x ＝﹣1对称，由数列{an }是公差不为0的等差数列，且f （a 50）＝f （a 51）， 可得a 50+a 51＝﹣2，又{an }是等差数列， 所以a 1+a 100＝a 50+a 51＝﹣2， 则{an }的前100项的和为100()11001002a a +=-故选B ．【点睛】本题考查函数的对称性及应用，考查等差数列的性质，以及求和公式，考查运算能力，属于中档题．二、多选题9．以下四个命题表述正确的是（ ）A ．直线恒过定点(3)4330()m x y m m R ++-+=∈(3,3)--B ．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1224x y +=:0l x y -=C ．曲线与曲线恰有三条公切线，则22120C :x y x ++=222480C :x y x y m +--+=4m =D ．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，其22:1C x y +=P 24x y +=P C PA PB中、为切点，则直线经过定点A B AB 11,42⎛⎫⎪⎝⎭【答案】BCD【分析】利用直线系方程求解直线所过定点判断A ；求出圆心到直线的距离，结合圆的半径判断B ；由圆心距等于半径和列式求得判断C ；求出两圆公共弦所在直线方程，再由直线系方程求得m 直线所过点的坐标判断D ．【详解】由，得，(3)4330m x y m ++-+=343(3)0x y m x +-++=联立，解得，303430x x y +=⎧⎨+-=⎩33x y =-⎧⎨=⎩直线恒过定点，故A 错误；∴(3)4330()m x y m m R ++-+=∈()3,3-圆心到直线的距离等于1，直线与圆相交，而圆的半径为2，(0,0):0l x y -=∴故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，因此圆上有三个点到直线的距离等于1，故B 正确；:0l x y -=两圆有三条公切线，则两圆外切，曲线化为标准式，22120C :x y x ++=22(1)1x y ++=曲线化为标准式，222480C :x y x y m +--+=22(2)(4)200x y m -+-=->，解得，故C 正确； 51==4m =设点的坐标为，，以为直径的圆的方程为， P (,)m n ∴142m n+=OP 220x y mx ny +--=两圆的方程作差得直线的方程为：，消去得，， AB 1mx ny +=n ()2102y m x y -+-=令，，解得，，故直线经过定点，，故D 正确．02y x -=210y -=14x =12y =AB 1(41)2故选：BCD10．已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）{}n a n n S A ．若，则是等差数列；21n S n =-{}n a B ．若是等差数列，则三点、、共线；{}n a 1010,10S ⎛⎫ ⎪⎝⎭100100,100S ⎛⎫ ⎪⎝⎭110110,110S ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．若是等差数列，且，，则数列的前项和有最小值；{}n a 111a =-376a a +=-{}n a n n S D ．若等差数列的前12项和为354，前12项中，偶数项的和与奇数项的和之比为32：27，则{}n a 公差为5． 【答案】BCD【分析】A 选项利用求出即可判断；B 选项根据等差数列前项和公式对点坐()12n n n S S a n --=≥n a n 标进行处理，同时利用斜率相等证明共线；C 选项利用等差数列的性质求出公差，再结合首项和公差的正负判断有无最小值；D 选项根据偶数项和奇数项的比值求出偶数项和奇数项的和，从而作n S 差求出公差.【详解】A 选项：，当时，，不符()()221111212n n n a S S n n n n -⎡⎤=-=----=-≥⎣⎦1n =110a S ==合，所以，故A 错；21n a n =-()()0,121,2n n a n n ⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩B 选项：因为为等差数列，所以， }{n a ()()111122nn n na d n d S a nn -+-==+，，， 1019102S a d =+1001991002S a d =+11011091102S a d =+因为，，所以三点共线，B 正确；10100110100101002S S d -=-11010011101001101002S S d-=-C 选项：因为，，所以，，因为，，所以有37196a a a a +=+=-111a =-95a =2d =10a <0d >n S 最小值，当时取最小值，故C 正确；6n =D 选项：因为，前12 项里偶数项和奇数项的和的比为32:27，所以偶数项和为192，奇数12354S =项和为162，偶数项和-奇数项和==30，所以公差为5，D 正确. 6d 故选：BCD.11．已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ）{}n a n n S A ．若，则2261n S n n =-+44n a n =-B ．若数列为等差数列，为数列的前项和，已知，，则{}n a n S {}n a n 1020S =3090S =2050S =C ．若，则数列的前项和为43n a n =-11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭101041D ．