2016-2017年河南省洛阳名校高一下学期第一次联考数学试卷及参考答案

2016-2017学年河南省洛阳名校高一（下）第一次联考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）已知α是第二象限角，且，则是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角2．（5分）已知A（1，3），B（4，﹣1），则与向量共线的单位向量为（）A．或B．或C．或D．或3．（5分）已知等边三角形ABC的边长为1，若，则的值为（）A．﹣2 B．C．D．24．（5分）函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后得到的函数图象的解析式是奇函数，则函数f（x）在上的最小值为（）A．B．C．D．5．（5分）直角坐标系xOy中，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC中，若=2+，=3+k，则k的可能值个数是（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，把f（x）的图象向右平移个单位长度得到g（x）的图象，则g（x）的单调递增区间是（）A．B．C．D．7．（5分）已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）=0，则||的最大值是（）A．1 B．2 C．D．8．（5分）如图，一个几何体的三视图如图所示（正视图、侧视图和俯视图）为两个等腰直角三角形和一个边长为a的正方形，则其外接球的体积为（）A．B．C．D．9．（5分）已知P是△ABC内一点，且，则△PAB的面积与△ABC 的面积之比等于（）A．1：3 B．2：3 C．1：5 D．2：510．（5分）正四棱锥P﹣ABCD的侧棱长为，底面ABCD边长为2，E为AD的中点，则BD与PE所成角的余弦值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0，则的最小值是（）A．﹣2 B．C．D．12．（5分）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1，x2有，则φ等于（）A． B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知，则的值为．14．（5分）设f（x）=asin（πx+θ）+bcos（πx+θ）+3（其中a，b，θ为非零实数），若f（2016）=﹣1，则f（2017）=．15．（5分）已知不等式在上恒成立，则b的取值范围是．16．（5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象关于直线对称，它的周期为π，则下列说法正确是．（填写序号）①f（x）的图象过点；②f（x）在上单调递减；③f（x）的一个对称中心是；④将f（x）的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y=2sinωx的图象．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（10分）已知（tanα﹣3）（sinα+cosα+3）=0，求值：（1）（2）．18．（12分）已知．（1）求；（2）若，求向量在上方向上的投影；（3）已知与成钝角，求实数t的取值范围．19．（12分）已知f（x）=2cos2x﹣2asinx+a2﹣2a+1（0≤x≤）的最小值为﹣2，求实数a的值，并求此时f（x）的最大值．20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1是矩形，∠BAC=90°，AA1⊥BC，AA1=AC=2AB=4，且BC1⊥A1C（1）求证：平面ABC1⊥平面A1ACC1（2）设D是A1C1的中点，判断并证明在线段BB1上是否存在点E，使DE∥平面ABC1，若存在，求点E到平面ABC1的距离．21．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜的图象在y轴右侧与x轴第一个交点和第一个最高点的坐标分别为（x 0，0）和（x0+，2），若将函数f（x）的图象向左平移个单位后所得函数图象关于原点对称（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数y=f（kx）+1（k＞0）的周期为，且当x∈[0，]时，方程f（kx）=m恰有两个不同的根，求实数m的取值范围．22．（12分）已知圆C经过点A（0，2），B（2，0），圆C的圆心在圆x2+y2=2的内部，且直线3x+4y+5=0被圆C所截得的弦长为2，点P为圆C上异于A、B 的任意一点，直线PA与x轴交于点M，直线PB与y轴交于点N．