第五章 离散化设计方法
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第五章对流扩散方程的离散格式
aP = aE + aW
aE = De – Fe / 2 aW = Dw + Fw / 2
在流场的实际求解过程中， 每一个迭代层次上，即使速度 场尚未收敛，也要保证连续方 程是满足的。
3. 对流项的中心差分与迎风差分
3.2 对流项的中心差分
三点说明：
系数 aE , aW 包含了对流 F 与扩散 D的作用的影响；
对均分网格：
2. 对流项离散格式的重要性及两种离散方式
2.2 构造对流项离散格式的两种方式 （2）控制容积积分
给出界面上被求函数的插值方式
2. 对流项离散格式的重要性及两种离散方式
2.2 构造对流项离散格式的两种方式 （3）两种定义之间的关系
对某种对流项离散格式，都可以用两种方法给出其相应 的定义；
3.1 一维对流-扩散问题模型方程的精确解
上游优势
3. 对流项的中心差分与迎风差分
3.1 一维对流-扩散问题模型方程的精确解
希望所构建的离散方程形式也具有这样的物理特性
3. 对流项的中心差分与迎风差分
3.2 对流项的中心差分 Central Scheme （CS）
分段线性
均分网格
令
对流项
----界面上的流量
1. 简 介
对流与扩散作用在物理本质上的区别
从物理过程来看，扩散作用与对流作用在传递信息或扰动方面 的特点有很大区别：
扩散是由分子的不规则热运动所致，分子不规则热运动对空间不同方向
的几率都是一样的，因而扩散过程可以把发生在某一地点上的扰动的影响 向各个方向传递。
对流是流体微团宏观的定向运动，带有强烈的方向性。在对流的作用下，
两种定义方式的截断误差阶数是一致的，均为二阶截差 （中心差分，分段线性）；
计算机控制系统经典设计法——离散设计法
(1)
闭环脉冲传递函数的确定
典型输入的z变换表达式
R( z )
A( z ) (1 z 1 ) q
误差E ( z )的脉冲传递函数
系统的静态误差为
E ( z ) R( z ) Y ( z ) Φe ( z ) 1 Φ( z ) R( z ) R( z )
A( z )(1 Φ( z )) (1 z 1 )－(1 z 1 ) 2 z 1－z 2
1 Φ( z ) 0.5434 z 1 1 0.5 z 1 1 0.3679 z 1 D( z ) G ( z ) 1 Φ( z ) (1 z 1 )(1 0.718 z 1 ) z 1 1 2 1 E ( z ) (1 Φ( z )) R( z ) (1 z ) z (1 z 1 ) 2
二拍以后，系统输出等于输入信号
(3) 对单位加速度输入信号
Φ( z ) 1 (1 z 1 )3 3z 1－3z 2＋z 3
1 0.8154 （ 1－z 1＋ z 2） 1 0.3679 z 1 1 Φ( z ) 3 D( z ) G( z ) 1 Φ( z ) (1 z 1 ) 2 (1 0.718 z 1 )
R( z )
E( z)
D( z )
G( z )
Y ( z)
1 Φ( z ) D( z ) G ( z ) 1 Φ( z )
要点：如何把系统的性能指标转换为闭环特性Φ( z )，解出的D( z )能否 物理实现以及系统能否保证稳定。
5
R( z )
E( z)
D( z )
G( z )
Y ( z)
第五章 离散模型
由假设，
⑶
p11 0.8, p12 0.2, p21 0.7, p22 0.3,
再由于投保人处于健康状态，即 0 1 1, 0 2 0. 由此得到
n
0
1
2
3
4
n 1 1 0.8 0.78 0.778 0.7778 7 / 9. n 2 0 0.2 0.22 0.222 0.2222 2 / 9
x, y x y 1, 2.
y
2 1
o
1
2
3
x
在上图中, 实点即表示为容许状态的集合. 乘船的方案称为决策，仍然用向量
x, y 来表示，
即 x名商人和 y 名随从同坐一条船. 在这些决策中, 有
是符合条件的，称为容许决策。容许决策的全体组成集 合构成容许决策的集合，记为 D. 在这个问题中，容许决策的集合为
若投保人在开始时处于疾病状态，即0 1 0, 0 2 1. 则有
n
0
1
2
3
4
n 1 0 0.7 0.77 0.777 0.7777 7 / 9. n 2 1 0.3 0.23 0.223 0.2223 2 / 9
从两张表中可以看到，无论投保人在初始时处于什么 状态，当时间趋于无穷大时，该时刻的状态趋于稳定， 且与初始值无关。即
9
10 11 12
2, 2 0, 2 0,3 0,1 0, 2 0,0
2,0 0,1 0, 2 0,1 0, 2
分析
从上表中可以看到，该方案是可行的。
二、马氏链及其应用
1.一个简单的例子 我们知道，人寿保险公司最为关心的是投保人的健康
⑶
p11 0.8, p12 0.2, p21 0.7, p22 0.3,
再由于投保人处于健康状态，即 0 1 1, 0 2 0. 由此得到
n
0
1
2
3
4
n 1 1 0.8 0.78 0.778 0.7778 7 / 9. n 2 0 0.2 0.22 0.222 0.2222 2 / 9
x, y x y 1, 2.
