组合数学漫谈
生命科学中的组合数学和统计学
生命科学中的组合数学和统计学生命科学一直是一个综合性学科，它包括了分子生物学、细胞生物学、发育生物学、神经生物学、遗传学、生理学、生态学等多个分支。
这些分支之间相互影响，彼此依存，组合数学和统计学在这个学科中具有重要的作用。
组合数学在生命科学中的应用组合数学是一门研究离散数学的数学学科，它主要研究如何从一些给定对象中选出若干个对象的问题。
在生物学中，许多问题可以转换成这种形式的问题。
比如，从一群细胞中选出一些细胞，进行研究，就是一个组合数学问题。
在生命科学中，组合数学的应用十分广泛。
比如，在遗传学中，我们需要从若干种基因中选出若干条，组合成一条新的基因，这就是一个典型的组合数学问题。
再比如，在生态学中，我们需要从一个生态系统中选出若干个物种，研究它们之间的关系，也是一个组合数学问题。
此外，组合数学还可以应用于分析蛋白质序列、分析基因组序列、研究生态系统中的物种多样性等问题。
组合数学的应用丰富多彩，为理解生物学现象提供了重要的数学工具。
统计学在生命科学中的应用统计学是一门研究随机现象规律的学科，它主要研究如何从数据中提取有用信息的方法。
在生命科学中，统计学是一门必不可少的学科。
在生物学中，我们有许多数据需要分析。
比如，在遗传学中，我们需要比较不同组织或个体之间基因的表达量差异。
在生态学中，我们需要分析不同物种在一个生态系统中的数量变化以及它们之间的相互关系等。
这些问题都需要使用统计学方法进行分析。
统计学的应用在生命科学中也非常广泛，比如，在蛋白质结构预测中，我们可以使用统计学方法分析蛋白质序列数据。
在生物信息学中，我们可以使用统计学方法分析基因组序列数据。
统计学的应用涉及生命科学的多个领域，为我们理解生物学规律提供了有力的支持。
组合数学和统计学的联合应用组合数学和统计学在生命科学中的应用是密不可分的。
有时候，仅依靠组合数学或统计学是不足够的，我们需要将两者结合起来，进行联合应用。
比如，在生态学中，我们需要分析不同物种在一个生态系统中的数量变化以及它们之间的相互关系。
浅谈中学数学中的组合数学问题
浅谈中学数学中的组合数学问题【摘要】组合数学起源于数学游戏，但随着计算机的日益发展，组合数学已经在各个领域有了越来越广泛的应用。
本文主要介绍了组合数学的几个重要原理在中学数学中的应用。
【关键词】中学数学；组合计数；抽屉原理1.证明某种现象的存在性在组合数学中，证明存在性主要运用抽屉原理。
抽屉原理：如果个物体被放进个抽屉，那么至少有一个抽屉包含两个或更多的物体。
应用抽屉原理的关键是构造出合适的抽屉，请看下面两个例子：例1.从1～98的自然数中，任意取出50个数，证明其中一定有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍。
分析：因为要取出50个数，所以抽屉的个数要少于50个，并且同一个抽屉内的任意两个数要满足性质“其中一个是另外一个的整数倍”。
证明：因为任何一个正整数都能表示成一个奇数乘以2的形式（其中n为），并且这种表示是唯一的。
所以我们可以把1～98的正整数分成如下49个抽屉：（1）（2）（3）（4）（5）（25）（26）（49）这样，我们就可以将1～98的正整数无重复、无遗漏地放进这49个抽屉内了。
从这98个数中任取50个数，也即将50个物体放入49个抽屉中，根据抽屉原理，其中必定至少有两个物体放入了同一个抽屉，也就是说，其中必定至少有两个数是从同一抽屉中取出的。
从抽屉的构造容易看出，这两个数中的一个是另一个的整数倍。
例2.证明，在整数数列中，可以找出若干个连续的数（允许），它们的和可被10整除。
分析：任意整数除以10所得的余数只有这10种可能。
若两个整数除以10得到相同的余数，则这两个整数的差可被10整除。
由此想到用模10的剩余类来构造抽屉。
证明：作如下数列：若这10个整数中至少有一个能被10整除，则结论成立。
否则，设上述数列中没有一个能被10整除，于是，当我们将它们分到模10的剩余类中去时，它们只能进入以下9个类：可是数列中有10个整数，由抽屉原理，数列中至少有两个数属于同一类，从而这两个数的差可被10整除，不妨设与属于同一剩余类，其中，则可被10整除。
组合数学-浅谈组合数学与计算机科学
浅谈组合数学与计算机科学摘要：组合数学，又称为离散数学，是一门研究离散对象的科学。
组合数学是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支，随着计算机科学的日益发展，组合数学的重要性也日渐凸显。
