2015全国联赛一试
2015全国高中数学联赛广东初赛试题及答案
y − y1 =
y2 − y1 ( x − x1 ). 当 y = 0 时， x2 − x1
2 x2 − x1 y2 − y12 y2 yy y1 + 1 = − 1 2 , y1 + x1 = − y2 − y1 2 p ( y2 − y1 ) 2p 2p yy ………. 5 分 所以 | OC |= − 1 2 . 2p 另一方面，抛物线在 A、B 两点的切线方程分别为： yy1 = p ( x + x1 ), yy2 = p ( x + x2 ), yy ………. 10 分 求得其交点的横坐标为 x3 = 1 2 . 于是 | OC | + x3 = 0 . 2p
2 2
最小值, 当且仅当 ∆ = a − 4 < 0 . 所以 1 < a < 2 .
2
4. 已 知 数 列 {an } 满 足 a1 = 0, an +1 = an + 1 + 2 an + 2 , 则 该 数 列 的 通 项 公 式
an = ______________.
【答案】 an = n + 2 − 1 − 2 . 【 解 析 】 因 为 an +1 + 2 = an + 2 + 2 an + 2 + 1 =
，有概率 在 0 ≤ x1 , x2 ≤ 1 上考虑满足上述条件的 （x1 , x2）
P=∫
1
0
6 3 α −β 7. 已知 sin α + sin β = , 则 cos , cos α + cos β = = ______________. 2 3 3
【答案】1/4. 【解析】平方求和, 再用倍角公式即得.
2015全国初中数学联赛初二试题
（初二年级）
第二试（A）
（3月22日上午9﹕50——11﹕20）
考生注意：本试共三个大题，第一题20分，第二、三题各25分，全卷满分70分.
一、（本题满分20分）
求所有的两位数 ，使得 的末两位数字构成的数恰好为 .
二、（本题满分25分）
在四边形 中， ， ， ＝ ，求 .
2015年全国初中数学联合竞赛试题
（初二年级）
第一试（A）
（3月22日上午8﹕30——9﹕30）
考生注意：1.本试两个大题共10个小题，全卷满分70分.
2.用圆珠笔或钢笔作答.
3.解题书写不要超出装订线.
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
本题共有6个小题，每题均给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.
1．若 ，则 （）
A.3 B. 4 C. 5 D. 6
2．设实数 满足： ， ，则
（）
A.9 B. 6 C. 3 D. 0
3．锐角△ 中， 边的中垂线和 的角平分线相交于点 ．若 ， ，则 ＝（ ）
A．24°B．28°C．30°D．36°
4．三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为（）
A．11 B．12 C．17 D．18
三、（本题满分25分）已知 为实数，对任何满足 的实数 ，都有 成立，则 的最大值为．
3．设 是小于100的正整数且使 是6的倍数，则符合条件的所有正整数 的和是．
4．将数字1，2，3，……，34，35，36填在6×6的方格中，每个方格填一个数字，要求每行数字从左到右是从小到大的顺序，则第三列所填6个数字的和的最小值为．
2015年全国初中数学联赛初二年级试题答案
）
A.9. 【答】A.
B.6.
C.3.
D.0.
∵ a b c 3， a b c 4 ，
2 2 2
∴
a 2 b2 b2 c 2 c 2 a 2 4 c 2 4 a 2 4 b2 (2 c) (2 a) (2 b) 2c 2a 2b 2c 2a 2b
第一试(A)
一、选择题： （本题满分 42 分，每小题 7 分） 1. 若 x2 y 2 2 z 2 xy 2 yz 2 x 2 0 ，则 x y z A.3. 【答】C.
2 2 2
（
）
B.4.
C.5.
2 2
D.6.
2
∵ x y 2 z xy 2 yz 2 x 2 0 ，∴ 2 x 2 y 4 z 2 xy 4 yz 4 x 4 0 ， ∴ ( x 2 xy y ) ( x 4 x 4) ( y 4 yz 4 z ) 0 ，
2 2 2 2 2
∴ ( x y) ( x 2) ( y 2 z) 0 ，∴ x y 2 ， z 1 ，∴ x y z 5.
2 2 2
2. 设实数 a, b, c 满足： a b c 3 ， a b c 4 ，则
2 2 2
a 2 b2 b2 c 2 c 2 a 2 （ 2c 2a 2b
∵ 2n 3n 2 是 6 的倍数，∴ m 1 是 3 的倍数，∴ m 3k 1 或 m 3k 2 ，其中 k 是非负整数.
