数理方法-第一讲-定解问题讲解
上课要求及课程成绩的计算
上课要求：不迟到或早退；不无故缺席，生 病或有事须出具相关证明；不做与上课无关 的事情；不影响他人听课。
课程成绩
II
期末、期中考试成绩×80%
+
平时成绩(出勤、作业等) ×20%
第一章 数学物理定解问题
基本要求
（1）掌握用数理方程描绘研究物理问题的一 般步骤；
（2）掌握三种典型数理方程的推导和建立（ 或导出）数理方程的一般方法、步骤；
1.初始条件
定义：初始条件是物理过程初始状况的数学表达式。
初始条件的个数：关于时间t的n阶偏微分方程，要给 出n个初始条件才能确定一个特解。波动方程1-1式中 需给出两个初始条件：
u(x, y,z;t) (x, y,z) t0
ut (x, y, z; t) t0 (x, y, z)
热传导(或扩散)方程1-2式需给出一个初始
ut Dutt f (x, t) （一维热传导方程）
其中 D k ,f (x, t) F
c
c
k为杆的导热率，c为杆的比热容，为杆的体密度，
F为热源密度。
2、建立方程时常用到的物理学定律
(1) 牛顿第二定律: F=ma
(2)傅立叶实验定律（热传导定律）
当物体内存在温差时，会产生热量的流动。热流 强度q,与温度的下降率成正比：q ku
(8)焦耳定律：电流通过纯电阻的导体时所放 出的热量跟电流强度I的平方、导线的电阻R 和通电的时间t成正比：Q=I2Rt
建立方程时常用到的物理学定律
(9)法拉第电磁定律：不论任何原因使通过回路面积的
磁通量发生变化时，回路中产生的感应电动势与磁通量 对时间的变化率的负值成正比。即
N d dt
当闭合回路（线圈）中的电流发生变化而引起自身回路的 磁通量改变而产生的自感电动势为
L dI
L-自感系数
dt
(10)胡克定律：在弹性限度内，弹性体的弹力和弹性体的形
变量成正比即f=-kx 应力=杨氏模量*相对伸长量
k为弹簧的劲度系数，负号表示弹力的方向和形变量的方向相反
§1-3 定解条件
定解条件是确定数理方程解中所含的任意函数或常数， 使解具有唯一性的充分而必要的条件。它分为初始条 件和边界条件两种。若所研究的系统由几种不同介质 组成，则在两种介质的交界面上定解条件还应当有衔 接条件。
3. 对求得的解答讨论其适用性（即是否 存在唯一且稳定的解）并作适当的物 理解释。
3、求解数理方程的方法
行分 波离 法变
量 法
积 Green 保 复 变
分 变 换 法
函 数 法
角 变 换 法
变分 函法 数 法
§1-2 数理方程的建立（导出）
1、建立数理方程的步骤：
（1）从所研究的系统中划出一小部分，分析 邻近部分与这一部分的相互作用。
粒子流强度q与浓度（即单位时间内流过单位面积的
粒子数）的下降率成正比。即
q Du
其中，D—扩散系数，负号表示浓度减小的方向
建立方程时常用到的物理学定律
(7) Gauss定律：通过一个任意闭合曲面的电通 量，等于这个闭曲面所包围的自由电荷的电
量的 1 倍 1
s E ds d
其中 为介电常数， 为体电荷密度。
条件，即：u(x, y,z;t) (x, y,z) t0
泊 松 方 程 1-3 式 无 需 给 出 任 何 初 始 条 件 ， 其
第三部分 二阶线性常微分方程的级数解法 内容：级数解法的一般方法、积分变换法
第四部分 勒让德多项式和球谐函数 内容：勒让德多项式的来源、定义、性质、生 成与递推公式，连带勒让德函数、球谐函数
第五部分 贝塞尔函数 内容：贝塞尔的来源、定义、性质、生成与递 推公式，虚宗量贝塞尔函数
第六部分 特殊方程的解法 内容：拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程在不同座 标系中的解法
第二篇 数学物理方程
主讲人：王怀谦
数学物理方法就其本质来说，是数学方法，但它研究的内容和物理问 题紧密联系，是理解和探讨物理问题实质必不可少的工具和基础。
物理问题
数学模型
求解、分析、归纳
中学物理(初等数学), 普通物理(高等数学), 理论物理(数学物理方法).
