线性代数 3-2 第3章2讲-向量组的线性关系(1)
线性代数第3章向量空间
表示, 又 m>n, 由表示不等式
r(Blm ) r( Aln ) n m 从而 B 必相关.
-26-
(6) “短的无关, 则长的也无关.等价地… ” P101推论3
无穷多种表示, 并求所有表示方法.
解 记 A [1,2 ,3 ] 只需讨论 Ax 解的情况.
具体解方程组过程略。
0 时,方程组无解, 不能由 A 表示. 0 且 3时, 方程组有唯一解, 可由 A 唯一表示.
-12-
3 时, 方程组有无穷多解, 可由 A 无穷多种表示.
1
1 2
,
2
3 4
是无关的.
1
3
n r( Amn ) r(Bln ) n
1 , 2 也是无关的.
2
4
r(Bln ) n
1
再如：1
2 0 0
,
0
2
101,
0
3
9 0 1
.
-27-
(7)含有n个向量的n元向量组线性相关（无关）
由它构成的n阶矩阵的行列式 | A | 0 (| A | 0) 例4 t 取何值时,下列向量组线性相关 ? P101推论2
(用矩阵的秩) r( A) n
把向量组排成矩阵，如果矩阵的秩等于向量的个数就线性 无关，否则如果矩还阵是的转秩换小！于转向换量线的性个无数关就…线性相关。
-18-
例1
1
0
2
1 1,2 2,3 4,
1
5
7
问向量组 {1,2 ,3 } 和 {1,2 }的线性相关性?
线性代数--总复习
可见, 当λ=-4/5时, R(A)=2, R(A|b)=3, 方程组无解. 当λ≠-4/5, 且λ≠-1时 R(A)=R(A|b)=3, 方程组有唯一解.
当λ=-1时, 有
1 −1 −2 1 1 −1 0 3 ( A | b) → 0 0 1 1 → 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0
第三章 向量 线性关系 秩
1. 理解n维向量的概念以及向量的线性运算; 2. 理解向量组的线性组合与线性表示的概念; 3. 理解向量组线性相关, 线性无关的定义, 了解并会用 向量组线性相关, 线性无关的有关性质及判别法; 4. 理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念, 会求向量组的极大无关组和秩，理解向量组等价的概念; 5. 理解矩阵秩的概念及与向量组秩的关系及其计算．
0 2/3 0 B = 6 0 3/ 4 0 0 0 6/ 7
−1
0 3 0 0 1/ 3 0 = 0 2 0 0 1/ 4 0 0 0 1/ 7 0 0 1
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第六章 矩阵的特征值与特征向量
1. 了解矩阵的特征值和特征向量的概念及其求法; 2. 了解矩阵的特征值和特征向量的性质; 3. 了解相似矩阵的概念及性质; 4. 掌握将(实对称)矩阵(正交)相似对角化的方法.
第七章 二次型
1. 掌握二次型及其矩阵表示, 了解二次型秩的概念, 了解合同变换与合同矩阵的概念, 了解二次型的标准形和 规范形的概念以及惯性定理; 2. 掌握用正交变换化二次型为标准形的方法, 会用 配方法化二次型为标准形; 3. 理解正定二次型和正定矩阵的概念, 掌握其判别法.