2 2
∴ n 2(3k 1) 6k 2 或 n 2(3k 2) 6k 4 ，其中 k 是非负整数. ∴符合条件的所有正整数 n 的和是（2＋8＋14＋…＋86＋92＋98）＋（4＋10＋16＋…＋82＋88＋94） ＝1634. 4.将数字 1，2，3，……，34，35，36 填在 6×6 的方格中，每个方格填一个数字，要求每行数字从 左到右是从小到大的顺序，则第三列所填 6 个数字的和的最小值为______. 【答】63. 设第三列所填 6 个数字按从小到大的顺序排列后依次为 A , B , C , D , E , F . 因为 A 所在行前面需要填两个比 A 小的数字， 所以 A 不小于 3； 因为 B 所在行前面需要填两个比 B 小 的数字，且 A 及 A 所在行前面两个数字都比 B 小，所以 B 不小于 6. 同理可知： C 不小于 9, D 不小于 12, E 不小于 15, F 不小于 18. 因此，第三列所填 6 个数字之和 A ＋ B ＋ C ＋ D ＋ E + F 3 6 9 12 15 18 63 . 如图即为使得第三列所填 6 个数字之和取得最小值的一种填法（后三列的数字填法不唯一）. 1 4 7 10 13 16 2 5 8 11 14 17 3 6 9 12 15 18 19 25 22 26 31 32 20 27 23 28 34 33 21 29 24 30 35 36 第 3 页（共 6 页）
2015年全国中学生生物学联赛试题及答案
2015年全国中学生生物学联赛试题注意事项:1.所有试题使用28铅笔在机读卡上作答;2.试题按学科分类,单选与多选题混排,单选题每题1分;多选题答案完全正确才可得2分;120题,共计151分;3.答题时间120分钟。
一、细胞生物学、生物化学、微生物学、生物信息学、生物技术31题39分1.细胞分化发生在细胞周期哪一阶段: (单选)A.细胞分裂前期B.细胞分裂间期C.细胞分裂中期D.细胞分裂末期2.细胞骨架就是由一系列结构蛋白装配而成的纤维状网架结构,在细胞运动、物质运输、能量转换、信息传递、细胞分裂、免疫行为、细胞分化以及细胞形态维持等过程中发挥重要作用。
下列不属于细胞骨架的就是: (单选)A.微丝B.微管C.中间纤维D.内质网3.下列哪种细胞最适合用来研究溶酶体: (单选)A.肌肉细胞B.神经细胞C.具有吞噬作用的自细胞D.细菌细胞4.ICM(内细胞团)属于: (单选)A.人工诱导干细胞B.胚胎干细胞C.多能干细胞D.化学诱导干细胞5.下列哪种特征就是癌细胞特有的: (单选)A.细胞进行频繁分裂B.血管新生C.基因突变D.进行组织浸润6.受体就是细胞膜上或细胞内能识别生物活性分子并与之结合的物质,能与受体结合的生物活性物质统称为配体。
下列有关受体的描述中,不正确的就是: (单选)A.一般为糖蛋白B.与配体的结合具有特异性与亲与性C.通过共价键与配体结合D.具有饱与效应7．如果一种质膜糖蛋自就是通过膜泡分泌途径来自于高尔基复合体,该蛋白寡糖链与N端都面向高尔基体腔内,那么在质膜上,该糖蛋白的寡糖链与N端面向: (单选)A.胞外面B.胞质面C.寡糖链在胞外面,N端在胞质面D.寡糖链在胞质面,N端在胞外面8.以下哪项描述与马达蛋白的功能不相关: (单选)A.鞭毛与纤毛的运动B.肌肉收缩C.蛋白质的折叠D.有丝分裂中染色体的移动9.以下脂质分子中,具有乳化作用的就是: (单选)A.甘油三酯B.棕榈酸钠C.甘油磷脂D.胆固醇10．下列几种不同碱基组成比例的DNA分子,哪一种DNA分子的Tm值最高: (单选)A．A+T=15％ B.G+C=25％ C.G+C=40％D.A+T=80％E.G+C=35％11.蛋白质组学就是: (单选)A.研究一个基因组所表达的全套蛋白质B.研究蛋白质序列以发现新的蛋白质C.研究DNA与蛋白质的复合物D.研究蛋白质合成过程中的能量消耗12.大肠杆菌DNA复制过程中,下列哪种酶不参加该生物学过程: (单选)A.DNA聚合酶B.RNA聚合酶C.DNA连接酶D.RNA酶E.端粒酶13．在亲与层析中,如果使用链霉亲与素制各亲与吸附剂,则目标蛋白质需要具有: (单选)A.多聚His标签B.HA标签C.生物素标签D.