数学双基教学的四个特征
新课程标准理念下的数学“双基”教学
新课程标准理念下的数学“双基”教学江苏省姜堰中学张圣官（225500）“双基”是指基础知识和基本技能。
我国的“数学双基教学”，曾经培育了几代人的数学素养。
扎实、系统的基础知识和基本技能的训练是中国基础教育中数学教育的一大特色，我国的学生在各种考试中连创佳绩，在国际数学水平测试中名列前茅，这些都应归功于中国传统教学中长抓不懈的“双基”训练。
新课程标准中“双基”的具体目标是：“获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。
”新的课程理念要求在发扬传统的基础上，应根据时代发展，与时俱进地认识数学“双基”，克服“双基异化”的倾向。
1 重新审视“双基”的内涵社会发展、数学的发展和教育的发展，要求“双基平台”需要跟随时代改建。
我们可以从新课程中新增的“双基”内容，以及对原有内容的变化（包括要求和处理两方面）和发展上，思考变化，探索新课程理念下的“双基”教学。
1.1 “双基数学教学”代表一种教学理念“双基数学教学”是中国传统文化的一种传承，“双基数学教学”代表一种教学理念，一种特征，一种倾向。
它只是我国数学教育中的一个部分，虽然是十分重要的部分，但不能把“双基数学教学”等同于我国数学教学。
我们既不能把中国数学教育的某些成功一律归功于“双基”，也不能把中国数学教育的缺失一律归罪于“双基”。
“双基数学教学”可以看作一种“以打好数学双基为本”的理论，它的出发点是：（1）打好数学基础；（2）将探究、发现、创造等教育目标和基础整合。
我们要反对两种倾向：（1）基础过剩，在花岗岩基础上盖茅草房；（2）离开基础空谈创新、探究，成了基础无法支持的空中楼阁。
1.2 数学基础知识内容随着时代发展不断更新随着时代发展，数学基础知识内容是不断更新的。
如何把握新增内容的教学，以及应对原有内容要求和处理两方面的变化，是教师在新课程实施中面临的一个挑战。
2001《义务教育数学课程标准》最重要的变化
2001《义务教育数学课程标准》最重要的变化1.“双基”变“四基”。
“双基”：基础知识、基本技能；“四基”：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验“四基”与数学素养：掌握数学基础知识训练数学基本技能领悟数学基本思想积累数学基本活动经验《国家数学课程标准》制定组组长、东北师大校长史宁中教授提出了“数学教学的四基”，引起了数学教育界的广泛关注。
以前强调的双基是指基础知识、基本技能，双基教学重视基础知识、基本技能的传授，讲究精讲多练，主张…练中学‟，相信…熟能生巧‟，追求基础知识的记忆和掌握、基本技能的操演和熟练，以使学生获得扎实的基础知识、熟练的基本技能和较高的学科能力为其主要的教学目标。
现在提出的四基不但包括了基础知识、基本技能、还增加了基本思想、基本活动经验。
2. 史宁中教授指出：“…基本思想‟主要是指演绎和归纳，这应当是整个数学教学的主线，是最上位的思想。
”关于基本思想方法，陈老师为我们分析了数学思想方法的四大育人功能：一是有利于完善学生的数学认知结构；二是可以提升学生的元认知水平；三是可以发展学生的思维能力；四是有利于培养学生解决问题的能力。
陈老师结合小学数学现有的课标教材重点给我们介绍了小学阶段涉及到的数学思想方法，比如分类、转化、归纳、数形结合、数学建模、猜想、符号化、方程与函数、极限等数学思想方法。
他系统地为我们解读了这些数学思想方法的意义、在小学数学教学中的作用和价值以及应用时的注意事项，陈老师的分析让我认识到在教学中关注数学思想方法的重要性，在教学中渗透数学思想方法的必要性。
“双基”变“四基”，为数学教师提出了更高的要求，要求数学教师必须为儿童的学习和个人发展提供了最基本的数学基础、数学准备和发展方向，促进儿童的健康成长，使人人获得良好的数学素养，不同的人在数学得到不同的发展。
“双基”变“四基”，任重而道远。
常用的小学数学思想方法：对应思想方法、假设思想方法、比较思想方法、符号化思想方法、类比思想方法、转化思想方法、分类思想方法、集合思想方法、数形结合思想方法、统计思想方法、极限思想方法、代换思想方法、可逆思想方法、化归思维方法、变中抓不变的思想方法、数学模型思想方法、整体思想方法等等。
探析初中数学“双基”教学
