由“测电源电动势和内阻”的实验学会用图像处理问题的方法
测电源电动势和内阻实验报告(附详图示)
测电源电动势和内阻实验报告（附详图示）电源（以干电池为例）是一种可以长时间稳定释放电能的装置。
在高中，有一个专门测呈电源电动势E和内阻r的实验，有很多方法，但是无外乎要利用“闭合电路欧姆定律"，写出关于E和r的方程，根据测量数据画图象得。
“测量电源电动势和内阻"的实验，主要训练用"图象”处理数据的方法。
'‘图象法" 处理数据：①写岀函数表达式②用换元法将①中的表达式整理成“一次函数” 一一y=kχ+b③确定y 轴、X轴④记录多组数据，列表，画出图象⑤利用图象中的斜率k, 截距b,求出相未知量“图象法”处理数据的重中之重是：第②点用换元法将①中的表达式整理成“一次函数” 一一y=kx+b下面我们就来体会一下如何将一个复杂的表达式整理成"一次函数"一一y=kx÷b的形式！写岀闭合电路欧姆定律：注意：表达式中应该有“测量”呈U和I ,并且应该有电源的电动势E和内阻r oU=E-Ir还好这个方程无需整理，就是一个''一次函数J并且四个物理呈都在，图象如下图:其中纵截距b=E,斜率-k=r 例2：写岀闭合电路欧姆定律:变形变形二:原来一个表达式还可以有多重变形！，画岀多种一次函数图象! 例3：E= I (Λ+r)r -Er-E÷/?1 -E1 -flsllms■■■■■■■■f写岀闭合电路欧姆定律:UU + R r 变形一:变形二:下面来做几道练习题，熟练一下:练习1：莊测定一组干电池的电动势和内阻的实 验中，备有下列器材：A. 电流传威器1B. 电流传感器2C. 定值电阻R Q (3 fell)D. 滑动变阻活QO~20Q)E. 幵关和导线若干某同学发现上述器材中没有电耳传威器 ,偃给出了两个电流传毆器，于是他役 计了如Ig 甲所示的电路来完威实脸。
(1) 该同学利用测出的实验教据作出的“血图线％为电流传感器1的示救，/2 为电流传感器2的示孜，且斤 远小于々) 伙口闺乙所■示，则由窗线可得被测电:也的 电云力势E= _____ 7、內阻/•= _____________ —H o(2) 若将阖线的纠#由改为 __________________ ,贝M∣3线与纠荊交点的彬理命义即为被测电 :也电动势的大小。
测电源电动势与内阻的实验方法及数据处理探讨
攻读硕士学位研究生试卷（作业）封面（2013至2014学年度第二学期）题 目 测电源电动势与内阻的实验方法及数据处理探讨 科 目 物理实验教学 姓 名 刘立宏 专 业 学科教学（物理） 入学年月 2013.9 简短评语成绩：授课教师签字：测电源电动势与内阻实验方法及数据处理探讨测量电源电动势和内阻实验是高中物理选修3—1中的内容，也是高中物理实验中比较重要的内容，高考实验每年对这一部分的考察出现的几率也比较大，其中实验测得的数据进行数据绘图，并通过绘图求出各个物理量之间的关系、求出未知物理量的题目也常常出现，这里利用在实验室测得的实验数据，同时讨论了几种不同的测量方法，并对产生误差的原因进行了简要的分析。
并利用Excel 作图，大大节省了利用手工作图的时间，也使得图像更加清楚，结果更加准确，并能直接得出各个物理量之间的关系。
一、电源电动势和内阻的测量 （一）U,I 图像及结果探讨 1.电流表内接法： 实验电路图：测量原理：由闭合电路的欧姆定功率，r I U E +=，变形得：E I U +-=r 从而得出了因变量U 与变量I 之间的函数关系，可看出两者成线性关系。
利用伏安法并利用电流表内接法（相对于电源）对电源电动势和内阻进行测量，以下是测得的实验数据：图1：内接法测电源电动势内阻（1）电源端电压：2.10V （无负载） 电源内阻r:3.2～6.3（Ω） I/A0.150.180.220.240.320.40U/V1.511.421.301.220.900.60将测得的数据利用Excel 处理，得到路端电压与电流的 关系图，从图2中可看出它们 成线性关系。
并得出电源电动 势为2.07V ，电源内阻为3.66Ω。
2.电流表外接法：实验电路图： 测量原理：同上利用伏安法并利用电流表外接法（相对于电源）对电源电动势和内阻进行测量，以下是测得的实验数据： 电源端电压：2.10V（无负载） 电源内阻r:3.2～ 6.3（Ω） I/A0.020.080.140.200.280.340.400.460.520.58U/V2.00108010601.401.201.000.080.600.400.20将测得的数据利用Excel 处理，得到路端电压与电流的 关系图，从图4中可看出它们 成线性关系。
用图象法处理《 测定电源电动势和内阻》 实验数据的几种类型
用图象法处理《测定电源电动势和内阻》实验数据的几种类型周志文《测定电源电动势和内阻》实验是电学的重要实验之一，是高考命题的热点内容， 2006年江苏卷、2006年广东卷、2006年天津卷、2007年四川卷均对利用图象处理实验数据作过考查。
用图象法处理数据具有直观、误差小等优点，现将其几种常见类型总结如下。
一、U —I 图象原理：如图1所示，在用电流表和电压表测量电源电动势和内阻的实验中，改变滑动变阻器R 接入电路的阻值，从电流表和电压表读出几组I 、U 的数值，通过多次测量作出如图2所示的实线。
由闭合电路的欧姆定律U=E-Ir 可知，当I=0时，U=E ，即图线与U 轴的交点为电源的电动势。
当U=0时的电流为短路电流I 短=E/r ，图线的斜率r I E I U ==∆∆=短αtan ，斜率为电源的内阻r 。
例1：下面是在测某电池的电动势和内电阻的实验中记录的六组数据．请在直角坐标系U(V) 1.37 1.32 1.24 1.18 1.10 1.05I(A) 0.12 0.20 0.31 0.32 0.50 0.57偶然误差造成的，应舍去。
由图线与纵轴的交点坐标为电源的电动势可知E ＝1.46 V ，图线的斜率为电源的内阻，可知Ω=Ω--=∆∆=71.012.050.010.137.1I u r 。