泛素标签14.Sanger终止法测序中,用于使DNA合成反应终止的就是: (单选)A.dNDPB.ddNDPC.dNTPD.ddNTP15.蛋白质泛素化修饰就是一种重要的蛋白质翻译后修饰调控方式,以下关于蛋白质泛素化修饰的说法,错误的就是: (单选)A．蛋白质上特定的Lys侧链与泛素之间形成共价连接B.蛋白质泛素化修饰就是不可逆的C.蛋白质泛素化修饰可调节蛋白质的降解D.泛素就是一种低分手量的蛋白质16.染色质DNA的碱基可被甲基化,DNA甲基化的作用就是: (单选):A.关闭某些基因B.可关闭某些基因,同时活化另一些基因C.与基因表达调节无关D.活化某些基因17．以下四个代谢反应中,没有焦磷酸生成的反应就是: (单选)A.生成UDP-葡萄糖的反应B.生成脂酰CoA的反应C.生成精胺琥珀酸的反应D.生成谷氨酰胺的反应18．质粒就是一种存在子微生物细胞染色体外的DNA分子,它们: (单选)A．大多数就是双链、环状DNA分子B.大多数就是单链、环、状DNA分子C.大多数就是线性的DNA分子D.大多数就是线性的RNA分子19.与革兰氏阴性菌相比,革兰氏阳性菌细胞壁中特有的组分就是: (单选)A.肽聚糖B.脂多糖C.蛋白质D.磷壁酸20.GenBank主要收集: (单选)A.基因化学样品B.遗传物质化学样品C.遗传物质的序列信息D.蛋白质的结构信息21.高通量测序方法在下面哪种实验中没有应用: (单选)A.基因表达谱检测B.全基因组变异检测C.基因组甲基化检测D.蛋白质表达检测E.非编码RNA表达检测22.用超声波处理烟草基因组DNA后,用下列哪一个工程酶处理可以获得平末端片段,用于后续克隆: (单选)A.限制性内切酶B.大肠杆菌DNA聚合酶C.Klenown片段D.反转录酶23．下列哪个指标能证明在大肠杆菌中成功表达了外源酶蛋白质: (单选)A.核酸杂交证明蛋白质表达B.在蓝白筛选中菌落呈现蓝色C.RT-PCR能扩增外源基因D.纯化目的蛋自质具有酶活性24.革兰氏染色就是重要的细菌鉴别染色,影响革兰氏染色结果的关键因素就是: (多选)A.菌株培养时间B.菌液稀释倍数C.涂片时间D.固定方式E.酒精脱色时间25.可以由RNA聚合酶Ⅲ转录的RNA包括: (多选)A.5S rRNAB.mRNAC.tRNAD.部分miRNA26.核仁中存在的生物成分为: (多选)A.rDNAB.28S rRNAC.16S rRNAD.RNA聚合酶ⅡE.RNA聚合酶Ⅰ27．以下哪些蛋白质与其配体之间的相互作用中存在明显的诱导契合效应: (多选)A．抗体与抗原 B.氧结合蛋白与氧分子C.己糖激酶与葡萄糖D.蛋白激酶A与cAMP28.细胞就是完美的能量转换器,能够将化学的、电磁的、机械的及渗透形式的能量有效地进行转换。
2015年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
(i ) 5 2 ，此时 1 且 5 ，无解；
22
2
4
(ii) 5 9 2 ，此时有 9 5 ；
件等价于：存在整数 k, l (k l) ，使得
2k 2l 2 ．
①
2
2
当 4 时，区间[, 2]的长度不小于 4 ，故必存在 k, l 满足①式．
当 0 4 时，注意到[, 2] (0, 8) ，故仅需考虑如下几种情况：
．
答案： 2015 1007i ．
解：由已知得，对一切正整数 n ，有
zn2 zn1 1n 1i zn 1 ni 1n 1i zn 2 i ， 于是 z2015 z1 10072 i 2015 1007i ．
4. 在矩形 ABCD 中， AB 2, AD 1 ，边 DC 上（包含点 D 、 C ）的动点 P 与 CB 延 长线上（包含点 B ）的动点 Q 满足 DP BQ ，则向量 PA 与向量 PQ 的数量积 PA PQ 的
6. 在平面直角坐标系 xOy 中，点集 K (x, y) x 3y 6 3x y 6 0所对
应的平面区域的面积为
．
答案：24．
解：设 K1 (x, y) x 3y 6 0 ．先考虑 K1
在第一象限中的部分，此时有 x 3y 6 ，故这些点对
应于图中的 OCD 及其内部．由对称性知， K1 对应的 区域是图中以原点 O 为中心的菱形 ABCD 及其内部．
