误差和数据处理习题解答

第一章 误差和数据处理习题解答
1、指出下列情况属于随机误差还是系统误差：
（1）视差；
（2）天平零点漂移；
（3）千分尺零点不准；
（4）照相底版收缩；
（5）水银温度计毛细管不均匀；
（6）电表的接入误差。

解：（1）忽左忽右，属随机误差；
（2）往单方向漂移属系统误差；随机漂移属随机误差；
（3）属系统误差，应作零点修正；
（4）属系统误差；
（5）按随机误差处理；
（6）属系统误差，可作修正。

2、说明以下因素的系统误差将使测量结果偏大还是偏小：
（1）米尺因低温而收缩；
（2）千分尺零点为正值；
（3）测密度铁块内有砂眼；
（4）单摆公式测重力加速度，没考虑θ≠0；
（5）安培表的分流电阻因温度升高而变大。

解：（1）使结果偏大；
（2）使结果偏大，属系统误差，修正时应减去这正零点值；
（3）使密度值偏小；
（4）使结果偏小：
当θ≠0时，单摆公式为：
)2
sin 411(220θπ
+=g l T 或 2220
2)2sin 1(4θπ+=T l g 若用θ=0的2
0204T l g π=近似，结果偏小； （5）分流电阻变大，分流变小，使结果偏大。

3、用物理天平（仪∆=0.020g ）称一物体的质量m ，共称5次，结果分别为36.127g 、 36.122g 、36.121g 、36.120g 和36.125g 。

试求这些数据的平均值、绝对不确定度和相对不确定度。

解：36.12736.12236.12136.12036.12536.12336.1230
m g +++++== m S =0.0026g ，
已知：仪∆
=0.020g ，
0.020u g ==≅
∴ (36.1230.020)m m u g =±=±。

相对误差100%0.06%rm u u m
=⨯≅。

4、一个铅圆柱体，测得其直径d =（±）cm ，高度h =±cm ，
质量m =±g ：
（1）计算铅的密度ρ；
（2）计算铅密度ρ的相对不确定度和绝对不确定度。

解：（1）3332222244149.181011.0810/3.142(2.0410) 4.1210
()2
m m m kg m d V d h h ρππ---⨯⨯=====⨯⨯⨯⨯⨯ （2
）r u u ρ
ρρ== %0.1%100010.0100.1106100.1101.14647=⨯=⨯≅⨯+⨯+⨯=---- ∴ 33331.0%11.0810/0.1110/r u u kg m kg m ρρρ=⨯=⨯⨯=⨯
33(11.080.11)10/u kg m ρρρ=±=±⨯
5、写出下列函数的不确定度表达式，绝对不确定度或相对不确定度只写出一种：
（1）N =X +Y - 2Z ；
（2）)(2
22B A k Q +=，k 为常量； （3）o m m m ρρ2
3-=； （4）x
mg k ∆=,不考虑g 的误差； （5）i i n
i c m C ∑==1，其中c i 都为常量。

解：（1
）N u =说明：
①这里及以下的计算都假定各直接测量量都是完全独立的随机误差；
②2Z 对不确定度的贡献为2Z u
Z 。

（2
）
Q
u == （3）u
ρ
ρ==（4
）k u k =说明：g 看作常数，对相对不确定度无贡献。

（5）C u =说明：
①加减应先求合成不确定度；乘除先求相对不确定度。

②对于较复杂的计算，也可按完全非独立随机误差的不确定度传递方法处理，计算的结果稍为偏大。

6、写成科学表达式：
（1）R =（17000±1000）km ;
（2）C =±;
（3）m =±kg ,写成以g 、mg 、T （吨）为单位；
（4）h =±cm , 写成以μm 、mm 、m 、km 为单位.
解：（1）R =（±）×104km 。

（2）C =（±）×10-3。

（3）m =±kg =±×103g =±×106mg
=±×10－3T 。

（4）h =±cm=±×104μm=±×10 mm
=±×10－2 m=±×10－5 km 。

7、按照误差理论和有效数字运算规则，改正以下错误：
（1）N =±cm;
（2）28cm = 280mm;
（3）L =(28000±8000)mm;
（4）×=;
（5）6000006
.1160.121500400=-⨯. 解：（1）N =±cm 。

测量值的最后位和误差位对齐。

（2）28cm = ×102mm 。

有效数字的位数（和相对误差相当）不因单位转换而改变。

（3）L =±×104mm 。

误差的有效数字只能取一位。

（4）×≌=×104。

3位有效数字乘3位有效数字，结果一般仍为3位有效数字。

（5）5100.60
.115004006.1160.121500400⨯=⨯=-⨯。

说明：实验数据的运算和纯粹的数学运算是不同的，数学运算完全正确的，从实验数据的运算来看也许是错的，所以在实验数据的运算时一定要符合有效数字的运算规则。

8、试利用有效数字运算规则计算下列各式的结果：
（1）+；
（2）；
（3）728×；
（4）2102200000.36⨯-； （5）00100
.0)281.157.4()078.558.7(00.80⨯+-⨯。

解；（1）+=；
（2）；
（3）728×=×10；
（4）
2102200000.36⨯-223100.210
210000.200.36-⨯=⨯-⨯=； （5）41000.100100.00.2050.200.8000100.0)281.157.4()078.558.7(00.80⨯=⨯⨯=⨯+-⨯。

9、计算下列结果及不确定度：
（1）C B A N 3
1-+=， A =（±）cm ； B =（±）cm ；
C =（±）cm ；
（2）N =A -B ，
A =（±）cm ；
B =（±）cm ；
（3）V =（1000±1）cm 3，求V 1=； （4）x b
a R = a =（±）cm ；
b =（±）cm ；
x =±Ω;
（5）2
11h h h N -= h 1 =（±）cm ； h 2 =（±）cm 。

解：（1）cm C B A N 56.84247.3
107.85
5768.01=⨯-+=-+=， 0.02N u cm ==
≅=，
∴ (84.560.02)N N u cm ±=±。

（2）N =A -B =1.0cm 0.140.2N u cm ≅ (1.00.2)N N u cm ±=±.
（3）3310000.1001000.01--⨯===cm V
N ， 3330.001 1.000100.00110V N u u N cm V
---=
⨯=⨯⨯=⨯， ∴ 33(1.0000.001)10N N u cm --±=±⨯。

（4）Ω=
⨯==1.840
.6765.13x a R ， 84.1R u R == Ω=⨯=⨯≅⨯++=0.11.84012.01.84012.01.84012.00005.00015.02222 ∴ (84.1 1.0)R R u ±=±Ω。

（5）366.131
.3351.4520.1251.4551.45211==-=-=h h h N ， N u 可用式（绪—16）的普遍公式来做。

也可作如下运算：
1
2
11h
h N -=，
∴ 22
(1)11221211111h h N h h u u u h
h N h
h h -====-- ∴ N u N == 001
.0105.8107.1500.0)106.1()104.4(500.0)20.1202.0()51.4502.0()20.1251.45(20.1251.45432324222≅⨯=⨯⨯=⨯+⨯⨯=+-⨯=
---- ∴ 001.0366.1±=∆±N N 。