讲授的主要内容：复变函数论、数学物理方程、特殊函数 主要参考书：数学物理方法简明教程，林福民编，北京大学出版，2008
（3）正确写出一些典型物理问题的定解问题 和定解条件。
§1-1 基本概念
1、数理方程分类 按照物理过程可以将数理方程分为三类：
（1）描绘振动和波动特征的波动方程：
utt a2u f (a—波速)
1-1
（2）反映输运过程的扩散（或热传导）方程：
ut Du f （D—扩散（热传导）系数） 1-2
k为热传导系数，负号表示温度下降的方向。
分量形式为：
qx
k
u x
,qy
k
u y
,qz
k
u z
(3)牛顿冷却定律 物体冷却时放出的热量-k u与物体与外界的温
差(u边- u0)成正比，u0为周围介质的温度。
常用到的物理学定律
(4)电荷守恒定律
(5)能量守恒定律
(6)扩散定律（Fick定律）
当物体内浓度分布不均匀时会引起物质的扩散运动，
数学物理方法，梁昆淼人民教育出版社，1978
教学主要内容
第一部分 定解问题 学习物理方程、初始条件和边界条件的导出：以 一维波动方程为例，掌握如何利用物理规律导出 物理方程，并根据具体情况设定初始条件和边界 条件，介绍偏微分方程的初步解法，并推广到三 维情况。
第二部分 分离变量法 学习用分离变量法解偏微分方程。包括齐次与非 齐次方程的解法以及在直角坐标系、柱坐标系和 球坐标中的分离变量法。
（2）根据物理学的规律用算式表达这个作用。 （3）化简、整理所研究问题满足的数理方程。
例1：小振幅的弦的横振动方程是：
utt a2uxx f (x, t) （一维波动方程）
其中 a2 T ,f (x, t) F(x, t)
T为弦线所受张力， 线密度，F(x,t)为单位长弦
线所受外力。
例2：均匀细杆的热传导的方程是：
（3）描绘稳定过程或状态的Poisson方程：
u h
(f和h—与源有关的已知函数) 1-3
其中
2 x2
2 y2Βιβλιοθήκη 2 z2, utt
2u t 2
,ut
u t
,u
u(x, y,z, t)
2、用数理方程研究物理问题的步骤
1. 导出或写出定解问题，包括数理方 程和定解条件两部分。
2. 求解已导出或写出的定解问题。
第2章定解问题
第2章定解问题第2章定解问题1、何谓数理⽅程？按其描绘的物理过程，它可分为哪⼏类？2、何谓定解问题？它分为哪⼏类？试写出⼀维波动⽅程的Cauchy问题的数学表⽰。
3、何谓定解条件？它包括哪些内容？4、何谓边界条件？它分为哪⼏类？⼀个边界需⽤⼏个边界条件来描述？5、⽤数理⽅程来研究物理问题需要经历哪⼏个步骤？6、在静电场问题中，由介电常数分别为和的两种介质组成的系统的交界⾯S 处的衔接条件有⼏个？应如何表⽰？7、如何导出物理模型的数理⽅程？在推导弦的横振动⽅程时采⽤了哪些近似？由⼩⾓度近似我们得到什么结论？8、热传导⽅程的扩散⽅程有何共同和不同之处？9、在杆的纵振动问题中，若端⾃由，这个边界条件如何写？你能从Hooke定律出发证明吗？10、在杆的导热问题中，若端绝热，这个边界条件该如何写？你能从⼀物理定律出发证明吗？11、在热传导问题中，若热源密度不随时间⽽变化，则热传导⽅程会发⽣怎样的变化？12、在弦的横振动问题中，若弦受到了⼀与速度成正⽐的阻⼒，该阻⼒对于弦的振动问题是否起到了源的作⽤？若受到了⼀与位移成正⽐的回复⼒呢？第3章⾏波法1、⾏波法的解题要领是什么？它适合⽤来求解哪⼀类定解问题？为什么？2、⼀维波动⽅程的通解为什么含有两个任意函数？他们各个有怎样的形式和怎样的物理意义？靠什么确定他们的具体函数形式？3、公式是⽤⾏波法求解弦的横振动问题时推得的，能否⽤公式求解如下定解问题？请说明原因？4、能否⽤公式求解如下定解问题？5、能否⽤⾏波法求解如下定解问题？6、你能否根据直⾓坐标系中的导出球坐标中球对称情况下的的表达式请记住这个结论：7、何谓平均值法？