【知识】线性代数第3章知识梳理
【关键字】知识本章结构常用方法：1、矩阵化等价标准形，求出矩阵的秩，则标准形2、求矩阵的逆3、消元法求线性方程组的解增广矩阵行最简阶梯4、求矩阵的秩5、判断向量能否由向量组线性表示以为列向量的矩阵行最简阶梯6、求向量组的秩和一个极大无关组，并将其它向量用该极大无关组线性表示以为列向量的矩阵行最简阶梯7、用根底解系表示(非)齐次线性方程组的全部解增广矩阵行最简阶梯一、用消元法求解非齐次线性方程组1、，进而求出和2、观察和的关系：(1) ，方程组无解；(2) ，方程组有解：①、，方程组有唯一解；②、，方程组有无穷多个解.3、在有解的情况下，将阶梯形矩阵继续进行初等行变换，从最后一个非零首元开始将非零首元上面的元素消成零；4、写出相应的同解方程组，令自由未知量取任意常数，可得方程组的全部解。
定理3.1线性方程组有解，且当时方程组有唯一解；当，方程组有无穷多个解.二、用消元法求解齐次线性方程组：1、，进而求出；2、观察：(1) ，方程组有唯一解，即只有零解；(2) ，方程组有无穷多个解，即有非零解；3、在有解的情况下，将阶梯形矩阵继续进行初等行变换，从最后一个非零首元开始将非零首元上面的元素消成零；4、写出相应的同解方程组，令自由未知量取任意常数，可得方程组的全部解。
定理3.2齐次方程组有非零解推论当，即当方程个数小于未知元个数时，齐次线性方程组有非零解三、维向量的概念及线性运算（看作特殊的矩阵）书P121－123四、向量与向量组的线性组合（向量由向量组线性表示）对非齐次线性方程组，设，，则线性方程组可表示，从而.定义3.5 （P124）对于给定向量，如果存在一组数，使成立，则称向量是向量组的线性组合，或称向量可由向量组线性表示。
线性组合的判别定理设向量，向量，则五、向量组的线性相关性对齐次线性方程组，设，，则齐次线性方程组可表示为.它一定有零解，考虑其是否有非零解：定义3.7（P128）对于向量组，如果存在一组不全为零的数使成立，则称向量组线性相关；否则称向量组线性无关.注：（1）线性无关.（2）一个零向量线性相关；一个非零向量线性无关.（3）包含零向量的任何向量组都是线性相关的.（4）仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的分量对应成比例。
线性代数_第三章
这与1,2, . . .,s与线性无关矛盾.
推论1 两个等价的且线性无关的向量组，含有相 同个数的向量。
推论2 等价的向量组有相同的秩。
推论3 向量组(I)的秩为r1，向量组(II)的秩为r2，且
组(I)可由组(II)线性表出，则r1≤r2。
lts ks 0
于是
1 , 2 ,
k1 k2 b1 , b 2 , , s ks
l11 l12 l21 l22 , bt lt1 lt 2
l1s k1 0 l2 s k 2 0
第三章 向量组与线性方程组
§3.1 向量组的线性相关性
2 x1 3 x2 3 x3 5 x1 2 x2 x3 2 7 x2 x3 1
2 3 3 5 1 2 1 2 0 7 1 1
显然第三行是前两行的代数和； 也就是说，第三个方程能由前两 个方程“表示”；
4, (III) 1, 2, 3, 5, 且向量组的秩分别
为R(I)=R(II)=3, R(III)=4. 证明:向量组1, 2, 3, 5-4的秩为4.
证明: 由R(I)=R(II)=3得知向量组(I)线性无关,向
量组(II)线性相关,且4可由1, 2, 3,线性表出,
lm m 0
定理3 设m≤n，则m个n维向量1 ,2 ,
,m 线性无关的充
分必要条件是，其组成的矩阵的秩R(A)=m.即A为列满秩。
证：必要性. 因为Q可逆，必有l1,l2,…,lm不全为零， 这与1,2,…,m线性无关矛盾。 因此，R(A)=m。
线性代数笔记
线性代数笔记第一章行列式 (1)第二章矩阵 (2)第三章向量空间 (8)For personal use only in study and research; not for commercial use第四章线性方程组 (11)第五章特征值与特征向量......................................................................... 错误！未定义书签。
第一章行列式1.3.1 行列式的性质给定行列式,将它的行列互换所得的新行列式称为D的转置行列式，记为或。
性质1 转置的行列式与原行列式相等。
即(这个性质表明:行列式对行成立的性质,对列也成立,反之亦然)性质2 用数k乘行列式D的某一行（列）的每个元素所得的新行列式等于kD。
推论1 若行列式中某一行（列）的元素有公因数，则可将公因数提到行列式之外。
推论2 若行列式中某一行（列）的元素全为零，则行列式的值为0。
可以证明：任意一个奇数阶反对称行列式必为零。
性质3行列式的两行（列）互换，行列式的值改变符号。
以二阶为例推论3 若行列式某两行（列），完全相同，则行列式的值为零。
性质4 若行列式某两行（列）的对应元素成比例，则行列式的值为零。
性质 5 若行列式中某一行（列）元素可分解为两个元素的和，则行列式可分解为两个行列式的和，注意性质中是指某一行（列）而不是每一行。
性质6 把行列式的某一行（列）的每个元素都乘以加到另一行（列），所得的行列式的值不变。
范德蒙德行列式例10 范德蒙行列式…….=(x2-x1)(x3-x1)(x3-x2)1.4 克莱姆法则定理1.4.1 对于n阶行列式定理1.4.2 如果n个未知数，n个方程的线性方程组的系数行列式D≠0,则方程组有惟一的解:定理1.4.3 如果n个未知数n个方程的齐次方程组的系数行列式D≠0，则该方程组只有零解，没有非零解。
推论如果齐次方程组有非零解，则必有系数行列式D=0。
线性代数--第三章向量线性关系秩
不妨设k10, 则有:
α1
k2 k1
α2
k3 k1
α3
α ks k1 s
充分性:不妨设1可由2, …,s线性表示, 即存在一组
数k2,,…,ks使: 1=k22+ …+kss , 于是有
1+k22+ …+kss =0
这里1, k2 , …,ks不全为零, 所以1,2, …,s线性相关.
