上海中学2013-2014学年高一上学期数学练习 (十四)试卷 Word版缺答案
新课标上海市重点高中2013-2014学年度第一学期高一(上)数学期终试卷附答案[编辑8页]
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新课标上海市重点高中2013-2014学年度 第一学期高一（上）数学期终试卷附答案（满分100分，90分钟完成，允许使用计算器，答案一律写在答题纸上）一．填空题：1．命题“若a ＞b ，则33a b >”的逆命题是 ．2．已知集合}|{},1|{a x x B x x A ≥=≤=，且,R =B A 则实数a 的取值范围是 ． 3．不等式2|12|≥+x 的解为 ．4.设函数⎩⎨⎧∉∈=Q x Q x x D 01)(，令)1()(+=x D x F ，则）)((x D F = ．5.设函数xa x x x f ))(1()(++=为奇函数，则实数a= ． 6．若函数)1,0()(≠>=a a a x f x 的反函数的图像过点)1,2(-，则a= ． 7.方程)2lg(2--x x =)6lg(2x x --的解为 ．8.若函数2)1(22+-+=x a x y 在区间(]4-，∞上单调递减，则实数a 的取值范围是 ． 9.函数)(22)(22R x x x x f ∈-+=的最小值是 ．10.若函数k x x f --=1||1)(只有一个零点，则实数k= ． 11.已知()()()()2111x a x , x f x a , x -+<⎧⎪=⎨≥⎪⎩ （a ＞0，1a ≠）是R 上的增函数，那么实数a 的取值范围是 ．12.若不等式210x kx k -+->对(1,2)x ∈恒成立，则实数k 的取值范围是 ． 13．定义在R 上的函数)(x f 满足)(2)2(x f x f =+，当]2,0[∈x 时，x x x f 2)(2-=，则当]2,4[--∈x 时，函数)(x f 的最小值为_______________．14.已知函数xx f 241)(-=的图像关于点P 对称，则点P 的坐标是 ． 二．选择题：15．下列函数中，与函数y=有相同定义域的是 ( ) （A ）2()log f x x = （B ）1()f x x =（C ） ()||f x x = （D ）()2x f x = 16．幂函数)(x f y =的图像经过点)21,4(，则1()4f 的值为 ( )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）417．“2=a ”是函数||)(a x x f -=在[)∞+，2上为增函数的 ( ) （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件18．定义区间(,)c d ，[,)c d ，(,]c d ，[,]c d 的长度均为()d c d c ->.已知实数a b >，则满足111x a x b+≥--的x 构成的区间的长度之和为 ( ) （A ）a-b （B ）a+b （C ）2 （D ）4三．解答题：19．设函数()()26f x ln x x =--的定义域为集合A ，请你写出一个一元二次不等式，使它的解集为A B ⋂，并说明理由．20．设f(x)=xx a 2112+-⋅是R 上的奇函数．(1)求实数a 的值；(2)判定f(x)在R 上的单调性并加以证明．21.某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x 名员工从事第三产业，调整后从事第三产业的员工平均每人每年创造利润为)500310xa -（万元）（0>a ，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%.（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）在（1）的条件下，若要调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？22.已知集合M={f(x)|在定义域内存在实数0x ，使得）（1)()1(00f x f x f +=+成立}. （1）函数xx f 1)(=是否属于集合M ？说明理由. （2）证明：函数M x x f x ∈+=22)(. （3）设函数M ax f x∈+=12lg )(，求实数a 的取值范围.新课标上海市重点高中2013-2014学年度 第一学期高一（上）数学期终试卷标准答案（满分100分，90分钟完成，允许使用计算器，答案一律写在答题纸上）一．填空题（本大题共14题，每题3分，满分42分）： 1．命题“若a ＞b ，则33a b >”的逆命题是___________________。
【数学】上海市七宝中学2013-2014学年高一第一学期期末考试模拟A.docx
N*
），f (x)表示对该学科知识的掌握程度，正实
数a与学科知识有关．
（1）证明：当x
7时，掌握程度的增加量
f ( x
1) f (x)总是单调递减的；
（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的
a的取值区间分别为(115,121]、(121,127]、
(127,133]．当学习某学科知识
6次时，掌握程度是
m，使h(x1) h( x2) m恒成立.
于是设u
h( x1) h(x2)
4( x1
4)( x2
4)
4x1x2
64
16(x1
x2)
x1
x2
x1x2
x2
x1
=
4x1x2
64
16
x2x
2
4x1x2
64
16
( x x )2
2x x
4x1x2
80
x1x2
1
2
x1x2
1
2
1 2
32
x1x2
x1x2
x1x2
2分
射线均平行于x轴），试写出a、b应满足的
x1
x
x2
条件是
a
b 0, a b 0.
O
二、选择题（每小题
3分，共12分）
第12题图
13．条件甲：log3
x2
2是条件乙：log3x
1成立的（
B）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
1
14．若函数f (x)(k1)axax(a0, a1)在R上既是奇函数，又是减函数，则
A、B
U，下列所有正确说法的序号是
【优质文档】2013-2014年上海市浦东新区高一上学期期末数学试卷与答案
----<<本文为word格式，下载后方便编辑修改，也可以直接使用>>------<<本文为word格式，下载后方便编辑修改，也可以直接使用>>----2013-2014年上海市浦东新区高一上学期期末数学试卷一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．（3.00分）函数y=的定义域是．2．（3.00分）不等式（x﹣1）（x+2）＜0的解集是．3．（3.00分）已知指数函数y=a x（a＞0且a≠1）的图象过点（﹣2，4），则实数a=．4．（3.00分）设集合A={3，m2}、B={1，3，2m﹣1}，若A⊊B，则实数m=．5．（3.00分）某班共30人，其中有15人喜爱篮球运动，有10人喜爱乒乓球运动，有3人对篮球和乒乓球两种运动都喜爱，则该班对篮球和乒乓球运动都不喜爱的人数有．6．（3.00分）已知，，则f（x）•g（x）=．7．（3.00分）已知二次函数y=x2+2ax在区间[4，+∞）上是增函数，则实数a的范围是．8．（3.00分）已知函数f（x）=的定义域为R，则实数m的取值范围是．9．（3.00分）函数f（x）=（x＞0）的值域是．10．（3.00分）函数f（x）=4x3+k•+1（k∈R），若f（2）=8，则f（﹣2）的值为．11．（3.00分）已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x﹣2x+1，则当x＜0时，f（x）=．12．（3.00分）关于x的方程4x﹣a•2x+4=0在[0，+∞）上有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是．二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分.13．（3.00分）下列四组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）=|x|，g（x）=B．f（x）=|x|，g（x）=（）2C．f（x）=，g（x）=x+1 D．f（x）=，g（x）=14．（3.00分）“0＜x＜2”是“x2﹣x＜0”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件15．（3.00分）下列函数在定义域上，既是奇函数又是减函数的是（）A．B．C．y=﹣x3D．16．（3.00分）函数f（x）=2x2+2x﹣3的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．无数三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17．（8.00分）解不等式组．18．（10.00分）已知全集∪=R，设集合A=[﹣1，+∞），集合B={x|x2+（4﹣a）x ﹣4a＞0}，若A∩B=A，求实数a的取值范围．19．（10.00分）已知幂函数f（x）=（m∈Z）在（0，+∞）是单调减函数，且为偶函数．（1）求f（x）的解析式；（2）讨论F（x）=af（x）+（a﹣2）x5•f（x）的奇偶性，并说明理由．20．（12.00分）经研究发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述总量所用的时间，开始讲题时，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力，x表示提出和讲授概念的时间（单位：分），有以下的公式：f（x）=（1）开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强呢？（2）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长的时间？（3）若讲解这道数学题需要55的接受能力以及13分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲完这道题？21．（12.00分）已知a＞0，函数f（x）=x|x﹣a|（x∈R）．（1）当a=2时，画出函数y=f（x）的大致图象；（2）当a=2时，根据图象写出函数y=f（x）的单调减区间，并用定义证明你的结论；（3）试讨论关于x的方程f（x）+1=a解的个数．2013-2014年上海市浦东新区高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．（3.00分）函数y=的定义域是[﹣2，+∞）．【解答】解：∵函数y=，∴x+2≥0，∴x≥﹣2，故答案为：[﹣2，+∞）；2．（3.00分）不等式（x﹣1）（x+2）＜0的解集是（﹣2，1）．【解答】解：方程（x﹣1）（x+2）=0的两根为1、﹣2，又函数y=（x﹣1）（x+2）的图象开口向上，∴（x﹣1）（x+2）＜0的解集是（﹣2，1），故答案为：（﹣2，1）．3．（3.00分）已知指数函数y=a x（a＞0且a≠1）的图象过点（﹣2，4），则实数a=．【解答】解：∵指数函数y=a x（a＞0且a≠1）的图象过点（﹣2，4），∴a﹣2=4，解得a=，故答案为：．4．（3.00分）设集合A={3，m2}、B={1，3，2m﹣1}，若A⊊B，则实数m=﹣1．【解答】解：∵A⊂B，集合B={1，3，2m﹣1 }，集合A={ 3，m2}，∴当m2=2m﹣1⇒m=1，不满足集合的性质；当m2=1⇒m=±1，m=﹣1时，A={3，1}，B={1，3，﹣3}，满足集合的性质．综上m=﹣1．故答案是﹣1．5．（3.00分）某班共30人，其中有15人喜爱篮球运动，有10人喜爱乒乓球运动，有3人对篮球和乒乓球两种运动都喜爱，则该班对篮球和乒乓球运动都不喜爱的人数有8人．【解答】解：根据题意得：30﹣（15+10）+3=8，则该班对篮球和乒乓球运动都不喜爱的人数有8人．故答案为：8人6．（3.00分）已知，，则f（x）•g（x）=x2﹣2x（x≥2）．【解答】解：∵的定义域为[2，+∞）的定义域为[2，+∞）故f（x）•g（x）=•=x2﹣2x（x≥2）故答案为：x2﹣2x（x≥2）7．（3.00分）已知二次函数y=x2+2ax在区间[4，+∞）上是增函数，则实数a的范围是[﹣4，+∞）．【解答】解：二次函数y=x2+2ax是开口向上的二次函数对称轴为x=﹣a，∴二次函数y=x2+2ax在[﹣a，+∞）上是增函数∵在区间[4，+∞）上是增函数，∴﹣a≤4即a≥﹣4故实数a的范围是[﹣4，+∞）故答案为：[﹣4，+∞）8．