同理，设 K2 (x, y) 3x y 6 0 ，则 K2 对
应的区域是图中以 O 为中心的菱形 EFGH 及其内部．
由点集 K 的定义知， K 所对应的平面区域是被
2015年全国高中数学联赛试题答案
…………………20 分
包含 a1 的集合至少有
n− s −t 个．又由于 A1 ⊆ Ci （ i = 1, , t ） ，故 C1 , C2 , , Ct 都 k
n− s −t ，即在剩下的 n − s − t 个集合中， k
包含 a1 ，因此包含 a1 的集合个数至少为
n− s −t n − s + (k − 1)t n − s + t （利用 k ≥ 2 ） = +t ≥ k k k n ． ……………40 分 ≥ （利用 t ≥ s ） k
n ≤ (n + 1) ∑ห้องสมุดไป่ตู้ai2 ， i =1 所以①得证，从而本题得证．
…………………40 分
证法二：首先，由于问题中 a1 , a2 , , an 的对称性，可设 a1 ≥ a2 ≥ ≥ an ．此 n 外，若将 a1 , a2 , , an 中的负数均改变符号，则问题中的不等式左边的 ∑ ai 不 i =1 减，而右边的 ∑ ai2 不变，并且这一手续不影响 ε i = ±1 的选取，因此我们可进一
2t u − 1 2u − 1 m 1 2αt ⋅ 1 2αt ⋅ 1 + 2u + + 2(t −1)u ) =+ =+ ( q q q
…………………10 分
n + 2 ∑ aj n = j +1 2
2
2
n 2 n n n 2 2 ≤ 2 ∑ ai + 2 n − ∑ a j （柯西不等式） …………30 分 2 i =1 2 = n j +1 2 n n 2 2 n + 1 n n n + 1 2 a j （利用 n − = = 2 ∑ ai + 2 ） ∑ 2 2 2 i =1 2 = n j +1 2 n n 2 2 2 ≤ n ∑ ai + (n + 1) ∑ a j （利用 [ x ] ≤ x ） n = i =1 j +1 2
2015年全国高中数学联赛试题及答案解析
5. 已知点 P (1, 2, 5) 是空间直角坐标系 O xyz 内一定点，过 P 作一平面与三坐标轴的正半轴分别交于 A, B, C 三点，则所有这样的四面体 OABC 的体积的最小值为 ． x y z 解：设此平面的方程为 1 ， a, b, c 0 分别是该平面在 x, y, z 轴上的截距，又点 P 在平面 ABC 内， a b c 3 1 2 5 1 10 1 1 2 5 1 1 2 5 1 2 5 ，即 ，得 VOABC abc 45 ．当 ， 故 1 ，由于 1 3 a b c a b c 27 abc a b c 3 a b c 6 即 (a, b, c) (3, 6,15) 时， VOABC 的最小值为 45．
2015 年全国高中数学联赛模拟试题 04 第一试参考解答 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分. 1. 集合 A = {x, y} 与 B = {1, log 3 ( x + 2)} 恰有一个公共元为正数 1 + x ，则 A B = 解：由于 1 + x ¹ x ，故 1 + x = y ．由 log 3 ( x + 2) ¹ 1 知 x ¹ 1 ，又因为 1 + x > 0 ，所以 3
2
，
1 tan tan
tan tan
tan .
2 tan 1 3tan 2
2 1 3tan tan
3 ， u 的最大值为 . 6 3
4.在单调递增数列 an 中，已知 a1 2 ， a2 4 ，且 a2 n 1 ， a2 n ， a2 n 1 成等差数列， a2 n ， a2 n 1 ， a2 n 2 成 解：因为 an 单调递增， a1 0 ，所以 an 0 .因为 a2 n 1 ， a2 n ， a2 n 1 成等差数列， a2 n ， a2 n 1 ， a2 n 2 成等 比数列，所以 所以 a2 n 所以 a2 n 等比数列， n 1, 2,3, .那么， a100 _________.