（1）求圆C的方程；（2）求证：|AN|•|BM|为定值；（3）当•取得最大值时，求|MN|．2016-2017学年河南省洛阳名校高一（下）第一次联考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）已知α是第二象限角，且，则是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【解答】解：∵α是第二象限角，∴+2kπ＜α＜π+2kπ，则＜＜，k∈Z．∴是第一或第二或第四象限角．又＜0，∴是第二象限角．故选：B．2．（5分）已知A（1，3），B（4，﹣1），则与向量共线的单位向量为（）A．或B．或C．或D．或【解答】解：=（3，﹣4）设与共线的单位向量是（x，y），则有，解得：或，故选：B．3．（5分）已知等边三角形ABC的边长为1，若，则的值为（）A．﹣2 B．C．D．2【解答】解：以BC为x轴，以BC边上的高为y轴建立平面直角坐标系，则B（﹣，0），A（0，），∵，∴E是OB的中点，D是AC的中点，∴E（﹣，0），D（，）．∴=（，），=（﹣，﹣），∴=（﹣）+×（﹣）=﹣．故选B．4．（5分）函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后得到的函数图象的解析式是奇函数，则函数f（x）在上的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：把函数y=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位得到函数y=sin （2x++φ）的图象，因为函数y=sin（2x++φ）为奇函数，故+φ=kπ，由|φ|＜故φ的最小值是﹣．所以函数为y=sin（2x﹣）．x∈，则2x﹣∈[﹣，]，x=0时，函数取得最小值为．故选：A．5．（5分）直角坐标系xOy中，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC中，若=2+，=3+k，则k的可能值个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵若=2+，=3+k，∴==+（k﹣1），∵△ABC为直角三角形，（1）当∠A=90°时，=6+k=0，解得k=﹣6；（2）当∠B=90°时，=2+k﹣1=0，解得k=﹣1；（3）当∠C=90°时，=3+k（k﹣1）=0，方程无实解；综上所述，k=﹣6或﹣1故选B6．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，把f（x）的图象向右平移个单位长度得到g（x）的图象，则g（x）的单调递增区间是（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，可得A=2，==﹣，∴ω=2．再根据五点法作图可得2•+φ=π，∴φ=，∴f（x）=2sin（2x+）．把f（x）的图象向右平移个单位长度得到g（x）=2sin（2x﹣）的图象，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得g（x）的单调递增区间是[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，故选：C．7．（5分）已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）=0，则||的最大值是（）A．1 B．2 C．D．【解答】解：．∵，∵，∴，∵cosθ∈[﹣1，1]，∴的最大值是．故选C．8．（5分）如图，一个几何体的三视图如图所示（正视图、侧视图和俯视图）为两个等腰直角三角形和一个边长为a的正方形，则其外接球的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图知该几何体为四棱锥，记作S﹣ABCD，其中SA⊥面ABCD．面ABCD为正方形，将此四棱锥还原为正方体，易知正方体的体对角线即为外接球直径，所以2r=a．=πr3=．∴V球故选A．9．（5分）已知P是△ABC内一点，且，则△PAB的面积与△ABC 的面积之比等于（）A．1：3 B．2：3 C．1：5 D．2：5【解答】解：∵，∴=+，将AB延长至D，使长度AD=2AB向量=2．则=+，=S△ADC，S△ABP=S△ADC，则S△ABC△PAB的面积与△ABC的面积之比是1：5故选：C10．（5分）正四棱锥P﹣ABCD的侧棱长为，底面ABCD边长为2，E为AD的中点，则BD与PE所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：取AB的中点O，连接PO，OE，则OE∥BD，∠PEO是BD与PE所成角，∵正四棱锥P﹣ABCD的侧棱长为，底面ABCD边长为2，∴OE=，PO=PE=2，∴cos∠PEO==，故选A．