二、I-I 图象原理：如图4所示，在用两块电流表测量电源电动势和内阻的实验中，改变滑动变阻器R 接入电路的阻值，记录两电流表多次测得的读数I 1、I 2，分别以I 1、I 2为纵坐标和横坐标，可作出如图5所示的一条倾斜直线。
由闭合电路的欧姆定律得E=I 1(r g +R 2)+(I 1+I 2)r ，变形得E=I 1(r g +R 2+r)+I 2r ，由于r g +R 2>>r ，故有2221E I I R r r R r g g +-+=，I 1与I 2为一次函数关系，该直线在纵坐标I 1上的截矩表示2E R r g +，直线的斜率为2R r r g +，通过具体数据可求得电源电动势E 和内阻r 。
用图象法处理《测定电源电动势和内阻》
用图象法处理《测定电源电动势和内阻》一、U —I 图象原理：如图1，由闭合电路的欧姆定律U=E-Ir 可知，当I=0时，U=E ，即图线与U 轴的交点为电源的电动势。
当U=0时的电流为短路电流I 短=E/r ，图线的斜率r I E I U ==∆∆=短αtan ，斜率为电源的内阻r 。
例1：下面是在测某电池的电动势和内电阻的实验中记录的六组数据．请在直角坐标系中画出U －I 图，并根据图象算出待测电池的电动势和内电阻。
U(V) 1.37 1.32 1.24 1.18 1.10 1.05I(A) 0.12 0.20 0.31 0.32 0.50 0.57二、I-I 图象原理：如图4，在用两块电流表测量电源电动势和内阻的实验中可作出如图5一条倾斜直线。
由于r g +R 2>>r ，故有2221E I I R r r R r g g +-+=，I 1与I 2为一次函数关系，该直线在纵坐标I 1上的截矩表示2E R r g +，直线的斜率为2R r r g +。
例2：在测定一节干电池的电动势和内电阻的实验中，备有下列器材：A ．干电池(电动势E 约1.5V ，内电阻r 小于1.5Ω)B ．电流表G(满偏电流3mA ，内阻R g =10Ω)C ．电流表A(0～0.6A ，内阻约为0.1Ω)D ．滑动变阻器R 1(0～20，10A)E ．滑动变阻器R 2(0～100，1A)F ．定值电阻R 3=990ΩG ．开关，导线若干①小明同学选用上述器材（滑动变阻器只选用了一个）测定一节干电池的电动势和内电阻。
为了能较为准确地进行测量和操作方便，实验中选用的滑动变阻器，应是 。
（填代号）②请在方框中画出他的实验电路图。
③图7为小明根据实验数据作出的I 1—I 2图线（I 1为电流表G 的示数，I 2为电流表A 的示数），由该图线可得：被测干电池的电动势E= V ，内电阻r= Ω。
解：（1）D ；(2) （3）E=1.47V ，r =0.74Ω。
测电源电动势和内阻实验报告(附详图示)
电源（以干电池为例）是一种可以长时间稳定释放电能的装置。在高中，有一个专门测量电源电动势E和内阻r的实验，有很多方法，但是无外乎要利用“闭合电路欧姆定律”，写出关于E和r的方程，根据测量数据画图象得。
“测量电源电动势和内阻”的实验，主要训练用“图象”处理数据的方法。“图象法”处理数据：①写出函数表达式②用换元法将①中的表达式整理成“一次函数”——y=kx+b③确定y轴、x轴④记录多组数据，列表，画出图象⑤利用图象中的斜率k，截距b，求出相未知量“图象法”处理数据的重中之重是：第②点用换元法将①中的表达式整理成“一次函数”——y=kx+b下面我们就来体会一下如何将一个复杂的表达式整理成“一次函数”——y=kx+b的形式！
原理与上图第一种方法相同。但是，同学们注意，此时，
由于电流表的“分压效应”，电压表测量的不再是电源的路端电压，要比其值偏小！
也就是说此时电压表、电流表测量的是“新电源”的路端电压和干路电流！接下来我们需要知道，“新电源”的电动势和内阻，此即为我们的测量值！
“等效内阻”的定义外电路短路时，等效电源的电动势除以干路电流即等效电源的内阻。我们将ab之间的外电路短路，如图：
此时，ab之间外电路的电流为，
由于电压表的分流效应，导致电流表测量值偏小，最终导致实验的测量值，电动势偏小内阻偏小还有另外一种实验电路，如图：
例1：
写出闭合电路欧姆定律：
注意：表达式中应该有“测量”量U和I，并且应该有电源的电动势E和内阻r。
还好这个方程无需整理，就是一个“一次函数”，并且四个物理量都在，图象如下图：
其中纵截距b=E，斜率-k=r
例2：
写出闭合电路欧姆定律：
变形一：
用图象方法分析测电源电动势和内电阻实验的系统误差
用图象方法分析测电源电动势和内电阻实验的系统误差河北省鸡泽县第一中学 许晟笠 057350用电流表和电压表测电源电动势和内电阻的实验是高中物理的一个重要实验，也是恒定电流一章的难点。
同学们对教材中所给的测量电路图体会不深，认为把电流表放在干路中（如图1所示）和放在滑动变阻器的支路中（如图2所示）效果是一样的。
下面我们从两种实验方法所产生的系统误差用图象方法定性进行分析对于图1所示的电路：测出几组U 、I 值，然后在U-I 坐标系中描点并连线如图3中○1线所示。
直线○1与U 轴的交点表示电源电动势的测量值，直线○1斜率的绝对值表示内电阻的测量值。
由于电流表的分压作用，对于某一组具体的（1U '，1I '），电流表测得电流1I '就是通过电源的电流，而电源的路端电压比电压表测得的1U '略大，满足111A U U I R ''=+关系，可见I '越大，U U U '∆=-越大；I '越小，U U U '∆=-越小，特别的当0I '=时，0U U U '∆=-=。
对每一个点进行修正，每一个点的电流值不变，电压值适当调整变大，而且当电流值越大，对应的调整量也越大。
下面来证明经调整的点仍位于一条直线上（线形的）。
原来的点满足关系：U I r ε'''=- 经过修正的点满足关系A U U U I r I R ε''''=∆+=-+可见，U 和I '仍然是一次函数的关系，也就是说它们仍将位于同一条直线上。