2015年全国中学生生物学联赛试题和答案解析
2015年全国中学生生物学联赛试题及答案解析一中肖建富注意事项：1．所有试题使用2B铅笔在机读卡上作答；2．试题按学科分类，单选和多选题混排，单选题每题1分；多选题答案完全正确才可得2分；120题，共计151分；3．答题时间120分钟。
一、细胞生物学、生物化学、微生物学、生物信息学、生物技术31题39分1．细胞分化发生在细胞周期哪一阶段：(单选)A．细胞分裂前期B．细胞分裂间期C．细胞分裂中期D．细胞分裂末期解：B。
细胞分化为基因选择性表达，间期为染色质状态，易于转录和翻译，细胞分裂期基本为染色体状态当然不易转录。
2．细胞骨架是由一系列结构蛋白装配而成的纤维状网架结构，在细胞运动、物质运输、能量转换、信息传递、细胞分裂、免疫行为、细胞分化以及细胞形态维持等过程中发挥重要作用。
下列不属于细胞骨架的是：(单选)A．微丝B．微管C．中间纤维D．质网解：D。
简单记忆题，为单层膜结构3．下列哪种细胞最适合用来研究溶酶体：(单选)A．肌肉细胞B．神经细胞C．具有吞噬作用的白细胞D．细菌细胞解：C。
典型的吞噬细胞，当然选它4．ICM(细胞团)属于：(单选)A．人工诱导干细胞B．胚胎干细胞C．多能干细胞D．化学诱导干细胞解：B。
可自然发育成完整胎儿的胚胎干细胞。
5．下列哪种特征是癌细胞特有的：(单选)解：D。
此题已删除，肿瘤细胞可以浸润周围的正常组织，这称为肿瘤细胞浸润。
应该是考虑到进行组织浸润的还有各种炎症细胞浸润炎症组织，这是机体抗损伤的防御功能表现。
A．细胞进行频繁分裂B．血管新生C．基因突变D．进行组织浸润6．受体是细胞膜上或细胞能识别生物活性分子并与之结合的物质，能与受体结合的生物活性物质统称为配体。
下列有关受体的描述中，不正确的是：(单选)A．一般为糖蛋白B．与配体的结合具有特异性和亲和性C．通过共价键与配体结合D．具有饱和效应解：C。
非共价结合7．如果一种质膜糖蛋自是通过膜泡分泌途径来自于高尔基复合体，该蛋白寡糖链和N端都面向高尔基体腔，那么在质膜上，该糖蛋白的寡糖链和N端面向：(单选)A．胞外面B．胞质面C．寡糖链在胞夕卜面，N端在胞质面D．寡糖链在胞质面，N端在胞外面解：A。
2015年全国初中数学联赛试题及参考答案第一试（有答案）
２０１６年全国初中数学联赛试题及参考答案（第一试）第一试（Ａ）一、选择题（本题满分４２分，每小题７分）１．用［ｘ］表示不超过ｘ的最大整数，把ｘ－［ｘ］称为ｘ的小数部分，已知ｔ＝１２－槡３，ａ是ｔ的小数部分，ｂ是－ｔ的小数部分，则１２ｂ－１ａ＝（ ）．（Ａ）１２ （Ｂ）槡３２ （Ｃ）１ （Ｄ）槡３［答］（Ａ）．∵ ｔ＝１２－槡３＝２＋槡３而３＜２＋槡３＜４，∴ ａ＝ｔ－３＝槡３－１又∵ －ｔ＝－２－槡３，而－４＜－２－槡３＜－３，∴ ｂ＝－ｔ－（－４）＝２－槡３．∴ １２ｂ－１ａ＝１２（２－槡３）－１槡３－１＝２＋槡３２－槡３＋１２＝１２．２．三种图书的单价分别为１０元、１５元和２０元，某学校计划恰好用５００元购买上述图书３０本，那么不同的购书方案共有（ ）．（Ａ）９种 （Ｂ）１０种（Ｃ）１１种 （Ｄ）１２种［答］（Ｃ）．设购买三种图书的数量分别为ａ，ｂ，ｃ，则ａ＋ｂ＋ｃ＝３０，１０ａ＋１５ｂ＋２０ｃ＝５００，易得ｂ＝２０－２ａ，ｃ＝１０＋ａ，于是ａ有１１种可能的取值（分别为０，１，２，３，４，５，６，７，８，９，１０）．对于每一个ａ值，对应地可求出唯一的ｂ和ｃ，所以，不同的购书方案共有１１种．３．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”。