（3.00分）已知函数f（x）=的定义域为R，则实数m的取值范围是[0，）．【解答】解：因为函数f（x）=的定义域为R，所以对于任意实数x恒有mx2+4mx+3＞0成立．当m=0时，不等式化为3＞0恒成立；当m≠0时，需要，解得0＜m．综上，实数m的取值范围是[0，）．故答案为[0，）．9．（3.00分）函数f（x）=（x＞0）的值域是[2，+∞）．【解答】解：方法一，函数f（x）==x+﹣2，当x＞0时，x+﹣2≥2﹣2=2，当且仅当x=2时“=”成立，∴f（x）的值域是[2，+∞）；方法二，函数f（x）==x+﹣2，∵f′（x）=1﹣==，当x＞0时，f′（x）在（0，2]上小于0，在[2，+∞）上大于0，∴f（x）在（0，2]上是减函数，在[2，+∞）上是增函数，∴f（x）min=f（2）=2；∴f（x）的值域是[2，+∞）；故答案为：[2，+∞）．10．（3.00分）函数f（x）=4x3+k•+1（k∈R），若f（2）=8，则f（﹣2）的值为﹣6．【解答】解：∵f（x）=4x3+k•+1，∴f（x）﹣1=4x3+k•，则f（x）﹣1为奇函数，∴f（﹣2）﹣1=﹣[f（2）﹣1]，即f（﹣2）=﹣f（2）+1+1=﹣8+2=﹣6，故答案为：﹣6．11．（3.00分）已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x﹣2x+1，则当x＜0时，f（x）=x+2﹣x﹣1．【解答】解：若x＜0，则﹣x＞0，∵x≥0时，f（x）=x﹣2x+1，∴f（﹣x）=﹣x﹣2﹣x+1，∵f（x）是R上的奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x），即f（﹣x）=﹣x﹣2﹣x+1）=﹣f（x），∴f（x）=x+2﹣x﹣1，（x＜0）．故答案为：x+2﹣x﹣1．12．（3.00分）关于x的方程4x﹣a•2x+4=0在[0，+∞）上有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是（4，5] ．【解答】解：∵4x﹣a•2x+4=0，∴a=，令t=2x∈[1，+∞），∴a==t+，由对勾函数的单调性得：a=t≥4，又关于x的方程4x﹣a•2x+4=0在[0，+∞）上有两个不同的实数根，∴y=a，y=t+有两个不同的交点，∴4＜a≤5；故答案为：（4，5]．二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分.13．（3.00分）下列四组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）=|x|，g（x）=B．f（x）=|x|，g（x）=（）2C．f（x）=，g（x）=x+1 D．f（x）=，g（x）=【解答】解：要判断两个函数是否是同一个函数，需要从三个方面来分析，即定义域，对应法则和值域，B选项两个函数的定义域不同，前面函数的定义域为R，后面函数的定义域为[0，+∞），C选项两个函数的定义域不同，前面函数的定义域为{x|x≠1}，后面函数的定义域为R，D选项两个函数的定义域不同，前面函数的定义域为[1，+∞），后面函数的定义域为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），故选：A．14．（3.00分）“0＜x＜2”是“x2﹣x＜0”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：由x2﹣x＜0得0＜x＜1，∴当0＜x＜2时，0＜x＜1不一定成立，当0＜x＜1时，0＜x＜2一定成立，∴“0＜x＜2”是“x2﹣x＜0”的必要不充分条件．故选：B．15．（3.00分）下列函数在定义域上，既是奇函数又是减函数的是（）A．B．C．y=﹣x3D．【解答】解：对于选项A，因为函数的定义域为{x|x≠1}不关于原点对称，所以函数是非奇非偶函数，所以A错误．对于B：y=是一个反比例函数，其在定义域内是奇函数，但在整个定义域内不是单调函数，故B不对；对于C：因为函数的定义域为R关于原点对称，并且f（﹣x）=﹣（﹣x）3=x3=﹣f（x），又f′（x）=﹣3x2≤0，所以函数在定义域内即是减函数又是奇函数．C对；对于D：因为f（0）=0，f（1）=，不满足减函数的定义，故D不对．故选：C．16．（3.00分）函数f（x）=2x2+2x﹣3的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．无数【解答】解；令g（x）=2x2﹣3，h（x）=﹣2x；函数g（x）和函数h（x）的交点个数就是函数f（x）的零点个数，画出g（x），h（x）的图象，如图示：，由图象得：两函数有两个交点，∴函数f（x）的零点有2个，故选：C．三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17．（8.00分）解不等式组．【解答】解：不等式x2﹣x﹣6≥0 化为（x﹣3）（x+2）≥0，解得x≥3或x≤﹣2，解不等式|x﹣2|＜4，化为﹣4＜x﹣2＜4，解得﹣2＜x＜6，∴不等式的解集为{x|x≥3或x≤﹣2}∩{x|﹣2＜x＜6}={x|3≤x＜6}．18．（10.00分）已知全集∪=R，设集合A=[﹣1，+∞），集合B={x|x2+（4﹣a）x ﹣4a＞0}，若A∩B=A，求实数a的取值范围．【解答】解：∵B={x|x2+（4﹣a）x﹣4a＞0}，∴x2+（4﹣a）x﹣4a=（x﹣a）（x+4）①当a=﹣4，B=（﹣∞，﹣4）∪（﹣4，+∞），满足A⊆B②当a＞﹣4，B=（﹣∞，﹣4）∪（a，+∞），若A⊆B，则﹣4＜a＜﹣1③当a＜﹣4，B=（﹣∞，a）∪（﹣4，+∞），若A⊆B，则a＜﹣4综上实数a的取值范围，a＜﹣119．（10.00分）已知幂函数f（x）=（m∈Z）在（0，+∞）是单调减函数，且为偶函数．（1）求f（x）的解析式；（2）讨论F（x）=af（x）+（a﹣2）x5•f（x）的奇偶性，并说明理由．【解答】解：（1）由幂函数f（x）=（m∈Z）在（0，+∞）是单调减函数，得：m2﹣2m﹣3＜0⇒﹣1＜m＜3，又m∈z，∴m=0或1或2，m=0时f（x）=x﹣3；m=1时f（x）=x﹣4，m=2时f（x）=x﹣3，又函数是偶函数，∴f（x）=x﹣4．（2）F（x）=a•x﹣4+（a﹣2）x，当a=0时，F（x）=﹣2x，∵F（﹣x）=﹣F（x），∴函数是奇函数；当a=2时，F（x）=，∵F（﹣x）=F（x），∴函数是偶函数；当a≠0且a≠2时，F（1）=2a﹣2，F（﹣1）=2，F（1）≠±F（﹣1），∴函数对∀x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），F（﹣x）=F（x）不成立，F（﹣x）=﹣F（x）也不成立，∴函数F（x）是非奇非偶函数．20．（12.00分）经研究发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述总量所用的时间，开始讲题时，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力，x表示提出和讲授概念的时间（单位：分），有以下的公式：f（x）=（1）开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强呢？（2）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长的时间？（3）若讲解这道数学题需要55的接受能力以及13分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲完这道题？【解答】解：（1）f（5）=53.5，f（20）=47⇒f（5）＞f（20）⇒．开讲后5分钟学生的接受能力比开讲后20分钟强．（2）当0＜x≤10时，f（x）=﹣0.1（x﹣13）2+59.9⇒f（x）是增函数⇒最大值是f（10）=59；当16＜x＜30时，f（x）是递减的函数，⇒f（x）＜f（16）=59，故开讲后10钟学生达到最强的接受能力，并维持6分钟．（3）当0＜x＜10时，令f（x）＞55，则6＜x＜10；当16＜x＜30时，令f（x）＞55，则16＜x＜17.3因此，学生达到或超过55的接受能力的时间11.3分钟，小于13分钟，故这位老师不能在学生所需状态下讲完这道题．21．（12.00分）已知a＞0，函数f（x）=x|x﹣a|（x∈R）．（1）当a=2时，画出函数y=f（x）的大致图象；（2）当a=2时，根据图象写出函数y=f（x）的单调减区间，并用定义证明你的结论；（3）试讨论关于x的方程f（x）+1=a解的个数．【解答】解：（1）当a=2时，函数y=f（x）=的大致图象如图所示；（2）当a=2时，f（x）=x|x﹣2|的单调递减区间是[1，2]．证明：设x1，x2∈[1，2]，x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（2x1﹣x12）﹣（2x2﹣x22）=（x1﹣x2）[2﹣（x1+x2）]∵x1，x2∈[1，2]，x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，2＜x1+x2＜4，∴（x1﹣x2）[2﹣（x1+x2）]＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）=x|x﹣2|的单调递减区间是[1，2]．（8分）（3）由题意，关于x的方程f（x）+1=a解的个数等价于y=f（x）与直线y=a﹣1的图象的交点个数．∵f=，注意到f﹣（a﹣1）=（a﹣2）2≥0，当且仅当a=2时，等号成立．∴根据图象可得，当0＜a＜1时，y=f（x）与直线y=a﹣1的图象有1个交点；当a=1，a=2时，y=f（x）与直线y=a﹣1的图象有2个交点；当1＜a＜2或a＞2时，y=f（x）与直线y=a﹣1的图象有3个交点．（12分）附赠：数学考试技巧一、心理准备细心+认真=成功！1、知己知彼，百战百胜。
上海市宝山区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析
上海市宝山区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1．（3分）函数y=log2（x﹣1）的定义域是．2．（3分）设全集U=R，集合S={x|x≥﹣1}，则∁U S=．3．（3分）设关于x的函数y=（k﹣2）x+1是R上的增函数，则实数k的取值范围是．4．（3分）已知x=log75，用含x的式子表示log7625，则log7625=．5．（3分）函数y=的最大值为．6．（3分）若函数f（x）=﹣a是奇函数，则实数a的值为．7．（3分）若不等式x2﹣mx+n＜0（m，n∈R）的解集为（2，3），则m﹣n=．8．（3分）设α：0≤x≤1，β：m≤x≤2m+5，若α是β的充分条件，则实数m的取值范围是．9．（3分）设a，b均为正数，则函数f（x）=（a2+b2）x+ab的零点的最小值为．10．（3分）给出下列命题：①直线x=a与函数y=f（x）的图象至少有两个公共点；②函数y=x﹣2在（0，+∞）上是单调递减函数；③幂函数的图象一定经过坐标原点；④函数f（x）=a x﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（2，1）．⑤设函数y=f（x）存在反函数，且y=f（x）的图象过点（1，2），则函数y=f﹣1（x）﹣1的图象一定过点（2，0）．其中，真命题的序号为．11．（3分）设函数f（x）（x∈R）满足|f（x）+（）2|≤，且|f（x）﹣（）2|≤．则f（0）=．12．（3分）若F（x）=a•f（x）g（x）+b•+c（a，b，c均为常数），则称F（x）是由函数f（x）与函数g（x）所确定的“a→b→c”型函数．设函数f1（x）=x+1与函数f2（x）=x2﹣3x+6，若f（x）是由函数f1﹣1（x）+1与函数f2（x）所确定的“1→0→5”型函数，且实数m，n满足f（m）=f（n）=6，则m+n的值为．二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分．13．（3分）“a＞1”是“a＞0”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件14．（3分）函数y=x+（x＞0）的递减区间为（）A．（0，4]B．C．15．（3分）如图为函数f（x）=t+log a x的图象（a，t均为实常数），则下列结论正确的是（）A．0＜a＜1，t＜0 B．