若数列为等差数列，且，，则当时，的最大值为 {}n a 101110120a a +<100010240a a +>0n S <n 2023【答案】BC【分析】对于A ，时，，即可判断出正误；对于B ，由数列为等差数列，1n =1130a S ==-≠{}n a 可得，，，成等差数列，解得，即可判断出正误；对于C ，，10S 1200S S -3020S S -20S 43n a n =-，可得出数列的前项和，即可判断出正误；()()111111434144341n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭10对于D ，由数列为等差数列，且，，可得，，利用{}n a 101110120a a +<100010240a a +>10120a >10110a <求和公式及其性质即可判断出正误．【详解】解：时，，因此不正确； A.1n =1126130a S ==-+=-≠44n a n =-B.由数列为等差数列，则，，，成等差数列，{}n a 10S 1200S S -3020S S -，解得，因此正确；()20202209020S S ∴-=-+2050S =C.，， 43n a n =-()()111111434144341n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭数列的前项和为，因此正确；∴11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭101110144141⎛⎫-= ⎪⎝⎭D.数列为等差数列，且，，{}n a 101110120a a +<100010240a a +>，即，， 101220a ∴>10120a >10110a <则，，()()120222022101110122022101102a a S a a +==+<()12023202310122023202302a a S a +==>当时，的最大值为，因此不正确．∴0n S <n 2022故选：BC ．12．如图1，曲线C ：为四叶玫瑰线，它是一个几何亏格为零的代数曲线，这种22322()16x y x y +=曲线在苜蓿叶型立交桥的布局中有非常广泛的应用.如图2，苜蓿叶型立交桥有两层，将所有原来需要穿越相交道路的转向都由环形匝道来实现，即让左转车辆驶入环道后再自右侧切向汇入主路，四条环形匝道就形成了苜蓿叶的形状给出下列结论正确的是（ ）A ．曲线C 只有两条对称轴B ．曲线C 仅经过1个整点（即横、纵坐标均为整数的点） C ．曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2D ．过曲线C 上的任一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为2 【答案】BCD【分析】对于A ，由图象可得答案，对于B ，由图象结合曲线方程判断即可，对于C ，由曲线方程结合基本不等式可判断，对于D ，利用基本不等式判断【详解】因为曲线上任一点，关于轴的对称点满足曲线方程，关于轴的对称点(,)x y x (,)x y -y 满足曲线方程，关于直线的对称点满足曲线方程，关于直线的对称点(,)x y -y x =(,)y x y x =-满足曲线方程，所以可知曲线有4条对称轴，所以A 错误，(,)y x --由，得，222(0,0)x y xy x y +>>≥222x y xy ≤+所以，所以，当且仅当时等号成立，()2223222222216()164()4x y x yx y x y ++=≤=+224x y +≤x y =所以曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2，所以C 正确，由图可知将第一象内的整数点分别代入曲线方程中，等号不成立，所以曲线在第一(1,1),(1,2),(2,1)象限不经过整数点，由对称性可知曲线只经过原点，所以曲线C 仅经过1个整点，所以B 正确， 由曲线的对称性，在第一象限内的曲线上任取一点，则过这一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴(,)x y 围成的矩形面积为，当且仅当时等号成立，所以所围成的矩形的面积的最2222x y S xy +=≤≤x y =大值为2，所以D 正确， 故选：BCD三、填空题13．已知等差数列的首项为2，公差为8，在中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原{}n A {}n A 数列的项一起构成一个新的等差数列，数列的通项公式__________. {}n a {}n a n a =【答案】，2n ()n N +∈【分析】等差数列满足为，，故可以求得的首项与公差，从而可以写出{}n a 11a A =52a A ={}n a {}n a 的通项公式.【详解】设数列的公差为由题意可知，，， {}n a .d '11a A =52a A =于是51218.a a A A -=-=因为，所以，所以 514a a d -='48d '= 2.d '=所以 2(1)22().n a n n n N +=+-⨯=∈故答案为：，2n ()n N +∈14．若数列第二项起，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为二阶等差数列，已{}n a {}n a 知数列是一个二阶等差数列，且，，，则_______________． {}n a 13a =27a =313a =n a =【答案】21n n ++【分析】利用已知条件求出二阶等差数列的首项和公差，再求出二阶等差数列的通项公式，最后利用累加法即可得到数列的通项公式.