如：２＝１３－（－１）３，２６＝３３－１３，２和２６均为“和谐数”．那么，不超过２０１６的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ）．（Ａ）６８５８ （Ｂ）６８６０（Ｃ）９２６０ （Ｄ）９２６２．［答］（Ｂ）．注意到（２ｋ＋１）３－（２ｋ－１）３＝２（１２ｋ２＋１），由２（１２ｋ２＋１）≤２０１６得｜ｋ｜＜１０．取ｋ＝０，１，２，３，４，５，６，７，８，９，即得所有的不超过２０１６的“和谐数”，它们的和为［１３－（－１）３］＋（３３－１３）＋（５３－６３）＋…＋（１９３－１７３）＝１９３＋１＝６８６０．４．已知⊙Ｏ的半径ＯＤ垂直于弦ＡＢ，交ＡＢ于点Ｃ，连接ＡＯ并延长交⊙Ｏ于点Ｅ，若ＡＢ＝８，ＣＤ＝２，则△ＢＣＥ的面积为（ ）．（Ａ）１２ （Ｂ）１５ （Ｃ）１６ （Ｄ）１８［答］（Ａ）．设ＯＣ＝ｘ，则ＯＡ＝ＯＤ＝ｘ＋２，在Ｒｔ△ＯＡＣ中，由勾股定理得ＯＣ２＋ＡＣ２＝ＯＡ２，即ｘ２＋４２＝（ｘ＋２）２，解得ｘ＝３．又ＯＣ为△ＡＢＥ的中位线，所以ＢＥ＝２ＯＣ＝６．所以直角△ＢＣＥ的面积为１２ＣＢ·ＢＥ＝１２．５．如图，在四边形ＡＢＣＤ中，∠ＢＡＣ＝∠ＢＤＣ＝９０°，ＡＢ＝ＡＣ＝槡５，ＣＤ＝１，对角线的交点为Ｍ，则ＤＭ＝（ ）．（Ａ）槡３２ （Ｂ）槡５３（Ｃ）槡２２ （Ｄ）１２［答］（Ｄ）．作ＡＨ⊥ＢＤ于点Ｈ，易知△ＡＭＨ∽△ＣＭＤ，所以ＡＨＣＤ＝ＡＭＣＭ，又ＣＤ＝１，所以ＡＨ＝ＡＭＣＭ①设ＡＭ＝ｘ，则ＣＭ槡＝５－ｘ．在Ｒｔ△ＡＢＭ中，可得ＡＨ＝ＡＢ·ＡＭＢＭ＝槡５ｘ５＋ｘ槡２．所以，由①式得槡５ｘ５＋ｘ槡２＝ｘ槡５－ｘ，解得ｘ＝槡５２（另一解ｘ槡＝２ ５舍去）．所以ＣＭ＝槡５２，ＤＭ＝ＣＭ２－ＣＤ槡２＝１２．６．设实数ｘ，ｙ，ｚ满足ｘ＋ｙ＋ｚ＝１，则Ｍ＝ｘｙ＋２ｙｚ＋３ｘｚ的最大值为（ ）．（Ａ）１２ （Ｂ）２３ （Ｃ）３４ （Ｄ）１［答］（Ｃ）．Ｍ＝ｘｙ＋２ｙｚ＋３ｘｚ＝ｘｙ＋（２ｙ＋３ｘ）（１－ｘ－ｙ）＝－３ｘ２－４ｘｙ－２ｙ２＋３ｘ＋２ｙ＝－２［ｙ２＋２（ｘ－１２）ｙ＋（ｘ－１２）２］－３ｘ２＋３ｘ＋２（ｘ－１２）２＝－２（ｙ＋ｘ－１２）２－ｘ２＋ｘ＋１２＝－２（ｙ＋ｘ－１２）２－（ｘ－１２）２＋３４≤３４，所以Ｍ＝ｘｙ＋２ｙｚ＋３ｘｚ的最大值为３４．二、填空题（本题满分２８分，每小题７分）１．已知△ＡＢＣ的顶点Ａ、Ｃ在反比例函数ｙ＝槡３ｘ（ｘ＞０）的图像上，∠ＡＣＢ＝９０°，∠ＡＢＣ＝３０°，ＡＢ⊥ｘ轴，点Ｂ在点Ａ的上方，且ＡＢ＝６，则点Ｃ的坐标为．［答］（槡３２，２）．作ＣＤ⊥ＡＢ于点Ｄ，易求得ＣＤ３ ＝槡３２，ＡＤ＝３２．设Ｃ（ｍ，槡３ｍ），Ａ（ｎ，槡３ｎ），结合题意可知ｎ＞ｍ＞０，Ｄ（ｎ，槡３ｍ），所以ＣＤ＝ｎ－ｍ，ＡＤ＝槡３ｍ－槡３ｎ，故ｎ－ｍ３ ＝槡３２，槡３ｍ－槡３ｎ＝３２，联立解得ｍ＝槡３２，ｎ槡＝２ ３．所以，点Ｃ的坐标为（槡３２，２）．２．在四边形ＡＢＣＤ中，ＢＣ∥ＡＤ，ＣＡ平分∠ＢＣＤ，Ｏ为对角线的交点，ＣＤ＝ＡＯ，ＢＣ＝ＯＤ，则∠ＡＢＣ＝．［答］１２６°．