11．（5分）已知x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0，则的最小值是（）A．﹣2 B．C．D．【解答】解：=2+3•．x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0可化为（x﹣2）2+（y﹣1）2=9．令k=．则k是过A（x，y）和B（﹣2，1）的直线的斜率，可化为kx﹣y+（1+2k）=0，所以直线AB和圆有公共点，所以圆心（2，1）到直线距离小于等于半径r=3，所以≤3，所以﹣≤k≤，所以的最小值是﹣，所以的最小值是2﹣，故选D．12．（5分）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1，x2有，则φ等于（）A． B．C．D．【解答】解：将函数f（x）=sin2x的图象向右平移个单位后得到函数g（x）=sin（2x﹣2φ）的图象，若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1，x2，有，故两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1﹣x2|min=，不妨设x1=，x2=，则g（x2）=sin（2x2﹣2φ）=sin（﹣2φ）=﹣1，则φ的最小正值为，检验满足条件，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知，则的值为﹣．【解答】解：∵，∴=﹣sin（α+）=﹣cos（﹣α）=﹣．故答案为：﹣．14．（5分）设f（x）=asin（πx+θ）+bcos（πx+θ）+3（其中a，b，θ为非零实数），若f（2016）=﹣1，则f（2017）=7．【解答】解：由题意：f（x）=asin（πx+θ）+bcos（πx+θ）+3（其中a，b，θ为非零实数），f（2016）=﹣1，可得﹣1=asin（2016π+θ）+bcos（2016π+θ）+3，得asinθ+bcosθ=﹣4，那么f（2017）=asin（2017π+θ）+bcos（2017π+θ）+3=asin（2016π+π+θ）+bcos（2016π+π+θ）=asin（π+θ）+bcos（π+θ）+3=﹣asinθ﹣bcosθ=﹣（asinθ+bcosθ）+3=7．故答案为7．15．（5分）已知不等式在上恒成立，则b的取值范围是（﹣∞，0）．【解答】解：设x=sinθ，则θ∈[﹣，），∵不等式在上恒成立，∴cosθ＞sinθ+b在[﹣，）上恒成立，∴b＜cosθ﹣sinθ=cos（θ+），∵θ∈[﹣，），∴θ+∈[﹣，），∴0≤cos（θ+）≤，∴b＜0，故b的取值范围是（﹣∞，0），故选：（﹣∞，0）16．（5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象关于直线对称，它的周期为π，则下列说法正确是③．（填写序号）①f（x）的图象过点；②f（x）在上单调递减；③f（x）的一个对称中心是；④将f（x）的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y=2sinωx的图象．【解答】解：由题意，周期为π，即T=，可得ω=2．则f（x）=2sin（2x+φ）图象关于直线对称，可得2×+φ=k，k∈Z．∵0＜φ＜，∴φ=．则f（x）=2sin（2x+）当x=0时，可得f（0）=1，图象过点（0，1），∴①不对．由+2kπ≤2x+，k∈Z．得：≤x≤+kπ．可得f（x）在[，]上单调递减；∴②不对．当x=时，可得f（）=0，图象关于点（，0）对称，∴③对．将f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位长度得到：2sin（2x），∴④不对．故答案为③．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（10分）已知（tanα﹣3）（si nα+cosα+3）=0，求值：（1）（2）．【解答】解：（1）∵（tanα﹣3）（sinα+cosα+3）=0，∴tanα=3，∴===1．（2）====．18．（12分）已知．（1）求；（2）若，求向量在上方向上的投影；（3）已知与成钝角，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）由||=4，||=3，（2﹣3）•（2+）=61，可得42﹣4•﹣32=4×16﹣4•﹣3×9=61，解得•=﹣6，则====；（2）向量在上方向上的投影为==2；（3）由与成钝角，可得（）•（）＜0，且与不共线，可得t2+（1﹣t）•﹣2=16t﹣6（1﹣t）﹣9＜0，解得t＜，又且与共线，可得=m（），即为1=mt，﹣1=m，解得t=﹣1．则实数t的取值范围是t＜且t≠﹣1．19．