向量综合复习
高三数学向量专题复习(高考题型汇总及讲解)(1)
向量专题复习向量是高考的一个亮点，因为向量知识，向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视。
一、平面向量加、减、实数与向量积 （一）基本知识点提示1、重点要理解向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量、反向量、相等向量、两向量的夹角等概念。
2、了解平面向量基本定理和空间向量基本定理。
3、向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。
4、向量形式的三角形不等式：｜｜a ｜-｜b ｜｜≤｜a ±b ｜≤｜a ｜+｜b ｜(试问：取等号的条件是什么?)；向量形式的平行四边形定理：2（｜a ｜2+｜b ｜2）=｜a －b ｜2+｜a +b ｜25、实数与向量的乘法（即数乘的意义）实数λ与向量的积是一个向量，记λ，它的长度与方向规定如下：(1)｜λa ｜=｜λ｜²｜a ｜;(2)当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ=0时，λ=,方向是任意的.6、共线向量定理的应用：若≠，则∥⇔存在唯一实数对λ使得=λ⇔x 1y 2-x 2y 1=0(其中=（x 1，y 1），=（x 2，y 2）) （二）典型例题例1、O 是平面上一 定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足).,0[||||+∞∈++=λλAC AB 则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心+是在∠BAC 的平分线上，∴选B例2、对于任意非零向量与，求证：｜｜｜-｜｜｜≤｜±｜≤｜｜+｜｜证明：(1)两个非零向量与不共线时，+的方向与，的方向都不同，并且｜｜-｜｜＜｜±｜＜｜｜+｜｜(3)两个非零向量a 与b 共线时，①a 与b 同向，则a +b 的方向与a 、b 相同且｜a +b ｜=｜a ｜＋｜b ｜.②a 与b 异向时，则a +b 的方向与模较大的向量方向相同，设|a |＞||，则|+|=||-||.同理可证另一种情况也成立。
高考数学专题向量的综合复习
高中数学必修4向量的综合复习向量与三角综合题选1．将函数y=f (x )·cos x 的图象按向量a =（4π，1）平移，得到函数y=2sin 2x 的图象那么函数 f (x )可以是（ D ） A ．cos xB ．2cos xC ．sin xD ．2sin x2．已知=a )sin (cos αα，，=b )sin (cos ββ，（πβα<<<0），且|λa μ+b |=|μa λ-b |（0≠λμ），则=-αβ2π． 3．已知向量求且],2,0[),2sin ,2(cos ),23sin ,23(cos π∈-==x x x b x x a ①||b a b a +⋅及;②若3()2||,2f x a b a b λλ=⋅-+-的最小值是求的值. 解：（1）x xx x x b a 2cos 2sin 23sin 2cos23cos =⋅-⋅=⋅ x x xx x b a 222cos 22cos 22)2sin 23(sin )23cos 23(cos||=+=-++=+ x b a x x cos 2||,0cos ],2,0[=+∴>∴∈π（2）2221)(cos 2)(,cos 42cos )(λλλ---=-=x x f x x x f 即.1cos 0],2,0[≤≤∴∈x x π①当0<λ时，当县仅当0cos =x 时，)(x f 取得最小值－1，这与已知矛盾； ②当λλ=≤≤x cos ,10当且仅当时时，)(x f 取得最小值221λ--，由已知得21,23212=-=--λλ解得；③当1cos ,1=>x 当且仅当时λ时，)(x f 取得最小值λ41-，由已知得3142λ-=- 解得85=λ，这与1>λ相矛盾，综上所述，21=λ为所求。
4．平面直角坐标系内有点P ].4,4[),1,(cos ),cos ,1(ππ-∈x x Q x（Ⅰ）求向量OQ OP 和的夹角θ的余弦用x 表示的函数)(x f ； （Ⅱ）求)(x f 的最小值.解：（Ⅰ）)(cos 1cos 2||||cos ,cos 1||||,cos 222x f xxOQ OP x OQ OP x OQ OP =+=⋅=∴+==⋅θ （Ⅱ）.cos 1cos 2cos 1cos 2)(cos 2xx x x x f +=+==θ ]1,22[cos ],4,4[∈∴-∈x x ππ.322)(,1)(322,223cos 1cos 2min =≤≤≤+≤x f x f x x .5．设)sin ,cos 1(αα+=a ，)sin ,cos 1(ββ-=b ，),0()0,1(πα∈=c)2,(ππβ∈，a 与c 的夹角为1θ，b 与c 的夹角为2θ，且621πθθ=-，求4sinβα-的值．（本题12分）．解：)22cos(2sin 2sin 22sin 2||||cos 22cos 2cos 22cos 2||||cos 2sin 2||2cos2||),2(2),2,0(2)2,(),,0()2cos ,2(sin 2sin 2)2cos 2sin2,2sin 2()2sin ,2(cos 2cos 2)2cos 2sin 2,2cos 2(2212122πββββθαθαααθβαππβπαππβπαββββββαααααα-===⋅==∴==⋅===∈∈∴∈∈====c b c b c a c a b a b a 故21)6sin(4sin3262226222220212-=-=-∴-=-∴=+-⇒=--=∴<-<πβαπβαππβαπθθπβθππβ又6．已知函数a b x b x x a x f (sin 2cos sin 2)(2+⋅-⋅⋅=、b 为常数，且0<a ）的图象过点（3,0），且函数)(x f 的最大值为2.（1）求函数)(x f y =的解析式，并写出其单调递增区间；（2）若函数)(x f y =的图象按向量)0,(m p =作移动距离最小的平移后，使所得的图象关于y 轴对称，求出向量p 的坐标及平移后的图象对应的函数解析式解：（1）,2cos 2sin )(x b x a x f ⋅+=12,33)0(22-==+==a b a b f 解得又有得所以函数)(x f y =的解析式是)32sin(22cos 32sin )(π--=+-=x x x x f)(x f 的单调递增区间是)](1211,125[Z k k k ∈++ππππ （2）∵平移后的图象对应的函数解析式是]3)(2sin[2π---=m x y图象关于y 轴对称，即)322sin(2π---=m x y 为偶函数，)322sin(2)322sin(2ππ---=----∴m x m xR x m x m x ∈--=---对即)322sin()322sin(ππ恒成立 )(,2)322()322(Z k k m x m x ∈+=--+---∴ππππ πππππ1252,2324-⋅-=+=--∴k m k m ，,1212521min πππ=-=-=∴m k 时当故p )0,12(π=，图象对应的函数解析式为x x y 2cos )22sin(2=--=π7．已知二次函数)(x f 对任意R ∈x ，都有)1()1(x f x f +=-成立，设向量=a （sin x ，2），=b （2sin x ，21），=c （cos2x ，1），=d （1，2），当∈x [0，π]时，求不等式f （b a ⋅）＞f （d c ⋅）的解集． 