因为ＢＣ∥ＡＤ，ＣＡ平分∠ＢＣＤ，所以∠ＤＡＣ＝∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＤ，所以ＤＡ＝ＤＣ，又ＣＤ＝ＡＯ，所以ＡＤ＝ＡＯ，所以∠ＡＤＯ＝∠ＡＯＤ．记∠ＤＡＣ＝∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＤ＝α，∠ＡＤＯ＝∠ＡＯＤ＝β．又ＢＣ∥ＡＤ，所以△ＡＤＯ∽△ＣＢＯ，结合ＡＤ＝ＡＯ可得ＯＣ＝ＢＣ，且∠ＣＢＯ＝∠ＣＯＢ＝β．又ＢＣ＝ＯＤ，所以ＯＣ＝ＯＤ，所以∠ＯＤＣ＝∠ＯＣＤ＝α．结合图形可得：β＝２α且α＋２β＝１８０°，解得α＝３６°，β＝７２°．所以∠ＤＢＣ＝∠ＤＣＢ＝７２°，所以ＢＤ＝ＣＤ＝ＡＤ，所以∠ＤＡＢ＝∠ＤＢＡ＝５４°，于是可得∠ＡＢＣ＝∠ＡＢＤ＝∠ＤＢＣ＝１２６°． ３．有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的３倍，这个六位数是．［答］１６７３３４．设两个三位数分别为和ｙ，由题设知１０００ｘ＋ｙ＝３ｘｙ①由①式得ｙ＝３ｘｙ－１０００ｘ＝（３ｙ－１０００）ｘ，故ｙ是ｘ的整数倍，不妨设ｙ＝ｔｘ（ｔ为正整数），代入①式得１０００＋ｔ＝３ｔｘ，所以ｘ＝１０００＋ｔ３ｔ．因为是三位数，所以ｘ＝１０００＋ｔ３ｔ≥１００，从而可得ｔ≤１０００２９９，又ｔ为正整数，故ｔ的可能的取值只能是１，２，３．验证可知：只有ｔ＝２符合题意，所以ｔ＝２，ｘ＝１６７，ｙ＝３３４，所求的六位数为１６７３３４．４．将５个１、５个２、５个３、５个４、５个５共２５个数填入一个５行５列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过２．考虑每列中各数之和，设这５个和的最小值为Ｍ，则Ｍ的最大值为．［答］１０．依据５个１分布的列数的不同情形分别求Ｍ的最大值，若５个１分布在同一列，则Ｍ＝５；若５个１分布在两列中，则由题设知这两列中出现的最大数至多为３，故２ Ｍ≤５×１＋５×３＝２０，所以Ｍ≤１０；若５个１分布在三列中，则由题设知这三列中出现的最大数至多为３，故３ Ｍ≤５×１＋５×２＋５×３＝３０，所以Ｍ≤１０；若５个１分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于３，与题设矛盾．１ １ １ ４ ５１ １ ２ ４ ５２ ２ ２ ４ ５３ ３ ３ ４ ５３ ３ ３ ４ ５ 综上所述，Ｍ≤１０；另一方面，右边给出的例子说明Ｍ可以取到１０．故Ｍ的最大值为１０．第一试（Ｂ）一、选择题（本题满分４２分，每小题７分）１．题目和解答与（Ａ）卷第１题相同．２．题目和解答与（Ａ）卷第２题相同．３．已知二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋１（ａ≠０）的图像的顶点在第二象限，且过点（１，０）．当ａ－ｂ为整数时，ａｂ＝（ ）．（Ａ）０ （Ｂ）１４ （Ｃ）－３４ （Ｄ）－２［答］（Ｂ）．由于二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋１（ａ≠０）的图象的顶点在第二象限，且过点（１，０）和（０，１），故ａ＜０，－ｂ２ａ＜０，ａ＋ｂ＋１＝０，所以ｂ＜０且ｂ＝－ａ－１，于是可得－１＜ａ＜０．