两个向量线性相关的几何意义是这两向量共线;
(1, 0, 0, 1)的线性相关性.
解 设 k11+k22+k33=0 , 即 (k1k3, k1+k2, 0,k2+k3)=(0,0,0,0)
k1 k1
k3 k2
0 0
k2 k3 0
解得: k1=k2=k3=0. 所以1, 2, 3线性无关.
例3 讨论向量组 1T=(1,1,2), 2T=(0,1, 1), 3T= (2, 3, 3)的线性相关性.
解 设 k11+k22+k33=0 , 即 (k1+2k3, k1+k2+3k3, 2k1k2+3k3)=(0,0,0)
k1+2k3 0 k1+k2 +3k3
0
2k 1k2 3k3 0
解得: k1=2k2=2k3. 比如取k1=2, 则有21+2 3=0
所以1, 2, 3线性相关.
显然, 一个向量组成的向量组线性相关=0
证明 不妨设1,2, …,r, …,s中1,2, …,r线性相关, 存在不全为零的数k1,k2 , …,kr, 使: k11+k22+ …+krr=0. 所以有: k11+k22+ …+krr+0r+1+ …+0s =0 而k1,k2 , …,kr,0,…,0不全为零, 所以1,2, …,s线性相关.
线性代数第三章(一二节向量与线性相关性)
证明
必要性 设向量组 A: a1 , a2 , ... , am 线
性相关, 则有 m 个不全为零的实数 k1 , k2 , ... , km 使 k1a1 + k2a2 + ... + kmam = 0 . 因 k1 , k2 , ... , km 不全为 0 , 不妨设 k1 0 , 于是便 有
（9） 若a1 , a2 , ... , an是n维向量组，则 a1 , a2 , ... , an线性相关的充要条件是其 构造的行列式值为0. 若a1 , a2 , ... , an是n维向量组，则
a1 , a2 , ... , an线性无关的充要条件是其
构造的行列式值非0. （10） 若a1 , a2 , ... , am是n维向量组，且 m>n,则 a1 , a2 , ... , am线性相关。 特别地，n+1个n维向量必线性相关。
第 三 章 向量组的线性相关性与n 维向量空间
第一节
1. 向量的定义 定义1 n 个有次序的数 a1 , a2 , ... , an 所组成的
数组称为 n 维向量,其中第 i 个数 ai 称为第i 个分量，n称为向量的维数.