你能通过引⼊球⾯的平均值，将三维的波动⽅程化为关于平均值的⼀维⽅程吗？8、在Poisson 公式中，?若已知9、对于定解问题除了可⽤Poisson 公式求解外？你能否有其他的求解法？10、在弦的横振动⽅程单位质量的弦所受的外⼒，若将则怎样的物理含意？它的量纲是什么？11、冲量原理的精神是什么？12、你能否⽤纯强迫振动的解来求解定解问题13、试述推迟势的物理意义，在推迟势中，若，且局限于⼀单位球内，则其中的体积分该如何计算？14、对于定解问题按下述⽅法进⾏求解是否正确？为什么？令使由公式可求得⽽显然，所满⾜的定解问题的解为所以，原定理问题的解为第4章分离变量法1、分离变量法的物理背景是什么？为什么能将未知函数表⽰为单元函数的乘积？2、分离变量法适于求解哪些定解问题？能⽤分离变量法求解⽆界问题吗？4、分离变量法有哪⼏个求解步骤？其中最关键的是哪⼀步？5、何谓本征值问题？以下两个定解问题是否构成本征值问题？(1)(2)6、仿照上章⽤冲量原理求解⽆界弦的纯迫振动的思想和⽅法，你能否写出⽤冲量原理求有界弦的纯强迫振动的公式？7、在将边界条件齐次化时，为什么通常可选辅助函数为X的⼀次式，⽽当问题的两个端点均有第⼆类边界条件时，必须选辅助数为X的⼆次式？8、在⽤分离变量法求解圆的Dirichlet问题时，需要将边界条件齐次化吗？为什么？9、在⽤分离变量法求解下述问题时，是否需将边界条件齐次化？如何齐次化？10、在柱坐标和极坐标中对分离变量，所得到的的⽅程为…其后为什么要注明…？它是怎样得来的？11、在扇形区域中，⽤分离变量法求Dirichlet问题应选择什么坐标系？所得到的的⽅程仍是…吗？为什么？12、在⽤分离变量法求解定解问题时，应如何选择坐标系？能在直⾓坐标系中求解吗？5章特殊函数>> 1）勒让德多项式1、⽅程是什么⽅程？你能写出它在中的⼀有限解吗？2、试述Legendre⽅程本征值问题的提法，其本征值、本征函数是什么？3、你能证明吗？你能由和之值算出吗？4、Legendre多项式的母函数是什么？何谓母函数法？它有哪些⽤途？5、Legendre多项式的归⼀化因⼦是什么？模是什么？你能得到⼀正交归⼀的Legendre多项式吗？6、积分和之值分别是多少？和7、你能将⽤Legendre多项式表⽰吗？8、你能否⽤关系式导出递推公式9、在球坐标系中，在轴对称的情况下，△u=0的变量分离形式的解是什么？在球内的解是什么？在球外的解呢？10、什么是缔合Legendre函数？它是否⼀定是多项式？为什么？11、试述缔合Legendre⽅程本征值问题的提法，其本征值和本征函数是什么？12、缔合Legendre函数的模和归⼀化因⼦是什么？13、是否等同于？与有何关系？你能否由的正交归⼀性导出的正交归⼀性？15、何谓球函数⽅程？它满⾜下列条件的特解是什么?16、独⽴的l阶球函数共有多少个？17、你能⽤两种不同的形式，写出在球坐标系中，在⾮轴对称的情况下△u=0的解吗？它们对于球内和球外的具体情况，⼜分别是怎样的呢？2）贝塞⽿函数1、⽅程叫什么⽅程？你能写出它的⼀有限解吗？2、何谓Bessel函数的零点？它与Bessel⽅程的何种本征值问题有关？有什么样的关系？3、Bessel函数的母函数是什么？当v不为整数时有⽆母函数？为什么？4、你能利⽤Bessel函数的母函数关系式推导出Bessel函数的递推公式吗？5、Bessel函数有⽆微分表达式？若有，试写出；若⽆，说明为什么？6、什么是三类柱函数？它们是否均满⾜Bessel⽅程？它们互相的关系是怎样的？7、第⼆、三类柱函数是否也满⾜Bessel函数递推公式？为什么？8、9、10、Bessel⽅程的通解是什么？其有限解是什么？11、什么是虚宗量的Bessel⽅程？它经过什么样的代换可变成Bessel⽅程？由此你能推得虚宗量的Bessel ⽅程的⼀个特解吗？12、什么是虚宗量的Bessel函数和虚宗量的Neumann函数？虚宗量Bessel⽅程的通解是什么？