（12分）已知f（x）=2cos2x﹣2asinx+a2﹣2a+1（0≤x≤）的最小值为﹣2，求实数a的值，并求此时f（x）的最大值．【解答】解：化简f（x）=2cos2x﹣2asinx+a2﹣2a+1可得f（x）=2（1﹣sin2x）﹣2asinx+a2﹣2a+1=﹣2（sinx+）2+﹣2a+3∵0≤x≤，∴0≤sinx≤1，令g（t）=﹣2（t+）2+﹣2a+3，0≤t≤1当﹣即a≤﹣1时，即t=0时函数g（t）取最小值，a2﹣2a+3=﹣2，无解当﹣时，即a≥﹣1时，即t=1时，函数g（t）取最小值，a2﹣4a+1=﹣2，解得a=1，a=3（符合题意）此时f（x）的最大值为g（0）=2或6．20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1是矩形，∠BAC=90°，AA1⊥BC，AA1=AC=2AB=4，且BC1⊥A1C（1）求证：平面ABC1⊥平面A1ACC1（2）设D是A1C1的中点，判断并证明在线段BB1上是否存在点E，使DE∥平面ABC1，若存在，求点E到平面ABC1的距离．【解答】（1）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1是矩形，∴AA1⊥AB，又AA1⊥BC，AB∩BC=B，∴AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥AC，又AA1=AC，∴A1C⊥AC1，又BC1⊥A1C，BC1∩AC1=C1，∴A1C⊥平面ABC1，又A1C⊂平面A1ACC1，∴平面ABC1⊥平面A1ACC1 ；（2）解：当E为BB1的中点时，连接AE，EC1，DE，如图，取AA1的中点F，连接EF，FD，∵EF∥AB，DF∥AC1，又EF∩DF=F，AB∩AC1=A，∴平面EFD∥平面ABC1，又DE⊂平面EFD，∴DE∥平面ABC1，又∵，C 1A1⊥平面ABE，设点E到平面ABC1的距离为d，∴，得d=，∴点E到平面ABC1的距离为．21．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜的图象在y轴右侧与x轴第一个交点和第一个最高点的坐标分别为（x0，0）和（x0+，2），若将函数f（x）的图象向左平移个单位后所得函数图象关于原点对称（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数y=f（kx）+1（k＞0）的周期为，且当x∈[0，]时，方程f（kx）=m恰有两个不同的根，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜的图象在y轴右侧与x轴第一个交点和第一个最高点的坐标分别为（x0，0）和（x0+，2），∴A=2，=，即T=2π=．则ω=1，则f（x）=2sin（x+φ），若将函数f（x）的图象向左平移个单位后所得函数图象关于原点对称，即y=2sin（x++φ）是奇函数，∵|φ|＜，∴﹣＜φ＜，则﹣＜φ+＜，则φ+=0，即φ=﹣，则函数f（x）的解析式f（x）=2sin（x﹣）；（2）函数y=f（kx）+1=2sin（kx﹣）+1；∵函数y=f（kx）+1（k＞0）的周期为，∴=，∴k=3，则y=f（3x）+1=2sin（3x﹣）+1；即f（3x）=2sin（3x﹣），设h（x）=2sin（3x﹣）若x∈[0，]，则3x∈[0，π]，3x﹣∈[﹣，]，则当x=时，y=2sin=2×=，则要使方程f（kx）=m恰有两个不同的根，则≤m＜2．22．（12分）已知圆C经过点A（0，2），B（2，0），圆C的圆心在圆x2+y2=2的内部，且直线3x+4y+5=0被圆C所截得的弦长为2，点P为圆C上异于A、B 的任意一点，直线PA与x轴交于点M，直线PB与y轴交于点N．（1）求圆C的方程；（2）求证：|AN|•|BM|为定值；（3）当•取得最大值时，求|MN|．【解答】（1）解：知点C在线段AB的中垂线y=x上，故可设C（a，a），圆C的半径为r．∵直线3x+4y+5=0被圆C所截得的弦长为2，且r=，∴C（a，a）到直线3x+4y+5=0的距离d===，∴a=0，或a=170．又圆C的圆心在圆x2+y2=2的内部，∴a=0，圆C的方程x2+y2=4．（2）证明：当直线PA的斜率不存在时，|AN|•|BM|=8．当直线PA与直线PB的斜率存在时，设P（x0，y0），直线PA的方程为y=x+2，令y=0得M（，0）．直线PB的方程为y=（x﹣2），令x=0得N（0，）．∴|AN|•|BM|=（2﹣）（2﹣）=4+4×=8，故|AN|•|BM|为定值为8；（3）解：•=（﹣x0，2﹣y0）•（2﹣x0，﹣y0）=x02+y02﹣2x0﹣2y0=4﹣2（x0+y0），设P（2cosα，2sinα），则•=4﹣4sin（α+45°），∴sin（α+45°）=﹣1时•取得最大值4+4，此时x0=﹣，y0=﹣，∴M（﹣2+2，0），N（0，﹣2+2），∴|MN|=4﹣2．。