把经过修正的点连接起来，如图中○2线所示。
这样直线○2与U 轴的交点表示电源电动势的真实值，图是偏大的。
图1图2 I 图 3 U对于图2所示的电路：测出几组U 、I 值，然后在U-I 坐标系中描点并连线如图4中○1线所示。
直线○1与U 轴的交点表示电源电动势的测量值，直线○1斜率的绝对值表示内电阻的测量值。
高中物理必修3闭合电路测定电源的电动势和内阻
测定电源的电动势和内阻【学习目标】1.掌握用电流表和电压表测定电源的电动势和内阻的方法.2.掌握用图象处理实验数据的方法.3.掌握实物图连接的技巧．1．实验原理(1)实验依据：闭合电路欧姆定律．(2)E 和r 的求解：由U ＝E －Ir 得U 1＝E －I 1rU 2＝E －I 2r，解得E 、r .(3)用作图法处理数据，如图所示．①图线与纵轴交点为E ；②图线与横轴交点为I 短＝Er ；③图线的斜率表示r ＝|ΔU ΔI|.2．实验器材电池、电压表、电流表、滑动变阻器、开关、导线、坐标纸和刻度尺．3．基本操作(1)电流表用0.6A 量程，电压表用3V 量程，按实验原理图连接好电路．(2)把变阻器的滑片移动到使阻值最大的一端．(3)闭合开关，调节变阻器，使电流表有明显示数并记录一组数据(I 1、U 1)．用同样的方法再测量几组I 、U 值．填入表格中．(4)断开开关，拆除电路，整理好器材．4．注意事项(1)为了使路端电压变化明显，可使用内阻较大的旧电池．(2)电流不要过大，应小于0.5A，读数要快．(3)要测出不少于6组的(U，I)数据，变化范围要大些．|确定．(4)若U－I图线纵轴刻度不从零开始，则图线和横轴的交点不再是短路电流，内阻应根据r＝|ΔUΔI (5)电流表要内接(因为r很小)．5．误差来源(1)偶然误差：用图象法求E和r时作图不准确．(2)系统误差：电压表分流.考点一对实验原理与操作的考查例1图甲是利用两个电流表和测量干电池电动势E和内阻r的电路原理图．图中S为开关，R为滑动变阻器，固定电阻R1的阻值和电流表的内阻之和为10000Ω(比r和滑动变阻器的总电阻都大得多)，为理想电流表．[来源学科网](1)按电路原理图在图乙虚线框内各实物图之间画出连线完成实物电路图．(2)在闭合开关S前，将滑动变阻器的滑动端c移动至____(填“a端”、“中央”或“b端”)．(3)闭合开关S，移动滑动变阻器的滑动端c至某一位置，读出电流表和的示数I1和I2.多次改变滑动端c的位置，得到的数据为I1/mA0.1200.1250.1300.1350.1400.145I2/mA48040032023214068在图丙所示的坐标纸上以I1为纵坐标、I2为横坐标画出所对应的I1—I2图线．(4)利用所得图线求得电源的电动势E＝________V，内阻r＝________Ω.(保留两位小数)(5)该电路中电源输出的短路电流I短＝________A.考点二对数据处理与图象应用的考查例2某中学生课外科技活动小组利用铜片、锌片和家乡盛产的柑橘制作了果汁电池，他们测量这种电池的电动势E 和内阻r ，并探究电极间距对E 和r 的影响．实验器材如图所示．图甲图乙①测量E 和r 的实验方案为：调节滑动变阻器，改变电源两端的电压U 和流过电源的电流I ，依据公式________，利用测量数据作出U －I 图象，得出E 和r .②将电压表视为理想表，要求避免电流表分压作用对测量结果的影响，请在图甲中用笔画线代替导线连接电路．③实验中依次减小铜片与锌片的间距，分别得到相应果汁电池的U －I 图象如图中(a )、(b )、(c )、(d )所示，由此可知：在该实验中，随电极间距的减小，电源电动势________(填“增大”、“减小”或“不变”)，电源内阻________(填“增大”、“减小”或“不变”)．创新实验设计测定电源的电动势和内阻的其他几种方法1．安阻法：用一个电流表和电阻箱测量，电路如图甲所示，测量原理为：E ＝I 1(R 1＋r )，E ＝I 2(R 2＋r )，由此可求出E 和r ，此种方法使测得的电动势无偏差，但内阻偏大．2．伏阻法：用一个电压表和电阻箱测量，电路如图乙所示，测量原理为：E ＝U 1＋U 1R 1r ，E ＝U 2＋U 2R 2r .由此可求出r 和E ，此种方法测得的电动势和内阻均偏小．3．伏伏法：用两个电压表可测得电源的电动势，电路如图丙所示．测量方法为：断开S ，测得V 1、V 2的示数分别为U 1、U 2，此时，E ＝U 1＋U 2＋U1R V r ，R V 为V 1的内阻；再闭合S ，V 1的示数为U 1′，此时E ＝U 1′＋U 1′R Vr ，解方程组可求得E 、r .图甲图乙图丙4．粗测法：用一只电压表粗测电动势，直接将电压表接在电源两端，所测值近似认为是电源的电动势，此时U ＝ER VR V ＋r≈E ，需满足R V ≫r .例3某同学要用电阻箱和电压表测量某水果电池组的电动势和内阻，考虑到水果电池组的内阻较大，为了提高实验的精确度，需要测量电压表的内阻．实验器材中恰好有一块零刻度在中央的双向电压表，该同学便充分利用这块电压表，设计了如图甲所示的实验电路，既能实现对该电压表的内阻的测量，又能利用该表完成水果电池组电动势和内阻的测量．他用到的实验器材有：待测水果电池组(电动势约4V ，内阻约50Ω)、双向电压表(量程为2V ，内阻约为2kΩ)、电阻箱(0～9999Ω)、滑动变阻器(0～200Ω)，一个单刀双掷开关及若干导线．(1)该同学按如图甲所示电路图连线后，首先测出了电压表的内阻．请完善测量电压表内阻的实验步骤：图甲图乙①将R 1的滑动触头滑至最左端，将S 拨向1位置，将电阻箱阻值调为0；②调节R 1的滑动触头，使电压表示数达到满偏；③保持__________不变，调节R 2，使电压表的示数达到________；④读出电阻箱的阻值，记为R 2，则电压表的内阻R V ＝________.(2)若测得电压表内阻为2kΩ，可分析此测量值应________真实值．