13、你能完整地写出在柱坐标中对分离变量后所得到的在柱体内的分离变量形式的解吗？14、⽅程在柱坐标系下分离变量，在什么样的边界条件下会出现虚宗量Bessel⽅程？虚宗量的Bessel⽅程是否会构成本征值问题？15、球Bessel⽅程是什么样的情况下出现的？它与半整数的Bessel⽅程有什么关系？你能理解式给出的⼏个函数是球Bessel ⽅程的特解吗？16、试述球Bessel⽅程本征值问题的提法，其本征值和本征函数是什么？17、你能写出在球坐标系中对所得到的分离变量形式的解吗？第6章积分变换法1、何谓积分变换法？他的解题步骤是怎样的？2、Fourier变换的定义是什么？它的存在条件是什么？你能由周期函数的Fourier级数⽽导出⾮周期函数的Fourier积分从⽽引⼊Fourier变换吗？3、试求函数的Fourier变换（a>0），你能利⽤Fourier变换的某些性质求出和吗？其中，a为常数，t为参变量。
数理方程与特殊函数 第一章 王元明版课件
自变量的个数是两个或者两个以 上的微分方程称为偏微分方程
数理方程学科发展
微积分产生后，人们开始把力学中的一些问 题和规律归结为偏微分方程进行研究。 十八世纪初，弦振动问题归结为偏微分方程 并探讨了它的解法。 流体的运动 弹性体的平衡和振动 热传导 电磁相互作用 原子核和电子的相互作用
发展（续）
在研究物理现象的过程中，人们对偏微分方程的 性质也了解得越来越多，越来越深入，从而形成 了数学中得一门重要得分支——偏微分方程理论。 它既有悠久的历史，又不断地更新它的对象、内 容和方法。由于它直接联系着许多自然现象，所 以又不断地产生需要解决的新课题和新方法。
偏微分方程的有关术语
齐次和非齐次
自由项：方程中不含未知函数及其各阶偏导数的项
∂ 2u ∂ 2u = a 2 2 + f ( x, t ) ∂t 2 ∂x
∂u ∂ 2u = a2 2 ∂t ∂x
自由项为0 齐次 自由项不为0 非齐次
偏微分方程的有关术语
偏微分方程的解 若一个函数具有所需要的各阶连续偏导数，且代 入方程后使该方程成为恒等式，则该函数称为偏 微分方程的解
课程考核
考核方式： 闭卷书面考试+平时成绩
课程要求
（1）上课认真听讲、积极发言 （2）课前预习，课后复习 （3）独立完成作业，每周一交作业
什么是数理方程？
质点的自由落体运动
位移随时间的变化
∂ u =g 2 ∂t
2
自感电路的 电流滋长
电流随时间的变化
dI ε − L = IR dt
研究某个物理量（位移、电流）怎样随时间变化 以时间为自变量的常微分方程
∂u 小段的相对伸长为 ，在x点处为 ∂u ( x, t ) ∂x ∂x ∂u ( x + Δx, t )
数理方法习题数理方法习题讲解
u ( x , y ) = ∑ (C n e
n =1
nyπ a
+ Dn e
nyπ a
nπ x ) sin a
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∴ lim u = 0 ∴ C n = 0
y →∞
∞
l 2 2l (2n + 1)π Bn = ⋅ v0 sin ξ dξ ∫ l (2n + 1)π a 0 2l 2v0l = = (n + 1 ) 2 π 2 a 2
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Tn = Cn e
−
n 2π 2 a 2 l
2
t
u ( x, t ) = ∑ Bn e
n =1
∞
∞
−
n 2π 2 a 2 l2
t
nπ x ⋅ sin l
nπ bx(l − x ) ∴ u ( x, 0) = ∑ Bn ⋅ sin x= 2 l l n =1 2 l bξ (l − ξ ) nπ Bn = ∫ sin ξ dξ = = 2 0 l l l
Z = ∑ An cos λx + Bn sin λx