关键词：组合数学计算机欧拉回路Abstract: The combination of mathematics, also known as discrete mathematics, is a study of discrete objects. A combination of computer mathematics is a branch of mathematics developed rapidly since, with the increasing importance of the development of computer science, combinatorial mathematics has become more prominent.Key words: Combinatorics Computer Euler circuit1.组合数学简述组合数学是一门古老而又新兴的数学分支。
我国古人早在《河图》、《洛书》中已对一些有趣的组合问题给出了正确的解答。
近代随着计算机的出现,组合数学这门学科得到了迅猛的发展,成为了一个重要的数学分支。
组合数学的发展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面。
组合数学主要研究符合一定条件的组态对象、计数及构造等方面的问题。
离散构形问题是组合数学的主要研究内容，主要包括：①构形构形的存在性问题；②构形的构造性问题；③构形的计数问题；④构形的最优化问题。
现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对象的，如分析、方程等; 另一类就是研究离散对象的组合数学。
组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科中也有重要的应用，如在计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。
组合数学知识点总结
组合数学知识点总结组合数学是一门研究离散对象的计数、排列、组合和优化等问题的数学分支。
它在计算机科学、统计学、物理学、化学等众多领域都有着广泛的应用。
下面我们来详细总结一下组合数学的一些重要知识点。
一、基本计数原理1、加法原理如果完成一件事情有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn种不同的方法。
2、乘法原理如果完成一件事情需要 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝m1 × m2 × … × mn 种不同的方法。
这两个原理是组合数学中最基本的原理，许多计数问题都可以通过这两个原理来解决。
二、排列与组合1、排列从 n 个不同元素中取出 m（m ≤ n）个元素的排列数，记为 A(n, m)，其计算公式为：A(n, m) ＝ n! ／（n m)！例如，从 5 个不同的元素中取出 3 个元素进行排列，排列数为 A(5, 3) ＝ 5! ／（5 3)！＝ 602、组合从 n 个不同元素中取出 m（m ≤ n）个元素的组合数，记为 C(n, m)，其计算公式为：C(n, m) ＝ n! ／ m! （n m)！例如，从 5 个不同的元素中取出 3 个元素的组合数为 C(5, 3) ＝ 5!／ 3! （5 3)！＝ 10组合与排列的区别在于，排列考虑元素的顺序，而组合不考虑元素的顺序。
三、容斥原理容斥原理用于计算多个集合的并集中元素的个数。
设A1, A2, …， An 是有限集合，其元素个数分别为｜A1|，｜A2|，…，｜An|，则它们的并集的元素个数为：｜A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An| ＝∑｜Ai| ∑｜Ai ∩ Aj| ＋∑｜Ai ∩ Aj ∩Ak| … ＋（－1)＾（n 1) ｜A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An|容斥原理在解决包含与排除问题时非常有用。
组合数学漫谈
Ramsey理论的哲理意义
完全的无序是不可能的(Complete disorder is impossible)。 任一足够大的结构中必定包含一个给定大小的规则子结构。 无序无意的行为产生了有规律的后果，发人深思耐人寻味。 古人在满天的星斗中发现野兽和众神群集于天空的图形，以 为是造物主的杰作。但根据Ramsey 定理，只要随机分布的 星星数目足够多，就可以描绘出各种图形的轮廓。 1994年Statistical Science的一篇论文利用统计方法证明： 圣经隐藏了许多讯息，而这些讯息是有意安排的，绝非文字 排列偶然造成的。 1997 年Michael Drosnin的《The Bible Code 》通过计算机扫读圣经中的304805个字母，发现圣经 密码当中传达的讯息除了拉宾被刺杀外，还包括美国肯尼迪 和林肯两位总统，以及印度总理甘地遇刺的事件，日本神户、 美国旧金山的大地震、世界末日与广岛原子弹轰炸等，种种 过去与未来发生的大事件。