探析初中数学“双基”教学作者：陈付超来源：《中学生数理化·教与学》2012年第06期数学“双基”是指“数学基本知识”和“数学基本技能”.在新课程改革中，数学“双基”教学发生了重大变化.它需要我们“与时俱进”，积极探究新课程标准实践过程中“初中数学双基教学”的问题.初中数学课程总目标是一个较为完整的“三位一体”（双基、能力、思想品质），其中“双基”是实现总目标的基础环节，也是学生发展能力与个性培养的载体.在初中数学新课程的实施中，还有相当一部分教师存在着教学理念陈旧，对新课程理解不深，对新教材研究不透，对“双基”教学缺少理性的思考和分析等问题.因此，我们要解读“双基”教学中存在的误区，从认识、把握、教学、评价四个层面反思现阶段初中数学的“双基”教学，切实提高初中数学教学的有效性一、初中数学“双基”教学的误区１．重难度，轻基础新课程是具有突出课改要求的新“双基”，课程内容的设计注重了近、现代教学知识的有机整合，新、老教材在教学内容的选择、编排和教学要求上都有较大的变化.新教材中的许多教学内容和教学要求都是分段设计、分层递进、螺旋式上升的.部分老教师由于缺乏对新课程理论的学习，还是用老的经验和眼光来审视新教材，片面地理解新教材，把数学知识的逻辑体系打碎了，甚至有的教师为了中考能取得好成绩，认为让学生多学一些知识总比少学好，因此，教学中盲目地拓深知识，提高要求，盲目地拓展补充知识，造成课时量严重不足和学生“吃不了，消化不良”的现象２．重形式，轻落实有的教师用所谓的新理念组织教学，结果出现了只注重华而不实的“生活化”或轰轰烈烈的“探索化”教学的形式，而没有注意到“双基”的落实问题，使得学生对知识的掌握以及能力的培养遇到了障碍有的教师在数学中过分强调“探索化”，不管什么课型、什么内容，也不管“探索”的价值如何，总要设计一些似乎是“探索”的套套，让学生“往里钻”，结果既浪费了时间，也使得应有的“双基”训练和巩固得不到落实３．重结果，轻过程新课程强调“要重视数学知识的发生、发展过程”.而在实际的教学中，许多教师认为新知识的形成过程的教学可有可无，甚至有的教师真想弃之而后快，因此，教学中出现了“重视应用，轻视过程”的现象４．重演示，轻操作现代信息技术作为现代化的教学手段，以图文并茂、声像俱佳的表现形式，让原来枯燥的、抽象的数学知识变得生动形象，在课堂上利用它辅助教学，可以呈现以往课堂教学中难以呈现的课程内容，节约教学时间，增大教学容量，提高教学效果.但在实际的教学中，许多教师把多媒体当做小黑板，一节课上下来，黑板上只写了一个课题，其余的都是用多媒体像放电影一样演示的，这种做法是否可取实在值得推敲.教学中都是教师演示，而不让学生亲自动手操作，学生基本技能的落实将是一句空话二、初中数学“双基”教学的反思１．与时俱进地审视“双基随着时代和数学的发展，初中数学的基础知识和基本技能也在发生变化，教学中要与时俱进地审视“双基２．在学习课标中把握“双基数学课程标准是初中数学教学的宏观指导性文件，它明确规定了每一个模块（或专题）的教学内容和教学要求，并附有教学说明与建议、教学案例和课时数量等，特别是对“双基”的内容与教学要求比较具体、翔实，便于教师把握和操作.因此，教师要认真学习课程标准，做到对“双基”的内容与教学要求烂熟于心.只有这样，在“双基”教学中才能做到有的放矢３．在教学中夯实“双基夯实“双基”就是让学生理解和掌握初中数学的基本概念和基本思想，熟练地掌握一些基本技能.在教学中，教师要注重体现数学概念的来龙去脉，引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程，在初步运用中逐步理解和掌握数学概念和数学思想；对一些核心概念和基本思想要贯穿初中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解；要重视运算、作图、推理、处理数据等基本技能训练４．正确评价学生的“双基学生对“双基”的理解与掌握是数学教学的基本要求，也是评价学生学习的基本内容.评价要注重对数学本质的理解和思想方法的把握，避免片面强调机械记忆、模仿以及复杂的技巧.具体的评价内容应关注以下几个方面：评价对数学的理解，可以关注学生能否独立举出一定数量的用于说明问题的正例和反例.特别地，对核心概念学习的评价应该在初中数学学习的整个过程中予以关注；评价应关注学生能否建立不同知识之间的联系，把握数学知识的结构、体系；对数学基本技能的评价，应关注学生能否在理解方法的基础上，针对问题特点进行合理选择，进而熟练运用；数学语言具有准确、简约、形式化等特点，能否恰当地运用数学语言及自然语言进行表达与交流也是评价的重要内容总之，“双基”是培养能力的载体.加强“双基”教学是初中数学教学永恒的主题！。