(填“大于”、“等于”或“小于”)[来源学科网](3)接下来测量水果电池组的电动势和内阻，实验步骤如下：①将开关S 拨至________(填“1”或“2”)位置，将R 1的滑动触片移到最________端，不再移动；②调节电阻箱的阻值，使电压表的示数达到一个合适值，记录下电压表的示数和电阻箱的阻值；③重复步骤②，记录多组电压表的示数及对应的电阻箱的阻值．(4)若将电阻箱与电压表并联后的阻值记录为R ，作出1U －1R 图象，则可消除系统误差，如图乙所示，其中纵截距为b ，斜率为k ，则电动势的表达式为________，内阻的表达式为________．1．下列给出多种用伏安法测定电源电动势和内阻的数据处理方法，其中既能减小偶然误差，又直观、简便的方法是()A．测出两组I、U的数据，代入方程组E＝U1＋I1r和E＝U2＋I2r，求出E和rB．多测几组I、U的数据，求出几组E、r，最后分别求出其平均值C．测出多组I、U的数据，画出U—I图象，再根据图象求出E、rD．测出多组I、U的数据，分别求出I和U的平均值，用电压表测出断路时的路端电压即为电动势E，再用闭合电路欧姆定律求出内电阻r2．用电流表和电压表测干电池的电动势和内阻，提供的器材如图甲所示．(1)用笔画线代替导线把图甲所示的实物连接成测量电路．(两节干电池串联作为电源，图中有部分线路已连接好)(2)图乙中的6个点表示实验中测得的6组电流I、电压U的值，按照这些实验值作出U－I图线，由此图线求得的电源电动势E＝________V，内阻r＝________Ω.(结果保留小数点后两位数字)3．某班举行了一次物理实验操作技能比赛，其中一项比赛为用规定的电学元件设计合理的电路图，并能较准确地测量一电池组的电动势及其内阻．给定的器材如下：A．电流表G(满偏电流10mA，内阻10Ω)B．电流表A(0～0.6A～3A，内阻未知)C．滑动变阻器R0(0～100Ω，1A)D．定值电阻R(阻值990Ω)E．多用电表F．开关与导线若干(1)小刘同学首先用多用电表的直流10V挡粗略测量电池组的电动势，电表指针如图12所示，则该电表读数为________V.(2)该同学再用提供的其他实验器材，设计了如图甲所示的电路，请你按照电路图在图乙上完成实物连线．(3)图丙为该同学根据上述设计的实验电路利用测出的数据绘出的I1－I2图线(I1为电流表G的示数，I2为电流表A的示数)，则由图线可以得到被测电池组的电动势E＝________V，内阻r＝________Ω(保留2位有效数字)．4．小明要测量一电源的电动势E 和内阻r ，实验器材有：一只DIS 电流传感器(可视为理想电流表，测得的电流用I 表示)，一只电阻箱(阻值用R 表示)，一只开关和导线若干．该同学设计了如图甲所示的电路进行实验和采集数据．图甲图乙图丙(1)小明设计该实验的原理表达式是________(用E 、r 、I 、R 表示)；(2)小明在闭合开关之前，应先将电阻箱阻值调至________(选填“最大值”、“最小值”或“任意值”)，在实验过程中，将电阻箱调至如图乙所示位置，则此时电阻箱接入电路的阻值为________Ω；(3)小明根据实验采集到的数据作出如图丙所示的1I －R 图象，则由图象求得，该电源的电动势E ＝________V ，内阻r ＝________Ω(结果均保留两位有效数字)．5．根据闭合电路欧姆定律，用图甲所示电路可以测定电池的电动势和内电阻．图中R 0是定值电阻，通过改变R 的阻值，测出R 0两端的对应电压U 12，对所得的实验数据进行处理，就可以实现测量目的，根据实验数据在1U 12—R 坐标系中描出坐标点，如图乙所示．已知R 0＝150Ω，请完成以下数据分析和处理．图甲图乙(1)图乙中电阻为________Ω的数据点应剔除；(2)在坐标纸上画出1U 12—R 关系图线；(3)图线的斜率是________(V －1·Ω－1)，由此可得电池电动势E x ＝________V.一、关于“安阻法”和“伏阻法”的补充一、“安阻法”测E 和r 1．实验原理由E ＝IR ＋Ir 可知，只要能得到I 、R 的两组数据，列出关于E 、r 的两个方程，就能解出E 、r .2．实验器材旧干电池、开关、变阻箱、电流表，电路图如图所示．3．数据处理(1)计算法：由E ＝I 1(R 1＋r )和E ＝I 2(R 2＋r )可解出E 和r .(2)作图法：由E ＝I (R ＋r )得：1I ＝Er R E 1由此作出1I －R 图象，由斜率（E 1）和截距（Er ）可求出E 和r .二、“伏阻法”测E 和r 1．实验原理由E ＝U ＋UR r 知，如果能得到U 、R 的两组数据，列出关于E 、r 的两个方程，就能解出E 、r .2．实验器材旧干电池、开关、变阻箱、电压表，电路图如图所示．3．数据处理(1)计算法：由E ＝U 1＋U 1R 1r 和E ＝U 2＋U2R 2r 解方程组可求得E 和r .(2)作图法：由E ＝U ＋U R r 得：1U ＝r E ·1R ＋1E.作出1U －1R 图线，由图象的斜率（E r ）和截距（E1）可求得E 和r .二、关于系统误差的分析（老钟注：此项较难掌握，针对不同学生酌情使用）1、在数据处理的图像中（如丙图），U 为电源的中端电压，I 为通过电源的电流。
物理教案(新教材鲁科版)第十章电路及应用实验十一测量电源的电动势和内阻
