【提优教程】江苏省2012高中数学竞赛 第25讲 反三角函数与三角方程教案

第25讲反三角函数与三角方程本讲主要内容：反三角函数的概念、运算与解三角方程．反三角函数：三角函数在其整个定义域上是非单调的函数，因此，在其整个定义域上，三角函数是没有反函数的．但是如果限定在某个单调区间内就可以讨论三角函数的反函数了．一．反正弦函数1．定义：函数y ＝sin x (x ∈[-π2 ，π2 ])的反函数就是反正弦函数，记为y ＝arcsin x (x ∈[－1，1])这个式子表示：在区间[-π2 ，π2 ]内，正弦函数值为x 的角就是arcsin x ，即2．反正弦函数的性质：⑴ 定义域为[－1，1]；值域为[-π2 ，π2]．⑵ 在定义域上单调增；⑶ 是[－1，1]上的奇函数，即⑷ y ＝arcsin x 的图象：与y ＝sin x (x ∈[-π2 ，π2 ])的图象关于y ＝x 对称．⑸ arcsin(sin x )的值及y ＝arcsin(sin x )的图象：二．反余弦函数 仿反正弦函数的情况可以得到：1．定义：函数y ＝cos x (x ∈[0，π])的反函数就是反余弦函数，记为y ＝arccos x (x ∈[－1，1])这个式子表示：在区间[0，π]内，余弦函数值为x 的角就是arccos x ，即2．反余弦函数的性质：⑴ 定义域为[－1，1]；值域为[0，π]． ⑵ 在定义域上单调减；⑶ 是[－1，1]上的非奇非偶函数，即⑷ y ＝arccos x 的图象：与y ＝cos x (x ∈[0，π])的图象关于y ＝x 对称． ⑸ arccos(cos x )的值及y ＝arccos(cos x )的图象：三．反正切函数1．定义：函数y ＝tan x (x ∈(-π2 ，π2 ))的反函数就是反正切函数，记为y ＝arctan x (x ∈R )．这个式子表示：在区间(-π2 ，π2 )内，正切函数值为x 的角就是arctan x ，即2．反正切函数的性质：⑴ 定义域为R ；值域为(-π2 ，π2)．⑵ 在定义域上单调增；⑶ 是R 上的奇函数，即⑷ y ＝arctan x 的图象：与y ＝tan x (x ∈(-π2 ，π2 ))的图象关于y ＝x 对称．⑸ arctan(tan x )的值及y ＝arctan(tan x )的图象：四．反余切函数 请根据上面的内容自己写出．A 类例题例1证明：⑴ cos(arcsin x )＝1－x 2；sin(arccos x )＝1－x 2； tan(arccot x )＝1x．并作它们的图象．⑵ sin (arc tan x )＝x1＋x2； tan(arcsin x )＝ x1－x2；cos(arctan x )＝11＋x2； tan(arccos x )＝1－x2x．证明：⑴ 设arcsin x ＝α，则α∈[－π2，π2]，且sin α＝x ，于是，cos α＝1－x 2，即cos(arcsin x )＝ 1－x 2；同理可证其余．⑵ 设arctan x ＝α，则α∈(-π2，π2)，tan α＝x ．于是，sec α＝1＋x 2，所以，sin α＝tan α·cos α＝x1＋x 2，就是sin(arctan x )＝x1＋x2；同理可证其余． 说明 本题给出了反三角函数运算的方法：把某个反三角函数看成是在某个范围(该反三角函数的主值区间)内的一个角，把反三角函数的运算改成三角函数的运算．例2证明：⑴ arcsin x ＋arccos x ＝π2， x ∈[－1，1]⑵ arctan x ＋arccot x ＝π2， x ∈R证明：令arcsin x ＝α，arccos x ＝β，则α∈[-π2 ，π2 ]，β∈[0，π]，π2 －β∈[-π2 ，π2 ]而 sin α＝x ，sin(π2 －β)＝cos β＝x ，即sin α＝sin(π2 －β)，但α与β都在区间[-π2 ，π2 ]内，在此区间内正弦函数是单调增函数，从而α＝π2 －β．就是arcsin x ＋arccos x ＝π2．同法可证⑵．说明 这是关于反正弦与反余弦函数、反正切与反余切函数的一个重要关系式． 例3计算：⑴ sin(arcsin x ＋arcsin y )；x ，y ∈[－1，1] ⑵ cos(arccos x ＋arccos y )．x ，y ∈[－1，1]解：⑴ sin(arcsin x ＋arcsin y )＝x 1－y 2＋y 1－x 2．