“双基”变“四基”、“双能”变“四能”的变化特点给我今后教学带来的思考
“双基”变“四基”、“双能”变“四能”的变化特点给我今后教学带来的思考福田区莲花中学李文宗2011年版《新课程标准》在继承我国数学教育注重“双基”传统的同时，明确提出了突出培养学生创新精神和实践能力的“基本的数学思想方法”与“基本的数学活动经验”。
反映出了社会对我国人才培养的新的期望，这也是我国十年数学课程改革的巨大成果；新课标把“四基”与数学素养的培养进行整合：掌握数学基础知识，训练数学基本技能，领悟数学基本思想，积累数学基本活动体验。
与2001年版《数学课程标准》相比，新版《数学课程标准》不论是从基本理念、课程目标、内容标准的基本要求而言，还是就实施建议来说，它都给我留下了更加准确、更加规范、更加明了、更加全面的深刻印象，给奋斗在一线教师的我们指明了方向的同时，也对我们提出了更高的要求。
近几年来数学教育越来越注重培养学生的数学思想方法；数学教育也越来越强调学生在数学学习活动的主体地位及在学习活动中获得基本的活动经验的要求。
前者是学习数学的灵魂，它可以让孩子站在知识的至高点，遨游于博大精深的数学知识海洋中而不会淹没其中；数学思想方法能够让数学知识变得生动活泼，更具趣味性，真正实现开发孩子思维的目的，也只有数学思想方法才能把基础知识与基本技能真正的得到融合起来，能够帮助我们的孩子摆脱简单模仿的比较原始的思维过程，让数学知识更具灵动性。
在后续的教学中，让学生获得基本的思想方法将根植于我今后的教学准备与教学活动。
同时我认为：教学中渗透数学思想方法可以使学生自觉地将数学知识转化为数学能力，而数学思想方法的感悟乃至获得都伴随着学生的数学学习活动发生发展，它离不开数学活动，也脱离不了在教学活动中获得的数学活动经验。
为了让学生更好获得基本活动体验，我在今后的教学中将做好以下几个方面的工作：首先是认真研究教材内容，课程内容的选择更加贴近学生的实际；其次了解学生已有的知识基础与生活经验，设计合理的教学活动过程，让教学过程更有利于学生体验与理解、思考与探索，让孩子真正参与到小组合作、探索交流等活动中。
双基教学
双基教学双基教学，即基础知识和基本技能教学双基教学模式的外部表征双基教学理论作为一种教育思想或教学理论，可以看作是以“基本知识和基本技能”教学为本的教学理论体系，其核心思想是重视基础知识和基本技能的教学。
，它首先倡导了一种所谓的双基教学模式，我们先从双基教学模式外显的一些特征进行描述刻画。
双基教学模式课堂教学结构双基教学在课堂教学形式上有着较为固定的结构，课堂进程基本呈“知识、技能讲授——知识、技能的应用示例——练习和训练”序状，即在教学进程中先让学生明白知识技能是什么，再了解怎样应用这个知识技能，最后通过亲身实践练习掌握这个知识技能及其应用。
典型教学过程包括五个基本环节“复习旧知——导入新课——讲解分析——样例练习——小结作业”，每个环节都有自己的目的和基本要求。
复习旧知的主要目的是为学生理解新知、逾越分析和证明新知障碍作知识铺垫，避免学生思维走弯路。
在导入新课环节，教师往往是通过适当的铺垫或创设适当的教学情境引出新知，通过启发式的讲解分析，引导学生尽快理解新知内容，让学生从心理上认可、接受新知的合理性，即及时帮助学生弄清是什么、弄懂为什么；进而以例题形式讲解、说明其应用，让学生了解新知的应用，明白如何用新知；然后让学生自己练习、尝试解决问题，通过练习，进一步巩固新知，增进理解，熟悉新知及其应用技能，初步形成运用新知分析问题、解决问题的能力；最后小结一堂课的核心内容，布置作业，通过课外作业，进一步熟练技能，形成能力。
所以，双基教学有着较为固定的形式和进程，教学的每个环节安排紧凑，教师在其中既起着非常重要的主导作用、示范作用或管理作用，同时也起着为学生的思维架桥铺路的作用，由此也产生了颇具中国特色的教学铺垫理论。
双基教学模式课堂教学控制双基教学模式是一种教师有效控制课堂的高效教学模式。