中国的组合数学
河图洛书九宫图
易曰：河出图，洛出书，圣人则之。河图洛书是最早的幻方。 “二、九、四；七、五、三；六、一、八” ----《大戴礼记明堂》 《黄帝内经灵枢》的《九宫八风》篇。 “九宫者，即二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央 ” ----(汉)徐岳撰 (北周)甄鸾注 杨辉《续古摘奇算法》(1275)进一步给出了四阶幻方构造方法。此外， 他还构造出了五阶、六阶、七阶、八阶、九阶和十阶幻方(百子图 )。
离散数学(Discrete mathematics)是研究离散量的结构及其相互 离散数学 是研究离散量的结构及其相互 关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。它在各学科领域， 关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。它在各学科领域， 特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用， 计算机科学与技术领域有着广泛的应用 特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也 计算机专业的许多专业课程 的许多专业课程， 程序设计语言、数据结构、 是计算机专业的许多专业课程，如程序设计语言、数据结构、操 作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、 作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论 计算机科学基础等必不可少的先行课程。通过离散数学的学习， 计算机科学基础等必不可少的先行课程。通过离散数学的学习， 不但可以掌握处理离散结构的描述工具和方法， 离散结构的描述工具和方法 不但可以掌握处理离散结构的描述工具和方法，为后续课程的学 习创造条件，而且可以提高抽象思维和严格的逻辑推理能力， 习创造条件，而且可以提高抽象思维和严格的逻辑推理能力，为 将来参与创新性的研究和开发工作打下坚实的基础。 将来参与创新性的研究和开发工作打下坚实的基础。 随着信息时代的到来，工业革命时代以微积分为代表的连续 随着信息时代的到来，工业革命时代以微积分为代表的连续 微积分 数学占主流的地位已经发生了变化， 数学占主流的地位已经发生了变化，离散数学的重要性逐渐被人 们认识。离散数学课程所传授的思想和方法， 们认识。离散数学课程所传授的思想和方法，广泛地体现在计算 机科学技术及相关专业的诸领域，从科学计算到信息处理， 机科学技术及相关专业的诸领域，从科学计算到信息处理，从理 论计算机科学到计算机应用技术，从计算机软件到计算机硬件， 论计算机科学到计算机应用技术，从计算机软件到计算机硬件， 从人工智能到认知系统，无不与离散数学密切相关。 从人工智能到认知系统，无不与离散数学密切相关。
初见组合数理及其应用
初见组合数理及其应用组合数学是数学中的一门重要学科，涉及到离散的、有限的、不相关的对象的研究。
它的理论基础和方法在现代数学和应用中具有广泛的应用。
本文将介绍组合数理的基本概念、方法和应用领域。
一、基础概念组合数学的基础概念主要包括组合、排列和选择。
1.1 组合在组合数学中，组合是指从给定的n个不同元素中选取k个元素的方式数目，记作C(n,k)。
组合数的计算公式为：C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)其中，n!表示n的阶乘，即n! = n*(n-1)*(n-2)*...*2*1。
1.2 排列排列是指从给定的n个不同元素中选取k个元素并按照一定顺序排列的方式数目，记作P(n,k)。
排列数的计算公式为：P(n,k) = n! / (n-k)!1.3 选择选择是指从给定的n个不同元素中选取0个或多个元素的方式数目，记作2^n。
二、常用组合数理方法组合数学包含一系列常用的方法，常见的有容斥原理、递推关系、生成函数和图论等。
2.1 容斥原理容斥原理是组合数学中一种计算交集和并集元素个数的方法。
它的核心思想是通过相减来排除重复计数。
容斥原理在概率论、数论和组合优化等领域有广泛的应用。
2.2 递推关系递推关系是指通过已知的初始条件和递推公式来计算组合数的方法。
常见的递推关系有杨辉三角形和斯特林数。
递推关系在组合计数和计算复杂度等方面有重要的应用。
2.3 生成函数生成函数是将数列表示为形式幂级数的方法，使得数列的运算可以转化为幂级数的运算。