⑵ cos(arccos x ＋arccos y )＝xy －1－x 2·1－y 2．情景再现1．若arctan x ＋arctan y ＋arctan z ＝π，证明：x ＋y ＋z ＝xyz ； ⑵ 证明：cot[arctan x＋arctan(1－x )]＝1－x ＋x 2．2．设f (x )＝x 2－πx , α＝arcsin 13，β＝arctan 54,γ＝arc cos(－13),δ＝arc cot(－54),则 A ．f (α)＞f (β)＞f (δ)＞f (γ) B ．f (α)＞f (δ)＞f (β)＞f (γ) C ．f (δ)＞f (α)＞f (β)＞f (γ) D ．f (δ)＞f (α)＞f (γ)＞f (β)3．函数y ＝arc cos(12-x 2)的值域是A ．[-π2，π6] B ．[-π2，π3] C ．[π6，π] D ．[π3，π]B 类例题例4求10cot(arc cot3＋arc cot7＋arc cot13＋arc cot21)的值．解：设 arccot3＝α，arccot7＝β，arccot13＝γ，arccot21＝δ，则0<δ<γ<β<α<π4．∴ tan α＝13，tan β＝17，tan γ＝113，tan δ＝121，∴ tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝ 13＋171－13⨯17＝1020＝12．tan(γ＋δ)＝tan γ＋tan δ1－tan γtan δ ＝113＋1211－113⨯121＝ 18．tan(α＋β＋γ＋δ)＝12 ＋181－12 ⨯18＝23．∴ 10cot(arc cot3＋arc cot7＋arc cot13＋arc cot21)＝10⨯32 ＝15．例5求常数c ，使得 f (x )＝ arc tan 2－2x 1＋4x ＋c 在区间(-14，14)内是奇函数．解：若f (x )是(-14，14)内的奇函数，则必要条件是f (0)＝0，即c ＝－arctan2．当c ＝－arctan2时，tan(arcta 2－2x 1＋4x －arctan2)＝2－2x1＋4x －21＋2－2x 1＋4x ·2＝ 2－2x －2－8x1＋4x ＋4－4x＝－2x ．即f (x )＝arctan(－2x )；f (－x )＝arctan(－(－2x ))＝arctan2x ＝－f (x )．故f (x )是(-14，14)内的奇函数． 说明例6 [x ]表示不超过x 的最大整数，{x }表示x 的小数部分（即{x }＝x -[x ])，则方程 cot[x ]·cot{x }＝1的解集为 ；解：由于0≤{x }<1，故cot{x }＞cot1＞0，即cot{x }≠0．∴ cot[x ]＝ 1cot{x }＝tan{x }＝cot(π2－{x })，∴ [x ]＝k π＋π2－{x }．即[x }＋{x }＝k π＋π2(k ∈Z )，就是x ＝k π＋π2(k ∈Z )． 说明情景再现4．函数f (x )＝arc tan x ＋12arc sin x 的值域是A ．(-π，π)B ．[－3π4，3π4] C ．(- 3π4，3π4) D ．[-π2，π2]5、设-1<a <0，θ＝arc sin a ,那么不等式 sin x <a 的解集为 A ．{x |2nπ＋θ<x <(2n ＋1) π-θ，n ∈Z } B ．{x |2nπ-θ<x <(2n ＋1) π＋θ，n ∈Z }C ．{x |(2n -1) π＋θ<x <2nπ-θ，n ∈Z }D ．{x |(2n -1) π-θ<x <2nπ＋θ，n ∈Z }6、在区间[0，π]上，三角方程cos7x ＝cos5x 的解的个数是 ；C 类例题例7求使方程a ＋a ＋sin x ＝sin x 有实数解的实数a 的取值范围． 分析解：sin x ≥0，平方得a ＋sin x ＝sin 2x －a ，故a ≤sin 2x ，平方整理得，a 2－(2sin 2x ＋1)a ＋sin 4x －sin x ＝0，这是一个关于a 的一元二次方程．∆＝(2sin 2x ＋1)2－4(sin 4x －sin x )＝4sin 2x ＋4sin x ＋1＝(2sin x ＋1)2． ∴ a ＝12[2sin 2x ＋1±(2sin x ＋1)]．其中，a ＝sin 2x ＋sin x ＋1＞sin 2x ，故舍去；a ＝sin 2x －sin x ，当0≤sin x ≤1时，有a ∈[－14，0]．