双基教学重视基础知识的记忆理解、基本技能的熟练掌握运用，具体到每一堂课，教学任务和目标都是明确具体的，包括教师应该完成什么样的知识技能的讲授，达到什么样的教学目的，学生应该得到哪些基本训练(做哪些题目)，实现哪些基本目标，达到怎样的程度(如练习正确率)，等等。
高中数学课堂教学落实“双基”的“三忌”与“四要”
比如 ， 函数 的概念 一定 要抓住 “ 任 意”、 “ 唯一 ”等 字 眼来 深 刻讲 解 ， 通 过 正 面 和反面例 子 来反 映概 念 的特 征 ，由具体
合 于高考， 可能只适合 于竞 赛。 但笔者 认 为， 在讲 求 通 性 通法 基 础 上 ， 对 于难 度
二 忌 不重 视 基 础 ， 只追 求训 练 。 有 数学 专家指出， 数 学 技 能 的重 要 性 越
琐 的计 算 、 人 为技 巧化 的难题 和过 分强 调细 枝末 节的 内容 ， 克服 “ 双 基异 化”的
倾 向。 从 某种程 度上看 ， 这种 提法对 “ 双 基” 进行 了细化 和发展 。 数 学能力与 数学技 能是有差 别 的， 比如 ， 学生 懂得换 元法 ， 是知识 ； 学 生掌 握 换 元 法 的步骤 和过 程是 技能 ； 但是 判
过程 ， 操 作 技 能由 “ 定 向、 分 解 、整合 、
熟 练”四个 阶段 组成 ， 是一 个知识 内化的
以通 过 情境 引入 、 探 索 实践 、 推 理论 证
过程 。 而学生一旦掌握了 “ 双基”， 能力才
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解别 人 指出的重 难 点 ， 但 如果 照搬 别 人 的教 案 ，自己不琢 磨真 正 的重 难点 是 什 么， 人 云亦云 ， 讲课 时不讲 透 、 不深 化 、
充一 些教学 内容， 使 知识有效衔 接。
二 、“ 四 要时 渗 透 技
不 高的解题 技巧 还是要 适时 渗透为好 。
断什 么时候使 用换 元法 ， 在“ 元” 不 明显
时怎样 构造 “ 元”， 则是能力。因此 ， 技能 是解决 问题 时按一定步骤 来进 行 的操 作
八年级数学双基掌握应用情况
八年级数学双基掌握应用情况摘要：一、引言二、八年级数学双基掌握情况分析1.基础知识掌握情况2.基本技能掌握情况三、应用能力分析1.问题解决能力2.创新能力四、存在问题及原因1.基础知识不扎实2.基本技能欠佳3.缺乏实践机会五、提高双基掌握应用能力的策略1.加强课堂教学2.增加实践机会3.培养学习兴趣4.强化训练六、结语正文：【引言】八年级数学作为初中阶段的重要学科，双基掌握与应用能力对于学生的后续学习与发展具有重要意义。
本文将对八年级数学双基掌握应用情况进行分析，并提出相应的提高策略。
【八年级数学双基掌握情况分析】1.基础知识掌握情况八年级数学基础知识主要包括算术、代数、几何等方面的内容。
通过调查发现，大部分学生对这些基础知识有一定的掌握，但部分学生由于学习态度、方法等原因，对基础知识的掌握还存在不足。
2.基本技能掌握情况基本技能包括解题技巧、计算能力等。
从总体上看，学生在基本技能方面的表现较好，但仍有一部分学生由于训练不足，导致解题速度慢、计算准确性不高。
【应用能力分析】1.问题解决能力八年级数学问题解决能力方面，部分学生能够熟练运用所学知识解决实际问题，表现出较高的应用能力。
然而，也有部分学生在面对实际问题时，不知如何运用所学知识。
2.创新能力在创新能力方面，学生表现各异。
一部分学生能够灵活运用所学知识，进行创新性的思考，提出新颖的问题解决方案。
而另一部分学生在创新方面尚有欠缺，需要加强训练。
【存在问题及原因】1.基础知识不扎实部分学生对基础知识掌握不牢，导致在解决问题时无法灵活运用。
原因可能在于学生学习态度不端正、课堂听课效果不佳、课后复习不到位等。
2.基本技能欠佳学生在基本技能方面存在不足，主要原因是缺乏系统性的训练和足够的实践机会。
3.缺乏实践机会课堂教学与实际生活脱节，导致学生在面对实际问题时，难以将所学知识应用到实际生活中。
【提高双基掌握应用能力的策略】1.加强课堂教学教师应注重培养学生的基本功，让学生在课堂上充分理解、掌握基础知识。
数学双基教学
（4）逻辑严谨和淡化形式相结合；
5.课堂教学实行5个环节模式
（1）复习旧课环节 （3）讲授讨论环节； （5）布置作业环节；
（2）导入新课环节； （4）巩固练习环节；
数学双基教特点