0＜a＜1，t＞0 C．a＞1，t＜0 D．a＞1，t＞016．（3分）设g（x）=|f（x+2m）﹣x|，f（t）为不超过实数t的最大整数，若函数g（x）存在最大值，则正实数m的最小值为（）A．B．C．D．三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（8分）解不等式组：．18．（8分）某“农家乐”接待中心有客房200间，每间日租金为40元，每天都客满．根据实际需要，该中心需提高租金．如果每间客房日租金每增加4元，客房出租就会减少10间．（不考虑其他因素）（1）设每间客房日租金提高4x元（x∈N+，x＜20），记该中心客房的日租金总收入为y，试用x表示y；（2）在（1）的条件下，每间客房日租金为多少时，该中心客房的日租金总收入最高？19．（10分）已知f（x）=|x+a|（a＞﹣2）的图象过点（2，1）．（1）求实数a的值；（2）如图所示的平面直角坐标系中，每一个小方格的边长均为1．试在该坐标系中作出函数y=的简图，并写出（不需要证明）它的定义域、值域、奇偶性、单调区间．20．（12分）设函数f（x）=log m（1+mx）﹣log m（1﹣mx）（m＞0，且m≠1）．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）当m=2时，解方程f（6x）=1；（3）如果f（u）=u﹣1，那么，函数g（x）=x2﹣ux的图象是否总在函数h（x）=ux﹣1的图象的上方？请说明理由．21．（14分）对于四个正数x，y，z，w，如果xw＜yz，那么称（x，y）是（z，w）的“下位序对”．（1）对于2，3，7，11，试求（2，7）的“下位序对”；（2）设a，b，c，d均为正数，且（a，b）是（c，d）的“下位序对”，试判断，，之间的大小关系；（3）设正整数n满足条件：对集合{t|0＜t＜2014}内的每个m∈N+，总存在k∈N+，使得（m，2014）是（k，n）的“下位序对”，且（k，n）是（m+1，2015）的“下位序对”．求正整数n的最小值．上海市宝山区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1．（3分）函数y=log2（x﹣1）的定义域是（1，+∞）．考点：对数函数的定义域．专题：计算题．分析：由函数的解析式知，令真数x﹣1＞0即可解出函数的定义域．解答：解：∵y=log2（x﹣1），∴x﹣1＞0，x＞1函数y=log2（x﹣1）的定义域是（1，+∞）故答案为（1，+∞）点评：本题考查求对数函数的定义域，熟练掌握对数函数的定义及性质是正确解答本题的关键．2．（3分）设全集U=R，集合S={x|x≥﹣1}，则∁U S={x|x＜1}．考点：补集及其运算．专题：集合．分析：由全集U=R，以及S，求出S的补集即可．解答：解：∵全集U=R，集合S={x|x≥﹣1}，∴∁U S={x|x＜1}，故答案为：{x|x＜1}．点评：此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．3．（3分）设关于x的函数y=（k﹣2）x+1是R上的增函数，则实数k的取值范围是（2，+∞）．考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用一次函数时单调递增函数求出参数k的范围．解答：解：关于x的函数y=（k﹣2）x+1是R上的增函数所以：k﹣2＞0解得：k＞2所以实数k的取值范围为：（2，+∞）故答案为：（2，+∞）点评：本题考查的知识要点：一次函数单调性的应用．属于基础题型．4．（3分）已知x=log75，用含x的式子表示log7625，则log7625=4x．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的运算性质即可得出．解答：解：∵x=log75，∴log7625==4x，故答案为：4x．点评：本题考查了对数的运算性质，属于基础题．5．（3分）函数y=的最大值为2．考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：首先把二次函数转化成标准型，进一步利用定义域求出函数的最值．解答：解：函数=函数的定义域{x|0＜x＜4}所以：当x=2时，函数取最小值所以：y min=2故答案为：2点评：本题考查的知识要点：二次函数的性质的应用，属于基础题型．6．（3分）若函数f（x）=﹣a是奇函数，则实数a的值为1．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据奇函数的结论：f（0）=0列出方程，求出a的值即可．解答：解：因为奇函数f（x）=﹣a的定义域是R，所以f（0）=﹣a=0，解得a=1，故答案为：1．点评：本题考查奇函数的性质的应用，属于基础题．7．（3分）若不等式x2﹣mx+n＜0（m，n∈R）的解集为（2，3），则m﹣n=﹣1．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，求出m、n的值即可．解答：解：∵不等式x2﹣mx+n＜0（m，n∈R）的解集为（2，3），∴对应方程x2﹣mx+n=0的两个实数根2和3，由根与系数的关系，得，∴m﹣n=5﹣6=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了根与系数的应用问题，是基础题目．8．（3分）设α：0≤x≤1，β：m≤x≤2m+5，若α是β的充分条件，则实数m的取值范围是．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的关系转化为不等式之间的关系，进行判断即可．解答：解：∵α：0≤x≤1，β：m≤x≤2m+5，∴α是β的充分条件，则，即，解得﹣2≤m≤0，故答案为：．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据充分条件和必要条件的关系转化为不等式之间的关系是解决本题的关键．9．（3分）设a，b均为正数，则函数f（x）=（a2+b2）x+ab的零点的最小值为﹣．考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：函数f（x）=（a2+b2）x+ab的零点即方程（a2+b2）x+ab=0的解，由基本不等式求最值．解答：解：函数f（x）=（a2+b2）x+ab的零点即方程（a2+b2）x+ab=0的解，x=﹣≥﹣；当且仅当a=b时，等号成立；故答案为：﹣．点评：本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用及基本不等式的应用，属于基础题．10．（3分）给出下列命题：①直线x=a与函数y=f（x）的图象至少有两个公共点；②函数y=x﹣2在（0，+∞）上是单调递减函数；③幂函数的图象一定经过坐标原点；④函数f（x）=a x﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（2，1）．⑤设函数y=f（x）存在反函数，且y=f（x）的图象过点（1，2），则函数y=f﹣1（x）﹣1的图象一定过点（2，0）．其中，真命题的序号为②④⑤．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：①，利用函数的概念（自变量与函数值一一对应）可判断①；②，利用幂函数的性质可知y=x﹣2在（0，+∞）上是单调递减函数，可判断②；③，幂函数y=x﹣1的图象不经过坐标原点，可判断③；④，利用指数函数的图象与性质，可判断④；⑤，依题意，可知函数y=f﹣1（x）的图象过点（2，1），从而可判断⑤．解答：解：对于①，直线x=a与函数y=f（x）的图象至多有1个公共点；，故①错误；对于②，由于﹣2＜0，由幂函数的性质可知，函数y=x﹣2在（0，+∞）上是单调递减函数，故②正确；对于③，幂函数y=x﹣1的图象不经过坐标原点，故③错误；对于④，函数f（x）=a x﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（2，1），故④正确；对于⑤，设函数y=f（x）存在反函数，且y=f（x）的图象过点（1，2），则函数y=f﹣1（x）的图象过点（2，1），y=f﹣1（x）﹣1的图象一定过点（2，0），故⑤正确．综上所述，真命题的序号为②④⑤．故答案为：②④⑤．点评：本题考查命题的真假判断及应用，综合考查函数的概念、幂函数的单调性质、指数函数的图象与性质及反函数的概念及应用，属于中档题．11．（3分）设函数f（x）（x∈R）满足|f（x）+（）2|≤，且|f（x）﹣（）2|≤．则f（0）=．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：利用赋值法求解，最后用不等式的交集求出结果．解答：解：利用赋值法，令x=0，则|f（0）﹣1|解得：同理：令x=0，则|f（0）|解得：所以：即f（0）=故答案为：点评：本题考查的知识要点：赋值法在函数求值中的应用．属于基础题型．12．（3分）若F（x）=a•f（x）g（x）+b•+c（a，b，c均为常数），则称F（x）是由函数f（x）与函数g（x）所确定的“a→b→c”型函数．设函数f1（x）=x+1与函数f2（x）=x2﹣3x+6，若f （x）是由函数f1﹣1（x）+1与函数f2（x）所确定的“1→0→5”型函数，且实数m，n满足f（m）=f（n）=6，则m+n的值为2．考点：进行简单的合情推理．专题：综合题；推理和证明．分析：由新定义，确定f（x）=x（x2﹣3x+6）+5，利用f（m）=f（n）=6，可得m（m2﹣3m+6）=1，n（n2﹣3n+6）=7，设m+n=t，则m=t﹣n，代入m（m2﹣3m+6）=1，可得（t ﹣n）=1，即n3﹣（3t﹣3）n2+（3t2﹣6t+6）n﹣t3+3t2﹣6t+1=0，对照n2的系数，可得3t﹣3=﹣3，即可得出结论．解答：解：∵f1（x）=x+1，∴f1﹣1（x）=x﹣1，即f1﹣1（x）+1=x﹣1+1=x，∵f（x）是由函数f1﹣1（x）+1与函数f2（x）所确定的“1→0→5”型函数，∴f（x）=x（x2﹣3x+6）+5，由f（m）=f（n）=6可得f（m）=6，f（n）=12，即m（m2﹣3m+6）=1，n（n2﹣3n+6）=7，设m+n=t，则m=t﹣n，代入m（m2﹣3m+6）=1，可得（t﹣n）=1，即n3﹣（3t﹣3）n2+（3t2﹣6t+6）n﹣t3+3t2﹣6t+1=0，对照n2的系数，可得3t﹣3=﹣3，∴t=2故答案为：2．点评：本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，正确换元是关键．二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分．13．（3分）“a＞1”是“a＞0”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若a＞1，则a＞0成立，若a=，满足a＞0，但a＞1不成立，故“a＞1”是“a＞0”的充分不必要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．14．（3分）函数y=x+（x＞0）的递减区间为（）A．（0，4]B．C．考点：函数的单调性及单调区间．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：首先根据函数的关系式求出函数的导数，进一步利用y′＜0，求出函数的单调递减区间．解答：解：函数y=（x＞0）则：解得：0＜x＜2所以函数的递减区间为：（0，2）故选：D点评：本题考查的知识要点：函数的导数的应用，利用函数的导数求函数的单调区间．属于基础题型．15．（3分）如图为函数f（x）=t+log a x的图象（a，t均为实常数），则下列结论正确的是（）A．0＜a＜1，t＜0 B．0＜a＜1，t＞0 C．a＞1，t＜0 D．a＞1，t＞0考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据对数函数的图象和性质即可得到答案解答：解：因为对数函数y=t+log a x的图象在定义域内是增函数，可知其底数大于1，由图象可知当x=1时，y=t＜0，故选：C点评：本题考查了对数函数的图象与性质，是基础的概念题．16．（3分）设g（x）=|f（x+2m）﹣x|，f（t）为不超过实数t的最大整数，若函数g（x）存在最大值，则正实数m的最小值为（）A．B．C．D．考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意知，当n﹣1≤x+2m＜n，（n∈Z）时，f（x+2m）=n﹣1；从而可化简得2m﹣1＜f（x+2m）﹣x≤2m，再由最值可得2m≥|2m﹣1|；从而求得．