{}n a 【详解】，，且数列是一个二阶等差数列，214a a -=326a a -={}n a()141222n n a a n n +∴-=+-⋅=+21321462n n a a a a a a n--=⎧⎪-=⎪∴⎨⎪⎪-=⎩ 由累加法得()()2114246222n n n a a n n n -+-=++⋅⋅⋅+==+-．而a 1=3也符合， 22321n a n n n n ∴=++-=++故答案为：21n n ++15．如图，已知点F 为抛物线的焦点过点F 且斜率存在的直线交抛物线C 于A ，B 两2:4C y x =点，点D 为准线l 与x 轴的交点，则的面积S 的取值范围为______．DAB【答案】()4,+∞【分析】设坐标和直线AB 的方程，让直线AB 方程与抛物线进行联立可得，,A B 12242x x k +=+，接着利用弦长公式求出，再求出点到直线AB 的距离，最后利用三角形的面积公式121=x x AB D 即可求出答案【详解】由抛物线可得焦点，准线方程为，， 2:4C y x =()1,0F =1x -()1,0D -设，，直线AB 的方程为，()11,A x y ()22,B x y ()()10y k x k =-≠由，可得，则，，()214y k x y x ⎧=-⎨=⎩()2222240k x k x k -++=12242x x k +=+121=x x， ()2241k k +==直线AB 的一般方程为， kx y k 0--=点到直线AB 的距离()1,0D -d =所以， ()2241142k S k +==>所以的面积S 的取值范围为， DAB ()4,+∞故答案为：()4,+∞16．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面O xyz -()000,,P x y z (),,n a b c =α的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=α，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角3570x y z -+-=l 370x y -+=4210y z ++=l α的正弦值为______．【分析】根据阅读材料可得平面的一个法向量，再在两平面的交线上取两个点，从而得交线的方α向向量，由此利用向量夹角余弦的坐标表示即可得解．【详解】因为平面的方程为，所以平面的一个法向量，α3570x y z -+-=α()3,5,1n =- 又直线：上有两个点，， l 3704210x y y z -+=⎧⎨++=⎩91,2,2A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭54,1,2B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭所以直线的方向向量为， l ()3,1,2m BA ==- 所以直线与平面所成角的正弦值为l αcos ,m四、解答题17．在锐角中，，，分别为角，，.ABCa b c A BC 2sin c A =(1)确定角的大小；C (2)若的值. c =ABC a b +【答案】(1)π3C =(2)5a b +=【分析】（1）由正弦定理边化角，即可求解；（2）由面积公式和余弦定理列方程可得.a b +【详解】（1，2sin c A =， 2sin sin A C A =，sin 0A ≠ ， sin C ∴=因为为锐角三角形，ABC 所以. π3C =（2）因为的面积 ABC 1sin 2S ab C ===所以解得. 6ab =由余弦定理可得，()()222222cos 3187c a b ab C a b ab a b =+-=+-=+-=所以，()225a b +=解得.5a b +=18．记是公差不为0的等差数列的前n 项和，若．n S {}n a 35244,a S a a S ==（1）求数列的通项公式；{}n a n a （2）求使成立的n 的最小值．n n S a >【答案】(1)；(2)7.26n a n =-【分析】(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；3a (2)首先求得前n 项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n 的最小值.【详解】(1)由等差数列的性质可得：，则：，535S a =3335,0a a a =∴=设等差数列的公差为，从而有：， d ()()22433a a a d a d d =-+=-，()()()41234333322S a a a a a d a d a a d d =+++=-+-+++=-从而：，由于公差不为零，故：，22d d -=-2d =数列的通项公式为：.()3326n a a n d n =+-=-(2)由数列的通项公式可得：，则：，1264a =-=-()()214252n n n S n n n -=⨯-+⨯=-则不等式即：，整理可得：，n n S a >2526n n n ->-()()160n n -->解得：或，又为正整数，故的最小值为.1n <6n >n n 7【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用. 19．已知数列的前项和为，，且，，求的值，并证明：数列{}n a n n S 114a =2121n n n S a n +=⋅+*N n ∈2a 是一个常数列. 21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭【答案】，证明见解析． 