解析：设f （x ）的二次项系数为m ，其图象上两点为（1-x ，1y ）、B （1＋x ，2y ）因为12)1()1(=++-x x ，)1()1(x f x f +=-，所以21y y =，由x 的任意性得f （x ）的图象关于直线x ＝1对称，若m ＞0，则x ≥1时，f （x ）是增函数，若m ＜0，则x ≥1时，f （x ）是减函数．∵ x (sin =⋅b a ，x sin 2()2⋅，11sin 2)212≥+=x ，x 2(cos =⋅d c ，1()1⋅，)2122cos ≥+=x ，∴ 当0>m 时，)12(cos )1sin 2()()(2+>+⇔>⋅⋅x f x f f f d c b a 1sin 22+⇔x02cos 222cos 12cos 122cos <⇔+>+-⇔+>x x x x 02cos <⇔x 2ππ2+⇔k 23ππ22+<<k x ，Z ∈k ． ∵ π0≤≤x ， ∴ 4π34π<<x ． 当0<m 时，同理可得4π0<≤x 或π4π3≤<x ．综上：)()(d c b a ⋅⋅>f f 的解集是当0>m 时，为}4π34π|{<<x x ； 当0<m 时，为4π0|{<≤x x ，或}π4π3≤<x ． 8．平面直角坐标系有点]4,4[),1,(cos ),cos ,1(ππ-∈x x Q x P（1）求向量OQ OP 和的夹角θ的余弦用x 表示的函数f (x ); （2）求θ的最值.解：（1）θcos ||||OQ OP OQ OP ⋅=⋅]4,4[cos 1cos 2)(,cos 1cos 21cos cos 11cos cos 1|||||cos 2222ππθ-∈+=∴+=++⋅+⋅=⋅=∴x xx x f xxx x x x OQ OP（2）)(12)(],1,22[,cos 2t g t t x f t t x =+=∈=则则 0,0,322arccos ,40,322arccos ],,0[,1cos 322322)22()(,1)1()(]1,22[)(,122)(,0)(,)1,22()1()1)(1(2)(min max min max min max 22===±=∴==∈≤≤∴====∴∴==>'∈+-+-'θθπθθπθθ时当时当故又上是增函数在处连续及在又时显然又x x g t g g t g t g t t t g t g t t t t t g 9．如图：已知△OFQ 的面积为62，且m FQ OF =⋅，（1）若646<<m 时，求向量OF 与FQ 的夹角θ的取值范围；（2）设c OF =||，2)146(c m -=时，若以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点Q ，当||OQ 取得最小值时，求此双曲线的方程．（1） 由已知，得⎪⎩⎪⎨⎧==-⋅⋅，，m FQ OF FQ OF θθcos ||||62)πsin(||||21所以m 64tan =θ，因为646<<m ，所以4tan 1<<θ，则4arctan 4π<<θ． （2）以O 为原点，OF 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设所求的双曲线方程为12222=-b y a x ，（a ＞0，b ＞0），Q 点的坐标为（1x ，1y ），则FQ ＝（c x -1，1y ），因为△OFQ 的面积62||211=⋅y OF ，所以c y 641=，又由=⋅FQ OF （c ，0）（c x -1，1y ）21)146()(c c c x -=-=，所以c x 461=，128396||222121≥+=+=c c y x OQ ，当且仅当c ＝4时，||OQ 最小，此时Q 的坐标为（6，6），由此可得⎪⎩⎪⎨⎧=+=-，，161662222b a b a 解之得⎪⎩⎪⎨⎧==，，12422b a 故所求的方程为112422=-y x 10． 已知向量33cos ,sin )22x x a =（，cos ,sin )22x x b =-（，且[,]2x ππ∈ (1) 求a b ⋅及||a b +；(2) 求函数()f x =a b ⋅＋||a b +的最大值，并求使 函数 取得最大值的x 的值。
向量综合复习
向量综合复习1．（04湖北）已知,,为非零的平面向量. 甲：⋅=⋅，乙：=，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件2．（00年天津）设、、是任意的非零平面向量，且相互不共线，则 ①0)()(=⋅-⋅b a c c b a ； ②||||||b a b a -<-； ③)()(⋅-⋅不与垂直； ④22||4||9)23()23(-=-⋅+中，是真命题的有（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④3．（04上海春招）在ABC ∆中，有命题 ①BC AC AB =-；②0=++CA BC AB ；③若0)()(=-⋅+AC AB AC AB ，则ABC ∆为等腰三角形；④若0>⋅，则ABC ∆为锐角三角形.上述命题正确的是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．②③④4、已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b) ⊥a ，(b －2a ) ⊥b ，则a 与b 的夹角是（ ）A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π 5、AD 、BE 分别为ABC ∆的边BC 、AC 上的中线，且a =，b =，那么为（ ） A ．b a 3432+ B ．b a 3232- C ．b a 3432- D ．b a 3432+- 6、设 M 是△ABC 的重心，则=（ ）A ．2AB AC - B ．2AC AB + C ．3AB AC -D ．3AC AB + 7、下列向量组中能作为它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）A ．)0,0(1=e ，)2,1(2=eB ．)2,1(1-=e ，)7,5(2=eC ．)5,3(1=e ，)10,6(2=eD ．)3,2(1-=e ，)43,21(2-=e 8、已知)2,1(=a ，)1,(x b = ，当b a 2+与b a -2共线时，x 的值为（ ）A ．1B ．2C ．31D ．219、已知向量)2,3(-=a ，)1,2(-=b ，)4,7(-=c ，用a 和b 来表示c ，则c 为（ ）A ．b a -2B ．b a +2C ．b a 2-D ．b a 2+10、已知)3,1(-A 、)21,8(B ，且A 、B 、C 三点共线，则C 点坐标可以是（ ）A ．)1,9(-B ．)1,9(-C ．)1,9(D ．)1,9(-- 11、下列四个命题：①若0=⋅b a ，则0 =a 或0 =b ；②若e 为单位向量，则e a a ⋅=||；③3||a a a a =⋅⋅；④若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线．其中错误命题的序号是___________．12、在ABC ∆中，D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、CA 的中点，已知D 点坐标为)2,1(，E 点坐标为)5,3(，F 点坐标为)7,2(，则点A 坐标为____________．