实验十一 测量电源的电动势和内阻目标要求 1.理解测量电源电动势和内阻的实验原理——闭合电路欧姆定律.2.掌握用电流表和电压表测定电源的电动势和内阻的方法.3.掌握实物图连接的技巧.4.会用图像处理实验数据．考点一 伏安法测电源的电动势和内阻1．实验原理 闭合电路欧姆定律． 2．实验器材干电池、电压表、电流表、滑动变阻器、开关、导线、坐标纸和刻度尺． 3．实验步骤(1)电流表用 A 的量程，电压表用3 V 的量程，按图连接好电路．(2)把滑动变阻器的滑片移到接入电路阻值最大的一端．(3)闭合开关，调节滑动变阻器，使电流表有明显示数并记录一组数据(I 1，U 1)．用同样的方法再测量几组I 、U 值，填入表格中． (4)断开开关，拆除电路，整理好器材． 4．实验数据处理(1)列方程组⎩⎪⎨⎪⎧E ＝U 1＋I 1rE ＝U 2＋I 2r ，解出E 、r ，并多次测量求平均值．(2)用作图法处理数据，如图所示．①图线与纵轴交点为电源电动势E ；②图线斜率的绝对值为内阻r.5．误差分析(1)偶然误差：主要来源于电压表和电流表的读数以及作U－I图像时描点不准确．(2)系统误差：①若采用甲图电路方法a电压表的分流作用造成误差，电压值越大，电压表的分流越多，对应的I真与I测的差越大，I V＝UR V.其中U－I图像如图乙所示．结论：E测<E真，r测<r真．方法b等效电源法如图甲所示，E测＝R VR V＋rE真<E真，r测＝R V rR V＋r<r真．②若采用丙图电路方法a电流表的分压作用造成误差，电流越大，电流表分压越多，对应U真与U测的差越大，U A＝I·R A.其中U－I图像如图丁所示．结论：E测＝E真，r测>r真．方法b等效电源法如图丙所示，E测＝E真，r测＝r＋R A>r真．(3)电路选择：①电源内阻一般较小，选图甲电路误差较小．②当内阻已知时选图丙电路，此时r＝k－R A，没有系统误差．6．注意事项(1)为了使路端电压变化明显，可使用内阻较大的旧电池．(2)电流不要过大，应小于A，读数要快．(3)要测出不少于6组的(I，U)数据，变化范围要大些．(4)若U －I 图线纵轴刻度不从零开始，则图线和横轴的交点不再是短路电流，内阻应根据r ＝|ΔUΔI|确定． 例1 (2023·福建宁德市质检)小明同学尝试测量电瓶车上蓄电池的电动势和内阻，并探究滑动变阻器消耗的功率P .(1)已知电源内阻比较小，移动滑动变阻器滑片时，为了使电压表示数变化比较明显，小明在思考后将R 0＝7 Ω的定值电阻串入电路________(选填“A ”或“B ”)中，解决了问题．(2)选定设计的实验电路后，多次调节滑动变阻器R 的阻值，读出相应的电压表和电流表示数U 和I ，由测得的数据描绘出如图所示的U －I 图像．则蓄电池的内阻r 0＝________Ω，滑动变阻器R 消耗的最大功率为________W ．(结果均保留2位有效数字)(3)该同学分析了实验中由电表内阻引起的实验误差．下列图中，实线是根据本实验的数据描点作图得到的U －I 图像；虚线是该电源在没有电表内阻影响的理想情况下所对应的U －I 图像．则可能正确的是________．答案 (1)A (2) (3)C解析 (1)由闭合电路欧姆定律U ＝E －Ir 0可知U 值变化较小是由于r 0太小，串联电阻应置于干路，故选A.(2)加电阻后测量电路图为A 图，由闭合电路欧姆定律有U ＝E －I (r 0＋R 0)题图中图线的纵轴截距表示电动势E ＝ V ，斜率绝对值表示(r 0＋R 0)，图线斜率绝对值为k ＝ Ω＝r 0＋R 0，解得r 0＝ Ω.加电阻后，将R 0看作内阻的一部分，设r 1＝r 0＋R 0，则对于滑动变阻器的功率有P ＝E 2(R ＋r 1)2R ，整理得P ＝E 2(R －r 1)2R ＋4r 1，由该式可知，当滑动变阻器的阻值R＝r 1＝8 Ω时，滑动变阻器消耗的功率最大，代入数据，整理得P ＝62(8＋8)2×8 W ≈1.1 W(3)由电路图可知，由于电压表的分流作用，电流的测量值小于真实值，因此虚线在实线的上方，当电压表示数为零时，电流测量值与真实值相等，因此虚线与实线在I 轴相交，A 、B 、D 错误，C 正确．例2 (2023·湖南省长郡中学月考)某同学要测量“水果电池”的电动势和内阻，提供下列仪器：A ．待测“水果电池”(电动势E 约为4 V ，内阻r 约为200 Ω)B ．毫安表A(量程5 mA ，内阻为R A ＝60 Ω)C ．电压表V(量程U 0＝4 V ，内阻约5 kΩ)D ．电阻箱R 1(0～ Ω)E ．滑动变阻器R (0～1 000 Ω)F ．开关、导线若干．(1)由于毫安表的量程太小，该同学用电阻箱R 1与毫安表A 并联，可使其量程扩大，取R 1＝14R A ，则改装后的电流表量程为毫安表满偏电流的________倍；(2)用改装后的电流表完成实验，应该选择的实验电路是图中的________(选填“甲”或“乙”)；(3)根据实验数据画出U －I 图线，如图所示．由图线可得，“水果电池”的电动势E ＝____ V ，内电阻r ＝________ Ω.(保留三位有效数字)答案 (1)5 (2)乙 (3) 175解析 (1)设毫安表电流为I A ，由并联电路的规律可得I A R A ＝(I －I A )R 1，解得I ＝5I A ，因此改装后的电流表量程为毫安表满偏电流的5倍；(2)由于电流表内阻已知，因此采用题图乙电路可以避免电流表分压的误差，故选乙电路． (3)改装后电流表的内阻为R A ′＝R A R 1R A ＋R 1＝60×1560＋15 Ω＝12 Ω，则由闭合电路欧姆定律可得E＝Ir ＋IR A ′＋U ，转化可得U ＝－(r ＋R A ′)I ＋E由U －I 图像可得b ＝E ＝3.80 V ，|k |＝|－(r ＋R A ′)|＝错误! Ω，解得E ＝3.80 Ω，r ＝175 Ω.考点二 安阻法测电动势和内阻1．实验原理闭合电路的欧姆定律E ＝IR ＋Ir ，电路图如图所示．2．实验器材电池、电流表、电阻箱、开关、导线、坐标纸和刻度尺． 3．数据处理(1)计算法：由⎩⎪⎨⎪⎧E ＝I 1R 1＋I 1rE ＝I 2R 2＋I 2r解方程组求得E 、r .(2)图像法：由E ＝I (R ＋r )可得 ①1I ＝1E R ＋r E ，可作1I －R 图像(如图甲) 1I －R 图像的斜率k ＝1E ，纵轴截距为r E ②R ＝E ·1I －r ，可作R －1I 图像(如图乙)R －1I图像的斜率k ＝E ，纵轴截距为－r .4．误差分析(1)误差来源：电流表有电阻，导致内阻测量不准确；(2)结论：E测＝E真，r测＞r真(r测＝r真＋r A)．例3某物理兴趣小组要测量一电池组的电动势和内阻，实验室提供下列仪器：A．