第三节 旋转矢量法
旋转矢量法-张钰
(1) (2)
(3)
Φ = ω + 1 Φ ×ω + 1 Φ × (Φ ×ω)
(4)
2
12
对(4)式右边的第三项可省略，再积分（在积分区间 [tm−1,tm ]内）可得
φm
= φm−1
+θm
+
1 2
φ−1
×
θ
m
∧
+ δ φm
(5)
∫ ∧
式中θm 为积分区间内陀螺采样的角增量之和，δ φ m
=
1 2
τm τ m−1
θ
(τ
,τ
m
−1
)
×
ωdτ
即为
圆锥误差补偿向量。
2. 旋转矢量的示意图
Savage 提出了由前一个子样和当前的子样构造递推式的单子样算法，每个 大的时间间隔（姿态更新周期，即四元数更新周期）分成一些较小的时间间隔（圆 锥误差补偿周期，即旋转矢量计算周期），然后再分为一些数据采样间隔（陀螺 的角增量测量）。由此，可以扩展成多子样的递推算法，旋转矢量的迭代计算采 用较高的频率，四元数的更新则采用较低的频率，如图 1 所示。
这里，η = cos λ −1,ν = sin λ, λ = ΩΔT 。
根据(10)式可以推导出两个不同时间隔的角增量的叉乘为
Δθ (i) × Δθ ( j) = ab{[2sin( j − i)λ]− sin[( j − i + 1)λ]− sin[( j − i −1)λ]}K (11)
从式(11)可以看出，与圆锥补偿一样，两个角增量的叉积与绝对时间无关，而与 陀螺数据采样时间间隔 ΔT 有关。因此，在经典圆锥运动下，具有相同时间间隔 的两个角增量向量的叉乘是相等的，因而可以不考虑这两个角增量向量与绝对时 间的关系。
旋转矢量转轴角
旋转矢量转轴角旋转矢量转轴角是描述三维空间中物体旋转的一种方式。
在三维几何中，物体的旋转可以通过一个旋转轴和旋转角度来完全描述。
旋转矢量转轴角方法是一种常用的描述旋转的方式，它通过一个单位矢量来表示旋转轴的方向，并通过一个角度来表示旋转的大小。
在三维空间中，任意一个旋转都可以通过绕一个轴旋转一定角度来实现。
旋转轴是一个通过物体的中心的直线，它的方向决定了旋转的方向，而旋转角度则决定了旋转的大小。
旋转矢量转轴角方法就是利用一个单位矢量和一个角度来表示旋转轴和旋转角度的。
旋转矢量转轴角方法的基本原理是将旋转矩阵转换为旋转矢量和旋转角度的表示形式。
旋转矩阵是一个3x3的矩阵，它描述了物体在空间中的旋转变换。
将旋转矩阵转换为旋转矢量和旋转角度的方法是通过矩阵的特征值和特征向量来实现的。
在三维空间中，任意一个旋转矩阵都有三个特征值和三个特征向量。
特征值表示旋转的大小，而特征向量表示旋转的方向。
通过计算旋转矩阵的特征值和特征向量，可以得到旋转矢量和旋转角度的表示形式。
旋转矢量转轴角方法的优点是可以简洁地描述旋转，而不需要使用矩阵的形式。
旋转矢量只有三个分量，分别表示旋转轴在x、y、z方向上的分量，而旋转角度则表示旋转的大小。
通过旋转矢量和旋转角度，可以完全描述一个旋转的变换。
旋转矢量转轴角方法在计算机图形学、机器人学和物理学等领域有广泛的应用。
在计算机图形学中，旋转矢量转轴角方法可以用于描述物体的旋转变换，从而实现物体的平移、缩放和旋转等变换效果。
在机器人学中，旋转矢量转轴角方法可以用于描述机器人的姿态变换，从而实现机器人的运动控制和路径规划等功能。
在物理学中，旋转矢量转轴角方法可以用于描述刚体的旋转运动，从而研究刚体的动力学和力学性质。
旋转矢量转轴角是一种常用的描述旋转的方法，它通过一个单位矢量和一个角度来表示旋转轴和旋转角度。
旋转矢量转轴角方法具有简洁、直观、易于计算的特点，广泛应用于计算机图形学、机器人学和物理学等领域。
4-(3)旋转矢量投影表示法
vx'
A
a x
a
t
o v
a
x
X
dv a A 2 cos(t ) dt 旋转矢量 A
位矢与X轴的夹角为谐振动 的位相， t
在t=0 时的夹角为初位相
3
用旋转矢量图画简谐运动的
xt
图
T 2 π （旋转矢量旋转一周所需的时间）
4
三角函数和旋转矢量法
cosφ=1 sinφ=0 => φ=0
(2) x=Acosφ=0 cosφ=0 => φ=±π/2 v=-Aωsin φ = -Aω sinφ=1 => φ=π/2
(1)
ω
0
(2) A
x
v
2
ω A
x
6
O
O
例1 计算下列情况的初相位 (1) t=0, x=A, v=0 (2) t=0, x=0, v=-Aω (3) t=0, x=0, v=Aω (4) t=0, x=A/2, v<0 (5) t=0, x=-A/2, v>0 (3) x=Acosφ=0 cosφ=0 => φ= ±π/2 v=-Aωsinφ=Aω sinφ=-1 => φ= -π/2
4-3 简谐振动的表示法 -- 旋转矢量投影表示法
一 简谐振动的特殊性
x-v-a
x A cos( t )
dx v A sin (t ) dt
o
t
dv a A 2 cos(t ) dt
1 三角函数和振动曲线 2 旋转矢量法
简谐振动的位移、速度及加 速度随时间周期性变化。
X
t
旋转矢量表示法B版
旋转矢量表示法
五、相图法研究弹簧振子
旋转矢量表示法
间.