13．已知)2,(x A ，)2,5(-y B ，若)6,4(=AB ，则y x ,的值分别为_________．14．已知向量)7,2(x a = ，)4,6(+=x b ，若b a =，则=x _________．15．已知平行四边形ABCD 的顶点)2,1(--A 、)1,3(-B 、)6,5(C ，则顶点D 的坐标为_____．16．若三点)1,1(A ，)4,2(-B ，)9,(x C 共线，则=x ____________．17．设)2,1(-=a ，)1,1(-=b ，)2,3(-=c ，用a 、b 作基底有b q a p c +=，则=p ______，=q ________．18．若)3,2(=a ，)1,4(y b +-= ，且b a //，则y 等于_________．19．当=m ______时，向量)1,2(-=m a 与)6,2(-=m b 共线且方向相同；当=m _____时，a 与b 共线且方向相反．20．已知点),(y x M 在向量)2,1(=OP 所在的直线上，则y x ,所满足的条件是___________．21．已知)0,0(O 、)2,1(A 、)5,4(B ，且t +=，则当=t ________时，点P 落在x 轴上．。
向量复习
向量复习1．向量的基本概念(1)既有大小又有方向的量叫做向量．(2)零向量的模为0，方向是任意的，记作(3)长度等于1的向量叫单位向量．(4)长度相等且方向相同的向量叫相等向量．(5)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量．零向量和任一向量平行．2．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .3．平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.4．两向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，在平面上任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫作a与b 的夹角．5．向量的坐标表示及运算(1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)．(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．6．平面向量共线的坐标表示已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a 与b 共线．7．平面向量的数量积设θ为a 与b 的夹角．(1)定义：a ·b ＝|a ||b |cos θ.(2)投影：a ·b |b |＝|a |cos θ叫做向量a 在b 方向上的投影． 8．数量积的性质(1)a ⊥b ⇔a ·b ＝0；(2)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a |·|b |；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a |·|b |；特别地，a ·a ＝|a |2；(3)|a ·b |≤|a |·|b |；(4)cos θ＝a ·b |a |·|b |. 9．数量积的坐标表示、模、夹角已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(1)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；(2)|a |＝x 21＋y 21；(3)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0；(4)cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.【误区警示】1．两向量夹角的范围是[0，π]，a ·b >0与〈a ，b 〉为锐角不等价；a ·b <0与〈a ，b 〉为钝角不等价．2．点共线和向量共线，直线平行与向量平行既有联系又有区别．3．a 在b 方向上的投影为a ·b |b |，而不是a ·b |a |. 4．若a 与b 都是非零向量，则λa ＋μb ＝0⇔a 与b 共线，若a 与b 不共线，则λa ＋μb ＝0⇔λ＝μ＝0. 考点一 平面向量的概念及线性运算例1．(2016·高考全国甲卷)已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________.【变式探究】(1)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( )A ．(－7，－4)B ．(7,4)C ．(－1,4)D ．(1,4)【举一反三】向量的三角形法则要保证各向量“首尾相接”；平行四边形法则要保证两向量“共起点”，结合几何法、代数法(坐标)求解．(2)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A.AD →B.12AD → C.BC → D.12BC → 考点二 平面向量数量积的计算与应用例2．(2016·高考全国丙卷)已知向量BA →＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC →＝⎝⎛⎭⎫32，12，则∠ABC ＝( ) A ．30° B ．45°C ．60°D ．120°【变式探究】(1)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2(2)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________.综合小题向量练习1.【2016高考新课标2文数】已知向量(1,)(3,2)a m a =-，=，且()a b b ⊥+，则m =（ ） （A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）82【2015高考湖北，文11】已知向量，，则 .3【2015高考山东，文4】已知菱形的边长为 ，,则（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 4【2015高考四川，文7】设四边形ABCD 为平行四边形，，.若点M ，N 满足，，则（ ）（A ）20 （B ）15 （C ）9 （D ）65【2015高考安徽，文8】是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是（ ） （A ） （B ） （C ） （D ）6. 【2014高考福建卷第8题】在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（ ） A. B . C. D.7. 【2014陕西高考文第13题】设，向量，若，则_______.8. 【2014高考北京卷文第10题】已知向量、满足，，且（），则 .9. 【2014高考湖北卷文第11题】设向量，，若，则实数 .10. 【2014江西高考文第15题】已知单位向量与的夹角为，且，向量与的夹角为，则= .OA AB ⊥||3OA =OA OB •=ABCD a 60ABC ∠=BD CD ⋅=232a -234a -234a 232a 6AB =4AD =3BM MC =2DN NC =AM NM ⋅=C ∆AB 2ab 2a AB =C 2a b A =+1b =a b ⊥1a b ⋅=()4C a b +⊥B ()2,3=a )2,1(),0,0(21==e e )2,5(),2,1(21-=-=e e )10,6(),5,3(21==e e )3,2(),3,2(21-=-=e e 20πθ<<()()1cos cos 2sin ，，，θθθb a =b a //=θtan a b 1||=a )1,2(=b 0b a =+λR λ∈||λ=(3,3)a =(1,1)b =-()()a b a b λλ+⊥-λ=1e 2e α1cos 3α=1232a e e =-123b e e =-βcos β。