nπ Z (a ) = 0 ⇒ sin λ a = 0 ⇒ λ = a ∞ nπ Z ( x ) = ∑ Bn sin x a n =1 Z (0) = 0 ⇒ An = 0 n = 1, 2
而
Yn = An′e
∞
nyπ a
+ Bn′e
−
−
nyπ a
8b π 3 (2 R + 1) 3 ( n = 2 k + 1) = 0 ( n为 偶 数 )
第一章 定解问题
(4)电荷守恒定律 电荷既不能创造，也不能消灭，它们 只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的— 部分转移到另一部分，或者说，在任何物理过程中， 电荷的代数和是守恒的.
(5)热量(质量)守恒定律 物体内部温度升高所吸收的热 量(浓度增加所需要的质量)，等于流入物体内部的净 热量(质量)与物体内部的源所产生的热量(质量)之和．
例 在弦的横振动问题中，若弦受到一与速度成正比的阻力， 试导出弦的阻尼振动方程．
解 弦的横振动问题，通常是指紧绷于两固定点之间的细长 而柔软的弦线，在平衡位置附近作振幅极其微小的横振动的 问题．显然，该问题需要研究的物理量u 是弦的位移。
(1)如图所示，考虑弦中的任意一小段x 的受力情况．依题意，设单位长弦线所受
个闭曲面所包围的自由电荷的电量的 1 倍。即
s
E
dS
1
d
其中，
为介电常数，
为体电荷密度．
(8)Joule－Lenz 定律 电流通过纯电阻的导体时所放出 的热量跟电流强度I 的平方、导线的电阻R和通电的时间t
成正比。即Q I 2Rt
(9)Kirchhoff 定律 第一定律：会合在节点的电流代数和
(1)导出或写出定解问题，它包括数理方程和定解条件 两部分．
(2)求解已导出或写出的定解问题．
(3)对求得的解答讨论其适定性(即解是否存在、惟一且 稳定)并作适当的物理解释．
3．求解数理方程的方法 求解数理方程的方法大致可归纳为如下几种
(1)行波法(又称d’Alembert解法)
(2)分离变量法
(3)积分变换法
差时，会产生热量的流动。热流密度q （即，单位时间内流
过 单 位 横 截面 积 的 热量 ），与 温 度 的下 降 率成 正 比 。 即
数理方程中典型方程和定解条件的推导ppt课件
P5 (1.5) ”是否合理？
结点与节点有区别吗？
Rdx
+
- v(x,t)
Ldx
i(x,t)
Cdx
P● ＋
－
i +di C L– L
GdxC v dv
x
●
图 12
x dx
iC
C
duC dt
di
u L
L
dt 19
梁昆淼先生的做法：
“今考虑一来一往的高频传输线，每单位长一来一往所具有的电阻，电感，电容， 电漏分别记以 R，L，C，G。于是
x1d2x
3、忽略与近似
T cos Tcos 0
(1)
T sin T sin ds g ds utt
(2)
①对于小振动： 0; 0
cos 1 ; cos 1
sin
tg 1 tg2
tg u x
x
sin
tg 1 tg2
tg u x
x dx
于是（1）式变为：
T T
代入（2）式变为：
T sin T sin ds(utt g)
T u x
xdx T
u x
x
ds(ut t g)
②一般说来，ut t g ， 将 g 略去，上式变为
Cdx
Gdx v dv
x
●
x dx
17
电路准备知识 电容元件：
du
i C C
C
dt
q Cu
i dq d(Cu) C du
dt dt
dt
q idt
电感元件：
数理方法-第一讲-定解问题
定义：初始条件是物理过程初始状况的数学表达式。
初始条件的个数：关于时间t的n阶偏微分方程，要给 出n个初始条件才能确定一个特解。波动方程1-1式中 需给出两个初始条件：
热传导(或扩散)方程1-2式需给出一个初始 条件，即：
泊松方程1-3式无需给出任何初始条件，其