当a ＝0时，得sin x ＝0或1，有实解；当a ＝－14时，sin x ＝12，有实解．即a 的取值范围为[－14，0]．说明例8解方程：cos n x -sin nx ＝1，这里，n 表示任意给定的正整数． 分析：可先从n ＝1，2，3，……着手研究，找出规律再解．n ＝1时，cos x ＝sin x ＋1， n ＝2时，cos 2x ＝sin 2x ＋1，n ＝3时，cos 3x ＝sin 3x ＋1， n ＝4时，cos 4x ＝sin 4x ＋1．解：原方程就是，cos n x ＝1＋sin nx ． ⑴ 当n 为正偶数时，由于cos n x ≤1，sin n x ≥0，故当且仅当cos n x ＝1，sin nx ＝0，即x ＝k π(k ∈Z )时为解． ⑵ 当n 为正奇数时，若2k π≤x ≤2k π＋π，则cos n x ≤1，sin n x ≥0，故只有cos n x ＝1，sin nx ＝0时，即x ＝2k π(k ∈Z )时为解；若2k π＋π<x <2(k ＋1)π，由于1＋sin nx ≥0，故只能在2k π＋3π2 ≤x <2(k ＋1)π内求解，此时x ＝2k π＋3π2满足方程．若2k π＋3π2<x <2(k ＋1)π，当n ＝1时，cos x －sin x ＝|cos x |＋|sin x |＞1，当n ≥3时，cos nx －sin nx ＝|cos nx |＋|sin nx |<|cos 2x |＋|sin 2x |＝1．即此时无解． 所以，当n 为正偶数时，解为x ＝k π(k ∈Z )；当n 为正奇数时，解为x ＝2k π与x ＝2k π＋3π2(k ∈Z )． 说明情景再现7．解方程：cos 2x ＋cos 22x ＋cos 23x ＝1． 8．求方程x 2-2x sin πx2＋1＝0的所有实数根；习题251、arc sin(sin2000︒)＝ ．(2000年全国高中数学联赛) 2．已知函数①y ＝arcsin(2x ), ②y ＝sin πx ＋cos πx , ③y ＝log 2x ＋log 1/2(1＋x )．其中，在区间[12,1]上单调的函数是A ．①、②和③B ．②和③C ．①和②D ．③3．函数y ＝arcsin[sin x ]＋arcos[cos x ]，x ∈[0，2π）的值域（其中[x ]表示不超过实数x 的最大整数）是A ．{0，π，3π2} B ．{-π2，π2，3π2}C ．{0，π2，π} D ．{-2，-1，0，1}4．已知α∈（-π2 ，π2 ），sin2α＝sin(α-π4 )，则α＝ ；5．求方程x 2-2x sinπx2＋1＝0的所有实数根；6．求关于x 的方程 x 2-2x -sinπx2＋2＝0的实数根．7．解方程：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 22csc 2x ＝14 ； 8．求方程 sin n x ＋1cos m x ＝cos nx ＋1sin m x的实数解，其中m 、n 是正奇数．本节“情景再现”解答：1．证明：⑴令arctan x ＝α，arctan y ＝β，arctan z ＝γ，则α＋β＋γ＝π，tan α＝x ，tan β＝y ，tan γ＝z ．∴ x ＋y ＝tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)＝－tan γ(1－tan αtan β)＝－z (1－xy )＝－z ＋xyz ．∴ x ＋y ＋z ＝xyz ．⑵ 设arctan x ＝α，arctan(1－x )＝β，则tan(α＋β)＝x ＋(1－x )1－x (1－x ) ＝11－x ＋x2．∴ cot(α＋β)＝1－x ＋x 2．故证． 2．选B ．解：f (x )＝(x －π2)2－π24．0<α<π6，π4<β<π3，π2<γ<2π3，3π4<δ<5π6．∴ |γ－π2|<|β－π2|<|δ－π2|<|α－π2|，故f (α)＞f (δ)＞f (β)＞f (γ)．3．选D ．解：－1≤12-x 2≤12，⇒π3≤y ≤π．4．解：定义域[－1，1]，在此范围内arc tan x ∈[－π4，π4]，12arc sin x x ∈[－π4，π4]，故选D ．5．解：－π－θ<x <θ，⇒(2n -1) π-θ<x <2nπ＋θ，选D ．6．