生成函数常用于求解组合数学中的递推关系、计数问题和概率问题等。
2.4 图论图论是组合数学的一个重要分支，研究由结点和边构成的图的性质和关系。
图论在计算机科学、网络分析和运筹学等领域有广泛的应用。
三、组合数学的应用领域组合数学作为一门基础学科，广泛应用于各个领域。
3.1 计算机科学在计算机科学中，组合数学的方法和思想被广泛用于算法设计、图像处理、密码学和数据压缩等领域。
第一周 漫谈组合数学
组合数学的历史
1666年莱布尼兹所著《论
组合的艺术》一书问世，
这是组合数学的第一部专 戈特弗里德·威廉·莱布尼茨
著。书中首次使用了组合
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646年－1716年），德国哲学
论（Combinatorics）一词。
家、数学家。涉及的领域及法 学、力学、光学、语言学等40
1 漫谈组合数学
1-0 什么是组合数学？
组合数学 Combinatorics
清华大学 马昱春
1
离散数学(目录)
离散数学（第五版）
作者： 耿素云，张立昂 编著 第1章 命题逻辑 第2章 一阶逻辑 第3章 集合的基本概念和运算 第4章 二元关系和函数 第5章 图的基本概念 第6章 特殊的图 第7章 树 第8章 组合分析初步
• 10×10×10×10=10000 如果连接的点数不到 6 个的话，
密码可能个数：1624 + 7152 = 8776 个
31
前言
• 组合数学的历史渊源扎根于数学娱乐和游戏之中，过去的研究往 往出于消遣或者美学的考虑。
• 组合数学的蓬勃发展则是在计算机问世和普遍应用之后。
– 程序的基础往往是求解问题的组合数学算法 – 算法的运行时间效率和存储需求分析都需要组合数学的思想。 – 过去研究过的许多问题如今在研究和应用中具有高度的重要性。 – 广泛应用在社会科学，生物科学，信息论等。
A magic square: a square array of numbers in which the sum of all rows, all columns and both diagonals is the same.
492 357
组合数学的意义
组合数学的意义什么是组合数学：组合数学是数学的一个分支，研究集合中元素的排列组合问题。
组合数学是一门研究集合中元素排列组合问题的学科。
它主要关注的是在有限的集合中选择不同的元素排列组合的可能性数量。
这种关注点使得组合数学在许多其他数学领域中都有着重要的应用。
组合数学的研究内容主要包括：组合、组合数、生成函数、组合恒等式、组合递推式、组合构造等。
这些概念和方法都是组合数学中非常重要的工具，被广泛应用在许多其他领域。
组合数学在数学中有着重要的地位，它是许多其他数学领域的基础，如代数、几何、概率等。
在其他学科领域中，组合数学也有着广泛的应用，如计算机科学、物理学、生物学等。
组合数学的发展可以追溯到古代希腊时期，随着数学和其他学科的发展，组合数学也不断发展壮大。
现在，组合数学已经成为一门广泛应用的学科，在许多领域中都有着重要的地位。
组合数学在数学中的重要性：组合数学是许多数学领域的基础，如代数、几何、概率等。
组合数学是许多数学领域的基础，它为其他领域提供了重要的理论支持。
其中最重要的领域之一就是代数学。
组合数学为代数学提供了重要的工具，如组合数学中的生成函数在代数学中有着重要的应用。
几何学也是受益于组合数学的领域之一。
组合数学中的概率组合方法和生成函数等工具在几何学中有着广泛的应用。
比如，在几何学中研究多面体的组合问题，就需要借助组合数学中的组合数来计算。
概率论也是组合数学的重要应用领域之一。
组合数学中的概率组合方法为概率论提供了重要的理论基础。
比如二项分布、随机排列等，都是组合数学中的重要概念。
总之，组合数学是许多数学领域的基础，它为这些领域提供了重要的理论支持和工具。
组合数学的研究不仅有助于深入理解其他数学领域，而且在实际应用中也有着广泛的意义。
组合数学在其他学科中的应用：组合数学在计算机科学、物理学、生物学等学科中有重要应用。
组合数学在其他学科中有着重要的应用。
其中最重要的应用之一就是在计算机科学领域。
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Stomachion
Archimedes(287? -212 B.C.)在计算把14条不规则 的纸带拼成正方形有多少种不同的拼法。 Bill Cutler （2003）：答案是17152=536x32
Königsberg七桥问题 七桥问题
Pregel河横穿Königsberg城，河上建有七座桥 ，能 否设计散步路线，走过所有七座桥，每座桥恰好经 过一次而回到同一地点？
Ramsey定理