电池组(电动势约为3 V，内阻约为10 Ω)B．电压表V(量程0～V，内阻约为3 000 Ω)C．电流表A(量程为0～2 mA，内阻R A＝12 Ω)D．定值电阻R0＝6 ΩE．电阻箱R1(0～999 Ω，0～A)F．滑动变阻器R2(0～2 000 Ω，0～A)G．导线及开关(1)同学们根据提供的器材，设计了如图甲所示的(a)、(b)两种测量电路，经讨论后认为(a)测量电路不合理，应选(b)测量电路．请说明(a)测量电路不合理的原因：_________________.(2)请在图乙中按照(b)电路图连接测量电路．(3)连接好电路后进行实验，调节电阻箱R1，记录下各仪器的读数．若某次实验时电阻箱旋钮及电流表指针如图丙所示，则此时电阻箱的阻值为________ Ω，通过电阻箱的电流大小为________ mA.(4)设电源的电动势为E ，内阻为r ，改装后电流表内阻为R g ，某次实验中电阻箱的阻值为R 1，电流表的读数为I ，则电源电动势的表达式为E ＝______________.(用I 、R 1、R g 、r 表示) (5)将测量数据的单位统一成国际单位，根据记录数据作出如图丁所示的图像，若测得图线纵轴截距为，图线斜率为，则电池组电动势E ＝________ V ，内阻r ＝__________ Ω.(结果均保留到小数点后一位)(6)误差分析：(b)测量电路设计方案及上述数据处理方法使电源电动势测量值__________(选填“偏大”“偏小”或“不受影响”)． 答案 (1)见解析 (2)见解析图 (3)875 (4)3I (R 1＋R g ＋r ) (5) (6)不受影响解析 (1)由于电流表量程较小，若直接测量干路中电流，则测量数据范围太小，测量误差较大，故(a)测量电路不合理； (2)按照电路图连接 ，如图；(3)如图丙电阻箱读数为875 Ω；电流表读数为1.2 mA ，电流表扩大量程后I max ＝I g (1＋R AR 0)＝6 mA ，故电流表量程扩大3倍，故通过电阻箱的电流大小为 mA ； (4)改装后电流表内阻R g ＝R A R 0R A ＋R 0＝4 Ω，改装后电流表量程变为原来的3倍，故实际电流值为3I ，根据闭合电路欧姆定律有E ＝3I (R 1＋R g ＋r )； (5)由上述可知1I ＝3E R 1＋3(R g ＋r )E则3(R g ＋r )E ＝ A －1，3E＝ A －1·Ω－1， 解得E ＝ V ，r ＝ Ω；(6)由于改装后电流表测量的是干路电流的真实值，故求得的电源电动势也是真实值，故不受影响．考点三 伏阻法测电动势和内阻1．实验原理闭合电路欧姆定律E ＝U ＋URr ，电路图如图所示．2．实验器材电池、电压表、电阻箱、开关、导线、坐标纸和刻度尺． 3．数据处理(1)计算法：由⎩⎨⎧E ＝U 1＋U 1R 1rE ＝U 2＋U2R2r解方程组可求得E 和r .(2)图像法：由E ＝U ＋U R r 得：1U ＝1E ＋r E ·1R .故1U －1R 图像的斜率k ＝r E ，纵轴截距为1E，如图．4．误差分析(1)误差来源：电压表有内阻，干路电流表达式不准确，导致电动势测量不准确； (2)结论：E 测＜E 真，r 测＜r 真．例4 (2021·全国乙卷·23)一实验小组利用图(a)所示的电路测量一电池的电动势E (约 V)和内阻r (小于2 Ω)．图中电压表量程为1 V ，内阻R V ＝ Ω；定值电阻R 0＝ Ω；电阻箱R 最大阻值为 Ω；S 为开关．按电路图连接电路．完成下列填空：(1)为保护电压表，闭合开关前，电阻箱接入电路的电阻值可以选________Ω(填“”或“”)； (2)闭合开关，多次调节电阻箱，记录下阻值R 和电压表的相应读数U ； (3)根据图(a)所示电路，用R 、R 0、R V 、E 和r 表示1U ，得1U ＝________；(4)利用测量数据，作1U－R 图线，如图(b)所示：(5)通过图(b)可得E ＝________V(保留2位小数)，r ＝________Ω(保留1位小数)；(6)若将图(a)中的电压表当成理想电表，得到的电源电动势为E ′，由此产生的误差为⎪⎪⎪⎪E ′－E E ×100%＝________%. 答案 (1)(3)R 0＋R V ER V R 0·R ＋1E ＋(R V ＋R 0)r ER V R 0 (5) (6)5解析 (1)为了避免电压表被烧坏，接通电路时电压表两端的电压不能比电压表满偏电压大，当电压表满偏时有U m R V R 0R V ＋R 0＝E －U m R ＋r代入数据解得R ＋r ＝ Ω，故R Ω 因此电阻箱接入电路的电阻值选 Ω. (3)由闭合电路的欧姆定律可得 E ＝U ＋UR V R 0R V ＋R 0(R ＋r ) 化简可得1U ＝R 0＋R V ER V R 0·R ＋1E ＋R V ＋R 0ER V R 0r(5)由上面公式可得R 0＋R V ER V R 0＝k ＝119E，1E ＋R V ＋R 0ER V R 0r ＝b ＝1E ＋r 19E由1U－R 图像计算可得k ≈ V －1·Ω－1 延长图线，得到图线与纵轴的交点为 V －1，则有 V －1＝1E ＋r 19E ＋519E (V －1)代入可得E ≈ V ，r ≈ Ω.(6)如果电压表为理想电压表，则有 1U ＝1E ＋r ER 0＋1ER 0R 则此时E ′＝120k因此误差为⎪⎪⎪⎪⎪⎪120k －119k 119k ×100%＝5%. 课时精练1．(2023·福建省莆田第二中学模拟)某同学在测量两节干电池串联时的电动势和内阻时所用的器材如下：A ．两节干电池：总电动势约为3 V ，总内阻约为 Ω；B ．电压表V ：量程为3 V ，内阻为几千欧；C ．电流表A ：量程为100 mA ，内阻为 Ω；D ．定值电阻R 0：阻值为 Ω；E ．滑动变阻器R ：0～20 Ω；F ．开关，导线若干．(1)该同学设计出如图甲所示的电路图，根据电路图用笔画线在图乙中将实物图连接完整．