解：7x ＝±5x ＋2k π，⇒x ＝k π，x ＝k π6(k ∈Z )，x ＝k π6，(k ＝0，1，2，3，4，5，6)．7．解：12(1＋cos2x ＋1＋cos6x )＋cos 22x ＝1，⇒cos4x cos2x ＋cos 22x ＝0，⇒cos2x cos3x cos x ＝0．cos2x ＝0，⇒2x ＝kπ＋π2，⇒x ＝12kπ＋π4；cos4x ＝－12，⇒4x ＝2kπ±23π，⇒x ＝12kπ±16π．(k ∈Z )8．解：∆＝4sin2πx2－4≥0，⇒故sinπx2＝±1，⇒πx2＝kπ＋π2，⇒x ＝2k ＋1．(2k ＋1)2－2(2k ＋1)(±1)＋1＝4k 2＋4k ＋2－[±(4k ＋2)]＝0．当k 为偶数时，4k 2＝0，k ＝0；当k 为奇数时，4k 2＋8k ＋4＝0，k ＝－1． 故解为x ＝±1．“习题25”解答：1．解：2000︒＝1800︒＋180︒＋20︒，故sin2000︒＝sin(180︒＋20︒)＝sin －20︒．故原式＝－20︒．2．解：①函数在x ∈[12 ,1]时，2x ∈[1，2]，此时y ＝arcsin(2x )无意义；从而A 、C均错；② y ＝sin πx ＋cos πx ＝2sin(πx ＋π4)在[12 ,1]上单调减；故D 错；③ y ＝log 2x ＋log 1/2(1＋x )＝log 2x1＋x ＝log 2(1－11＋x )在[12,1]上单调增．故选B ． 3．解：x ＝0时，[sin x ]＝0，[cos x ]＝1，arcsin[sin x ]＋arcos[cos x ]＝0， x ∈(0，π2)时，[sin x ]＝ [cos x ]＝ 0，arcsin[sin x ]＋arcos[cos x ]＝π2；x ＝π2时，[sin x ]＝1，[cos x ]＝0，arcsin[sin x ]＋arcos[cos x ]＝π2， x ∈(π2，π]时，[sin x ]＝0，[cos x ]＝－1，arcsin[sin x ]＋arcos[cos x ]＝π； x ∈(π，3π2)时，[sin x ]＝－1，[cos x ]＝－1，arcsin[sin x ]＋arcos[cos x ]＝π2； x ∈[3π2，2π)时，[sin x ]＝－1，[cos x ]＝0，arcsin[sin x ]＋arcos[cos x ]＝π2；选C ．4．解：2α＝2k π＋α-π4，⇒α＝2k π-π4，⇒α＝-π4；2α＝2k π＋π－α＋π4，⇒α＝－π4，α＝5π12．5．解：∆＝4sin2πx2－4≥0，⇒故sinπx2＝±1，⇒πx2＝kπ＋π2，⇒x ＝2k ＋1．(2k ＋1)2－2(2k ＋1)(±1)＋1＝4k 2＋4k ＋2－[±(4k ＋2)]＝0． 当k 为偶数时，4k 2＝0，k ＝0；当k 为奇数时，4k 2＋8k ＋4＝0，k ＝－1． 故解为x ＝±1． 6．解：∆＝4－4(2－sinπx2)≥0，4sinπx2≥4，⇒sinπx2＝1，πx2＝2kπ＋π2，⇒x ＝4k ＋1．得x 2－2x ＋1＝0，x ＝1．(k ＝0)．7．解：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2csc 2x ＝±12．⇒sin x 2＝(±12)sin 2x ，但⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2≤12，而⎪⎪⎪⎪⎪⎪±12sin 2x ≥12．故sin x ＝±1，csc 2x ＝1．从而，x ＝kπ＋π2(k ∈Z )．8．解：显然sin x ＝cos x 时满足方程，即方程有解x ＝kπ＋π4(k ∈Z )．下面说明方程没有别的解．首先，|sin x |＝1或|cos x |＝1时，方程失去意义，故|sin x |＜1，|cos x |＜1．原方程即 sin n x －1sin m x ＝cos nx － 1cos m x．当sin x ＞0，则左＜0，⇒cos x ＞0，当sin x ＜0，则左＞0，⇒cos x ＜0．即sin x 与cos x同号．若sin x ＞cos x ＞0，则sin nx ＞cos nx ＞0，而1sin m x ＜1cos m x，于是左＞右， 同样cos x ＞sin x ＞0，则右＞左．对于sin x ＜0，cos x ＜0时也一样．于是只能sin x ＝cos x ．故只有上解．。