Ramsey（1930)： 给定任意 正整数p和q，总存在一个最小 正整数R(p,q)，使ห้องสมุดไป่ตู้R(p,q)个人 中，或者有 p 个人互相认识， 或者有 q 个人互不相识。 只要人数足够多，则互相认识 的人会越来越多，或互不相识 的人会越来越多。
Ramsey(1903-1930)
Ramsey数R(p,q)
最精美的组合定理
Rota：如果在 组合学中仅举出 一个精美的定理， 那么大多数组合 学家会提名 Ramsey定理。
1984年Wolf奖得主Erdös 1997年Fulkerson奖得主Kim 1998年Fields奖得主Gowers 1999年Wolf奖得主Lovasz 2003年Steele奖得主Graham 2005年Gödel奖得主Alon 2006年Fields奖得主Tao 均对Ramsey理论有杰出贡献
Euler猜想
Euler(1779)：不存在4t+2阶正交拉丁方？ Tarry(1900)：不存在6阶正交拉丁方！ 存在10阶正交拉丁方！ Bose, Shrikhande和Parker(1960)： 当t>2时，存在4t+2阶正交拉丁方！ 首次数学上了The New York Times的头版！
Ramsey数的计算
Ramsey数的计算是对人类智力 的挑战！例如R(4,5)=25 (1993年计算机11年的计算量) Erdös用如下比喻说明其困难程 度：一伙外星人入侵地球，要 求一年内求得R(5,5)，否则将 灭绝人类！那么也许人类能集 中所有计算机和专家来求出它 以自保；但如果外星人问的是 R(6,6) ，那么人类将别无选择， 只能拼死一战了。
Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat ABC ADH AEM AFI AGL AJN AKO DEF BEK BHN BLO BDJ BIM BFG GHI CIO CGK CHJ CFM CEL CDN JKL FLN DIL DKM EHO DOG EIJ MNO GJM FJO EGN IKN FHK HLM
中国的组合数学
河图洛书九宫图
易曰：河出图，洛出书，圣人则之。河图洛书是最早的幻方。 “二、九、四；七、五、三；六、一、八” ----《大戴礼记·明堂》 《黄帝内经·灵枢》的《九宫八风》篇。 “九宫者，即二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央 ” ----(汉)徐岳撰 (北周)甄鸾注 杨辉《续古摘奇算法》(1275)进一步给出了四阶幻方构造方法。此外， 他还构造出了五阶、六阶、七阶、八阶、九阶和十阶幻方(百子图 )。
Euler环游（一笔画）
Euler于1736年给以否定： 图有这样的路线当且仅当 每个点连接偶数条边。 图论的起源
三十六军官问题
普鲁士腓特烈大帝在一次检阅中要求： 从不同的6个军团各选6种不同军衔的6名军官 共36人，排成一个6行6列的方队，使得各行 各列的6名军官恰好来自不同的军团而且军衔 各不相同。 Euler（1779）：办不到! 但末能给出严格的证明 。
Kirkman三元系
Kirkman三元系：把v个女学生分成v/3组，使 得在每(v－1)/2天内任意两个女生在同一组内 只相遇一次。 Ray-Chaudhuri 和Wilson （1971）： Kirkman三元系存在的充要条件是v=6k+3
相识问题
AMM (1958):任何六人中必有三人彼此相识或互不相识。 以点表人，连红线表相识，蓝线表不相识。那么六个点的 完全图里或有红三角形或有蓝三角形。五个点的则不然。
源出于游戏受惠于数学落脚于应用
“Kirkman女生问题”引出组合数学的一个重要分 支—组合设计。对这些数学游戏，一旦当人们认识 到它们在数学和其他科学上的深刻含义后，便又促 使人们对它进行更深入的研究，从而丰富了数学学 科的内容和知识。该问题就是最典型的组合设计问 题。其本质就是如何将一个集合中的元素组合成一 定的子集系以满足一定的要求。表面上看来， Kirkman女生问题是纯粹的数学游戏，然而它的解 却在医药试验设计上有很广泛的运用。德国组合数 学家利用组合设计的方法研究药物结构，为制药公 司节省了大量的费用。在美国也有专门的公司用组 合设计的方法开发软件，来解决工业界中的试验设 计问题。
组合数学漫谈
王毅 大连理工大学数学科学学院
要点
组合数学的问题 组合数学的内容 组合数学的应用 中国的组合数学 其它
组合数学的问题
组合数学概述
组合数学Combinatorial Mathematics 也称组合分析Combinatorial Analysis、 组合论Combinatorial Theory、 组合学Combinatorics， 或 离散数学Discrete Mathematics 1666年Leibniz著《Dissertatio de arte combinatoria》,首次使用了组合一词。