高楼是美丽的，但是基础更重要！没有基础的创 新是空想，没有创新的基础是傻练！
————张奠宙
中国的“双基” 数学教育
数学双基的含义
一“双基数学教学”的含义，是指在重视 “双基”的前提下，促进学生的创新和发 展。
数学基础知识：包括数学的公式，概念， 法则以及它们所形成的知识网络和这些内 容所蕴含的数学思想和方法。
数学基本技能：包括数学的计算能力，逻 辑思维能力和空间想象能力。或者是推理， 运算，作图的能力。
中国数学教育的“双基”教学论基本内容可以概括为：
1.全国统一的课程与考试制度；
2.打好两个基础：基础知识和基本技能
维能力；
4.倡导四个结合：
（1）教师主导作用和学生的主体作用相结合；
（2）抽象理论和具体实践相结合；
（3）有效讲授和变式演讲相结合；
谈小学数学教学的“双基”训练
谈小学数学教学的“双基”训练随着教学改革，小学数学教学课堂教学中教师采取了新颖的形式却淡化了“双基”训练;如果这样长期下去，势必影响数学教学的质量，如何提高数学课堂教学的有效性？我认为双基训练不可忽视。
小学数学教学是基础教育，为了培养学生的基础学力，就必须向学生提供有价值的、相对连贯稳定的基础知识，培养学生适应社会和进一步学习所必需的基本技能。
我们要重新审视数学教学中的“双基”训练，要真正看到“双基”训练促进学生知识建构的重要作用，整合“双基”训练与新课程实施理念，做到合理“扬弃”。
在大力推进新课程、“面向全体学生”的今天，以培养数学精英和升学为最终目的的教育思想也是不能接受的。
一、“双基”训练是落实数学课标的保障“双基”训练是体现新课程目标的基本要求。
《标准》对数学课程提出了四个方面的目标:知识和技能，数学思考，解决问题，情感与态度。
这四个方面对学生实施了三个层面的教育。
第一是知识教育层面，从“数和代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合应用”四大块数学知识，强调学生掌握必要的基础知识和基本技能的同时，获得基本的数学思想和解决简单问题的方法。
第二是数学素养与能力培养层面。
通过小学数学的教学过程，让学生经历数学思考，培养学生发展形象思维、抽象思维、统计观念以及合情推理的逻辑思维，从而提高学生的数学思维能力。
第三是以情感、态度和价值观为主的非智力品质教育的层面。
新课程提出要引导和培养学生学习数学的好奇心和求知欲，激发学习兴趣，树立信心，形成实事求是的科学态度和刻苦钻研的精神，锻炼克服困难的意志，养成独立思考的习惯。
这三个层面都属于学生发展的“双基”训练的范畴，是落实数学课标的基本保障。
“双基”训练是小学数学的教学内容的重要组成部分。
小学数学课程具有基础性、生活性、应用性的特点，努力实现“人人学有价值的数学;人人都能获得必需的数学;不同的人在数学上得到不同的发展”。
在内容标准上，“双基”训练是最基本的，同时新课程依据数学学科的特点和儿童的心理特征，从数学基础知识、基本技能、数学素养和能力以及思想品质教育等方面，结合课程目标体系作了必要的调整。
中国数学双基教学
中国数学双基教学中国特色的数学“双基”教学理论——张奠宙先生数学教育名言解读陈飞(贵州省习水县第一中学，新青年数学教师工作室)名言：“双基”是中国数学教学的重要特征；数学“双基”教学有四个特点：记忆通向理解、速度赢得效率、严谨形成理性、重复依靠变式，数学“双基”教学的理论模型包括“双基基桩、双基模块、双基平台”，数学教学要在坚实基础的基础上谋求应用和创新的发展.出处：张奠宙.中国数学双基教学[M].上海：上海教育出版社，2006：绪论1-6.张奠宙(1933-2018)先生是中国特色数学教育引领者，数十年来大声疾呼建立中国特色的数学教育理论，期待建设中国特色的数学教育学派.总结中国数学教育实践经验和特色，张奠宙先生认为“双基”教学是中国数学教育的重要特征，它根植于中华传统的耕作文化、儒家文化、考试文化和考据文化，并且可以与西方数学教育理论嫁接.张奠宙先生为中国数学“双基”教学理论的建设可谓投入最多，成果最为丰硕.是什么原因促使张奠宙先生投身于“双基”教学理论的建设呢？“双基”教学理论的建设是不是一帆风顺呢？数学“双基”教学理论在国内外的境遇如何？带着这些问题，笔者又重读张奠宙先生的论著和其他文献，试图梳理出一条中国数学“双基”教学理论的发展史，为今后继续从事数学“双基”教学理论研究的学者提供借鉴.1 数学“双基”教学：优良传统中国数学教育有许多特点，公认以“双基”教学为主要特征. [1] 什么是数学“双基”？