(2)实验中，该小组闭合开关，调节滑动变阻器，多次测量得出多组电压表的示数U 和电流表的示数I ，通过描点画出电源的U —I 图像如图丙所示，该两节干电池的总电动势E ＝________V(结果保留三位有效数字)，总内阻r ＝________Ω(结果保留两位有效数字)．(3)电流表的内阻对两节干电池总电动势的测量结果________(填“有”或“没有”)影响． 答案 (1)见解析图 (2) (～均可) (～均可) (3)没有 解析 (1)电路图如图所示．(2)电流表与定值电阻并联后得到的改装电流表的量程为1 A ，内阻R A ＝ Ω，由闭合电路欧姆定律得E ＝U ＋⎝⎛⎭⎫I ＋Ir A R 0()R A ＋r ，则有U ＝E －I ⎝⎛⎭⎫1＋r AR 0()R A ＋r ，故U －I 图像的纵轴截距为两节干电池的总电动势，由题图丙可知E ＝ V ．U －I 图像斜率的绝对值等于10()R A ＋r ，故R A ＋r ＝ Ω，解得r ＝ Ω.(3)当电流表的示数为0时，外电压等于两节干电池的总电动势，故电动势没有系统误差，所以电流表的内阻对两节干电池总电动势的测量结果没有影响．2．(2021·天津卷·10)随着智能手机的广泛应用，充电宝成为手机及时充电的一种重要选择．充电宝可以视为与电池一样的直流电源．一充电宝的电动势约为5 V ，内阻很小，最大放电电流为2 A ，某实验小组测定它的电动势和内阻．他们剥开充电宝连接线的外绝缘层，里面有四根导线，红导线为充电宝的正极，黑导线为充电宝的负极，其余两根导线空置不用，另有滑动变阻器R 用于改变电路中的电流，定值电阻R 0＝3 Ω，两只数字多用电表M 、N ，两表均为理想电表，并与开关S 连成如图所示电路．(1)图中测量电流的电表是________，测量电压的电表是________．(均填写字母“M”或“N”)(2)调节滑动变阻器，测得多组I、U数据，记录如下表，其中只有一个数据记录有误，审视记录的数据，可以发现表中第________次的记录数据有误．(填测量次数的序号)次数1234567电流I/A电压U/V(3)电路中接入R0可以达到下列哪个效果______．(填选项前的字母)A．使测电流的电表读数变化明显B．为了更准确地测量充电宝内阻C．避免使充电宝的放电电流过大D．减小测量电压的电表分流作用答案(1)N M(2)4(3)C解析(1)电表N串联在电路中，测量干路电流，所以N为电流表；电表M一端接在开关上，另一端接在充电宝的负极，闭合开关后相当于并联在电源两端，所以M为电压表，测量路端电压；(2)题中表格中的电流I不断增大，根据闭合电路欧姆定律E＝U＋Ir可知路端电压U不断减小，电压表的示数不断减小，所以第4次的记录数据有误；(3)因为充电宝的内阻很小，所以电阻R0串联在电路中，起保护电路的作用，避免使充电宝的放电电流过大损坏电路中的器件．故选C.3．(2023·福建省百校联合高三测评)某学习小组欲测量某型号手机所用锂电池的电动势E和内阻r(电动势约为4 V，内阻约为几欧)，他们找到的器材有：电压表V(量程为6 V，内阻约为kΩ)、定值电阻R0＝10 Ω、电阻箱R(0～Ω)、开关S一只、导线若干．(1)请以笔画线代替导线将图甲中的实物图补充完整；(2)闭合开关，调节电阻箱的阻值R ，得到多组测量数据，根据测量数据作出U －UR 图像，如图乙所示．则该锂电池的电动势E ＝______________V ，内阻r ＝________Ω.(结果均保留三位有效数字)答案 (1)见解析图 (2)(～都对) (～都对)解析 (1)根据题图乙的图像可知电压表测量电阻箱两端的电压，实物图连接如图所示．(2)根据闭合电路欧姆定律得E ＝U ＋U R ()R 0＋r ，化简得U ＝E －U R ()R 0＋r ，所以U －UR图像的纵轴截距表示电源电动势，即E ＝ V ；图像斜率的绝对值表示定值电阻R 0和电源内阻r 的和，即R 0＋r ＝－Ω，解得电源内阻r ＝ Ω.4．利用如图(a)所示电路，可以测量电源的电动势和内阻，所用的实验器材有： 待测电源，电阻箱R (最大阻值 Ω)，电阻R 0(阻值为 Ω)，电阻R 1(阻值为 Ω)，电流表(量程为200 mA ，内阻为R A ＝ Ω)，开关S.实验步骤如下：①将电阻箱阻值调到最大，闭合开关S ；②多次调节电阻箱，记下电流表的示数I 和电阻箱相应的阻值R ； ③以1I 为纵坐标，R 为横坐标，作1I －R 图线(用直线拟合)；④求出直线的斜率k 和在纵轴上的截距b . 回答下列问题：(1)分别用E 和r 表示电源的电动势和内阻，则1I 与R 的关系式为________________．(2)实验得到的部分数据如下表所示，其中电阻R ＝ Ω时，电流表的示数如图(b)所示，读出数据，完成下表．答：①________，②________.R /Ω I /A ① 1I/A －1②(3)在图(c)的坐标纸上描点并作图，根据图线求得斜率k ＝______ A －1·Ω－1，截距b ＝________ A －1.(4)根据图线求得电源电动势E ＝________ V ，内阻r ＝________ Ω.答案 (1)1I ＝3E R ＋15＋3r E (2) (3)见解析图 (～均可) (～均可) (4)(～均可) (～均可)解析 (1)根据闭合电路欧姆定律有 E ＝(IR AR 1＋I )(R ＋R 0＋r )＋IR A ，代入数据，化简得1I ＝3E R ＋15＋3r E.(2)电流表每小格表示4 mA ，因此电流表读数I ＝ A ，1I≈ A －1.(3)在坐标纸上描点，画出一条直线，得出斜率k ＝ A －1·Ω－1，截距b ＝ A －1.(4)斜率k ＝3E ，因此E ＝ V ，纵轴截距b ＝15＋3r E，因此 r ＝ Ω.。
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由“测电源电动势和内阻”的实验学会用图像解决问题的方法
重庆北碚西南大学附中 张小洪 甘永刚400700