中
和
为已知函数。
2. 边界条件
数理方法-第一讲-定解问题.ppt
教学主要内容
第一部分 定解问题 学习物理方程、初始条件和边界条件的导出：以 一维波动方程为例，掌握如何利用物理规律导出 物理方程，并根据具体情况设定初始条件和边界 条件，介绍偏微分方程的初步解法，并推广到三 维情况。
第二部分 分离变量法 学习用分离变量法解偏微分方程。包括齐次与非 齐次方程的解法以及在直角坐标系、柱坐标系和 球坐标中的分离变量法。
要想将一个具体的物理过程完整的翻译成数学语言，必
须要写出它的定解问题即：
泛定方程 数理方程
定解问题
初始条件
定解条件 边界条件
衔接条件
泛定方程即数理方程本身。泛定方程只能反映和描绘同
一类现象的共同规律。对于一个具体的物理问题的具体
特殊的一面，还必须通过定解条件来反映，而欲正确的
写出定解条件，必须注意以下几个方面的问题：
[解] 泛定方程：
初始条件：
例4 杆的纵向振动 当两端（x = 0，x= l）受沿外法线纵向 外力 f（t）作用时：
相对伸长：
根据胡克定律： 边界条件：
当两端（x = 0，x= l）不受外力自由振动时 ： 边界条件： 例5 细杆的导热问题 当一端（x= l）有热量流q（t）沿端点外法 线方向流出时：
积分
解方程组
定解问题讲解
Mathematical Methods for Physics第二篇数学物理方程Mathematical Equations for Physics要想探索自然界的奥秘就得解微分方程。
－牛顿中心：将物理问题翻译成数学语言 目的:1、如何用数理方程研究物理问题2、如何导出方程3、能正确写出定解问题§ 6.1 引言Introduction第六章 定解问题Mathematical Problem1、数学物理方程概念：数学物理方程是指从物理、工程问题中，导出的反映客观物理量在各个地点、时刻之间相互制约关系的一些偏微分方程。
数学物理方程 ♣ 线性方程♦♥ 非线性方程一、数理方程简介：§ 6.1 引言一、数理方程简介§ 6.1 引言ttu =a2⊗u +fut=D⊗u +f2、数理方程的产生和发展：(1)十八世纪初期(2)十九世纪中期三类数学物理方程：波动方程u -波动，a-波速，f-与源有关的函数输运方程u －浓度，D-系数，f -与源有关的已知量泊松方程h-与源有关的已知量，u-表示稳定物理量+fxx2Taylor ：utt=a u⊗u =-h一、数理方程简介：§ 6.1 引言a u2、数理方程的产生和发展：(3)十九世纪末到二十世纪初高阶方程（梁的横振动）：utt= 2xxxxf ( x, t )非线性方程KdV：ut+σuux+uxxx= 0∂ψh2schro&-dinger：i h∂t=-Δψ2μ+U(r)ψ+1、写出定解问题♣ 泛定方程：数理方程(一般规律)♦♥ 定解条件：初始、边界、衔接条件（个性)如：y '(t) - 4 y = 0♣y ' -4y = 0 －泛定方程♠y(0) = 0 ↔ y = C e 2t+ C e -2t♦ ← －定解条件 12－通解♠♥y '( 0) = 4↑♦1、写出定解问题2、求解：求解方法: 行波法、分离变量法、积分变换法、格林函数法、保角变换法、复变函数法、变分法 ♣ 物理意义3、分析解答：♠♠ ♣存在 ♠♥ 适定性 ♦唯一♠♥稳定数学物理方法物理（内容）桥梁数学（成果）、数理方法的特点三 § 6.1 引言。
数学物理方法定解问题PPT文档45页
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
数学物理方法定解问题 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今பைடு நூலகம்对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