《向量》复习
三、《向量》复习（一）向量有关概念：★ 向量的定义（大小和方向）、区分共线向量（平行向量）、相等向量、相反向量，特殊的两个向量：零向量和单位向量，注意向量的平行不具有传递性，零向量与任一向量是共线的；不可以说零向量与任一向量方向相同或相反或垂直，因为零向量的方向是任意的！ 1、（提纲12月9日例1）判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. （1）若|a |>|ｂ|,则a >b ； （2）单位向量都相等； （3）若|a |=0,则a=0；（4）方向不相同的两个向量一定不平行；（5）共线的向量，若起点不同，则终点一定不同； （6）若a 与b 不平行，则a 与b 都是非零向量；（7）任一向量与它的相反向量不相等；（8）若两个向量不相等，则他们一定不共线；（9）向量AB u u u r 与CD uuur 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上；（10）四边形ABCD 是平行四边形一定有AB DC =u u u r u u u r；（11）若a ＝b ，则一定有|a |=|b |，且a 与ｂ方向相同；（12）若|a |=|ｂ|，且a ∥b ，则a ＝b ； （13）若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；（14）若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； 2、（限12月9日23）如图，在5×4的矩形（每个小方格都是单位正方形）中，则起点和终点在小方格的顶点处的向量与AB u u u r平行，且模为2的向量个数为_______3、下列命题：（1）若a b =r r，则a b =r r ；（2）若两个向量相等则它们的起点相同，终点相同；（3）错误!未找到引用源。
与错误!未找到引用源。
平行，a 与b 的方向相同或相反；（4）若AB DC =u u u r u u u r，则ABCD 是平行四边形；（5）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =u u u r u u u r ；（6）若,a b b c ==r r r r ，则a c =r r ；（6）若//,//a b b c r r r r ，则//a c r r；其中正确的是_______ （二）向量的几何运算★★ 向量的加法：三角形法则（首尾相连，首尾连）和平行四边形法则（共起点，对角线），三角形法则适用于作任意两个向量的和向量，而平行四边形法则只适用于不共线的两个向量作和向量；注重加法的连贯性，以及相等向量的相互替换，还要注意其几何意义的应用即在特殊图形（平行四边形、菱形、矩形、正方形、正六边形）中的应用.4、（提纲12月10日学习：辨别正误）(1)如果非零向量a 与b 共线，那么a+b 的方向必与a ，b 之一的方向相同．(2)△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0.(3)若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点． (4)若a ，b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等．（5）(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝AC →（6）若向量a 与b 方向相反，且|a |<|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同5、在平行四边形ABCD 中，下列式子：①AD →＝AB →＋BD →；②AD →＝AC →＋CD →；③AD →＋AB →＝AC →；④AB →＋BC →＝AC →； ⑤AD →＝AB →＋BC →＋CD →；⑥AD →＝DC →＋CA →.其中不正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．6 6、下列命题：①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a 、b 之一的方向相同；②△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0；③若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A 、B 、C 为一个三角形的三个顶点；④若a 、b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等．其中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．37、（限12月10日1）向量（AB +MB ）+（BO +BC ）+OM 化简后等于（ ）A ． BC uuu rB ． ABC ． ACD ．AM8、（限12月10日6）已知向量a ∥b ，且|a |>|b |>0，则向量a ＋b 的方向( )． A ．与向量a 方向相同 B ．与向量a 方向相反 C ．与向量b 方向相同 D ．与向量b 方向相反9、（限12月10日11）如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是( )A.AB →＝CD →，BC →＝AD →B.AD →＋OD →＝DA →C.AO →＋OD →＝AC →＋CD →D.AB →＋BC →＋CD →＝DA →10、（限12月10日19）如图，在正六边形ABCDEF 中，AB u u u r ＝a ，AF u u u r＝b ，用a 、b 表示AE u u u r.11、（限12月10日14）已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( )．A.AO →＝OD → B.AO →＝2OD → C.AO →＝3OD → D ．2AO →＝OD →12、（限12月10日15）设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=u u u r u u u r u u u r，则（ ） A.0PA PB +=u u u r u u u r r B.0PC PA +=u u u r u u u r r C.0PB PC +=u u u r u u u r r D.0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r★★向量的减法：三角形法则（共起点，连终点，指被减）13、（提纲12月11日例1）化简：（1） ()()AB CD AC BD ---u u u r u u u r u u u r u u u r（2）AD BM CB CM --+u u u r u u u u r u u u r u u u u r14、平行四边形ABCD 中，AB =u u u r a ，AD =u u u r b ，用a 、b 表示向量,AC DB u u u r u u u r.