摘要：通过深入理解图像法在“测电源的电动势和内阻”实验中的运用特点，总结图像法解决物理问题的一般方法，学会将图像法灵活运用于更广的范围。
图像法是一种非常直观、准确的处理数据的方法，此方法在“测电源电动势和内阻”的实验中被充分的运用。
通过此实验，可以加深对图像法的理解，并学会将图像法运用于更广的范围。
一、“测电源的电动势和内阻”的实验中对图像法的运用
对于“测电源的电动势和内阻”的实验，教材提供了三种实验方案，并着重介绍了方案一。
实际上，这三种方案均可以运用图像法来解决问题。
下文将逐一分析三种方案中图像法的运用特点，以便总结出一套普遍使用的运用图像处理问题的方法。
方案一 实验电路如图1-1所示。
本实验常运用U I -图像来解决问题。
首先可根据闭合电路欧姆定律写出E U Ir =+，然后通过数学变换得到U 与I 的关系式U E Ir =-。
显然此U -I 图像应为图1-2所示的一次函数图象，图像的斜率即为电源内阻r ；求电源的电动势可以从两个角度入手：其一，由U E Ir =-得横坐标0I =时，U E =，可知纵轴上的
截距即为电动势E ；其二，由U E Ir =-得纵坐标0U =时，E I r =，即横轴上的截距为E r
，读出此截距，带入r 的值，同样可求得电动势E 。
由图1-2中的数据可求得 1.5E =V ，2.5r =Ω。
方案二 实验电路如图2-1所示。
本实验可以测得多组电阻R 及电流I 的数据，探究表明运用1R I -图像较为简便。
为得到R 与1I
的函数关系，同样先根据闭合电路欧姆定律写出()E I R r =+，然后通过数学变换得到R 与
1I 的关系式E R r I =-。
显然此1R I -图像应为图2-2所示的一次函数图象，图像的斜率即为电源电动势E ；求电源的内阻r 可以从两个角度入手：其一，由E R r I =-得横坐标10I
=时，纵轴上截距R r =-，可知此截距的绝对值即为电源的内阻r ；其二，由E R r I =
-得纵坐标0R =时，横轴上的截距1r I E =，I/A
图1-2 图1-1
读出此截距，带入E 的值，同样可求得电源的内阻r 。
由图2-2中的数据可求得4E =V ，2r =Ω。
方案三 实验电路如图3-1所示。
实验可以测得多组U 、R 值并描出11U R
-图像如图3-2所示，那么如何根据图像求得电源的电动势和内阻呢？显然1U 与1R
的关系是不能一步到位写出来的，参照方案一、方案二的步骤，仍然先根据闭合电路欧姆定律写出U E U r R =+，然后通过数学变换得到1U 与1R 的关系式111r U E E R =+⋅。
由此关系式可得图像纵轴上截距的倒数即为电源电动势E ；求电源的内阻r 仍然从两个角度入手：其一，由表达式111r U E E R =+⋅可得图像的斜率为r E
，求出斜率，带入E 值，即可求出电源的内阻r ；其二，由
111r U E E R =+⋅得纵坐标10U =时，横轴上的截距1r R =-，可见横轴上截距的倒数的相反数即为电源的内阻r 。
由图3-2中的数据可求得 2.5E =V ，1r =Ω。
方法小结 运用图像法处理问题的原则是尽可能得到直线图像，上述三个方案中如果将横坐标与纵坐标互换分别运用I U -、1R I
-、11R U -图像，仍然可以得到直线图像，所以也是可取的。
对于直线图像，一般需要用到该直线的斜率、横轴上的截距和纵轴上的截距三个条件来解决问题，如果其中一个物理量已通过一个条件求得，则另一个物理量总可以任选其余两个条件之一来求得。
运用图像法处理问题的关键在于得出正确的纵坐标与横坐标
图3-1
/Ω-1 图3-2
/1I /A -1
图2-1
的物理量间的函数关系，这一步切记不能期望一步到位写出此函数关系式，必须先根据物理规律写出式子（如闭合电路欧姆定律、牛顿第二定律等），再通过式子变形得到与图像匹配的数学形式，最后结合图像进行理解和计算。
只有这样按照正确的思路与步骤解决问题，图像法才能被熟练运用，利用图像法解决问题才能得心应手。
二、图像法应用拓展
例题1 某实验小组利用实验室提供的器材探究一种金属丝的电阻率，他们截取了一段金属丝，拉直后固定在绝缘的米尺上，并在金属丝上夹上一个小金属夹，金属夹可在金属丝上移动。
结合其他实验器材，连接了电路实物图4-1。
已知电源电动势和内阻分别为E 和r ，测得金属丝横截面积为s ，设定电阻箱的阻值为R 。
实验中改变夹子位置，测出多组接入电路的金属丝的长度及对应的电流表的示数，由实验数据绘出图4-2的关系图线，则该图线纵轴截距与电源电动势的乘积代表了___________________；该图线的斜率、电源电动势和金属丝横截面积的乘积代表的物理量是____________。
解析：由闭合电路欧姆定律及电阻定律可得()L E I R r S
ρ=++，可得1R r L I E ES ρ+=+⋅，所以第一空的答案为R r E R r E
+⋅=+，即电源内阻与电阻箱阻值之和，第二空的答案为E S ES ρ
ρ⋅⋅=，即金属丝的电阻率。
例题2 如图5-1所示，用拉力F 竖直向上提升物体，物体的加速度a 随拉力F 变化的图像如图5-2所示，不计空气阻力。
则由图可得物体的质量为____________，当地的重力加速度为___________。
图
4-2 图4-1
金属丝 金属夹
解析：由牛顿第二定律列式,F mg ma -=推得F a g m
=-。
图像斜率的倒数即为质量，所以00
1F m k a ==；图像在纵坐标轴上的截距的相反数即为重力加速度，所以0g a =。
参考文献：
[1] 蒋永涛．“斜率”——架起物理与数学的桥梁——谈物理图像的分析方法．物理教学探讨．2012，（05）
[2]艾东方，任玉芬．图像法在电学实验中的考察——2010年各地高考题试题总结．物理教学探讨．2011，（07）
[3] 李子明，张艳玲，高龙江．例谈物理图像题的处理方法．物理教学探讨．2008，（16）
图5-1 F/N
-a。