n维向量
n 维向量可写成一行, 也可写成一列. 分别
称为行向量和列向量, 也就是行矩阵和列矩阵。
引例1：非齐次线性方程组（Ⅰ）有解<=>
存在一组数x1, x2, ... , xn, 满足
x1a1 + x2a2 + ... + xnan = b。 引例2：齐次线性方程组（Ⅱ）有非零解<=> 存在一组不全为零的数x1, x2, ... , xn, 满足 x1a1 + x2a2 + ... + xnan = 0。 从这两个引例中我们可以提炼出向量组两个
线性代数知识点总结
大学线性代数知识点总结第一章 行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n nn nj j j j j j j j j nija a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ奇偶排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换,其值不变;转置行列式T D D = ②行列式中某两行列互换,行列式变号;推论：若行列式中某两行列对应元素相等,则行列式等于零; ③常数k 乘以行列式的某一行列,等于k 乘以此行列式; 推论：若行列式中两行列成比例,则行列式值为零； 推论：行列式中某一行列元素全为零,行列式为零; ④行列式具有分行列可加性⑤将行列式某一行列的k 倍加到另一行列上,值不变 行列式依行列展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零; 克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时,有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时,则只有零解 逆否：若方程组存在非零解,则D 等于零 特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:333122211312110a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零,;;化为三角形行列式 ⑤上下三角形行列式:行列式运算常用方法主要行列式定义法二三阶或零元素多的 化零法比例化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵矩阵的概念：n m A *零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵 矩阵的运算：加法同型矩阵---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA,不满足消去律；由AB=0,不能得A=0或B=0 转置A A TT =)( TT T B A B A +=+)( TTkA kA =)( TTTA B AB =)(反序定理 方幂：2121k k k kA AA +=2121)(k k k k A A +=几种特殊的矩阵：对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵,k 是数,则kA 、A+B 、 AB 都是n 阶对角阵数量矩阵：相当于一个数若…… 单位矩阵、上下三角形矩阵若…… 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 都是0分块矩阵：加法,数乘,乘法：类似,转置：每块转置并且每个子块也要转置 注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设A 是N 阶方阵,若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的, B A=-1非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵初等变换1、交换两行列 2.、非零k 乘某一行列3、将某行列的K 倍加到另一行列初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的对换阵 倍乘阵 倍加阵 等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr矩阵的秩rA ：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆,则满秩 若A 是非奇异矩阵,则rAB=rB 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样,矩阵不一样；行列式最终是一个数,只要值相等,就相等,矩阵是一个数表,对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=,行列式nij n nij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆,则其逆矩阵是唯一的;矩阵的逆矩阵满足的运算律：1、可逆矩阵A 的逆矩阵也是可逆的,且A A =--11)(2、可逆矩阵A 的数乘矩阵kA 也是可逆的,且111)(--=A kkA 3、可逆矩阵A 的转置TA 也是可逆的,且T T A A )()(11--=4、两个可逆矩阵A 与B 的乘积AB 也是可逆的,且111)(---=A B AB但是两个可逆矩阵A 与B 的和A+B 不一定可逆,即使可逆,但11)(--+≠+B A B A A 为N 阶方阵,若|A|=0,则称A 为奇异矩阵,否则为非奇异矩阵; 5、若A 可逆,则11--=A A伴随矩阵：A 为N 