当ａ－ｂ＝２ａ＋１为整数时，因为－１＜２ａ＋１＜１，所以２ａ＋１＝０，ａ＝－１２，ｂ＝－１２，所以ａｂ＝１４．４．题目和解答与（Ａ）卷第４题相同．５．题目和解答与（Ａ）卷第５题相同．６．题目和解答与（Ａ）卷第６题相同．二、填空题（本题满分２８分，每小题７分）１．已知△ＡＢＣ的最大边ＢＣ上的高线ＡＤ和中线ＡＭ恰好把∠ＢＡＣ三等分，ＡＤ＝槡３，则ＡＭ＝．［答］２．显然∠ＡＢＣ≠∠ＡＣＢ．若∠ＡＢＣ∠ＡＣＢ，则由已知条件易知△ＡＤＭ≌△ＡＤＢ，所以ＢＤ＝ＤＭ＝１２ＣＭ．又因为ＡＭ平分∠ＤＡＣ，所以，由角平分线定理可得ＡＤＡＣ＝ＤＭＣＭ＝１２，即ｃｏｓ∠ＤＡＣ＝１２，所以∠ＤＡＣ＝６０°，进而可得∠ＢＡＣ＝９０°，∠ＡＣＤ＝３０°．在Ｒｔ△ＡＤＣ中，ＡＤ槡＝３，∠ＡＣＤ＝３０°，可求得ＣＤ＝３，所以ＤＭ＝１．在Ｒｔ△ＡＤＭ中，由勾股定理得ＡＭ＝ＡＤ２＋ＤＭ槡２＝２．若∠ＡＢＣ＜∠ＡＣＢ，同理可求得ＡＭ＝２．２．题目和解答与（Ａ）卷第１题相同．３．若质数ｐ，ｑ满足：３ｑ－ｐ－４＝０，ｐ＋ｑ＜１１１．则ｐｑ的最大值为．［答］１００７．由３ｑ－ｐ－４＝０得ｐ＝３ｑ－４，所以ｐｑ＝ｑ（３ｑ－４），显然ｑ（３ｑ－４）的值随着质数ｑ的增大而增大，当且仅当ｑ取得最大值时ｐｑ取得最大值．又因为ｐ＋ｑ＜１１１即ｐ＋ｑ＝４ｑ－４＜１１１，所以ｑ＜２９．因为ｑ为质数，所以ｑ的可能的取值为２３，１９，１７，１３，１１，７，５，３，２．当ｑ＝２３时，ｐ＝３ｑ－４＝６５，不是质数；当ｑ＝１９时，ｐ＝３ｑ－４＝５３，是质数．所以，ｑ的最大值为１９，ｐｑ的最大值为５３×１９＝１００７．４．题目和解答与（Ａ）卷第３题相同．。
2015年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2k 2 1 m2 ．②
由直线
AF1, l, BF1
的斜率
y1 , k, y2 x1 1 x2 1
依次成等差数列知，
y1 x1 1
y2 2k x2 1
，又
y1 kx1 m, y2 kx2 m ，所以 (kx1 m)(x2 1) (kx2 m)(x1 1) 2k(x1 1)(x2 1) ，化简并
棱两两异面的取法数为 4×2=8，故所求概率为 8 2 ． 220 55
2015A6、在平面直角坐标系 xOy 中，点集 K (x, y) | ( x 3 y 6)( 3x y 6) 0 所对应的平
面区域（如图所示）的面积为
◆答案： 24 ★解析：设 K1 {(x, y) || x | | 3y | 6 0} ． 先考虑 K1 在第一象限中的部分，此时有 x 3y 6 ,故这些点
对应于图中的△OCD 及其内部．由对称性知， K1 对应的区
域是图中以原点 O 为中心的菱形 ABCD 及其内部．
同理，设 K2 {(x, y) || 3x | | y | 6 0} ，则 K2 对应
的区域是图中以 O 为中心的菱形 EFGH 及其内部．
由点集 K 的定义知，K 所对应的平面区域是被 K1 、K2
1 sin
cos4
cos 2 sin 2 sin
sin 2
(1 sin )(1 cos2 )
2 sin
cos2
2．
2015A 3、已知复数数列 zn 满足 z1 1，zn1 zn 1 ni (n 1,2,) ，其中 i 为虚数单位，zn 表