（1） 当a ,b 满足什么条件时，a +b ， a -b 互相垂直？（2） 当a ,b 满足什么条件时，|a +b |=| a -b |? （3） a +b ， a -b 有可能是相等的向量吗?为什么?15、化简：①AB BC CD ++=u u u r u u u r u u u r ___；②AB AD DC --=u u u r u u u r u u u r____； ③()()AB CD AC BD ---=u u u r u u u r u u u r u u u r_____16、（限12月11日9）下列命题中，真命题的个数为(其中a ≠0，b ≠0) ( ) ①|a |＋|b |＝|a ＋b |⇔a 与b 方向相同 ②|a |＋|b |＝|a －b |⇔a 与b 方向相反③|a ＋b |＝|a －b |⇔a 与b 有相等的模 ④|a |－|b |＝|a －b |⇔a 与b 方向相同 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 17、（限12月11日16）若|a |＝|b |＝| a ＋b |＝1，则| a －b |＝ . 18、（限12月11日14）点O 是ABC △内一点，若0=++OC OB OA ，则O 是三角形的___心.19、若D 为ABC ∆的边BC 的中点，ABC ∆所在平面内有一点P ，满足0PA BP CP ++=u u u r u u u r u u u r r，设||||AP PD λ=u u u r u u u r ，则λ的值为____________. （三）向量的线性运算：向量的加法、减法、数乘运算称为向量的线性运算，运算的结果还是向量；注意向量共线定理的应用，找到向量的数量关系是做题的关键，特别是用已知向量表示未知向量时，一定要往已知向量上靠拢，利用加法和减法进行向量的分解与合成，注意到一些关键性的语言，比如中点，三等分点，中位线，还有特殊的图形：平行四边形、菱形、矩形等。
向量复习知识归纳
向量 1、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 2、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不式：a b a b a b -≤+≤+．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+ ；②结合律：()()a b c a b c ++=++ ；③00a a a +=+= ．⑸坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y +=++．3、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y A B=--．4、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ= ； ②当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a的方向相反；当0λ=时，0a λ=．1、实数与向量的积的运算律 ： 设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ; (2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa; (3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb . 2、向量的数量积的运算律：(1) a ·b= b ·a （交换律）; (2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）; (3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c. 3、平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．4、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ= ．5、向量平行的坐标表示设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=.b aCBAa b C -=A -AB =B6、 a 与b 的数量积(或内积) ： a ·b =|a ||b |cos θ．a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．性质：①0a b a b ⊥⇔⋅= ．②当a 与b 同向时，a b a b ⋅=；当a 与b 反向时， a b a b ⋅=- ；22a a a a ⋅== 或a a a =⋅．③a b a b ⋅≤ ．7、平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++.(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --.(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +.8、两向量的夹角公式121222221122cos x x y y x y x y θ+=+⋅+(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).9、平面两点间的距离公式,A B d =||AB AB AB =⋅222121()()x x y y =-+-(A 11(,)x y ，B 22(,)x y ).10、向量的平行与垂直 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则A ||b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. 11、线段的定比分公式设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12PP 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+ ⇔12(1)OP tOP t OP =+- （11t λ=+）. 12、三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 13、点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,)h k .14、“按向量平移”的几个结论（1）点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+.(3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=.(5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y . 15、 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔== .（2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅.（4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=.（5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+.练习题 1、(2012·浙江)设a ，b 是两个非零向量( )A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥bB ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |2、(2012·辽宁)已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( )A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b3、已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及其所在平面内一点P ，满足PA +PB +PC =AB ，则点P 与△ABC 的关系为：A. P 在△ABC 内部B. P 在△ABC 外部C. P 在边AB 所在的直线上D. P 是AC 边的一个三等分点4、已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为（ ）A ．3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-B ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-C ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，5、设0,P ABC ∆是边AB 上一定点,满足AB B P 410=,且对于边AB 上任一点P ,恒有C P B P PC PB 00∙≥∙.则（ ）A 、090=∠ABCB ．090=∠BAC C ．AC AB =D ．BC AC =6、在四边形ABCD 中,(1,2)AC = ,(4,2)BD =-,则四边形的面积为（ ）A ．5B ．25C ．5D ．107、在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点,A B 满足2,OA OB OA OB ===则点集{}|,1,,P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是（ ）A ．22B ．23C ．42D ．438、已知,a b 是单位向量,0a b =.若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是 （ ）A ．2-1,2+1⎡⎤⎣⎦，B ．2-1,2+2⎡⎤⎣⎦，C ．1,2+1⎡⎤⎣⎦，D ．1,2+2⎡⎤⎣⎦，9、已知向量()()1,1,2,2m n λλ=+=+ ,若()()m n m n +⊥-,则=λ（ ）A ．4-B ．3-C ．2-D ．-110、已知点()1,1A -.()1,2B .()2,1C --.()3,4D ,则向量AB 在CD方向上的投影为（ ）A ．322 B ．3152 C ．322-D ．3152-11、已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C .若OA ＋2OC ＝3OB ，则|BC||AB |的值为( ) A.12 B.13 C.14D.1612、已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE BD =_______13、已知向量AB 与AC的夹角为120°,且3AB = ,2AC = ,若AP AB AC λ=+ ,且AP BC ⊥,则实数λ的值为__________.14、已知两个单位向量a ,b 的夹角为60°,c =t a +(1-t)b ,若b ·c =0,则t =_____. 向量a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图所示.若c =λa +μb (λ,μ∈R),则λμ=_________.15、设21,e e 为单位向量,非零向量R y x e y e x b ∈+=,,21,若21,e e 的夹角为6π,则||||b x 的最大值等于________bca16、设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点,AB AD 21=,BC BE 32=,若AC AB DE 21λλ+= (21λλ，为实数),则21λλ+的值为__________17、在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,AB AD AO λ+=,则λ=_________18、设1e ,2e 为单位向量.且1e ,2e 的夹角为3π,若123a e e =+,12b e =,则向量a 在b 方向上的射影为 __________19、在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE =, 则AB的长为_____20、△ABC 中，∠C ＝90°，且CA ＝CB ＝3，点M 满足BM ＝2AM ，则CM ·CA ＝________.21、设OA ＝(1，－2)，OB ＝(a ，－1)，OC＝(－b,0)，a ＞0，b ＞0，O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则1a ＋2b的最小值是________22、P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R}，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R}是两个向量集合，则P ∩Q 等于________23、如图，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ＝23AD ，AB＝a ，AC ＝b .(1)用a ，b 表示向量AD ，AE ，AF ，BE ，BF；(2)求证：B ，E ，F 三点共线．24、已知向量a ＝（cos23x ，sin 23x ），b ＝（cos 2x ，—sin 2x ），且x ∈［2π，23π］.(1) 求b a ⋅及|a +b |；（II ）求函数f(x)＝b a ⋅-b a +的最小值。
空间向量综合复习 (2)