阶方阵,伴随矩阵：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22211211*A AA A A 代数余子式 特殊矩阵的逆矩阵：对1和2,前提是每个矩阵都可逆1、分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C O B A D 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-----11111C O BC A AD 2、准对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A A A A A , 则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-----141312111A A A A A 3、 I A A A AA ==**4、1*-=A A A A 可逆5、1*-=n AA 6、()()A AA A1*11*==--A 可逆 7、()()**T TA A = 8、()***A B AB =判断矩阵是否可逆：充要条件是0≠A ,此时*11A AA =- 求逆矩阵的方法：定义法I AA =-1伴随矩阵法AA A *1=-初等变换法()()1||-=A II A nn只能是行变换初等矩阵与矩阵乘法的关系： 设()n m ij aA *=是mn 阶矩阵,则对A 的行实行一次初等变换得到的矩阵,等于用同等的m 阶初等矩阵左乘以A ：对A 的列实行一次初等变换得到的矩阵,等于用同种n 阶初等矩阵右乘以A 行变左乘,列变右乘第三章 线性方程组消元法 非齐次线性方程组：增广矩阵→简化阶梯型矩阵rAB=rB=r 当r=n 时,有唯一解；当n r ≠时,有无穷多解 rAB ≠rB,无解齐次线性方程组：仅有零解充要rA=n 有非零解充要rA<n 当齐次线性方程组方程个数<未知量个数,一定有非零解当齐次线性方程组方程个数=未知量个数,有非零解充要|A|=0 齐次线性方程组若有零解,一定是无穷多个N 维向量：由n 个实数组成的n 元有序数组;希腊字母表示加法数乘 特殊的向量：行列向量,零向量θ,负向量,相等向量,转置向量 向量间的线性关系: 线性组合或线性表示向量组间的线性相关无：定义179P 向量组的秩：极大无关组定义P188定理：如果r j j j ααα,.....,21是向量组s ααα,.....,21的线性无关的部分组,则它是 极大无关组的充要条件是：s ααα,.....,21中的每一个向量都可由r j j j ααα,.....,21线性表出;秩:极大无关组中所含的向量个数;定理：设A 为mn 矩阵,则r A r =)(的充要条件是：A 的列行秩为r;现性方程组解的结构：齐次非齐次、基础解系线性组合或线性表示注：两个向量αβ,若βαk =则α是β线性组合 单位向量组任意向量都是单位向量组的线性组合 零向量是任意向量组的线性组合任意向量组中的一个都是他本身的线性组合 向量组间的线性相关无注： n 个n 维单位向量组一定是线性无关 一个非零向量是线性无关,零向量是线性相关 含有零向量的向量组一定是线性相关 若两个向量成比例,则他们一定线性相关向量β可由n ααα,..,21线性表示的充要条件是)...()...(2121T T n T T T n T Tr r βαααααα=判断是否为线性相关的方法：1、定义法：设n k k k ....21,求n k k k ....21适合维数低的2、向量间关系法183P ：部分相关则整体相关,整体无关则部分无关3、分量法n 个m 维向量组180P ：线性相关充要n r T n T T<⇒)....(21ααα线性无关充要n r T n T T=⇒)....(21ααα推论①当m=n 时,相关,则0321=TTTααα；无关,则0321≠TTTααα ②当m<n 时,线性相关推广：若向量s ααα,...,21组线性无关,则当s 为奇数时,向量组13221,...,αααααα+++s 也线性无关；当s 为偶数时,向量组也线性相关;定理：如果向量组βααα,,...,21s 线性相关,则向量β可由向量组s ααα,...,21线性表出,且 表示法唯一的充分必要条件是s ααα,...,21线性无关;极大无关组注：向量组的极大无关组不是唯一的,但他们所含向量的个数是确定的； 不全为零的向量组的极大无关组一定存在； 无关的向量组的极大无关组是其本身； 向量组与其极大无关组是等价的; 齐次线性方程组I 解的结构：解为...,21ααI 的两个解的和21αα+仍是它的解； I 解的任意倍数αk 还是它的解；I 解的线性组合s s c c c ααα+++....2211也是它的解,s c c c ,...,21是任意常数; 非齐次线性方程组II 解的结构：解为...,21μμ II 的两个解的差21μμ-仍是它的解；若μ是非齐次线性方程组AX=B 的一个解,v 是其导出组AX=O 的一个解,则u+v 是II 的一个解; 定理：如果齐次线性方程组的系数矩阵A 的秩n r A r <=)(,则该方程组的基础解系存在,且在每个基础解系中,恰含有n-r 个解;若μ是非齐次线性方程组AX=B 的一个解,v 是其导出组AX=O 的全部解,则u+v 是II 的全部解;第四章 向量空间向量的内积 实向量定义：α,β=n n Tb a b a b a +++=....2211αβ性质：非负性、对称性、线性性 α,k β=k α,β; k α,k β=2k α,β;α+β,δγ+=α,γ+α,δ+β,γ+β,δ; ),(),(1111j i sj j r i i j sj jr i ii l k lk βαβα∑∑∑∑===== n R ∈δγβα,,,,向量的长度),(ααα=0=α的充要条件是α=0；α是单位向量的充要条件是α,α=1单位化 向量的夹角正交向量：αβ是正交向量的充要条件是α,β=0 正交的向量组必定线性无关 正交矩阵：ｎ阶矩阵Ａ I A A AA TT==性质：1、若A 为正交矩阵,则Ａ可逆,且T A A =-1,且1-A 也是正交矩阵； ２、若A 为正交矩阵,则1±=A ；３、若A 、Ｂ为同阶正交矩阵,则ＡＢ也是正交矩阵；４、ｎ阶矩阵Ａ＝ij a 是正交矩阵的充要条件是Ａ的列行向量组是 标准正交向量；第五章 矩阵的特征值和特征向量特征值、特征向量A 是N 阶方阵,若数λ使AX=λX,即λI-A=0有非零解,则称λ为A 的一 个特征值,此时,非零解称为A 的属于特征值λ的特征向量; |A|=n λλλ...