234a =【分析】根据给定的递推公式求出，再结合“”推理计算作答.2a 12,n n n n a S S -≥=-【详解】因为，且，，则，解得， 114a =2121n n n S a n +=⋅+*N n ∈2111314a S a ⋅===234a =由，有当时，， 2121n n n S a n +=⋅+2n ≥()21121n n n S a n --=⋅-两式相减得：，化简整理得，而， ()22112121n n n n n a a a n n +-=⋅-⋅+-12121n n a a n n +=+-211314a a ==因此，， *N n ∈1214n a n =-所以数列是一个常数列． 21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭20．已知数列满足.{}n a ()211232222n n n a a a a n n N -*+++⋯+⋅∈＝（1）求数列的通项公式；{}n a （2）设数列的前项和为，若恒成立，求实数的取值范围.{}n a n n S 51n n S a λ-≥λ【答案】（1）；（2）. 1n a n =+21,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）由题意可得当时与已知条件两式2n ≥()()211231222122n n n a a a a n n --+++⋯+-⋅≥﹣2＝相减，即可得，再检验是否满足即可.n a 1a n a （2）由等差数列前项和公式求出，由不等式分离出，转化为最值问题，再利用基本不等式n n S λ求最值即可求解.【详解】（1）因为，()211232222n n n a a a a n n N *+++⋯+⋅∈﹣＝所以()()2211231222122n n n a a a a n n ---+++⋯+-⋅≥＝两式相减可得：()()111221212n n n n n a n n n ---⋅=⋅--⋅=+⋅()2n ≥所以，1n a n =+()2n ≥当时，满足，1n =12a ＝1n a n =+()2n ≥所以，1n a n =+（2）， ()()21322n n n n n S +++==由可得：， 51n n S a λ≥﹣()()15132n n n λ+-+≥所以， ()()()()331025121211n n n n n n n λ++++=+≤++令，只需. ()()()311022n n n g n +++=()min g n λ≤ ()()()()()()310212100250222111n n n n n g n n n n +++++=++=++=+， 1501112125212222n n +=++≥=⨯+=+当且仅当即时等号成立，此时， 15021n n +=+9n =()min 212g n =所以， 212λ≤所以实数的取值范围为. λ21,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦21．如图，在四棱锥P −ABCD 中，AD BC ， E 为棱 190 1.2ADC PAB BC CD AD ∠=∠==== ，AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为 .90︒(1)在平面PAB 内是否存在一点M ，使得直线CM 平面PBE ，如果存在，请确定点M 的位置，如 果不存在，请说明理由；(2)若二面角P −CD −A 的大小为 ，求P 到直线CE 的距离.45︒【答案】(1)存在，在平面内可以找到一点，使得直线CM 平面PBEPAB ()M M AB CD =⋂【分析】（1）先判断存在符合题意的点，再通过作辅助线找到该点，证明平面即可；CM PBE （2）建立空间直角坐标系，通过已知的二面角度数，找到线段之间关系，从而确定相关点的坐标，然后利用向量的运算求得答案.【详解】（1）延长交直线于点， AB CD M点为的中点，， E AD 12AE ED AD ∴==， 1,2BC CD AD ED BC ==∴= ，即，AD BC ∥ ED BC ∥四边形为平行四边形，即.∴BCDE EB CD ∥，,,AB CD M M CD CM BE ⋂=∴∈∴∥ 平面平面，BE ⊂ ,PBE CM ⊂PBE 平面，CM ∴ PBE 平面，,M AB AB ∈⊂ PAB 平面，M ∴∈PAB 故在平面内可以找到一点，使得直线平面.PAB ()M M AB CD =⋂CM PBE （2）如图所示，，即，90ADC PAB ∠∠== PA AB ⊥且异面直线与所成的角为，即，PA CD 90 PA CD ⊥又平面平面.,,AB CD M AB CD ⋂=⊂,ABCD AP ∴⊥ABCD 平面，AD ⊂ ,ABCD PA AD ∴⊥又平面，,,,,AD CD PA CD AD PA A AD PA ⊥⊥⋂=⊂PAD 平面，CD \^PAD 平面.PD ⊂ ,PAD CD PD ∴⊥因此是二面角的平面角，大小为.PDA ∠P CD A --45 .PA AD ∴=因为. 112BC CD AD ===以A 为坐标原点，平行于的直线为轴，为轴，为轴，CD x AD y AP z 建立空间直角坐标系，A xyz -，()()()0,0,2,0,1,0,1,2,0P E C ∴-方向上的单位向量坐标为， ()()1,1,0,0,1,2,EC EP EC ∴=-=-u ⎛⎫= ⎪⎝⎭则在上的投影的绝对值为， EPEC ||||EP u EP u u⋅=⋅=所以到直线P CE ==22．