解: 设
x Acost
旋转矢量表示法
由已知条件: 得
2π 2π π
T 42
将初始条件
x0 xt0 0.04m
代入方程得
即 π
3
0.04 0.08cos
由旋转矢量法由旋转矢量法 π
由应取旋应转取矢应量取法应由旋取转矢3π量法
3
舍去舍去舍去舍去
旋转矢量表示法
例题 一物体作简谐运动, 其振幅为 0.08 m, 周期为 4 s . 起始时刻物体在 x= 0.04 m 处, 向 x负轴方向运动, 求
大学物理
振动学基础
第3讲 旋转矢量表示法
旋转矢量表示法
旋转矢量表示法
一、旋转矢量表示法(参考圆法)
是研究简谐运动规律时所采用的直观的几何描述方法.
自 Ox轴原点作矢量轴原点作 矢量轴原点作矢量轴原点作矢量 AAAA,其模等其模等其模等其模等于 振幅. A绕 O点逆时 针旋转点逆时 针旋转点逆时针旋转点逆 时针旋
(1) 2 1,,同相位同
相位同相位同相位;;
(2) 21 π ,,反相位反
相位反相位反相位..
旋转矢量表示法
A22
2 A1
1x
旋转矢量表示法
例题 一物体作简谐运动, 其振幅为 0.08 m, 周期为 4 s . 起始时刻物体在 x= 0.04 m 处, 向 x负轴方向运动, 求
(1)t=1.0 s 时, 物体所处的位置; (2)由起始位置运动到 x= -0.04 m 处所需要的最短时
旋转矢量演示
O作一矢量 A，使 它的模等于振动的 振幅A ，并使矢量A 在 Oxy平面内绕点 O作逆时针方向的 匀角速转动，其角 速度 与振动频率 相等，这个矢量就 叫做旋转矢量.
以 o 为原 点旋转矢量 A 的端点在 x 轴 上的投影点的 运动为简谐运 动.
圆周运动小球
位置
x 轴投影
坐标
t 时刻
t = 0 时刻
x
t+
o
x
x A cos( t )
半径 振幅
圆周运动小球
角速度
角频率
相位
谐振动物体
A 与x 轴夹角
t0
A
x0
o
x
以 o 为原 点旋转矢量 A 的端点在 x 轴 上的投影点是 弹簧振子的位 置.