**21注： 1、AX=λX2、求特征值、特征向量的方法0=-A I λ 求i λ 将i λ代入λI-AX=0求出所有非零解3、对于不同的矩阵,有重根、单根、复根、实根主要学习的特殊：n I )(λ的特征向量为任意N 阶非零向量或)(21不全为零i n c c c c ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4、特征值： 若)0(≠λλ是A 的特征值 则1-A --------λ1 则m A --------mλ 则kA --------λk若2A =A 则-----------λ=0或1 若2A =I 则-----------λ=-1或1 若k A =O 则----------λ=0 迹trA ：迹A=nn a a a +⋯⋯++2211性质：1、N 阶方阵可逆的充要条件是A 的特征值全是非零的2、A 与1-A 有相同的特征值3、N 阶方阵A 的不同特征值所对应的特征向量线性无关4、5、P281 相似矩阵定义P283：A 、B 是N 阶矩阵,若存在可逆矩阵P,满足B AP P =-1,则矩阵A 与B 相似,记作A~B性质1、自身性：A~A,P=I2、对称性：若A~B 则B~A B AP P =-1 1-=PBP A A BPP =---111)(3、传递性：若A~B 、B~C 则A~C B AP P =-111 C BP P =-212- --C P P A P P =-)()(211214、若AB,则A 与B 同不可逆5、若A~B,则11~--B A B AP P =-1两边同取逆,111---=B P A P 6、若A~B,则它们有相同的特征值; 特征值相同的矩阵不一定相似 7、若A~B,则)()(B r A r = 初等变换不改变矩阵的秩 例子：B AP P =-1则1100100-=P PB A O AP P =-1A=O I AP P =-1A=I I AP P λ=-1 A=I λ矩阵对角化 定理：N 阶矩阵A 与N 阶对角形矩阵相似的充要条件是A 有N 个线性无关的特征向量注：1、P 与^中的i i x λ与顺序一致2、A~^,则^与P 不是唯一的推论：若n 阶方阵A 有n 个互异的特征值,则~^A P281定理：n 阶方阵~^A 的充要条件是对于每一个i K 重特征根i λ,都有i i K n A I r -=-)(λ 注：三角形矩阵、数量矩阵I λ的特征值为主对角线;约当形矩阵约当块：形如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλλ111J 的n 阶矩阵称为n 阶约当块； 约当形矩阵：由若干个约当块组成的对角分块矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n J J J J 21i J 是约当块称为约当形矩阵;定理：任何矩阵A 都相似于一个约当形矩阵,即存在n 阶可逆矩阵J AP P =-1;第六章 二次型二次型与对称矩阵只含有二次项的n 元多项式f 称为一个n 元二次型,简称二次型; 标准型：形如 的二次型,称为标准型; 规范型：形如 的二次型,称为规范型; 线性变换矩阵的合同：设AB 是n 阶方阵,若存在一个n 阶可逆矩阵C,使得 则称A 与B 是合同的,记作A B;合同的性质：反身性、对称性、传递性、秩、化二次型为标准型：配方法、做变换二次型中不含有平方项。
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第三章 向量与向量空间
第二讲 向量组的线性关系(1)
主讲教师 |
本讲内容
01 向量组的线性组合 02 向量组的等价 03 线性组合的经济学应用举例 04 向量组线性相关性的定义
一、向量组的线性组合
定义3.3
对于向量，1，
，
2
， m，如果存在一组数k1，k2，
，km，使得
k11 k22 kmm
3
一、向量组的线性组合
例1 证明：任意n 维向量可由其基本单位向量组唯一线性表示。
1
0
0
a1
证
设e1
0
，e2
1，
，en
0，
a2
0
0
1
an
由 k1e1 k2e2
knen得
a1 1 0
a2
k1
0
k2
1
an
0
0
0 k1
kn
0
k2
1
kn
a1 k1，a2 k2， ，an kn
定义3.5
设有n
维向量组1，
，
2
，m，如果存在不全为零的数k1，k2，
，km，
使得 k11+k22 kmm 0
①
当且仅当k1 k2 km 0 时，① 式成立，
则称向量组1，
，
2
， m
线性无关.
注 (1) 线性无关等价定义
任意一组不全为零的数k1, k2 , , km , 使k11 k22 kmm 0 成立.
系数行列式 2 3 1 3 2 8 12 4 1 0
1 1 1
故方程组有非零解，
即存在不全为零的k1，k2，k3，使得k11 k22 k3 0 成立，
故1，2，3线性相关.
14
四、向量组线性相关性的定义
例6 设向量组1，2，3线性无关，1 1 2，2 2 3，3 3 1， 讨论向量组1，2，3 的相关性.