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点到渐近线的距离为2. C 22194x y +=(1)求双曲线的标准方程；C (2)设为双曲线的右顶点，直线与双曲线交于不同于的，两点，若以为直径的圆D C l C DEF EF 经过点且于，证明：存在定点，使得为定值.D DG EF ⊥G H GH 【答案】(1) 2214y x -=(2)证明见解析【分析】（1）由已知可设，双曲线的标准方程为，根据条件列出a ，c 关C ()222210,0x y a b a b-=>>系式，解出代入方程即可；（2）对直线的斜率能否为0进行讨论.斜率不为0时，设的方程为，联立直线与椭圆的l y kx m =+方程，有垂直关系时，在圆锥曲线中常用向量法，化简得到m ，k 的关系式；斜率不存在时，写出直线方程，验证即可.【详解】（1）设双曲线的标准方程为， C ()222210,0x y a b a b-=>>焦点为，， ()1,0F c -()2,0F c因为双曲线与椭圆有相同的焦点，所以C 22194x y +=c 因为焦点到渐近线的距离为2，从而，2b ==1a ==故双曲线的标准方程为 C 2214y x -=（2）证明：设，.()11,E x y ()22,F x y ①当直线的斜率存在时，设的方程为，l l y kx m =+联立方程组 22,1,4y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩化简得， ()()2224240k x kmx m ---+=则，即， ()()()222Δ24440km m k =++->2240m k -+>且 12221222444km x x k m x x k ⎧+=⎪⎪-⎨--⎪=⎪-⎩因为，()()1212110DE DF x x y y ⋅=--+= 所以， ()()()221212111k x x km x x m ++-+++()()2222242111044m km k km m k k --=+⋅+-⋅++=--化简得()()22325350m km k m k m k --=+-=所以或，且均满足. m k =-53m k =2240m k -+>当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾；m k =-l ()1y k x =-l ()1,0当时，直线的方程为，过定点 53m k =l 53y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭5,03M ⎛⎫- ⎪⎝⎭②当直线的斜率不存在时，由对称性，不妨设DE 方程为：y =x -1，l 联立方程组，得 22141y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩()22414x x --=得，，此时直线过定点 11x =253x =-l 5,03M ⎛⎫- ⎪⎝⎭因为，所以点在以为直径的圆上，为该圆的圆心,为该圆的半径，故存在定DG EF ⊥G DM H GH 点，使得为定值 1,03H ⎛⎫- ⎪⎝⎭GH 43【点睛】圆锥曲线中的定值问题通常是通过设参数或取“特殊值”来确定定值是多少.因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定值显现.。
高二数学上学期11月月考试题试题
卜人入州八九几市潮王学校永年县一中二零二零—二零二壹高二数学上学期11月月考试题试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕，一共150分，时间是120分钟．第一卷〔选择题一共60分〕一、选择题〔每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．〕1、等差数列{}n a 中，52a =,那么9S 等于()A ．2B ．9C ．18D ．202、假设110,a b <<，那么以下不等式〔1〕a b ab +<,〔2〕a b >,〔3〕a b <,〔4〕2b a a b +>中，正确的有〔〕A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3、在ABC ∆中，60,2,A AB =︒=且ABC S ∆=，那么BC=()A B ．3 C D ．7 4、设:11p x x <->或;:21q x x <->或,那么p q ⌝⌝是的〔〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．数列}{n a 的通项公式11++=n n a n ，那么该数列的前项之和等于9〔〕 A98B99 C96D976、在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin A B B C C =++,那么A ∠=〔〕A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒〕〔1〕面积相等的三角形是全等三角形；〔2〕“假设0xy =，那么0x y +=.〞〔3〕“假设a b >，那么a c b c +>+〔4〕“A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8、等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，假设246a a a ++的值是一确定的常数，那么以下各数中也是常数的是〔〕A ．7SB ．8SC ．13SD ．15S9、以下各式中最小值为2的是〔〕ABC ．b a a b +D ．1sin sin x x + 10．假设实数x y 、满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2x y -的最大值为(A)-1(B)0(C)1(D)211、假设()21f x x ax =-+有负值，那么常数a 的取值范围是〔〕 A ．22a -<<B ．22a a ≠≠-且C ．13a <<D ．2a <-或者2a >12、在R 上定义了运算“*〞：(1)x y x y *=-;假设不等式()()1x a x a -*+<对任意实数x 恒成立，那么实数a 的取值范围是〔〕A ．()1,1-B ．()1,2C ．13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭第二卷〔非选择题一共90分〕二、填空题〔本大题一一共4个小题，一共20分〕13．不等式x x <2的解集是_______________.14、假设1234,,,a a a a 成等比数列，其公比为2，那么234522a a a a ++=。