解答：解：∵f（t）为不超过实数t的最大整数，∴当n﹣1≤x+2m＜n，（n∈Z）时，f（x+2m）=n﹣1；故n﹣1﹣2m≤x＜n﹣2m；故2m﹣1＜f（x+2m）﹣x≤2m；又∵m＞0；故若函数g（x）存在最大值，则2m≥|2m﹣1|；故m≥；故选D．点评：本题考查了绝对值函数与分段函数的应用，属于中档题．三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（8分）解不等式组：．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：运用二次不等式和分式不等式的解法，分别求出它们，再求交集即可．解答：解：原不等式组可化为，解得，从而有0＜x＜2，所以，原不等式的解集为（0，2）．点评：本题考查二次不等式和分式不等式的解法，考查运算能力，属于基础题．18．（8分）某“农家乐”接待中心有客房200间，每间日租金为40元，每天都客满．根据实际需要，该中心需提高租金．如果每间客房日租金每增加4元，客房出租就会减少10间．（不考虑其他因素）（1）设每间客房日租金提高4x元（x∈N+，x＜20），记该中心客房的日租金总收入为y，试用x表示y；（2）在（1）的条件下，每间客房日租金为多少时，该中心客房的日租金总收入最高？考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）设每间客房日租金提高4x元（x∈N+，x＜20），记该中心客房的日租金总收入为y，根据条件即可求出y的表达式；（2）利用基本不等式或者一元二次函数的性质求最值即可．解答：解：（1）若每间客房日租金提高4x元，则将有10x间客房空出，故该中心客房的日租金总收入为y=（40+4x）=40（10+x），（这里x∈N•且x＜20）．（2）∵y=40（10+x）≤40（=40×225=9000，当且仅当10+x=20﹣x，即x=5时，y的最大值为9000，即每间客房日租金为40+4×5=60（元）时，该中心客房的日租金总收入最高，其值为9000元．点评：本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立函数关系，利用基本不等式的性质求最值是解决本题的关键．本题也可以使用一元二次函数的最值性质解决．19．（10分）已知f（x）=|x+a|（a＞﹣2）的图象过点（2，1）．（1）求实数a的值；（2）如图所示的平面直角坐标系中，每一个小方格的边长均为1．试在该坐标系中作出函数y=的简图，并写出（不需要证明）它的定义域、值域、奇偶性、单调区间．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据图象过点（2，1），代入求出a的值，（2）根据分段函数分段画的原则，根据函数的图象，我们可以分析出自变量，函数值的取值范围，从而得到定义域和值域，分析出从左到右函数图象上升和下降的区间，即可得到函数的单调区间解答：解：（1）依题意得f（2）=1，即|2+a|=1，∵a＞﹣2，∴2+a=1，解得a=﹣1，（2）由（1）可得f（x）=|x﹣1|，故y==，即y=．定义域：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），值域：，奇偶性：非奇非偶函数，单调（递减）区间：（﹣∞，0]．点评：本题考查的知识点是分段函数的解析式求法及其图象的作法，函数的定义域及其求法，函数的值域，函数的图象，其中利用零点分段法求出函数的解析式是解答本题的关键．20．（12分）设函数f（x）=log m（1+mx）﹣log m（1﹣mx）（m＞0，且m≠1）．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）当m=2时，解方程f（6x）=1；（3）如果f（u）=u﹣1，那么，函数g（x）=x2﹣ux的图象是否总在函数h（x）=ux﹣1的图象的上方？请说明理由．考点：对数函数图象与性质的综合应用；对数函数的图像与性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）先求出函数f（x）的定义域为（﹣，），再确定f（﹣x）=log m（1﹣mx）﹣log m（1+mx）﹣f（x）即可；（2）当m=2时，f（x）=log2（1+2x）﹣log2（1﹣2x），由f（6x）=1得log2（1+2•6x）﹣log2（1﹣2•6x）=1，从而求解；（3）方法一：注意到f（x）的定义域为（﹣，）．若m＞1，则﹣＜u＜，即u2＜1；若0＜m＜1，则考虑函数F（x）=f（x）﹣x+1，也可得到u2＜1；则g（x）﹣h（x）=（x2﹣ux）﹣（ux﹣1）=（x﹣u）2+1﹣u2≥1﹣u2＞0，从而证明；方法二：如同方法一讨论，也可构造函数G（x）==﹣m x﹣1﹣1，从而同方法一中的方法证明即可．解答：解：（1）函数f（x）的定义域为（﹣，），关于原点对称；又f（﹣x）=log m（1﹣mx）﹣log m（1+mx）﹣f（x），即f（﹣x）=﹣f（x），故f（x）为定义域（﹣，）上的奇函数．（2）当m=2时，f（x）=log2（1+2x）﹣log2（1﹣2x），由f（6x）=1得log2（1+2•6x）﹣log2（1﹣2•6x）=1，去对数得1+2•6x=2（1﹣2•6x），解得6x=，从而x=﹣1．经检验，x=﹣1为原方程的解．（3）方法一：注意到f（x）的定义域为（﹣，）．若m＞1，则﹣＜u＜，即u2＜1；若0＜m＜1，则考虑函数F（x）=f（x）﹣x+1．因log m（1+mx）在（﹣，）上递减，而log m（1﹣mx）在（﹣，）上递增，故f（x）在（﹣，）上递减，又﹣x在（﹣，）上递减，所以F（x）在（﹣，）上也递减；注意到F（0）=1＞0，F（1）=f（1）＜0，所以函数F（x）在（0，1）上存在唯一零点，即满足f（u）=u﹣1的u∈（0，1）（且u唯一），故u2＜1．综上所述，u2＜1．于是g（x）﹣h（x）=（x2﹣ux）﹣（ux﹣1）=（x﹣u）2+1﹣u2≥1﹣u2＞0，即g（x）﹣h（x）＞0，即对于任一x∈R，均有g（x）＞h（x），故函数g（x）=x2﹣ux的图象总在函数h（x）=ux﹣1图象的上方．方法二：注意到f（x）的定义域为（﹣，）．若m＞1，则﹣＜u＜，即u2＜1；若0＜m＜1，设函数G（x）==﹣m x﹣1﹣1，注意到在（﹣，）上递增，m x﹣1在（﹣，）上递减，故G（x）在（﹣，）上递增，又G（0）=1﹣＜0，G（1）=﹣1＞0，所以函数G（x）在（0，1）上存在唯一零点，又G（x）=0，即f（x）=x﹣1，于是，满足f（u）=u﹣1的u∈（0，1）（且u唯一），故u2＜1．综上所述，u2＜1．于是g（x）﹣h（x）=（x2﹣ux）﹣（ux﹣1）=（x﹣u）2+1﹣u2≥1﹣u2＞0，即g（x）﹣h（x）＞0，即对于任一x∈R，均有g（x）＞h（x），故函数g（x）=x2﹣ux的图象总在函数h（x）=ux﹣1图象的上方．点评：本题考查了函数的性质的应用及恒成立问题，同时考查了分类讨论的数学思想应用，属于中档题．21．（14分）对于四个正数x，y，z，w，如果xw＜yz，那么称（x，y）是（z，w）的“下位序对”．（1）对于2，3，7，11，试求（2，7）的“下位序对”；（2）设a，b，c，d均为正数，且（a，b）是（c，d）的“下位序对”，试判断，，之间的大小关系；（3）设正整数n满足条件：对集合{t|0＜t＜2014}内的每个m∈N+，总存在k∈N+，使得（m，2014）是（k，n）的“下位序对”，且（k，n）是（m+1，2015）的“下位序对”．求正整数n的最小值．考点：不等式的基本性质．专题：不等式．分析：（1）据新定义，代入计算判断即可；（2）根据新定义得到ad＜bc，再利用不等式的性质，即可判断；（3）由题意得到，继而求出n≥4029，再验证该式对集合{t|0＜t＜2014}内的每个m∈N+的每个正整数m都成立，继而求出最小值解答：解：（1）∵3×7＜11×2，∴（2，7）的下位序对是（3，11）．（2）∵（a，b）是（c，d）的“下位序对”，∴ad＜bc，∵a，b，c，d均为正数，故﹣=＞0，即﹣＞0，所以＞；同理＜．综上所述，＜＜．（3）依题意，得，注意到m，n，l整数，故，于是2014（mn+n﹣1）≥2014×2015k≥2015（mn+1），∴n≥，该式对集合{t|0＜t＜2014}内的每个m∈N+的每个正整数m都成立∴n≥=4029，∵＜＜，∴＜＜，∴＜＜，∴对集合{t|0＜t＜2014}内的每个m∈N+，总存在k∈N+，使得（m，2014）是（k，n）的“下位序对”，且（k，n）是（m+1，2015）的“下位序对”．正整数n的最小值为4029点评：本题考查了新定义的学习和利用，关键掌握读懂新定义，属于难题。
上海中学2017-2018学年高一下学期期末数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年上海中学高一（下）期末数学试卷一、填空题1．arcsin（﹣）+arccos（﹣）+arctan（﹣）=．2．=．3．若数列{a n}为等差数列．且满足a2+a4+a7+a11=44，则a3+a5+a10=．=（n≥1），则a2016=．4．设数列{a n}满足：a1=，a n+15．已知数列{a n}满足：a n=n•3n（n∈N*），则此数列前n项和为S n=．=9•（n≥1），则a n=．6．已知数列{a n}满足：a1=3，a n+17．等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若=，则=．8．等比数列{a n}，a1=3﹣5，前8项的几何平均为9，则a3=．9．定义在R上的函数f（x）=，S n=f（）+f（）+…+f（），n=2，3，…，则S n=．10．设x1，x2是方程x2﹣xsin+cos=0的两个根，则arctanx1+arctanx2的值为．11．已知数列{a n}的前n项和为S n，a n=，则S2016=．12．设正数数列{a n}的前n项和为b n，数列{b n}的前n项之积为c n，且b n+c n=1，则数列{}的前n项和S n中大于2016的最小项为第项．二、选择题.13．用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）•…•（n+n）=2n•1•3•…•（2n﹣1）”，当“n从k到k+1”左端需增乘的代数式为（）A．2k+1 B．2（2k+1）C．D．14．一个三角形的三边成等比数列，则公比q的范围是（）A．q＞B．q＜C．＜q＜D．q＜或q＞15．等差数列{a n }中，a 5＜0，且a 6＞0，且a 6＞|a 5|，S n 是其前n 项和，则下列判断正确的是（ ）A ．S 1，S 2，S 3均小于0，S 4，S 5，S 6，…均大于0B ．S 1，S 2，…，S 5均小于0，S 6，S 7，…均大于0C ．S 1，S 2，…S 9均小于0，S 10，S 11，…均大于0D ．S 1，S 2，…，S 11均小于0，S 12，S 13，…均大于016．若数列{a n }的通项公式是a n =，n=1，2，…，则（a 1+a 2+…+a n ）等于（ ）A ．B ．C ．D ．17．已知=1，那么（sin θ+2）2（cos θ+1）的值为（ ） A ．9B ．8C ．12D ．不确定18．已知f （n ）=（2n +7）•3n +9，存在自然数m ，使得对任意n ∈N *，都能使m 整除f （n ），则最大的m 的值为（ ） A ．30 B ．26 C ．36 D ．6三、解答题.19．用数学归纳法证明：12+22+32+…+（n ﹣1）2+n 2+（n ﹣1）2+…+32+22+12=n （2n 2+1） 20．已知数列{a n }满足a 1=1，其前n 项和是S n 对任意正整数n ，S n =n 2a n ，求此数列的通项公式．21．已知方程cos2x +sin2x=k +1．（1）k 为何值时，方程在区间[0，]内有两个相异的解α，β；（2）当方程在区间[0，]内有两个相异的解α，β时，求α+β的值．22．设数列{a n }满足a 1=2，a 2=6，a n +2=2a n +1﹣a n +2（n ∈N*）． （1）证明：数列{a n +1﹣a n }是等差数列；（2）求：++…+．23．数列{a n }，{b n }满足，且a 1=2，b 1=4．（1）证明：{a n +1﹣2a n }为等比数列； （2）求{a n }，{b n }的通项．24．已知数列{a n }是等比数列，且a 2=4，a 5=32，数列{b n }满足：对于任意n ∈N*，有a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n =（n ﹣1）•2n +1+2． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{d n }满足：d 1=6，d n •d n +1=6a •（﹣）（a ＞0），设T n =d 1d 2d 3…d n （n ∈N*），当且仅当n=8时，T n 取得最大值，求a 的取值范围．2015-2016学年上海中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．arcsin（﹣）+arccos（﹣）+arctan（﹣）=．【考点】反三角函数的运用．【分析】利用反三角函数的定义和性质，求得要求式子的值．【解答】解：arcsin（﹣）+arccos（﹣）+arctan（﹣）=﹣arcsin（）+π﹣arccos﹣arctan=﹣+（π﹣）﹣=，故答案为：．2．=5．【考点】数列的极限．【分析】利用数列的极限的运算法则化简求解即可．【解答】解：====5．故答案为：5．3．若数列{a n}为等差数列．且满足a2+a4+a7+a11=44，则a3+a5+a10=33．【考点】等差数列的性质．【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2+a4+a7+a11=44=4a1+20d，∴a1+5d=11．则a3+a5+a10=3a1+15d=3（a1+5d）=33．故答案为：33．4．设数列{a n}满足：a1=，a n+1=（n≥1），则a2016=2．【考点】数列递推式．【分析】通过计算出前几项的值确定周期，进而计算可得结论．【解答】解：依题意，a2===3，a3===﹣2，a4===，a5===2，∴数列{a n}是以4为周期的周期数列，又∵2016=504×4，∴a2016=a4=2，故答案为：2．5．已知数列{a n}满足：a n=n•3n（n∈N*），则此数列前n项和为S n=•3n+1+．【考点】数列的求和．【分析】利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：∵a n=n•3n，则此数列的前n项和S n=3+2×32+3×33+…+n•3n，∴3S n=32+2×33+…+（n﹣1）•3n+n•3n+1，∴﹣2S n=3+32+33+…+3n﹣n•3n+1=﹣n•3n+1=（﹣n）3n+1﹣，∴S n=•3n+1+．故答案为：•3n+1+．6．已知数列{a n}满足：a1=3，a n=9•（n≥1），则a n=27．+1【考点】数列的极限．【分析】把已知数列递推式两边取常用对数，然后构造等比数列，求出数列{a n}的通项公式，则极限可求．=9•（n≥1），得，【解答】解：由a n+1即，令b n=lga n，则，∴，则数列{b n﹣3lg3}是以b1﹣3lg3=lga1﹣3lg3=﹣2lg3为首项，以为公比的等比数列，∴，即，∴，则a n==103lg3=10lg27=27．故答案为：27．7．等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若=，则=．【考点】等差数列的性质．【分析】由{a n}，{b n}为等差数列，且其前n项和满足若=，设S n=kn×2n，T n=kn（3n+1）（k≠0），则利用递推关系可得：当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1；当n≥2时，b n=T n﹣T n﹣1．代入即可得出．【解答】解：∵{a n}，{b n}为等差数列，且其前n项和满足若=，∴设S n=kn×2n，T n=kn（3n+1）（k≠0），则当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=4kn﹣2k；当n≥2时，b n=T n﹣T n﹣1=6kn﹣2k．∴==，故答案为：．8．等比数列{a n}，a1=3﹣5，前8项的几何平均为9，则a3=．【考点】等比数列的性质．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由题意列式求得q，代入等比数列的通项公式得答案．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，由题意，，即，∴，得，∵a 1=3﹣5，∴，则q=9，∴．故答案为：．9．定义在R 上的函数f （x ）=，S n =f （）+f （）+…+f （），n=2，3，…，则S n =2n ﹣2 ．【考点】数列的求和．【分析】由已知得f （x ）+f （1﹣x ）=4，由此能求出S n =f （）+f （）+…+f （）的值．【解答】解：∵f （x ）=，∴f （1﹣x ）===，∴f （x ）+f （1﹣x ）=4，∴S n =f （）+f （）+…+f （）=4×=2n ﹣2．故答案为：2n ﹣2．10．设x 1，x 2是方程x 2﹣xsin +cos=0的两个根，则arctanx 1+arctanx 2的值为．【考点】反三角函数的运用．【分析】由条件利用韦达定理求得x 1+x 2 =sin，x 1•x 2=cos，再利用两角和的正切公式求得tan （arctanx 1+arctanx 2）的值，可得arctanx 1+arctanx 2 的值．【解答】解：由x 1、x 2是方程x 2﹣xsin +cos=0的两根，可得x 1+x 2 =sin，x 1•x 2=cos，故x 1、x 2均大于零，故arctanx 1+arctanx 2∈（0，π），且tan（arctanx1+arctanx2）===cotπ=tan（﹣π），∴arctanx1+arctanx2=．故答案为：．11．已知数列{a n}的前n项和为S n，a n=，则S2016=．【考点】数列的求和．【分析】将a n=分子分母同乘，再使用裂项法得出a n=（﹣），从而得出S2016的值．【解答】解：a n===（﹣）．∴S2016=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）= [1﹣（）]==．故答案为：．12．设正数数列{a n}的前n项和为b n，数列{b n}的前n项之积为c n，且b n+c n=1，则数列{}的前n项和S n中大于2016的最小项为第63项．【考点】数列的求和．【分析】由题意可得：a1+a2+…+a n+a1•（a1+a2）•…•（a1+a2+…+a n）=1，可得a1=，a2=．…，猜想：a n=．验证：成立．可得n＜=＜n+1，进而得到＜S n＜，即可得出．【解答】解：由题意可得：a1+a2+…+a n+a1•（a1+a2）•…•（a1+a2+…+a n）=1，n=1时，a1+a1=1，解得a1=．n=2时，a1+a2+a1•（a1+a2）=1，解得a2=．…，猜想：a n=．验证：a1+a2+…+a n=++…+==．∴a1•（a1+a2）•…•（a1+a2+…+a n）=××…×=．∴a1+a2+…+a n+a1•（a1+a2）•…•（a1+a2+…+a n）=+=1．∴n＜=＜n+1，∴＜S n＜，∴2016＜S63＜2080，∴数列{}的前n项和S n中大于2016的最小项为第63项．故答案为：63．二、选择题.13．用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）•…•（n+n）=2n•1•3•…•（2n﹣1）”，当“n从k到k+1”左端需增乘的代数式为（）A．2k+1 B．2（2k+1）C．D．【考点】数学归纳法．【分析】分别求出n=k时左端的表达式，和n=k+1时左端的表达式，比较可得“n从k到k+1”左端需增乘的代数式．【解答】解：当n=k时，左端=（k+1）（k+2）（k+3）…（2k），当n=k+1时，左端=（k+2）（k+3）…（2k）（2k+1）（2k+2），故当“n从k到k+1”左端需增乘的代数式为=2（2k+1），故选B．14．一个三角形的三边成等比数列，则公比q的范围是（）A．q＞B．q＜C．＜q＜D．q＜或q＞【考点】等比数列的通项公式．【分析】设三边分别为：，a，aq，（a，q＞0）．分类讨论：q≥1时， +a＞aq；0＜q＜1时，＜a+aq，分别解出即可得出．【解答】解：设三边分别为：，a，aq，（a，q＞0）．则q≥1时， +a＞aq，解得：．0＜q＜1时，＜a+aq，解得：＜q＜1．综上可得：公比q的范围是．故选：C．15．等差数列{a n}中，a5＜0，且a6＞0，且a6＞|a5|，S n是其前n项和，则下列判断正确的是（）A．S1，S2，S3均小于0，S4，S5，S6，…均大于0B．S1，S2，…，S5均小于0，S6，S7，…均大于0C．S1，S2，…S9均小于0，S10，S11，…均大于0D．S1，S2，…，S11均小于0，S12，S13，…均大于0【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【分析】由a5＜0，a6＞0且a6＞|a5|可得d=a6﹣a5＞0，a5+a6＞0，2a5＜0，2a6＞0，结合等差数列的求和公式及性质可判断．【解答】解：∵a5＜0，a6＞0且a6＞|a5|∴d=a6﹣a5＞0∴数列的前5项都为负数∵a5+a6＞0，2a5＜0，2a6＞0由等差数列的性质及求和公式可得，S9==9a5＜0S10=5（a1+a10）=5（a5+a6）＞0由公差d＞0可知，S1，S2，S3…S9均小于0，S10，S11…都大于0．故选：C．16．若数列{a n}的通项公式是a n=，n=1，2，…，则（a1+a2+…+a n）等于（）A．B．C．D．【考点】数列递推式；极限及其运算．【分析】由题意知a n=由此可知（a1+a2++a n）=+，计算可得答案．【解答】解：a n=即a n=∴a1+a2+…+a n=（2﹣1+2﹣3+2﹣5+）+（3﹣2+3﹣4+3﹣6+）．∴（a1+a2+…+a n）=+=，故选C．17．已知=1，那么（sinθ+2）2（cosθ+1）的值为（）A．9 B．8 C．12 D．不确定【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】首先将已知等式变形化简得到sinθ=1+cot2014θ，利用正弦函数的有界性，得到sinθ=1，cosθ=0，可求结果．【解答】解：将=1，变形得：sinθ+1=cot2016θ+2，整理得sinθ=1+cot2016θ≤1，即cot2016θ≤0，又∵cot2016θ≥0所以cot2016θ=0，所以cosθ=0，sinθ=1，所以（sinθ+2）2（cosθ+1）=（1+2）2=9；故选：A．18．已知f（n）=（2n+7）•3n+9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f（n），则最大的m的值为（）A．30 B．26 C．36 D．6【考点】数学归纳法．【分析】依题意，可求得f（1）、f（2）、f（3）、f（4）的值，从而可猜得最大的m的值为36，再利用数学归纳法证明即可．【解答】解：由f（n）=（2n+7）•3n+9，得f（1）=36，f（2）=3×36，f（3）=10×36，f（4）=34×36，由此猜想m=36．下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，显然成立．（2）假设n=k时，f（k）能被36整除，即f（k）=（2k+7）•3k+9能被36整除；当n=k+1时，[2（k+1）+7]•3k+1+9=3[（2k+7）•3k+9]﹣18+2×3k+1=3[（2k+7）•3k+9]+18（3k﹣1﹣1），∵3k﹣1﹣1是2的倍数，∴18（3k﹣1﹣1）能被36整除，∴当n=k+1时，f（n）也能被36整除．由（1）（2）可知对一切正整数n都有f（n）=（2n+7）•3n+9能被36整除，m的最大值为36．三、解答题.19．用数学归纳法证明：12+22+32+…+（n﹣1）2+n2+（n﹣1）2+…+32+22+12=n（2n2+1）【考点】数学归纳法．【分析】用数学归纳法证明：（1）当n=1时，去证明等式成立；（2）假设当n=k时，等时成立，用上归纳假设后，去证明当n=k+1时，等式也成立即可．【解答】证明：利用数学归纳法证明：（1）当n=1时，左边=1=右边，此时等式成立；（2）假设当n=k∈N*时，12+22+32+…+（k﹣1）2+k2+（k﹣1）2+…+32+22+12=k（2k2+1）（k∈N*）成立．则当n=k+1时，左边=12+22+32+…+k2+（k+1）2+k2+…+22+12=k（2k2+1）+（k+1）2+k2=（k+1）[2（k+1）2+1]=右边，∴当n=k+1时，等式成立．根据（1）和（2），可知对n∈N*等式成立．