公认的是“数学基础知识”和“数学基本技能”.我国老一辈数学家、数学教育家华罗庚、魏庚人、曹才翰、张孝达都注重数学“双基”教学.华罗庚先生是我国著名数学家，他虽然没有明确提出数学“双基”教学的概念，但是他的教学思想有一条鲜明的主线——创造源自基础，基础孕育创造.数学教学的基本要义是围绕创造打好“基础”，让学生在打好“双基”中走向创造.[2]在这种数学“双基”教学思想指导下，华罗庚先生培养了一大批数学人才，遗憾的是华罗庚先生的数学“双基”教学思想没有系统化、形成一整套理论.魏庚人先生是我国第一位中学数学教材教法专业的教授，也是1950年至1980年间我国数学教育专业唯一的教授.倡导“双基”教学是魏庚人先生重要的数学教育思想，他的这个思想初步形成于20世纪二三十年代，来源于他的教学实践.早年在北师大附中教学实践中，他就十分重视“双基”教学，使学生数学学习得到了学得容易、学得深刻的效果.1962年，魏庚人先生为陕西省数学会编写了《加强中学数学基本知识与基本训练的几点意见》一文，当时通过陕西人民广播电台向全省中学多次广播，此文于1963年发表在《人民教育》上，标志着他系统的“双基”教学理论的形成.魏庚人先生在文中指出，“为了提高中学数学的教学质量，首先应该加强基本知识和基本训练方面的教学”.魏庚人先生认为的“双基”教学包括基本知识和基本训练两个方面.[3]魏庚人先生的数学“双基”教学理论是我国学者第一次对“双基”教学理论化提升的尝试.遗憾的是在魏庚人先生生活的年代，数学教育还没有真正成为一门学科.即使在国外，直到1968年弗赖登塔尔创办荷兰《数学教育研究》，提倡数学教育以学术论文的形式出现，一改以往国际数学教育大会仅仅是各国教学大纲的交流，数学教育研究才逐渐科学化.所以，魏庚人先生虽然躬身力行几十年研究“双基”教学，但只能算是一个理论雏形.关于数学“双基”的理论，直到2006年邵光华、顾泠沅还在《中国双基教学的理论研究》一文中感叹，与西方教学理论流派不同，中国“双基”教学理论没有公认的倡导者或权威性著作.曹才翰先生是我国数学教育心理学的创始人和开拓者，在《初中数学中的双基与能力》一文中，他理清了双基与能力的区别与联系，知识是人对经验的概括，技能是对一系列行为方式的概括，能力是直接影响人们顺利有效地完成活动的个性心理特征，能力是对思想材料进行加工的活动过程的概括.[4]“双基”与能力是并列的，“双基”并不包含能力，这为对“双基”的界定奠定了理论基础，防止有人把“双基”概念泛化.张孝达先生是著名的数学教育家，曾任人民教育出版社中学数学室主任，践行“双基”教学思想，他在2000年的《坚持双基，加快改革创新步伐》一文中，认为我国数学教育的一大优势就因为强调基础知识的教学和基本技能的训练，从而学生有扎实的数学基础，所以必须坚持“双基”.[5]在张孝达先生主编的教材中也能体现他的“双基”教学思想.由于历史的局限性，还有我国数学教育研究还没有与世界接轨，先辈数学家、数学教育家都没有成为“双基”教学理论公认的倡导者，也没有写出“双基”教学理论的权威论著，但是他们为后来学者打下了基础.2 数学“双基”教学：使命在身中国在数学教育实践上取得的成绩举世瞩目，却没有广受认可相应的数学教育理论支持.张奠宙先生早就注意到了这个问题，他在1997年就撰文指出：“我国的数学教育，经过建国后近半个世纪的风风雨雨，已经积累了很多经验，但似乎还没有很好地上升为理论.”他认为“中国学生具有良好的数学基础知识和基本技能”，呼吁“如能把‘双基’教学提到理论高度，将是国际数学教育界的一项重大贡献”，并列出了如何进行“双基”教学理论研究的建议，今天看来，仍有较大的指导价值.[6] 国内学者对数学教育的误解也促使张奠宙先生致力于“双基”教学理论研究. 他在《中国双基教学》中写道：“就在北京大兴的一次不经意的讨论过程中，使我下定决心研究数学双基教学.那是一次讨论高中课程的会议，我认为要总结中国自己的成功经验，发扬自己的优良传统.一位教育家随口说道：‘中国当代的学科教育有什么可以发扬的？我不知道. ’这很刺激我.学科教育在中国至今没有获得应有的重视，原因很多.其中重要的一条是自己缺乏研究，没有拿出一流的成果来.就连‘数学双基’这样‘耳熟能详’、‘行之有效’的经验，居然也没有科学的研究，对一般教育理论和实践没有多少贡献.