公式法分解89因式

②xm+2-xm=xmx2-xm=xm(x2-1)=xm(x+1)(x-1)
③x4-y4 =（x2)2-(y2)2=(x2+y2)(x2-y2) =(x2+y2)(x+y)(x-y)
课堂小结
能写成( )2-( )2的式子，可以用平方差公式 分解因式。 公式中的a , b可以是单项式,也可以是多项 式。 分解因式，有公因式时先“提”后“公”， 应进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
=100+99+98+97 +… +2+1
=5050
观察下列各式 1 2 1 2 9;
3 3 2
13 23 33 (1 2 3)2 36; 13 23 33 43 (1 2 3 4)2 100; 13 23 33 43 53 (1 2 3 4 5)2 225; ......
②x2-y2√
④ - x2-y2 ⑥ x4-y2 × √
3：填空（口答）：
16 2 4 2 m 4x ( ) 2 x ) m ( 5 25 3 2 2 9 4 2 2 a a ( ) 0.49b (0 ) . 7 b 2 4 2 2 2 2 4 2 2 9 p q 8 xy 64x y （ ） 81p q （ ）
1 2 1 1 2 2 (6)a b ＝( a ) -( b) ＝（a+ b )(a- 1 b) 25 5 5 5
2
例1.把下列各式分解因式
（1）16a² -1
解：1）16a² -1=(4a)² -1
( 2 ) 4x² - m² n²
(3)
9 —
25
=(4a+1)(4a-1)
x²-
1 — 16
(1) 13 23 33 n 3 (1 2 3 n) 2
1 2 n(n 1) 2


(2) 计算11 12 13 15 11375 ______;
3 3 3
175 65 11375
小结:
1.因式分解的步骤是首先提取公因式,然后考 虑用公式. 2.因式分解进行到每一个因式不能分解为止.
3.计算中应用因式分解,可使计算简便.
当堂检测:
2 (1)49x -16
(2)
4 16x -
4 16y
(3) x3y-xy
(5)49x2-16n2
(4)ax2-9ay2
2 2 (6)(2m+5n) -(3m-2n)
典型例题 例1 ：分解因式： 4x2-9
=(2x)2-32 解:原式 = =(2x+3)(2x-3)
①982-22 =______ ②已知x+y=4，x-y=2，则x2-y2=______
提高题
1.利用因式分解 计算 : 997 9
2
解 : 原式 997 3 =(997+3)(997-3)
2 2
=1000×994 =994000
2.若a是整数，求证（ 2a 1 ） 1能被8 （2a 1 1 ） (2a 1 -1 ） 整除： 解：原式
思考：你能将a2-b2进行因式分解吗？
平方差公式：
(a+b)(a-b) = a²- b²
整式乘法
a²- b² = (a+b)(a-b) 因式分解
平方差公式反 过来就是说： 两个数的平方 差，等于这两 个数的和与这 两个数的差的 积
回顾与思考：
1、什么叫因式分解？因式分解与整式乘法有什么关系？ 2、判断下列各式是因式分解的有 （1）(x+2)(x-2)=x2-4
典型例题 例4：分解因式： a3b – ab.
解:原式 =ab(a2-1) =ab(a+1)(a-1).