20．已知数列{a n}满足a1=1，其前n项和是S n对任意正整数n，S n=n2a n，求此数列的通项公式．【考点】数列递推式．【分析】由S n =n 2a n ，可得n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1，化为： =．利用“累乘求积”方法即可得出．【解答】解：∵S n =n 2a n ，∴n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=n 2a n ﹣（n ﹣1）2a n ﹣1，化为：=．∴a n =••…••a 1=••…•××1=，n=1时也成立．∴a n =．21．已知方程cos2x +sin2x=k +1．（1）k 为何值时，方程在区间[0，]内有两个相异的解α，β；（2）当方程在区间[0，]内有两个相异的解α，β时，求α+β的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）令f （x ）=cos2x +sin2x=2sin （2x +），根据函数图象判断k 的范围；（2）求出f （x ）在[0，]上的对称轴，根据图象的对称性得出α+β的值．【解答】解：（1）令f （x ）=cos2x +sin2x=2sin （2x +），作出f （x ）在[0，]上的函数图象如图所示：由图象可知当1≤k +1＜2即0≤k ＜1时，f （x ）=k +1有两个相异的解．（2）令2x +=+k π，解得x=+，∴f （x ）在[0，上的对称轴为x=，∴α+β=．22．设数列{a n }满足a 1=2，a 2=6，a n +2=2a n +1﹣a n +2（n ∈N*）． （1）证明：数列{a n +1﹣a n }是等差数列；（2）求：++…+．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式． 【分析】（1）由a n +2=2a n +1﹣a n +2，变形为（a n +2﹣a n +1）﹣（a n +1﹣a n ）=2，a 2﹣a 1=4，即可证明．（2）由（1）可得：a n +1﹣a n =4+2（n ﹣1）=2n +2．利用a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1可得a n ．再利用“裂项求和”方法即可得出． 【解答】（1）证明：∵a n +2=2a n +1﹣a n +2，∴（a n +2﹣a n +1）﹣（a n +1﹣a n ）=2，a 2﹣a 1=4，∴数列{a n +1﹣a n }是等差数列，首项为4，公差为2． （2）解：由（1）可得：a n +1﹣a n =4+2（n ﹣1）=2n +2． ∴a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1=2n +2（n ﹣1）+…+2×2+2==n 2+n ．∴==．∴++…+=++…+=1﹣=．23．数列{a n }，{b n }满足，且a 1=2，b 1=4．（1）证明：{a n +1﹣2a n }为等比数列； （2）求{a n }，{b n }的通项． 【考点】等比数列的通项公式．【分析】（1）由a n +1=﹣a n ﹣2b n ，可得：b n =，b n +1=﹣，代入b n +1=6a n +6b n ，化简整理可得：a n +2﹣2a n +1=3（a n +1﹣2a n ），即可证明．（2）由（1）可得：a n +1﹣2a n =﹣14×3n ﹣1．化为：a n +1+14×3n =2，利用等比数列的通项公式可得：a n ，进而得到b n ．【解答】（1）证明：由a n +1=﹣a n ﹣2b n ，可得：b n =，∴b n +1=﹣，代入b n +1=6a n +6b n ，可得：﹣=6a n+6×（），化为：a n+2﹣2a n+1=3（a n+1﹣2a n）．a2=﹣2﹣2×4=﹣10，a2﹣2a1=﹣14，∴{a n+1﹣2a n}为等比数列，首项为﹣14，公比为3．（2）解：由（1）可得：a n+1﹣2a n=﹣14×3n﹣1．化为：a n+1+14×3n=2，∴数列是等比数列，首项为16，公比为2．∴a n+14×3n﹣1=16×2n﹣1，可得a n=2n+3﹣14×3n﹣1．∴b n=﹣=28×3n﹣1﹣3×2n+2．24．已知数列{a n}是等比数列，且a2=4，a5=32，数列{b n}满足：对于任意n∈N*，有a1b1+a2b2+…+a n b n=（n﹣1）•2n+1+2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{d n}满足：d1=6，d n•d n+1=6a•（﹣）（a＞0），设T n=d1d2d3…d n（n∈N*），当且仅当n=8时，T n取得最大值，求a的取值范围．【考点】数列与不等式的综合；数列的应用．【分析】（1）通过a2=4、a5=32，利用等差数列性质可知：a5=a2•q3=32，即可求得q的值，求得a1=2，由等比数列通项公式即可求得数列{a n}的通项公式；（2）通过a1b1+a2b2+…+a n b n=（n﹣1）•2n+1+2与a1b1+a2b2+…+a n﹣1b n﹣1=（n﹣2）•2n+2作差，通过a n=2n，即可求得数列{b n}的通项公式，由c n=d n•d n+1，T n=d1d2d3…d n=，由题意可知：当n≤7时，|c n|＞1，当n≥8时，|c n|＜1，列方程即可求得a的取值范围．【解答】解：（1）∵a2=4，a5=32，由等比数列性质可知：a5=a2•q3=32，∴q3=8，q=2，∴a1=2，∴由等比数列通项公式可知：a n=2×2n﹣1=2n，数列{a n}的通项公式a n=2n；（2）∵a1b1+a2b2+…+a n b n=（n﹣1）•2n+1+2，∴当n≥2时，a1b1+a2b2+…+a n﹣1b n﹣1=（n﹣2）•2n+2，两式相减得：a n b n=（n﹣1）•2n+1+2﹣（n﹣2）•2n+2=n•2n，即b n==n（n≥2），又∵a1b1=2，即b1=1满足上式，∴b n=n；（2）令c n=d n•d n+1=6a•（﹣）n（a＞0），T n=d1d2d3…d n=，由当且仅当n=8时，T n取得最大值，∴|T2|＜|T4|＜|T6|＜|T8|＞|T10|＞…，|T1|＜|T3|＜|T5|＜|T7|＞…＞|T11|＞…．当n≤7时，|c n|＞1，当n≥8时，|c n|＜1，∴6a＞27，即a＞，6a＜28，即a＜，∴a的取值范围（，）．2016年12月1日。
2024-2025学年上海市西中学高一上学期数学月考试卷及答案(2024.09)
1市西中学2024学年第一学期高一年级数学月考2024.09一、填空题（本大题满分36分）只要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得零分． 1．已知集合{}1,a 与{}2,b 相等，则a b += ．2．设全集U R =，集合{}|02A x x x ≤>或，则用区间表示A ，结果是 ． 3．设x ，y R ∈，用列举法表示x y xy+所有可能取值组成的集合，结果是 ．4．已知集合{}(,)|210A x y x y =+=，{}(,)|35B x y x y =−=，则A B = ．5．已知α：素数都是奇数，则α的否定形式是 ．6．设x ，y R ∈，已知33:x y β<，则β的一个充分必要条件是 ． 7．设U 为全集，A ，B ，C U ⊆，用含有A 、B 、C 的运算式子表示如图的阴影部分，结果是 ． 8．已知集合{}|A x y x Z ==∈，{}2|1,B y y x x A ==+∈，则AB = ．9．设集合{},,,,,,A a b c d e f g =，{},B a c =，集合M 满足AM B M =，则这样的集合M 共有 个． 10．设集合(,0)(1,)A =−∞+∞，{}|(25)()0B x x x a =+−<，若{}2,1ABZ =−−，则实数a 的取值范围是 ．11．设k R ∈，已知集合{}22|(1)(4)x x x k −−=恰有四个非零元素，且它们在数轴上等距排列，则k =________．12．若两个正整数的正公因数只有1，则称这两个正整数互素．将与105互素的所有正整数组成集合{}123,,,,,n a a a a ，且123n a a a a <<<<，则100a = ．2二、选择题（本大题满分12分）本大题共4题，每题3分． 13．设x R ∈，则“1x ≠”是“2320x x −+≠”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件14．已知抛物线2y ax =与直线1x =、2x =、1y =、2y =围成的正方形有公共点，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦15．已知非空集合{}|135A x a x a =+≤≤−，{}|116B x x =≤≤，则使得()A A B ⊆成立的实数a 的所有取值组成的集合是（ ） A ．{}|07a a ≤≤ B ．{}|37a a ≤≤C ．{}|7a a ≤D ．∅16．定义集合运算{}|,A B x x A x B −=∈∉，将()()A B A B B A ∆=−−称为集合A 与B的对称差．命题甲：()()()A B C AB AC ∆=∆；命题乙：()()AB C AB ∆=∆()AC ．则下列说法正确的是（ ）A ．甲、乙都是真命题B ．只有甲是真命题C ．只有乙是真命题D ．甲、乙都不是真命题三、解答题（本大题满分52分）．17．（本题满分8分）已知集合{}2|8160,,A x kx x k R x R =−+=∈∈只有一个元素，求k 的值并用列举法表示集合A ．318．（本题满分10分，第1小题满分5分，第2小题满分5分） 设a R ∈，已知集合{}|12A x x =−<<，{}22|20B x x ax a =−−=． （1）若{}1A B =，求a 的值；（2）若A B A =，求a 的取值范围．19．（本题满分10分，第1小题满分5分，第2小题满分5分）如图，在直角坐标系xOy 中，过点(0,1)F 的直线与抛物线24x y =相交于点11(,)M x y 、22(,)N x y 自M 、N 引直线l ：1y =−的垂线，垂足分别为1M 、1N ．（1）用1y 分别表示线段1MM 、MF 的长； （2）证明：11M F N F ⊥．420．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）设a R ∈，已知α：关于x 的一元二次方程220ax x a ++=有两个相异正根；β：对任意实数x ，不等式2(1)(1)10a x a x −−−−<恒成立． （1）若α为真命题，求实数a 的取值范围；（2）判断α⇒β、β⇒α是否成立？给出你的结论，并说明理由．21．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分） 己知实数1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，满足123455x x x x x ++++=． （1）证明：1x ，2x ，3x ，4x ，5x 中至少有一个不小于1；（2）设1x ，2x ，3x ，4x ，5x 两两互不相等，集合{}12345,,,,A x x x x x =，B 是A 的非空子集，记()M B 是B 中所有元素之和，对所有的B ，求()M B 的平均值．5参考答案一、填空题1.3;2.(](),02,−∞⋃+∞;3.{}2,0,2−;4.(){}3,4;5.存在一个素数不是奇数;6.x y <;7.A C B ⋂⋂;8.{}1,0,1,2−;9.32; 10.(]1,2−； 11.7412.202 11．设k R ∈，已知集合{}22|(1)(4)x x x k −−=恰有四个非零元素，且它们在数轴上等距排列，则k =________． 【答案】74【解析】设2x y =,原方程变为()2540y y k −+−=,设此方程有实根,(0)αβ<α<β,则原方程的四个实根为，(=即9β=α,又5,4k α+β=αβ=−, 由此求得74k =且满足254160Δk =+−>,7.4k ∴=故答案为:74.二、选择题13.B 14.B 15.C 16.B15．已知非空集合{}|135A x a x a =+≤≤−，{}|116B x x =≤≤，则使得()A A B ⊆成立的实数a 的所有取值组成的集合是（ ） A ．{}|07a a ≤≤ B ．{}|37a a ≤≤ C ．{}|7a a ≤ D ．