我觉得数学双基教学的研究已经时不我待. ”[7]之后，张奠宙先生身体力行的投身于“数学双基教学”这一专题，他的同事唐瑞芬教授说：“十多年来真可谓呕心沥血、锲而不舍，大会讲，小会说，从国际数学教育大会到国内的诸多场合，从理论研究工作者到第一线中小学数学教师，从数学教育高级研讨班的专题讨论，到基层组织的数学教师研修班的成果总结，从追根溯源的理论探索到教学实践中的典型案例、调查实录. ”[7]唐瑞芬教授提到的“大会讲”，其中一个就是指在2004年在哥本哈根召开的第10届国际数学教育大会上，张奠宙先生与戴再平教授以“中国双基数学教学和开放题教学”为题做了45分钟报告，报告英文版发表在韩国数学教学学会志《数学教育研究，2004(9)》(国际刊ISSN1226-6663)，中文版发表在《数学教育学报》，在国内外产生较好的反响.3 数学“双基”教学：理论探索早在1996年，常熟高等专科学校的田中和江苏大学的徐龙炳到华东师范大学数学系访问，张奠宙先生指导他们研究“数学双基”.他们非常努力地工作，在没有国家任何经费支持的情况下，凭着个人的热情，争取中学老师的帮助，完成了难度很大的“初中学生整式运算能力调查”的项目.这包括一个衡量“数学双基”的量表，以及严格的测试和精致的数据分析.肇始于1992年的数学教育高级研讨班，前后持续了15年，在我国数学教育界有很大的影响力，其中有两届研讨班以“双基”为主题：“数学教育技术和‘双基’研究(2002年，苏州)”和“数学‘双基’教学研究(2004年，南宁)”.两次的讨论形成了《中国数学双基教学》(2006年)一书，初步形成了中国特色的数学“双基”教学理论框架：“双基”是中国数学教学的重要特征；中国“双基”教学有四个特点：记忆通向理解、速度赢得效率、严谨形成理性、重复依靠变式，给出了“双基基桩、双基模块、双基平台”模型，并指出数学教学要“在坚实基础的基础上谋求应用和创新的发展”(如下图所示). [7]2013年，张奠宙先生继续进行总结，将数学“双基”教学融入中国数学教育特色的核心：[8]中国数学教育特色的核心是：“在良好的数学基础上谋求学生的全面发展”.这里的“数学基础”主要是“数学双基”(基础知识和基本技能)和“三大数学能力”(数学运算能力、空间想象能力、逻辑思维能力)；“数学发展”是指：提高学生用数学思想方法分析问题和解决问题的能力，促进学生在德、智、体等各方面的全面发展.与此相应的教学方式突出“数学内容本质的理解”，其主要特征是：数学“双基”教学(正在发展为数学“四基”教学)，数学新知的教学导入，教师主导下的师班互动教学，数学尝试教学，数学变式教学，数学思想方法教学等.数学“双基”教学成为我国优秀数学教育传统之一，数学“双基”教学的研究迄今已有60多年，我们要再接再厉，与时俱进地研究“双基”教学.现在，为了适应数学教育的发展需要，人们又提出了将数学“双基”发展成“四基”(如下图所示)，即基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验.当然，数学“四基”理论将接受实践的检验，我们拭目以待.2008年出版的《数学“双基”教学的理论与实践》和2013年出版的《数学教育的“中国道路”》是张奠宙先生继续深入研究“双基”的成果，标志着中国特色的数学“双基”教学理论形成，这也许是揭示华人学习者悖论奥秘的一把钥匙.今天，我们可以说张奠宙先生就是数学“双基”教学理论的主要倡导者，《中国数学双基教学》《数学“双基”教学的理论与实践》《数学教育的“中国道路”》就是数学“双基”教学理论权威著作.4 数学“双基”教学：任重道远著名华人学者蔡金法教授于2007年用中文出版了《中美学生数学学习系列实证研究》一书，该书的第十二章是启示与建议.书中指出：“是否需要重新考虑对‘双基’的投入？”我们应该在基础和楼层之间需要找到一种平衡.为有限的投入设计一个良性结构，使它能产生更大的效益.[9]张奠宙先生也表达过类似的观点：“在花岗岩的基础上盖茅草房，是极大的浪费”，“我国在‘双基’教学上有成功的经验，但是也存在着‘基础过剩’‘缺乏创造’的不足”.2004年，张奠宙在南宁举行的数学教育高级研讨班上，提出“双基教学”的概念：在掌握数学基本知识和基本技能的基础上，谋求学生的创新发展.这样的提法，就是为了取得基础与发展的平衡，避免“双基”的异化.既要基础，又要发展，是我们今后的任务.