x0 A cos
t t
A
x
x A cos( t )
t
o
三、旋转矢量法
t 时刻
A
x
t
A
t = 0 时刻
o
x
x A cos(t )
旋转矢量法简谐运动的动力学能量实例
旋转矢量与简谐运动的关联
旋转矢量与简谐运动的振动方向和速度相关联，通过旋转矢量的几何特性可以推 导出简谐运动的振动方程和能量表达式。
旋转矢量法可以直观地表示简谐运动的振动形式，帮助理解振动的合成与分解， 以及振动在不同方向上的表现。
对未来研究的展望
随着科学技术的不断发展，旋转矢量法在简谐运动研究中 的应用将更加广泛和深入。未来可以进Байду номын сангаас步探索旋转矢量 法在其他领域的应用，如量子力学、光学等。
未来研究可以进一步优化旋转矢量法的计算方法和可视化 效果，提高其精度和直观性，以更好地服务于科学研究和 技术创新。
THANKS
感谢观看
旋转矢量法简介
01
旋转矢量法是一种描述简谐运动 的直观方法，通过引入一个旋转 矢量来表示振动的状态。
02
旋转矢量具有长度和方向，分别 对应振动的振幅和相位，矢量的 旋转速度则与角频率有关。
02
旋转矢量法在简谐运动中的应用
旋转矢量表示
旋转矢量表示是一种用于描述简谐运 动的几何方法，通过引入一个旋转矢 量来表示简谐运动的相位和振幅。
简谐运动的定义
简谐运动
物体在一定力的作用下，以一定的初速度做周期 性往复运动。
描述参数
振幅、角频率、初相角、周期等。
实例
单摆、弹簧振子等。
简谐运动的数学模型
微分方程
$mfrac{d^2x}{dt^2}
+
cfrac{dx}{dt} + kx = F$
旋转矢量法
通过旋转矢量表示简谐运动的相 位和振幅，简化分析过程。
第三节 旋转矢量法
§ 8.3 旋转矢量法一、旋转矢量1 矢量的模等于简谐振动的振幅A长度 = A ；2 矢量绕O 点作逆时针方向匀速转动，其角速度的大小等于简谐振动的角频率以ω为角速度绕o 点逆时针旋转；3 在t = 0时，矢量A 和x 轴的夹角为ϕ ，在任意时刻t ，它与x 轴的夹角为ωt +ϕ ，矢量A 的矢端M 在x 轴上的投影点P 的坐标为 矢量端点在x 轴上的投影做简谐振动例 已知简谐振动，A =4 cm ，ν = 0.5 Hz ，t =1s 时x =-2cm 且向x 正向运动。
写出此简谐振动的表达式。
解：由题意，T = 2 s由图， ϕ = π/3，当旋转矢量A 旋转一周，投影点P 作一次完全的振动 ，旋转矢量A 的端点在x轴上的投影点P 的运动为简谐振动例8-4 一物体沿x 轴作简谐振动，振幅为0.24m ，周期为2s 。
当t = 0时，x 0= 0.12m ，且向x 轴正方向运动。
试求（1）振动方程（2）从且向x 轴负方向运动这一状态，回到平衡位置所需的时间。
已知：0.24m =A s 2=T 0.12m 0=x 00>v ∴x = 4cos(πt + ) cmπ 3t = 1s x()ϕω+=t A x cos求：解：（1）简谐振动的角频率t = 0时旋转矢量的位置如图所示振动方程为（2）令φ < 0这一状态对应的时刻为 t 1；回到平衡位置的时刻为 t 2。
t 1和t 2时刻的旋转矢量位置，如图所示例8-5 两个同方向(沿x 轴方向)、同频率的简谐振动，其频率都是2s-1。
当第一个振子从平衡位置向正方向运动0.05s 后，第二个振子正处于正方向的端点。
求这两个简谐振动的相位差。
已知：求：当第一个振子从平衡位置向正方向运动时，其旋转矢量A 1的位置如图所示经过0.05s 后，旋转矢量A 1转过一角度？）（ =t x （1） ？=∆t （2） 2π2πrad πrad 2ω T ===π3ϕ=-π0.24cos(π )m 3x t =- ()21ππ5π326t t ω-=+=215π6Δs 0.833s πt t t =-==-1212s ==νν10100,0x υ=>0.05s =∆t A x =2？=∆ϕ解： 简谐振动的角频率4π0.050.2πω t =⨯=此时，第二个振子刚好处在正方向端点，其旋转矢量A 2由图可见，两振子的相位差为第二个振子比第一个振子的相位超前二、相位差1 相位差和初相差相位差(phase difference)---相位之差。
教案-旋转矢量
O x X
0
)
旋转矢量法
由初条件得
2 0
机械振动
)2 = 0.098m ω v0 m ϕ0 = arctg(− ) = 0或 π 者 ωx0 由x0=Acosϕ0=0.098>0 ∴ cosϕ0>0, 取ϕ0=0
A= x +(
v0
ω = 10rad / s
O x
振动方程为：x=9.8×10-2cos(10t) m 振动方程为： X (2)按题意 t=0 时 x0=0，v0>0 按题意 1 g ω x0=Acosϕ0=0 , cosϕ0=0 ϕ0=π/2或3π/2 ν = 2π = 2π ∆l z v0=-Aωsinϕ>0 , sin ϕ0 <0, 取ϕ0=3π/2 =1.6H 固有频率 ∴ x=9.8×10-2cos(10t+3π/2) m 不同， 对同一谐振动取不同的计时起点ϕ不同，但ω、A不变 不变