个性化教学辅导教案学科： 数学 任课教师： 授课日期：2014 年 12月 日姓名 年级 高性别授课时间总课时 第 课教学课题 空间向量综合复习教学 目标 1.理解空间向量 的定义 2.会用空间向量的性质解题难点 重点 空间向量的综合应用签字教学组长签字： 教研主任签字:既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示； ②用字母a 、b 等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB ．长度相等且方向相同的向量叫相等向量.向量的加减以及数乘向量运算：⒈向量的加法：⒉向量的减法：⒊实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，其长度和方向规定如下： (1)|λa |＝|λ||a|(2)当λ＞0时，λa 与a 同向； 当λ＜0时，λa 与a 反向； 当λ＝0时，λa ＝0.向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a ＋b ＝b ＋a加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ） 数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb 空间中具有大小和方向的量叫做向量空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． 空间任意两个向量是共面的．空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：AB OA OB +==a +b ，OA OB AB -=（指向被减向量）， =OP λa )(R ∈λ空间向量加法与数乘向量有如下运算律：⑴加法交换律：a + b = b + a ；⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；（课件验证） ⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ．例１已知平行六面体''''D C B A ABCD -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：；⑴BC AB + ；⑵'AA AD AB ++ '21CC AD AB ++⑶．⑷)'(31AA AD AB ++1．共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。
向量的复习
向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。
1、数量与向量的区别：2•向量的表示方法：①用有向线段表示；2、零向量、单位向量概念:②用字母等表示；③用有向线段的起点与终点字母3、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定二、向量加、减法运算及其几何意义1、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法2、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a、b .在平面内任取一点A ,作AB = a, BC = b,则向量AC叫做a与b的和，记作 a +b,即卩 a + b 二AB - BC = AC 规定：a + 0-= 0 + a探究：（1）两向量的和与两个数的和有什么关系？（2）当向量a与b不共线时，| a + b|<| a|+| b| ；什么时候I a + b|=| a|+| b|，什么时候| a + b|=| a| -1 b| , 当向量a与b不共线时，a + b的方向不同向，且|a + b|<| a|+| b| ；当a与b同向时，贝V a+b、a、b同向，且I a + b|=| a I+I b I ,当a与b反向时，若I a I>I b I，则a + b的方向与a相同，且I a + b I=I a I-I b I ；—r —fc- —«—■—te-—w —b-若I a I<I b I，则a + b的方向与b相同，且Ia+bI=I b I-I a I.（3）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加0与任一向量平行两向量的和仍是一个向量;3 .例一、已知向量a、b，求作向量a + bbba作法：在平面内取一点，作 0A 二a AB 二b ，则0B 二a • b .4•加法的交换律和平行四边形法则例、一艘船从 A 点出发以2 3km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行速度的大小为4km/h ，求水流的速度.若b + x = a ,贝U x 叫做a 与b 的差，记作a - b三•平面向量基本定理：如果e , , e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数 入1,入2使a = ^ iq+入2e 2（1） 我们把不共线向量 e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； （2） 基底不惟一，关键是不共线；问题：上题中b + a 的结果与a + b 是否相同?验证结果相同从而得到：1）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）2）向量加法的交换律:a +b = b +a5 .你能证明：向量加法的结合律:(a + b ) + c = a + ( b +c ) 吗?6•由以上证明你能得到什么结论? 组合来进行.多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的减法 用加法的逆运算定义向量的减法:向量的减法是向量加法的逆运算:a 、b ,求作向量a - b例一、（P86 例三）已知向量 a 、b c 、d ，求作向量 a -b 、 1.求作差向量：已知向量a 、 c-d.解：在平面上取一点 O ,作OA = a , OB = b , OC = c ,OD = d ,解：由平行四边形法则得:AC = a + b , DB = AB - AD = a —bb 表示向量AC 、DB .(3) 由定理可将任一向量a在给出基底e i、e2的条件下进行分解;(4) 基底给定时，分解形式惟一.入1,入2是被a , u , e2唯一确定的数量：四•平面向量的坐标运算思考1 ：已知：a =(X i, yj , b =(X2, y2)，你能得出a b、a - b、■ a的坐标吗？设基底为i、j，贝V a ^ (x1 i y1 j) (x2i y2 j)=(为x2)i (y1 y2)j即a^(x1 X2，y1 y2)，同理可得a -b =(X1 -X2,y1 - y2)(1) 若a=(X1，y J , b=(X2,y2),贝V a b =(/ x?,% y?),a -b=(X1 -X2,% - y2)两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差(2)若a =(x,y)和实数■，则^( x, y).思考2：已知A(x1,y1) , B(x2,y2)，怎样求AB的坐标？(3)若A(X1，yJ , Bgy)，则AB = x? -为，y? - 力AB =OB —0A=( x 2, y2) - (x 1, y1)= (x 2- X 1, y 2- y 1)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标思考3:你能标出坐标为(X2- x 1, y2- y 1)的P点吗？向量AB的坐标与以原点为始点、点P为终点的向量的坐标是相同的。
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向量综合复习
例1、已知OA =a + 2b ，OB =2a + 4b ，OC =3a + 6b (其中a 、b 是两个任意非零向量) ，证明：A 、B 、C 三点共线．
例2、在梯形ABCD 中，//AD BC ，2,6,4AB BC AD ===，AC 与BD 交于O 点，设,AB AD ==a b 用,a b 表示OA .