定解问题复习(教学校园)
A、 波动方程的初始条件
系统各点的初位移 系统各点的初速度
B、热传导方程的初始条件 初始时刻的温度分布：
C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件
不含初始条件，只含边界条件条件
教资优选
5
2、边界条件——描述系统在边界上的状况
A、 波动方程的边界条件 (1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：
或：
第一类边界条件
9
1、有两个不相等的实根
特征根为
齐次方程的通解为 2、有两个相等的实根
特征根为
齐次方程的通解为 3、有一对共轭复根
特征根为
齐次方程的通解为 教资优选
10
齐次边界条件 解1
偏
常微分方程1
微
分 分离 方 变量
程
常微分方程2
解2
本征解 解1×解2
初始条件
确定叠 加系数
通解＝ 本征解
教资优选
11
泛定方程 边界条件 本征值 本征函数
交换系数； 周围介质的温度,
第三类边界条件
C、拉普拉斯方程的边界条件教资优选
7
1、衔接条件
背景：系统中出现跳跃点。
研究方法：具体问题具体分析，在跳跃点处寻 找连续条件。
2、自然边界条件
➢
边界值为有限的：
➢
周期边界条件 ：
教资优选
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二阶常系数齐次线性方程的标准形式 特征方程 特征根
教资优选
温度的变化。
4 长为 l ，两端固定的弦，在单位长度上受横向力 g(x) sinwx 的 作用下做小振动，已知弦的初始位移 和 速度分别为j (x) 和 f (x) ，求其横振动的规律。
5 有一长为 l ，侧面绝热而初始温度为零度的均匀细杆，它的
第一章 定解问题
第一章 定解问题§1 基本概念1．数学物理方程：是指从物理问题中所导出的反映客观物理量在各个地点、各个时刻之间相互制约的一些偏微分方程（有时也包括常微分方程和积分方程）2．数学物理方程的分类数学物理方程按其所代表的物理过程可分为如下三类：（1）描述振动和波动特征的波动方程f u a u tt +∆=2（2）反映输运过程的扩散（或热传导）方程f u D u t +∆=（3）描述稳定过程或稳定状态的poisson 方程h u -=∆其中 222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂=∆ 22t u u tt ∂∂=，t u u t ∂∂= 而未知函数u (x , y , z , t )在三类方程中分别表示位移、浓度（或温度）和稳定现象特征；a 和D 表示波速和扩散（或热传导）系数；f 和h 是与源（汇）有关的已知函数，当f =0或h =0时，相应的方程称为齐次方程。
3．用数学物理方程研究问题的一般步骤（1）导出或写出定解问题（它包括数学物理方程和定解条件两部分）（2）求解已导出或写出的定解问题（3）对求得的解讨论其适应性（即解的存在性、惟一性、稳定性），并作出适当的物理解释4．求解数学物理方程的方法求解数学物理方程的方法大致可以分为如下几种：行波法（达朗贝尔法）；分离变量法；积分变换法；Green 函数法；保角变换法；复变函数法；变分法；数值方法§2 数学物理方程的建立或推导1．建立（或推导）数学物理方程的步骤建立数学物理方程一般步骤step1：从所研究的系统中任取一单元体，分析该单元体与邻近单元体之间的相互关系； step2：根据相关的物理定律（如牛顿第二定律、能量守恒定律、奥—高定律等）；用算式表达这个作用；step3：化简、整理即得所研究问题满足的数学物理方程。
2．建立（导出）方程时经常要用到的物理定律（1）Newton 第二定律：F=ma（2）Fourier 实验定律（即热传导定律），当物体内部存在温度差时会产生热量的流动。