1、分解因式：
4 4 分解因式，必须 m+2 m ① ③ x -y ②x -x 进行到每一个多 项式都不能再分 3 2 解： ①a b-ab=ab(a -1) =ab(a+1)(a-1) 解为止。 3 a b-ab
因式分解要求： （１）分解彻底 （２）结果化为最简 （３）结果不含中括号 （４）结果括号中第一项系数不为负数
判断以下哪些是因式分解？
2-4 x ①(x+2)(x-2)=___________ ②(y+5)(y-5)=___________ y2③ ma+mb+mc=___________ 25 m(a+b+c) (x+2)(x-2) ④ x2-4=___________
2
2a(2a 2) 4a(a 1)
因此当a是整数时， 4a(a 1)都是8的倍数, 所以4a(a 1)能被8整除；
利用因式分解计算： 1002-992+982-972+962-952+… +22-12 解：原式=（100+99)(100-99)+(98+97)(98-97） +… +(2+1)(2-1)
知识探索
平方差公式：
（a+b)(a-b)=a2-b2 a2-b2= (a+b)(a-b)
整式乘法
因式分解
1.因式分解（口答）： (x+y)(x-y) (3+t)(3-t) ① x2-y2=________ ②9-t2=_________ 2.下列多项式能用平方差公式因式分解吗？
①x2+y2 ×
③ x3-y2 × ⑤-x2+y2 √
y²
解：2） 4x² - m² n²
( 4 ) –9x² +4
=(2x)² - (mn)²
=（2x+mn)(2x-mn)
典型例题 例2 ：分解因式
(x+p)2-(x+q)2
看做一个整体 看做一个整体
解:原式=[(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x+q)] = (x+p+x+q) (x+p-x-q) = (2x+p+q) (p-q)
a、 b,
然后运用平方差公式进行因式分解。
（1）x2-82
＝( x )2-( 8 )2 ＝（x+8)(x-8)
（2）x2-16 ＝( x )2-( 4 )2 ＝（x+4)(x-4) （3)-25+y2 ＝( y )2-( 5 )2 ＝（y+5)(y-5) （4)1-36b2 ＝( 1 )2-(6b)2 ＝（1+6b)(1-6b) (5)9a2-4b2 ＝(3a )2-(2b)2 ＝ （3a+2b)(3a-2b)
注意：公式
3)4a³ - 4a
4)(x + y +
进行到每一个多 b =4 x (可以是一个数、一个 y+z) 项式都不能再分 单项式也可以是一个 解： 多项式。 解为止。 2.原式 =[2(a+b)]² -[5(a-c)]² z)² - (x –y–z )²
解： =[2(a+b)+ 5(a-c)][2(a+b)- 5(a-c)] 解：
同学 们假如是多项式 2ab 2a；
2
能不能直接应用平方差 公式分解， 如果可以请分解， 如果不可以怎 办？ 解：原式 2a（ b 1)
2
=2a(b+1)(b-1)
2. 因式分解的步骤: 先提出这个公因式 ⑴ 若多项式中含有公因式,第一步______________; 公式法 ⑵ 再进一步运用______.
=(7a+2b-5c)(-3a+2b+5c) 3. 原式 =4a(a² -1)=4a(a+1)(a-1) 1.原式 =[(x+z)+(y+z)][(x+z)-(y+z)] =(x+y+2z)(x-y)
典型例题
例3 ：分解因式:
x4-y4
解:原式 = (x2+y2)(x2-y2) = (x2+y2)113 123 153
1 1 1515 1 1010 1 2 2 1202 552 120 55120 55
3
2 2
3 3 3 3 3 3 根据以上规据以上 (1 2 15 ) (1 2 10 )
（2）
.
(2) x2-4 =(x+2)(x-2)
(3) x2-4 +3x= (x+2)(x-2)+3x
3、填空:
(1). 81x2 =( 9x )2
(2). 0.04a2b2 =( 0.2ab )2
(3).
25a6b2=(
5a3b
)2
1 2 1 2 (4). a =( a ) 3 9
(5). (a+b)(a-b)= a2-b2;
解： 例2.把下列各式因式分解
1)( x + z )² - ( y + z )² ×[(x+y+z)- (x-y-z)]
=2 x ( 2 y + 2 z) 2)4( a + b)² - 25(a - c)² 分解因式，必须 a -b =(a+b)(a-b)中的a、
2 2
4.原式=[(x+y+z)+(x-y-z)]
2 2
将下面的多项式分解因式 1) m² - 16 2) 4x²- 9y²
m² - 16= m² - 4² =( m + 4)( m - 4) a² - b² = ( a + b)( a - b )