y
2 1
o
1
2
3
x
在上图中, 实点即表示为容许状态的集合. 乘船的方案称为决策，仍然用向量
x, y 来表示，
即 x名商人和 y 名随从同坐一条船. 在这些决策中, 有
是符合条件的，称为容许决策。容许决策的全体组成集 合构成容许决策的集合，记为 D. 在这个问题中，容许决策的集合为
若投保人在开始时处于疾病状态，即0 1 0, 0 2 1. 则有
n
0
1
2
3
4
n 1 0 0.7 0.77 0.777 0.7777 7 / 9. n 2 1 0.3 0.23 0.223 0.2223 2 / 9
从两张表中可以看到，无论投保人在初始时处于什么 状态，当时间趋于无穷大时，该时刻的状态趋于稳定， 且与初始值无关。即
9
10 11 12
2, 2 0, 2 0,3 0,1 0, 2 0,0
2,0 0,1 0, 2 0,1 0, 2
分析
从上表中可以看到，该方案是可行的。
二、马氏链及其应用
1.一个简单的例子 我们知道，人寿保险公司最为关心的是投保人的健康
5 计算机控制系统设计(二) --离散设计方法演示课件.ppt
E%81
上一页 下一页
考虑设定值r对系统的影响
从误差的角度分析
E(z) R(z) Y (z) R(z) E(z)D(z)G(z)
整理得
E(z) R(z) 1 D(z)G(z)
由终值定理得 e() lim e(t) lim (z 1)R(z)
t
z1 1 D(z)G(z)
上一页 下一页
②输入为斜坡信号 代入稳态误差式得：
r(t) t
R(z)
Tz (z 1)2
e()
lim (z 1)R(z) z1 1 D(z)G(z)
lim z 1
Tz (z 1)2
(z 1) 1 D(z)G(z)
lim Tz
1
1
z1 z 1 1 D(z)G(z) Kv
Ka , e() 0；系统为Ⅰ型系统时，误差为无穷大；系
统为Ⅱ型系统时，误差为有限7%9D%80%E6%9C %88%E4%BA%AE% E5%87%BA%E5%B
z
1
z1 1 D(z)G(z) K p
式中
Kp
lim 1
z1
D(z)G(z) z
称为位置误差系数。
由上式可见e(∞)与Kp成反比，当Kp →∞时， e(∞)＝０。
结论：当输入信号为阶跃信号，系统为Ⅰ型以上系统时，
K p , e() 07%9D%80%E6%9C %88%E4%BA%AE% E5%87%BA%E5%B E%81
所设计系统应满足稳态误差要求
最好e() 0 ，
当 e() 0，应满足稳态误差要求
误差分析： e() 与 R(z)有关，与 D(z)G(z)有关
分别分析三种典h型ttps输://w入enk信u.ba号idu和.c Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ系统之间的
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考虑设定值r对系统的影响
从误差的角度分析
E(z) R(z) Y (z) R(z) E(z)D(z)G(z)
整理得
E(z) R(z) 1 D(z)G(z)
由终值定理得 e() lim e(t) lim (z 1)R(z)
t
z1 1 D(z)G(z)
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②输入为斜坡信号 代入稳态误差式得：
r(t) t
R(z)
Tz (z 1)2
e()
lim (z 1)R(z) z1 1 D(z)G(z)
lim z 1
Tz (z 1)2
(z 1) 1 D(z)G(z)
lim Tz
1
1
z1 z 1 1 D(z)G(z) Kv
Ka , e() 0；系统为Ⅰ型系统时，误差为无穷大；系
统为Ⅱ型系统时，误差为有限7%9D%80%E6%9C %88%E4%BA%AE% E5%87%BA%E5%B
z
1
z1 1 D(z)G(z) K p
式中
Kp
lim 1
z1
D(z)G(z) z
称为位置误差系数。
由上式可见e(∞)与Kp成反比，当Kp →∞时， e(∞)＝０。
结论：当输入信号为阶跃信号，系统为Ⅰ型以上系统时，
K p , e() 07%9D%80%E6%9C %88%E4%BA%AE% E5%87%BA%E5%B E%81
所设计系统应满足稳态误差要求
最好e() 0 ，
当 e() 0，应满足稳态误差要求
误差分析： e() 与 R(z)有关，与 D(z)G(z)有关
分别分析三种典h型ttps输://w入enk信u.ba号idu和.c Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ系统之间的