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萨二中2013—2014学年度第一学期高二年级11月月考
数学（文科）试卷
一、选择题（每小题5分，共60分）
1、设a ＞1＞b ＞－1,则下列不等式中恒成立的是 ( )
A ．
b a 11<B ．b
a 1
1>C ．a ＞b 2D ．a 2＞2b 2.在等比数列{}n a 中，已知13118a a a =，则28a a 等于（） A ．16
B ．6
C ．12
D ．4
3．不等式
21
≥-x
x 的解集为 ( ) A. ),1[+∞- B . )0,1[- C. ]1,(--∞ D. ),0(]1,(+∞--∞
4、若x ，y 满足约束条件02323x x y x y ≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
，则y x z -=的最小值是
5.已知首项为正数的等差数列{}n a 满足: 201020090a a +>,201020090a a <, 则使其前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是（ ）. A. 4016 B. 4017 C. 4018 D. 4019
6、在△ABC 中，若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ABC 的形状是（）
A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．不能确定
D ．等腰三角形 7．设0,0.a b >>
1133a b a
b
+与的等比中项，则的最小值为（）
A 8
B 4
C 1 D
14
8、如图:B C D ,,三点在地面同一直线上，a DC =，从D C ,两点测得A 点仰角分别是()βαβ<a ,，则A 点离地面的高度AB 等于 ( )
A.()αββα-⋅sin sin sin a
B. ()
βαβα-⋅cos sin sin a
C
()αββα-⋅sin cos sin a D .()
βαβ
α-⋅cos sin cos a
9数列{a n }的通项公式
，其前n 项和为S n ，则S 2012等于
A.1006
B.2012
C.503
D.0
10、若正项等差数列{a n }和正项等比数列{b n }，且a 1=b 1,a 2n-1=b 2n-1,公差d ＞0,则a n 与b n （n ≥3）的大小关系是（）
A ．a n ＜b n
B ．a n ≥b n
C ．a n ＞b n
D ．a n ≤b n
11、若不等式210x ax ++≥对于一切102x ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
，成立，则a 的最小值是（）
A.－2
B. －2
5
C.－3
D.0
12、等比数列{a n }中，已知对任意自然数n ，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n =2n －1，则 a 12＋a 22＋a 32＋…+a n 2等于 （ ）
(A)2)12(-n (B))12(31-n (C)14-n (D) )14(3
1
-n
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分。
) 13.在等差数列{}n a 中,若123430a a a a +++=,则23a a +=_________. 14．在ABC ∆中，0601,,A b ==
则
a b c
A B C
++=++sin sin sin .
15、等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若
231
n n S n
T n =
+,则n n a b = 16.设0απ≤≤,不等式28(8sin )cos 20x x αα-+≥对x R ∈恒成立,则a 的取值范
围为____________.
三、解答题：（本大题共6小题，共70分。
）
17.（本小题满分10分）解不等式：2＜2310x x -≤
18．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bcos C －ccos （A+C ）=3a cos B .
2n cos
π
n a n =
（I ）求cos B 的值；
（II ）若2=⋅，且6=a ，求b 的值.
19.等差数列{}n a 中,71994,2,a a a ==
(I)求{}n a 的通项公式; (II)设{}1
,.n n n n
b b n S na =求数列的前项和
20.解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0.
21．设均为正数,且
,证明:
(Ⅰ); (Ⅱ)
22.设等差数列
的前项和为,且
,
(Ⅰ)求数列的通项公式 (Ⅱ)设数列满足
,求
的前项和。