∅【答案】C【解析】由集合{}|135A x a x a =+≤≤−，{}116B x =≤≤当A =∅时,A B ⋂=∅,满足条件A A B ⊆⋂,此时135a a +>−,即26a <,解得3a <； 当A ≠∅时，若A A B ⊆⋂，则135113516a a a a +≤−⎧⎪+≥⎨⎪−≤⎩,等价于260321a a a ≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩,即30,7a a a ≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩解得37a ≤≤；6故a 的取值范围是{}|7a a ≤，综上所述,答案选择:C16．定义集合运算{}|,A B x x A x B −=∈∉，将()()A B A B B A ∆=−−称为集合A 与B的对称差．命题甲：()()()A B C AB AC ∆=∆；命题乙：()()AB C AB ∆=∆()AC ．则下列说法正确的是（ ）A ．甲、乙都是真命题B ．只有甲是真命题C ．只有乙是真命题D ．甲、乙都不是真命题【答案】B【解析】对于甲：()()A B C A B C B C A ⋂∆=⋂⋃−⋂=⋂()()B C A B C ⋃−⋂⋂()()A B A C =⋂⋃⋂()()()()A B A C A B A C −⋂⋂⋂=⋂∆⋂,故甲是真命题;对于乙,如下图所示:所以,()()()A B C A B A C ⋃∆≠⋃∆⋃,故乙是假命题;.故选：B. 三．解答题17.当0k =时，{}2A =； 当1k =时，{}4A =； 18.（1）1a =−（2）1,12⎛⎫− ⎪⎝⎭19.（1）1MM =11MF y =+ （2）略 20．（1）()1,0− （2）α⇒β21．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分） 己知实数1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，满足123455x x x x x ++++=．7（1）证明：1x ，2x ，3x ，4x ，5x 中至少有一个不小于1；（2）设1x ，2x ，3x ，4x ，5x 两两互不相等，集合{}12345,,,,A x x x x x =，B 是A 的非空子集，记()M B 是B 中所有元素之和，对所有的B ，求()M B 的平均值． 【答案】（1）见解析 （2）8031【解析】(1)证明:12245,,,,x x x x x 中的每一个数都小于1, 可得122455x x x x x ++++<,这与123455x x x x x ++++=矛盾, 故12245,,,,x x x x x 中至少有一个实数不小于1;(2)集合{}12345A x ,x ,x ,x ,x =的非空子集个数为32131−=,由于()M B 是B 中所有元素之和,可得()()1234516165M B x x x x x =++++=⨯80= 则()M B 的平均值为8031.。
上海市吴淞中学2013-2014学年高二上学期期中考试数学试题Word版含答案
一、填空题：1．132111014--的值为 ． 2．如右图，该程序运行后输出的结果为 ．3．若279315A ⎛⎫=⎪--⎝⎭，314026B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，6411103C -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则()A B C += ．4．若关于x,y,z 的线性方程组增广矩阵变换为1002003020m n -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭，方程组的解为241x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，则m n ⋅= ．5．若||1||2||2a b a b ==-= ，，则||a b +=． 6．lim(12)nn x x →∞-如果存在，那么的取值范围是 ．7．已知向量(cos sin )a θθ=，，向量1)b =- ，则2a b - 的最大值是 ． 8．设(,1)A a ，(2,)B b ，(4,5)C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC方向上的投影相同，则45a b -= ．9．O 为ABC ∆中线AM 上的一个动点，若4AM =，则()OA OB OC ⋅+的最小值为 ．10．设()f x =221+x.利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得 (5)(4)(0)(5)(6)f f f f f -+-+++++……的值为 ．11．已知||2||0a b =≠ ，且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅= 有实根，则a 与b的夹角的取值范围是 ．12．已知数列{a n }的通项公式是21232n a n n =-+-，其前n 项和是S n ，则对任意的n >m （其中n 、m ∈N *），n m S S -的最大值是 ． 13．若数列{a n }、{b n }的通项公式分别是2007(1)n n a a +=-⋅，nb n n 2008)1(2+-+=，且n n a b <，对任意*n N ∈恒成立，则常数a 的取值范围是 ．14．设正数数列{a n }的前n 项之和是n b ，数列{b n }前n 项之积是n c ，且1n n b c +=，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1中最接近108的项是第 项． 二、选择题：15．若数列{}n a 满足212n na p a +=（p 为正常数，n *∈N ），则称{}n a 为“等方比数列”．甲：数列{}n a 是等方比数列； 乙：数列{}n a 是等比数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件16．用数学归纳法证明“(1)(2)()2(21)nn n n n n +++=-……13 ”，从“1k k +到”左端需增乘的代数式为（ ）A ．21k +B ．2(21)k +C ．211k k ++ D ．231k k ++ 17．已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若OC a OA a OB 2001+=，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200 =（ ）A ．201B ．200C ． 101D ．10018．设{}n a 是集合{22|0}s ts t s t Z +≤<∈，且，中所有的数从小到大排成的数列，则50a 的值是（ ）A ．1024B ．1032C ．1040D ．1048三、解答题：19．等差数列{}n a 中，前m 项的和为77（m 为奇数），其中偶数项的和为33，且118m a a -=，求这个数列的通项公式．20．如图所示，1OA OB == ，OA 与OB 的夹角为0120，OC 与OA 的夹角为030，OC 5= ，且OC m OA n OB =⋅+⋅ ，求实数m n 、的值．21．已知向量(cos sin )a αα= ，，(cos sin )b ββ=，，且a ，b 满足关系ka b kb +=-，（k 为正整数）．（1）求将a b表示为k 的函数()f k ； （2）求函数()f k 的最小值及取最小值时a b，的夹角θ．22．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足.1,2,2211==+=+a a kS S n n 又 （1）求k 的值； （2）求n S ； （3）是否存在正整数,,n m 使211<--+m S m S n n 成立？若存在求出这样的正整数；若不存在，说明理由．23．设**(,)()()(,)2n n N n f n n f n N n ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩为奇数为偶数， (1)(2)(3)(2)n n a f f f f =++++ *()n N ∈（1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）写出n a 与1n a -的一个递推关系式，并求出n a 关于n 的表达式．（3）设数列{}n b 的通项为*2log (32)10()n n b a n N =--∈，前n 项和为n S 整数103是否为数列}{n n S b ⋅中的项：若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由．上海市吴淞中学2014学年第一学期高二年级数学考试卷一、填空题：1．132111014--的值为5 ． 2．如右图，该程序运行后输出的结果为45 ．3．若279315A ⎛⎫=⎪--⎝⎭，314026B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，6411103C -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则()A B C += ．111102413⎛⎫⎪-⎝⎭4．若关于x,y,z 的线性方程组增广矩阵变换为1002003020m n -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭，方程组的解为241x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，则m n ⋅=24- ．5．若||1||2||2a b a b ==-= ，，则||a b +=6．lim(12)nn x x →∞-如果存在，那么的取值范围是[01)，7．已知向量(cos sin )a θθ=，，向量1)b =- ，则2a b - 的最大值是 4 8．设(,1)A a ，(2,)B b ，(4,5)C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC方向上的投影相同，则45a b -= 39．O 为ABC ∆中线AM 上的一个动点，若4AM =，则()OA OB OC ⋅+的最小值为8-．10．设()f x =221+x.利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得 (5)(4)(0)(5)(6)f f f f f -+-+++++……的值为11．已知||2||0a b =≠ ，且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅= 有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是 ．],3[ππ．12．已知数列{a n }的通项公式是21232n a n n =-+-，其前n 项和是S n ，则对任意的n >m （其中n 、m ∈N *），n m S S -的最大值是 10 ． 13．若数列{a n }、{b n }的通项公式分别是2007(1)n n a a +=-⋅，nb n n 2008)1(2+-+=，且n n a b <，对任意*n N ∈恒成立，则常数a 的取值范围是[)21-，； 14．设正数数列{a n }的前n 项之和是n b ，数列{b n }前n 项之积是n c ，且1n n b c +=，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1中最接近108的项是第 10 项． 二、选择题：15．若数列{}n a 满足212n na p a +=（p 为正常数，n *∈N ），则称{}n a 为“等方比数列”．甲：数列{}n a 是等方比数列； 乙：数列{}n a 是等比数列，则（ B ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件16．用数学归纳法证明“(1)(2)()2(21)nn n n n n +++=-……13 ”，从“1k k +到”左端需增乘的代数式为（ B ）A ．21k +B ．2(21)k +C ．211k k ++ D ．231k k ++ 17．已知等差数列｛n a ｝的前n 项和为n S ，若OC a OA a OB 2001+=，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200 =（ D ）A ．