我国的“双基”教学理论在国际上还没有得到广泛的认可，弗赖登塔尔数学教育奖获得者、中国香港大学的梁贯成教授在一次超星学术视频中讲道：“中国数学教育特色与西方国家到底有什么不一样？‘双基’是我们很重要的一个看法，但是还没有提升到一个理论框架的层次. ”张奠宙先生寄语第三届华人数学教育大会：“所以我觉得从中国文化和传统中找到中国数学教育的特征，去除她的不足.然后，发扬她的在世界上正确的东西，这样中国数学教育一定会成功.现在我们还没有这个力量，话语权都在西方人手里.”“因为我们是后来者，后来者也要赶上去，要加倍努力，但我相信像我这样一代人过去，很快还会有第二代、第三代，我们接力赛跑，总有一天能够以华人数学教育学派的姿态，出现在世界舞台上.”建设中国数学“双基”教学理论，包括建设中国特色的数学教育理论，建设中国特色的数学教育学派，张奠宙先生已经迈出了重要的一步，我等后辈定当勇往直前，奋起直追，努力赶超世界数学教育先进水平.。
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一元二次方程求根：（设计）
x26x90 完全平方 x 2 5 x 6 0 整数因式分解 2 x 2 3 x 1 0 二次项系数不为1，容易因式分解 6 x 2 x 1 0 因式分解稍难 x 2 4 x 9 0 配方 7 x 2 8 x 9 0 较难的配方 ax 2 3 x 9 0 带字母 x 2 mx 9 0 含参数m，讨论有实根时m的变动范围
3
3
21 7、 3 的 2 是多少？
21 8、3 的 4 是多少
23 9 、3 的 4 是多少？
因式分解：
源问题：x2 5x6
x2 6x 8 y2 5y 6 x 2 10 x 16
(水平变式)
a、b取何值时可使下 列各式因式分解
x 2 ax 6
x2 5x b
x 2 ax b
x 3 ax b
(垂直变式)
32字诀 积极前进，循环上升，淡化形式，注重实质， 开门见山，适当集中，先做后说，师生共作。
与“循序渐进”的教学原则不同。因为过分“稳妥”强调 “层层夯实，打好基础”在一个知识点上，反复讲，重复 练，就会扼杀学生的学习积极性。
“传统观念认为学习不能煮夹生饭”，但认识不可能一次 完成。“认识”这个饭是永远煮不熟的企图一次完成不但 是事倍功半，而且这会对进一步认识带来阻力（思维定势）
允许合理猜想，允许估算 新教材中，估算
学生的注意力的持久性差。学生一般只集中10-20分钟， 教学要直截了当揭示课题的重点内容。在每一堂课当中， 要使学生掌握哪些知识，巩固哪些方法，培养哪些能力， 达到怎样的要求。教师都要有一个明确的目的。
选题应带有目的性，应围绕重点去进行，而不应看到 有认为编得好的题目就选。
“积极前进”是让学生自己伸手，甚至跳起来摘桃子。
只有“前进”才能使他们在数学学习中常有新鲜感，使 他们不断有新收获。有成功感，促使其“上进”。以积 极的态度来进行教学，取中上水平，用“稍快”来试探， 效益更好。
淡化纯文字叙述。不要把概念，命题，法则，结论的纯 文字叙述形式过分“神圣”，提倡学生用自己的语言解 释。
先做后说
不是指单纯的做数学题， 而是指学生参与数学教学活动
与圆有关的角的性ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ与灵活应用（教学设计）
教学过程：开门见山，出示一道其多种解法几乎贯
穿本节课所有复习内容的典型例题。
A
题目：已知如图1，AD是△ABC的高， AE是△ABC外接圆直径，
12
O
求证： ∠1= ∠2
B
DC
E
4x35
3x4y12
②非标准式概念变式
标准图形：
非标准图：
垂直
菱形
三角形的高
③非概念变式
概念图形 邻角
对顶角
圆周角
非概念图形
数学活动的有层次推进
例:
2 3
的3 4
是多少？
1、 2的1倍是多少?
2、2的2倍是多少？
1 3、 2 的2倍是多少？
1
4、2的 倍是多少？
2
2
5、 的1倍是多少？
6、 2 的3倍是多少？
因式分解：
源问题：x2 5x6
x2 6x 8 y2 5y 6 x 2 10 x 16
a、b取何值时可使下 列各式因式分解
x 2 ax 6
x2 5x b
x 2 ax b
x 3 ax b
①概念变式
方程（含有未知数的等式）
例： 2x1
x 1 2 3
x2 10 x2 y2 1