第五章连续系统的离散化仿真2015
双线性变换的映射关系
计算的稳定性与T无关，允许采用较大的步距。
2、G（z）的分子分母阶次相同，其稳态增益与G（s）相同 设
a0 ( s s ) a0 s m a1s m 1 am 1s am G s b0 ( s p ) b0 s n b1s n 1 bn 1s bn
s 12
s
故，p1=p2=-1，q1=0，n=2，m=1 映射得：
Gz
（2） 按 z e sT
z e
K z z 1
• 离散化仿真的基本思想：
用比较简单的方法直接从 G（s）求出
G（z），从而得到用于仿真的差分方程。 离散化仿真方法要求有较好的稳定性， 允许采用较大的计算步距，满足实时仿真 的需要。
5.1替换法
一、简单替换法
已知s域和z域间存在变换关系：
ze
sT
—— 超越函数。 为简化计算，试图将指数函数形式转化为更简单的形式。
• 二、根匹配法的精度和稳定性
1、只要原系统是稳定的，则不论T 取多大，都能保证仿真 模型也是稳定的。 Re（s）<0时，|esT|<1 2、除了良好的稳定性之外，根匹配法还具有一定的精度。 精度由G（s）与G（z）频率特性的接近程度决定。
例
（1）
Gs
s G s 2 s 2s 1
m m m 1 m 1
将其分子、分母同乘以 z 1n 并整理可得：
[ ( z 1) z ] a0 n m T G s ( z 1) 2 b0 [ ( z 1) q ]
i 1 n i i 1 m
2
T
i
可见，G（z）的分子分母阶次相同，且稳态增益均为am/bn。
第5章-对流-扩散方程的离散格式
Pe
uL
0
Pe表示对流与扩散作用 的相对大小。
0
4/59
传热与流体流动的数值计算
二、对流项的中心差分
d d d u 采用控制容积积分法 对方程 dx dx dx e u e w u w P 2 2 x w x e
aE De Fe ,0 , aW Dw Fw ,0
对流项一阶迎风：
aW i 1 aE i 1 P ,0 1 P ,0 P D D
12/59
传热与流体流动的数值计算
A P P
B P A P P A P P ,0 P B P A P P ,0
24/59
传热与流体流动的数值计算
四、aE、aW的通用表达式
* Je B Pe P A Pe E
J d J P D d x x
*
18/59
传热与流体流动的数值计算
一、通量密度及其离散表达式（续）
J*的离散表达式：
J * Bi Ai 1
Behind Ahead 界面后的项 界面前的项 以坐标轴正方向为依据的“前”、“后”。
19/59
传热与流体流动的数值计算
负系数会导致物理上不真实的解。
7/59
传热与流体流动的数值计算
三、对流项的迎风格式
Taylor展开法
d i i 1 , ui 0 dx i x
i 1 i , ui 0 x
控制容积积分法 e界面 ue 0 , P ; ue 0 , E w界面 uw 0 , W ; uw 0 , P
uL
0
Pe表示对流与扩散作用 的相对大小。
0
4/59
传热与流体流动的数值计算
二、对流项的中心差分
d d d u 采用控制容积积分法 对方程 dx dx dx e u e w u w P 2 2 x w x e
aE De Fe ,0 , aW Dw Fw ,0
对流项一阶迎风：
aW i 1 aE i 1 P ,0 1 P ,0 P D D
12/59
传热与流体流动的数值计算
A P P
B P A P P A P P ,0 P B P A P P ,0
24/59
传热与流体流动的数值计算
四、aE、aW的通用表达式
* Je B Pe P A Pe E
J d J P D d x x
*
18/59
传热与流体流动的数值计算
一、通量密度及其离散表达式（续）
J*的离散表达式：
J * Bi Ai 1
Behind Ahead 界面后的项 界面前的项 以坐标轴正方向为依据的“前”、“后”。
19/59
传热与流体流动的数值计算
负系数会导致物理上不真实的解。
7/59
传热与流体流动的数值计算
三、对流项的迎风格式
Taylor展开法
d i i 1 , ui 0 dx i x
i 1 i , ui 0 x
控制容积积分法 e界面 ue 0 , P ; ue 0 , E w界面 uw 0 , W ; uw 0 , P
信号系统第五章-离散时域分析
2. 离散时间信号与数字信号 时间为离散变量的信号称作离散时间信号；而时 间和幅值都离散化的信号称作为数字信号。
3. 序列
在等间隔离散时刻点上的离散时间信号称
为离散时间序列，简称序列。
有些系统的输入可能直接是离散时间信号或数字 信号。 通常获得离散时间信号的过程如下：