201B ．200C ． 101D ．10018．设{}n a 是集合{22|0}s ts t s t Z +≤<∈，且，中所有的数从小到大排成的数列，则50a 的值是（C ）A ．1024B ．1032C ．1040D ．1048三、解答题：19．等差数列{}n a 中，前m 项的和为77（m 为奇数），其中偶数项的和为33，且118m a a -=，求这个数列的通项公式． 解答：323n a n =-+．20．如图所示，1OA OB == ，OA 与OB 的夹角为0120，OC 与OA 的夹角为030，OC 5= ，且OC m OA n OB =⋅+⋅ ，求实数m n 、的值．解：如图所示，()0,1A ，()，，即，所以由⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∠25235C ,30sin 5,5cos30C 30COA 0001,22B ⎛- ⎝⎭，()51OC ,10-,2222mOA nOB m n ⎛⎫⎛=+=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭即，，1-2.52m m n n n ⎧==⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩， OB OA OC 3353310+=∴，m n ∴==21．已知向量(cos sin )a αα= ，，(cos sin )b ββ=，，且a ，b 满足关系ka b kb +=-，（k 为正实数）．（1）求将a b表示为k 的函数()f k ； （2）求函数()f k 的最小值及取最小值时a b，的夹角θ． 解：（1）21()(0)4k f k k k+=> （2）()f k 的最小值为12，此时，3πθ=22．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足.1,2,2211==+=+a a kS S n n 又 （1）求k 的值； （2）求n S ； （3）是否存在正整数,,n m 使211<--+m S m S n n 成立？若存在求出这样的正整数；若不存在，说明理由．于是}{n a 是等比数列，公比为21，所以)211(4211])21(1[2n n n S -=---⋅=（3）不等式211<--+m S m S n n ，即21)211(4)211(41<----+mmn n ，整理得6)4(22<-<m n假设存在正整数n m ,使得上面的不等式成立，由于2n为偶数，m -4为整数，则只能是4)4(2=-m n⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=∴14,42;24,22m m n n 或因此，存在正整数21,2,3;1,21<--====+m S m S n m n m n n 使或23．设**(,)()()(,)2n n N n f n n f n N n ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩为奇数为偶数， (1)(2)(3)(2)n n a f f f f =++++ *()n N ∈（1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）写出n a 与1n a -的一个递推关系式，并求出n a 关于n 的表达式．（3）设数列{}n b 的通项为*2log (32)10()n n b a n N =--∈，前n 项和为n S ．整数103是否为数列}{n n S b ⋅中的项：若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由． 分析：（1）2)1()1()2()1(1=+=+=f f f f a631)2()1()3()1()4()3()2()1(12=++=+++=+++=a f f f f f f f f a 3(1)(2)(3)(8)22a f f f f =++++=（2）)2()2()1(11--+++=n n f f f a ，。
上海市宝山区吴淞中学2013-2014学年高一上学期第一次月考数学试题 Word版含答案
一．填空题(本大题满分48分)本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-∈=N x N x A 68|，则用列举法表示集合A =_____{}54,2，_________ ．2．已知{1,3,}A m =-，{3,4}B =，若B A ⊆,则实数m = 4 . 3．已知{}(,)2M x y x y =+=，{}N=(,)4x y x y -=，则M N={})1,3(- ．4．“2a >且2b >”是“4a b +>且4ab >”的 充分非必要 条件. 5．已知集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，且A B R = ，则实数a 的取值范围是 ．1≤a6．若1x >，10y -<<，则x ，y ，x -，y -，xy -从小到大的排列关系是 ．x xy y y x <-<-<<-7．如果一个分式不等式的解集是（1,2］，这个分式不等式可以是 ．012≤--x x 8．不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是{x │x ＜－3或x ＞2}，则不等式cx 2＋bx ＋a ＞0的解集是 ． ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<2131|x x x 或 9．若0,0,0a b m n >>>>，则b a , a b , ma mb ++, n b n a ++按由小到大的顺序排列为 ．ab<m a m b ++<n b n a ++<ba10．设全集{}(,),U x y x y R =∈,集合2(,)12y M x y x ⎧+⎫==⎨⎬-⎩⎭，{}(,)4N x y y x =≠-,那么()()U U C M C N 等于 ．{})2,2(-11．若不等式21--+x x ＞a 在R x ∈上有解,则a 的取值范围是 ． 3<a12．关于x 的不等式250ax x a -<-的解集是M ，若3,5M M ∈∉，则实数a 的取值范围是 ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<≤259351|a a x 或二．选择题(本大题满分12分)本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个是正确的．必须用2B 铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得3分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．13．命题“若a b >，则11a b ->-”的否命题是（ C ）.A 若a b <，则11a b -<- .B 若a b <，则11a b -≤- .C 若a b ≤，则11a b -≤- .D 若a b ≤，则11a b -≥- 14．已知,,a b c 满足c b a <<，且ac <0，那么下列选项中不一定成立的是 （ C ）.A ab ac > .B 0)(>-a b c .C cb ab 22< .D 0)(<-c a ac15．集合P 具有性质“若P x ∈，则P x∈1”，就称集合P 是伙伴关系的集合，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=4,3,2,1,21,31,0,1A 的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数为（ B ）.A 3 .B 7 .C 15 .D 3116．设{|10}P m m =-<<，{}恒成立对任意实数x mx mx m Q 044|2<-+=，则下列关系中成立的是（ A ） .A P ⊂≠Q .B Q ⊂≠P .C P Q = .D P Q =∅三．解答题(本大题满分40分)本大题共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在黑色矩形边框内．17．设{}24,21,A a a =--，{}9,5,1B a a =--，已知{}9A B = ，求A B3-=a ,{}4,8,9,7,4---=⋃B A18．设222{40},{2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=,其中x R ∈,如果A B B =，求实数a 的取值范围。
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高一数学练习十四
一、填空题：
1、函数(21)log (324)x x y +=-的定义域为
2、若324941log 7log 9log log 2
m ⋅⋅=，则m 为 3、已知,,0x y z >，且lg lg lg 0x y z ++=，则111111lg lg lg lg lg lg y z z x x y x
y z +++⋅⋅的值为 4、若01,01a b <<<<，且log (3)1a x a -<，则x 的取值范围是
5、函数()1lg(1)lg(1),(0)2f x x x x =++--
<<的反函数为 6
、函数2
y x =+的值域为 7、已知()2f x x bx c =++，若11(1),(2)22f f <
<，则()3f 的取值范围是 8、已知函数()2
2,[1,)a x x f x x x
+-=∈+∞，若对任意()[1,),0x f x ∈+∞<恒成立， 则a 的取值范围是
9、若函数(
)1)f x a =≠在区间(0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是 10、已知()y f x =是偶函数，且在[0,)+∞上是减函数，则2(1)f x -的增区间为
11、函数()f x x m mx =--在(,)-∞+∞上单调递增，则m 的取值范围是
12、已知()f x 是以2为周期的偶后寒素，当[]0,1x ∈时，()f x x =，那么在区间[]1,3-内，关于x 的方程()1f x kx k =++（其中k 为不等于1的实数）有四个不同的实数根，则k 的取值范围 是
13、函数()(31)41log 1a
a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是R 上的减函数，求a 的取值范围 14、函数()(,1p f x x x t p x =+>-为正常数），()221()2
x g x --=有相同值域，则p 的值为 15、已知(2,2),(2,2)x y ∈-∈-，且1xy =-，则函数22
4949u x y =+--的最小值是
16、函数2log (2)y x =+的图象与函数31log y x =-的图象交点的坐标是
17、给出下列四个结论：
（1）函数(0x y a a =>且1)a ≠与函数log (0x a y a a =>且1)a ≠的定义域相同；
（2）函数3(0)(x y k k k =⋅>为常数）的图象可由函数3x y =的图象经过平移得到；
（3）函数11(0)221x y x =+≠-是奇函数且函数11()(0)312
x y x x =+≠-是偶函数； 其中正确结论的序号是
18、设()y f x =是定义在R 上的函数，给慈宁宫下列三个条件：
（1）()y f x =是偶函数；（2）()y f x =的图象关于1x =对称；（3）2T =为()y f x =的一个周期，如果将上面（1）（2）（3）中的任意两个座位条件，余下一个座位结论，那么构成的三个命题中真命题的个数有 个
二、解答题：
19、作出由关系式log 3x y =所确定的函数()y f x =的大致图象。
20、分别求实数a 的取值范围，使关于x 的方程()log 22x a x +=有唯一解、两解、无解。
21、设函数()()
()()()()()f x f x g x F x g x f x g x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，其中()()2
22log (1),log (7)f x x g x x =+=+。
（1）在实数集R 上用分段函数形式写出函数()F x 的解析式；
（2）求函数()F x 的最小值。