一、善于用坐标解决问题
1、在边长为2的正方形ABCD 中，,E F 分别为BC 和DC 的中点，则AE AF ⋅=（ ） A. 52 B ．3
2
C ．4
D ．2
变式训练：
如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 从D 点出发，按字母顺序
D A B C →→→沿线段DA ，AB ，BC 运动到C 点，在此过程中D
E CD ⋅的最大值
是( A )
A ．0
B ．1
2
C ．1
D ．1-
O
D
C
B A
C A
B
D
F
E
2、如图在ABC ∆中M 是BC 的中点，3AM =，10BC =，求AB AC ⋅. 解法一：利用向量加法的三角形法则
())(AB AC AM MB AM MC =++⋅⋅
2
2
AM AM MB AM MC MC =+++⋅⋅
22
AM AM MB AM MB MC =+-+⋅⋅ 2
2
AM MC =+
925=+ 34=
解法二：把ABC ∆看成等腰三角形，如图所示，则AM BC ⊥
())(AB AC AM MB AM MC =++⋅⋅
2
2
AM AM MB AM MC MC =+++⋅⋅
0AM MB =⋅，0AM MC =⋅
所以AB AC ⋅2
2
AM
MC =+
解法三：把ABC ∆看成等腰三角形，建立坐标系
3、如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =.如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同
的点P 使得=PE PF λ⋅成立，那么λ的取值范围是（ ） （A ）(0,7) （B ）(4,7) （C ）(0,4) （D ）(5,16)-
M
C
B
A
M
C
B
A
F
D P C
B
C
4、向量(2,0)
a =，(,)
b x y
=，若b与b a
-的夹角等于
6
π
，则b的最大值为（）
A．4B
．C．2D
三角形中向量问题：
1、P是ABC
∆所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA
⋅=⋅=⋅，则P是ABC
∆的
A、外心
B、内心
C、重心
D、垂心
2、设O为ABC
∆的外心，且满足OA OB OC
+=，则ACB
∠=___________.
3、在ABC
∆中，点P满足()
AP t AB AC
=+，且BP AP CP AP
⋅=⋅，则ABC
∆一定是（）
A. 直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D. 钝角三角形
练习：
1、设，
a b是非零向量，若函数()()()
f x x x
=+-
a b a b的图象是一条直线，则必有
（）
A．⊥
a b B．∥
a b C．||||
=
a b D．||||
≠
a b
2、如图，在正方形ABCD中, 4,
AD=E为DC上一点，且3
DE EC
=，则AB AE
⋅=
（）
A．20 B. 16
C. 15
D. 12
3．已知两个不共线的向量,a b 满足2x x y a b a b ，那么实数,x y 的值分别是（ ）
（A ）0,0 （B ）1,2 （C ）0,1 （D ）2,1 4．如图，用向量12,e e 表示向量a b 为 （ ）
（A ） 2
124e e （B ）
2142e e （C ） 213e e （D ）
2
13e e
5．已知在四边形ABCD 中满足：()()0AB AC AD DB AD CD -++-=，则△ABC 的形状是 （A ）等边三角形 （B ）等腰三角形 （C ）直角三角形 （D ）斜三角形 6.已知向量(2=a ，1)，(sin α=b ，cos )α，且a ∥b ，则sin 2cos 5cos 3sin αα
αα
-+＝ .
7．下列四式不能化简为AD 的是（ ）
A ．BC CD A
B ）＋＋（ B ．）＋）＋（＋（CM B
C MB A
D C ．BM AD MB
－＋ D ．CD OA OC ＋－ 8．已知|a |=3，|b |=4，(a +b )⋅(a +3b )=33，则a 与b 的夹角为（ ） A ．30︒ B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒ 9．a =(cos2x,sinx),b =(1,2sinx-1)，x ∈(,)2
π
π ,若a ⋅b =
2
5
， 则tan(x+
4π
)等于（ ） A ．13 B ．27 C ．17 D ．23
10. 设向量a , b 的长度分别为4和3，它们的夹角为060，则|a +b |等于 ( )
A. B. 13 C. 37 D.
11.已知向量a 、b 均为单位向量，且a ⊥b ．若（2a +3b ）⊥（k a -4b ）,则k 的值为_____. 12．定义两个向量a ，b 之间的运算“⊗”为⊗=⨯a b a b . 若向量p (3,1)=，(2,0)=q ，则
()⊗-=p p q .
13．已知21
33
OM OA OB ，设AM
AB λ，那么实数λ的值是 .
14. （本小题满分7分）
已知向量→a ，→b 满足→a =（3，-1），→
b =（1，-3）. (1) 求→a 与→
b 的夹角θ的余弦值； (2) 求证：（→a +→b ）⊥（→a -→
b ）. 15．（本小题满分8分）
已知向量a 、b 满足1==a b ，a 与b 的夹角45θ=. （1）求⋅a b 的值； （2）求2
()+a b 的值.
16. （本小题共10分）
已知向量(1,3)a ，(2,0)b .
（Ⅰ） 求向量a
b 的坐标以及a b 与a 的夹角；
（Ⅱ）当[]1,1t ∈-时，求t a b 的取值范围.
17. （本小题满分11分）
已知向量(2,1)OA =，(3,2)OB =-，(6,3)OC m m =---. （Ⅰ）若点,,A B C 共线，求实数m 的值；
（Ⅱ）若△ABC 为直角三角形，且A ∠为直角，求实数m 的值.
18.如图，在直角三角形ABC 中，斜边AB=4. 设角A θ=，ABC 的面积为S .
（1）试用θ表示S ，并求S 的最大值； （2）计算AB AC BC BA ⋅+⋅的值.
19．（本小题共13分）
如图，平面内有三个向量OA
OB OC ，，，其中OA 与OB 的夹角为120°，OA 与OC 的夹角为30°，且1OA OB ==，23OC =
(I)若将OC 分解成分别与OA 和OB 共线的两个向量之和，在图中画出分解图示，并结合图示写出具体分解表达式；
(II)若()OC OA OB λμλμ=+∈R ，，求λμ和的值．
A C
B
θ
A
O
B
C。