模拟信号：时间和幅 值均为连续的信号；
x(n)
1 1/8 ... -2 -1 0 1 2 x(-n)
1 1 n ( ) , n 1 x(n) 2 2 0, n 1
1/2 1/4
n
1 1 n ( ) , n 1 x ( n ) 2 2 0, n 1
1
1/2 1/4
1/8 ... -2 -1 0
5-1 离散时间基本信号
例1-1：已知信号序列 x(n) cos( n / 12) sin( n / 18) 判断并求其周期。 解： cos( n / 12) 的周期为 N1 2 / 0 2 / / 12 24 sin( n / 18) 的周期为 N 2 2 / 0 2 / / 18 36 所以 x(n) 的周期为 N N1 N2 / gcd( N1, N2 ) 24 36 / 12 72 （注：gcd()为求最大公约数） 思考：判断x(n)=ej(1/8n-π)是否为周期信号？
采 样
采样信号：时间离散 而幅值连续的信号；
量 化
数字信号：时间和幅 值均为离散的信号；
5-1 离散时间基本信号
4、时域离散信号的表示方法 a、公式法 x(n)=e-0.02ncos(0.5n) b、集合法 x(n)={0 0.470 0.808 0.939 0.839} c、单位采样序列的移位加权和表示法
3. 序列
在等间隔离散时刻点上的离散时间信号称
为离散时间序列，简称序列。
有些系统的输入可能直接是离散时间信号或数字 信号。 通常获得离散时间信号的过程如下：
模拟信号：时间和幅 值均为连续的信号；
x(n)
1 1/8 ... -2 -1 0 1 2 x(-n)
1 1 n ( ) , n 1 x(n) 2 2 0, n 1
1/2 1/4
n
1 1 n ( ) , n 1 x ( n ) 2 2 0, n 1
1
1/2 1/4
1/8 ... -2 -1 0
5-1 离散时间基本信号
例1-1：已知信号序列 x(n) cos( n / 12) sin( n / 18) 判断并求其周期。 解： cos( n / 12) 的周期为 N1 2 / 0 2 / / 12 24 sin( n / 18) 的周期为 N 2 2 / 0 2 / / 18 36 所以 x(n) 的周期为 N N1 N2 / gcd( N1, N2 ) 24 36 / 12 72 （注：gcd()为求最大公约数） 思考：判断x(n)=ej(1/8n-π)是否为周期信号？
采 样
采样信号：时间离散 而幅值连续的信号；
量 化
数字信号：时间和幅 值均为离散的信号；
5-1 离散时间基本信号
4、时域离散信号的表示方法 a、公式法 x(n)=e-0.02ncos(0.5n) b、集合法 x(n)={0 0.470 0.808 0.939 0.839} c、单位采样序列的移位加权和表示法
离散化方法
离散化方法离散化方法是一种将连续数据转化为离散数据的方法，它在数据处理和分析中有着广泛的应用。
离散化方法可以将连续的数据转化为离散的数据，从而使得数据更加易于处理和分析。
在实际应用中，离散化方法可以用于数据挖掘、机器学习、统计分析等领域。
离散化方法的基本思想是将连续的数据按照一定的规则进行分组，将每个分组看作一个离散的数据点。
这样，原本连续的数据就被转化为了离散的数据。
离散化方法的具体实现方式有很多种，常见的方法包括等宽离散化、等频离散化、聚类离散化等。
等宽离散化是将数据按照一定的宽度进行分组，每个分组的宽度相等。
例如，将一组数据按照区间宽度为10进行分组，数据范围在0到100之间，那么就可以将数据分为10个组，每个组的区间为0-10、10-20、20-30……90-100。
等宽离散化的优点是简单易懂，缺点是可能会导致某些分组中数据过于集中，而其他分组中数据过于分散。
等频离散化是将数据按照一定的频率进行分组，每个分组中包含相同数量的数据。
例如，将一组数据按照频率为10进行分组，数据范围在0到100之间，那么就可以将数据分为10个组，每个组中包含10个数据。
等频离散化的优点是可以避免某些分组中数据过于集中的问题，缺点是可能会导致某些分组中数据过于分散，而其他分组中数据过于集中。
聚类离散化是将数据按照一定的聚类算法进行分组，每个分组中包含相似的数据。
例如，可以使用K-means算法将一组数据分为若干个簇，每个簇中包含相似的数据。
聚类离散化的优点是可以更加准确地将数据分组，缺点是算法复杂度较高，需要进行参数调整。
离散化方法是一种将连续数据转化为离散数据的方法，它在数据处理和分析中有着广泛的应用。
离散化方法可以用于数据挖掘、机器学习、统计分析等领域，可以帮助我们更好地理解和分析数据。