组合数学的应用
应用促进理论发展
36个军官问题这个纯粹来自智力游戏的题目孕育着 艰深的数学问题 。Euler猜想直到二十世纪中叶才 获得解决，有两个原因：一是理论上的准备。这类 问题用初等方法很难解决，二十世纪代数和几何的 发展为解决问题提供了必要工具（如Galois域上的 射影几何即有限几何等）；二是生产实际的推动。 数理统计学家Fisher将正交拉丁方用于试验设计， 例如，用二种原料合成某染料，每种原料有3个水 平，怎样安排试验能使每种原料的各种水平各碰一 次？这正好是3阶的正交拉丁方阵问题。 Fisher的 试验设计是一股巨大的推动力量，把一种数学游戏 变成了节约人力物力的具有重大价值的科学方法。
拉丁方阵与正交拉丁方阵 拉丁方阵与正交拉丁方阵
每名军官对应一个有序对（军团，军衔） 以9名军官为例：
军团阵列 军衔阵列 并置阵列
（正交拉丁方阵） 正交拉丁方阵） （拉丁方阵）（拉丁方阵） 拉丁方阵）（拉丁方阵） ）（拉丁方阵
1 2 3 1 2 3 (1,1) (2,2) (3,3) 3 1 2 + 2 3 1 ⇒ (3,2) (1,3) (2,1) 2 3 1 3 1 2 (2,3) (3,1) (1,2)
组合分析 代数组合 极值集论 图 论 组合设计 组合优化 组合算法
MSC2010
2010 Mathematics Subject Classification 05 Combinatorics 05-XX COMBINATORICS 05Axx Enumerative combinatorics 05Bxx Designs and configurations 05Cxx Graph theory 05Dxx Extremal combinatorics 05Exx Algebraic combinatorics
连续与离散
现代数学根据所研究的对象可分为两类： 连续数学：以微积分为基础，传统主流 (工业革命时代) ｛｝ 离散数学：伴随计算机科学，方兴未艾 (信息科学时代)
阿基米德宝盒
左上图为一份用希腊文写在羊皮纸上的 Archimedes手稿“Stomachion”的副本, 它考虑的是现在名为“tiling”的组合问题.
四 九 三 五 八 一
二 七 六
幻方的转播
12世纪的阿拉伯文献 里有六阶幻方的记载 印度12-13世纪时的 Jaina幻方（右下） 西方最早的幻方出现 在德国Dürer 1514年 的名画”忧郁者”中。 1977年美国旅行者1 号和2号宇宙飞船带 去Jaina幻方。
杨辉三角
杨辉（南宋）著《详解 九章算法》(1261年)中 曾引贾宪（北宋）的 “开方作法本源”图。 杨辉在承上启下、数学 教育方面有突出贡献。 Pascal三角(1654年)可 上溯至1537年
已知的R(p,q)
p,q 3 4 5 6 7 8 9 3 6 4 9 18 5 14 25 43–49 6 18 35–41 58–87 102–165 7 23 49–61 80–143 113–298 205–540 8 28 56–84 101–216 127–495 216–1031 282–1870 9 36 73–115 125–316 169–780 233–1713 317–3583 565–6588
Ramsey理论的哲理意义
完全的无序是不可能的(Complete disorder is impossible)。 任一足够大的结构中必定包含一个给定大小的规则子结构。 无序无意的行为产生了有规律的后果，发人深思耐人寻味。 古人在满天的星斗中发现野兽和众神群集于天空的图形，以 为是造物主的杰作。但根据Ramsey 定理，只要随机分布的 星星数目足够多，就可以描绘出各种图形的轮廓。 1994年Statistical Science的一篇论文利用统计方法证明： 圣经隐藏了许多讯息，而这些讯息是有意安排的，绝非文字 排列偶然造成的。 1997 年Michael Drosnin的《The Bible Code 》通过计算机扫读圣经中的304805个字母，发现圣经 密码当中传达的讯息除了拉宾被刺杀外，还包括美国肯尼迪 和林肯两位总统，以及印度总理甘地遇刺的事件，日本神户、 美国旧金山的大地震、世界末日与广岛原子弹轰炸等，种种 过去与未来发生的大事件。
组合数学的内容
组合数学的研究内容
组合数学研究的中心问题是按照一定的要求来安排 一些事物。包括 1.可行性：满足给定条件的安排是否存在？ 2.计数：求出所有安排的总数或分类。 3.设计：把满足给定条件的安排构造出来。 4.优化：找出满足给定条件的最优安排。 5. 算法：实现安排的具体方法。