证 A 1 n ，C 1 n ，
b11 b1n
则 1
n
1
n
bn1 bnn
1
b111
bn1n， 2
b121
bn
2
，
n
， n
bn11
bnn n
从而C 的列向量组可由A 的列向量组线性表示；
A CB1，说明A 的列向量组可由C 的列向量组线性表示.
7
二、向量组的等价
例3 设A, B,C 均为n 阶方阵，若AB C，且B 可逆，则 (A) 矩阵C的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 (B) 矩阵C的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 (C) 矩阵C的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 (D) 矩阵C的列向量组与矩阵B 的列向量组等价
(2) 含有零向量的向量组线性相关；
不妨设i 0，011 0 i1 1i 0 i1 0m 0
12
四、向量组线性相关性的定义
(3) 基本单位向量组线性无关.
1
0
0
e1
0，e2
1，
，en
0，
0
0
1
1 0 0
k1
0
k2
1
kn
0
0
0 0 1
k1 0
k2
0
kn
0
k1 0 k2 0
解 设k11 k22 k33 0 即 (k1 k3 )1 (k1 k2 )2 (k2 k3 )3 0
由1,2 ,3线性无关得
k1 k3 0 k1 k2 0 k2 k3 0
b11 b1n
解
A 1
n ，C 1
n ，则 1
n
1
n
bn1 bnn
1
b111
bn1n， 2
b121
bn2
，
n
， n
bn11
bnn n
从而C 的列向量组可由A 的列向量组线性表示；
A CB1，说明A 的列向量组可由C 的列向量组线性表示.
B
8
本讲内容
01 向量组的线性组合 02 向量组的等价 03 线性组合的经济学应用举例 04 向量组线性相关性的定义
三、线性组合的经济学应用举例
在经济学中，需要将某个量，比如成本，分解成几部分时，常常需要用到线性组合的概念.
例4 某公司生产两种产品A 和B. 设生产价值1 万元的产品A 需要原料成本0.3 万元，人 工成本0.25 万元，设备成本0.1 万元，管理成本0.15 万元；生产价值1 万元的产品 B 需要原料成本0.25 万元，人工成本0.35 万元，设备成本0.1 万元，管理成本0.1 万元 . 现要生产价值x1 万元的产品A 和价值x2 万元的产品B ，试用向量表示总成本.
kn 0
当且仅当k1 k2 km 0 时，
k11+k22 kmm 0
故基本单位向量组线性无关.
13
四、向量组线性相关性的定义
例5 讨论1 (1, 2, 1),2 (2, 3,1),3 (4,1, 1)的相关性.
解 设k11 k22 k33 0
124
则得
k1 2k2 4k3 0 2k1 3k2 k3 0 k1 k2 k3 0
解 产品A单位成本 (0.3,0.25,0.1,0.15)T，
产品B单位成本 (0.25,0.35,0.1,0.1)T，
则需要的总成本为 x1 +x2.
10
本讲内容
01 向量组的线性组合 02 向量组的等价 03 线性组合的经济学应用举例 04 向量组线性相关性的定义
四、向量组线性相关性的定义
成立，则称
是1，
，
2
， m
的线性组合，或称
可由1，
，
2
， m
线性表示.
注意 (1) 零向量可由任一向量组线性表示. (2) 向量组中任一向量均可由该向量组线性表示.
(3) 任一向量均可由其基本单位向量组唯一线性表示.
基本单位向量组：e1 (1, 0, , 0), e2 (0,1, , 0), , en (0, 0, ,1)
是AX B有解，其中A 1,2, ,n ，B 1, 2, , n .
定理3.3
行向量组1T
,
T 2
,
, sT
可由向量组1T
,
T 2
,
,
T m
线性表示的
充要条件是XA B 有解，其中A 1,2, ,n ，B 1, 2, , n .
6
二、向量组的等价
例2 设A, B,C 均为n 阶方阵，若AB C，且B 可逆，证明矩阵C 的列向量组 与矩阵A 的列向量组等价.
即 a1e1 a2e2 anen
4
本讲内容
01 向量组的线性组合 02 向量组的等价 03 线性组合的经济学应用举例 04 向量组线性相关性的定义
二、向量组的等价
定义3.4 两个向量组能够相互线性表示，则称这两个向量组等价. 性质 (1)自反性；(2) 对称性；(3) 可由向量组1,2 , ,m 线性表示的充要条件