A 1
旋转矢量法 讨论
机械振动
相位差：表示两个相位之差 . 相位差：
2）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状 同一简谐运动， 简谐运动 态间变化所需的时间. 态间变化所需的时间. ∆ϕ = (ωt 2 + ϕ ) − (ωt1 + ϕ )
x = A cos(ωt1 + ϕ ) x = A cos(ωt 2 + ϕ )
π
6
)cm
x = Acos(ωt +ϕ0 ) π v = −ωAsin( ωt +ϕ0 ) = vm cos(ωt +ϕ0 + ) 2 −1 vm = ωA = 31.4cms
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§ 8.3 旋转矢量法
一、旋转矢量
1 矢量的模等于简谐振动的振幅A
长度 = A ；
2 矢量绕O 点作逆时针方向匀速转动，其角速度的大小等于简谐振动的角频率
以ω为角速度绕o 点逆时针旋转；
3 在t = 0时，矢量A 和x 轴的夹角为ϕ ，在任意时刻t ，它与x 轴的夹角为
ωt +ϕ ，矢量A 的矢端M 在x 轴上的投影点P 的坐标为 矢量端点在x 轴上的投影做简谐振动
例 已知简谐振动，A =4 cm ，ν = 0.5 Hz ，
t =1s 时x =-2cm 且向x 正向运动。
写出此简谐振动的表达式。
解：由题意，T = 2 s
由图， ϕ = π/3，
当旋转矢量A 旋转一周，投影点P 作一次完全的振动 ，旋转矢量A 的端点在x
轴上的投影点P 的运动为简谐振动
例8-4 一物体沿x 轴作简谐振动，振幅为0.24m ，周期为2s 。
当t = 0时，x 0
= 0.12m ，且向x 轴正方向运动。
试求
（1）振动方程
（2）从且向x 轴负方向运动这一状态，回到平衡位置所需的时间。
已知：
0.24m =A s 2=T 0.12m 0=x 00>v ∴x = 4cos(πt + ) cm
π 3
t = 1s x
()
ϕω+=t A x cos
求：
解：（1）简谐振动的角频率
t = 0时旋转矢量的位置如图所示
振动方程为
（2）令φ < 0这一状态对应的时刻为 t 1；回到平衡位置的时刻为 t 2。
t 1和t 2时刻的旋转矢量位置，如图所示
例8-5 两个同方向(沿x 轴方向)、同频率的简谐振动，其频率都是2s-1。
当第
一个振子从平衡位置向正方向运动0.05s 后，第二个振子正处于正方向的端点。
求这两个简谐振动的相位差。
已知：
求：
当第一个振子从平衡位置向正方向运动时，其旋转矢量A 1的位置如图所示
经过0.05s 后，旋转矢量A 1转过一角度
？）（ =t x （1） ？
=∆t （2） 2π2πrad πrad 2ω T =
==
π
3ϕ=-
π0.24cos(π )m 3x t =- ()21ππ5π326t t ω-=+=215π6Δs 0.833s πt t t =-==-1212s ==νν10100,0x υ=>0.05s =∆t A x =2？=∆ϕ解： 简谐振动的角频率
4π0.050.2πω t =⨯=
此时，第二个振子刚好处在正方向端点，其旋转
矢量A 2
由图可见，两振子的相位差为
第
二
个振子比第一个振子的相位超前
二、相位差
1 相位差和初相差
相位差(phase difference)---相位之差。
对两同频率的简谐振动，相位差等于初相差，
∆ϕ = (ω t + ϕ 2) - (ω t + ϕ 1)
∆ϕ = ϕ 2 - ϕ 1
2 同相和反相
当∆ϕ = ± 2k π， ( k = 0,1,2,…)， 当∆ϕ = ±(2k +1)π， ( k = 0,1,2,…)，
两振动步调相同，称同相(in-phase)。
两振动步调相反，称反相(antiphase)。
2π4πrad
ω ν==π0.2π0.3π2
ϕ∆=-=0.3πω1A A -A A - A A -A A - A 2 (a) 两同相振动的振动曲线
(b) 两反相振动的振动曲线
3.超前和落后
若∆ϕ = ϕ 2-ϕ 1> 0,
则x 2比x 1较早达到正最大，称x 2
比x 1超前领先x 1比x 2落后)。
领先、落后以 < π的相位角 (或以< T /2的时间间隔)来判断。
思考：在上图中，x 1与x 2两振动谁超前? 方法：振动曲线的画法：ϕ 为非典型值时，可用超前、落后的概念画出振动曲线。
1）欲画x = A cos(ωt +ϕ)的曲线
2）先画辅助曲线x 辅 = A cos ωt 的曲线
3）若ϕ < 0，说明x 比x 辅落后，将x 辅曲线右移即得x 的曲线。
在横轴上移动的
距离为
例如，若ϕ = -π/3，则右移T /6
三、简谐振动求解
1 解析法(由振动表达式) 受力特点：线性恢复力，力和位移正比而反向，具有F = - k x 的形式。
简谐振动的动力学方程(以水平弹簧振子为例)
2t T φπ=。