八年级数学等腰三角形(2)
八年级下册数学作业-----等腰三角形(2)
八年级下册数学作业-----等腰三角形(2)姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．等腰三角形的顶角是70°，则腰上的高与底边所夹的角为（ ）A ．55°B ．35°C ．40°D ．以上都不对 2．若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则该等腰三角形的周长是（ ） A ．9 B ．12 C ．13 D ．12或9 3．如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 中点，∠BAD=35°，则∠C 的度数为（ ）A ．35°B ．45°C ．55°D ．60° 4．若等边三角形的边长为4cm ,则这条边上的高为（ ）A ．2cmB ．3cmC ．1cmD ．23cm 5．如图，点A 的坐标是()2,2，若点P 在x 轴上，且APO ∆是等腰三角形，则点P 的坐标不可能是（ ）A ．()1,0B ．()2,0C ．()22,0-D ．()4,0 6．如图，△ABC 中，AC ＝AD ＝BD ，∠DAC ＝40°，则∠B 的度数是（ ）A ．35°B ．30°C ．25°D ．20° 7．△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝∠C ，则∠B ＝（ ）A ．36°B ．45°C ．60°D ．90°8．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，CA ＝CB ， AG 平分∠BAC 交BC 于H ，BG ⊥AG ，垂足为G ．若AH ＝8，则BG 的长为（ ）A ．3B ．5C ．8D ．4二、填空题 9．如图，ABC ∆是边长为8的等边三角形，D 为AC 的中点，延长BC 到E ，使CE CD =，DF BC ⊥于点F ，求线段BF 的长，BF =______________．10．如图，已知等边△ABC 中，BD=CE,AD 与BE 交于点P ，则∠APE=________.11．等腰三角形的底角是顶角的2倍，则顶角的度数是_______°．12．如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 是△ABC 的一条角平分线，若∠A =36°，则∠BDC 的度数为_________．13．如图，在ABC V 中，AB AC ＝，点D 在AC 上，且BD BC AD ＝＝，则A ∠＝_____度．14．若一个等腰三角形的周长为26，一边长为6，则它的腰长为____．三、解答题15．已知：如图，ABC ∆中，AB AC =，中线BD 和CE 交于点O .（1）求证：OBC ∆是等腰三角形；（2连接OA ，试判断直线OA 与线段BC 的关系，并说明理由.16．如图，△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的角平分线交于点F ，过点F 作DE ∥BC ，交AB 于点D ，交AC 于点E ．请猜想线段：DB 、DE 、EC 之间的数量关系，并说明理由．17．如图，在△ABC 中，CA=CB ，点D 在BC 上，且AB=AD=DC ，求∠C 的度数．18．如图，ABC ∆和CDE ∆ 都是等边三角形，连接AD 、BE ，AD 与BE 相交于点F .（1）求证AD BE =；（2）BFA ∠= o .参考答案1．B【解析】【分析】结合题意画出图形，可先求得两底角的大小，在再结合直角三角形两锐角互余可求得答案．【详解】解：如图：△ABC中，AB＝AC，BD是边AC上的高．∵∠A＝70°，且AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝(180°﹣70°)÷2＝55°；在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠C＝55°；∴∠DBC＝90°﹣55°＝35°.故选：B．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理是解题的关键．2．B【解析】【分析】根据等腰三角形的定义，即可得到答案．【详解】∵一个等腰三角形的两边长分别是2和5，∴等腰三角形的三边长分别为：5，5，2，即：该等腰三角形的周长是12．故选B．【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义以及三角形三边之间的关系，掌握等腰三角形的定义，是解3．C【解析】试题分析：根据等腰三角形的三线合一的性质可直接得到AD平分∠BAC，AD⊥BC，因此∠DAC=∠BAD=35°，∠ADC=90°，从而可求得∠C=55°.故选C考点：等腰三角形三线合一4．D【解析】【分析】作出等边三角形一边上的高，利用等腰三角形的性质以及勾股定理可得三角形一边上的高. 【详解】解：如图作AD⊥BC于点D．∵△ABC为等边三角形，∴BD=CD=2cm，∴AD=22224223-=-=(cm).AB BD故选：D．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，利用等腰三角形“三线合一”的性质得出BD的长，再结合勾股定理求解是解决本题的突破点．5．A【解析】【分析】∆是等腰三角形时P点的位本题可先根据勾股定理求出OA的长，然后结合选项分析APO置，然后用排除法求解．解：点A的坐标是（2，2），根据勾股定理：则OA＝当OA＝OP＝，且点P在点O左侧时，P点坐标为：()-，当OA＝AP时，由对称性可知P点坐标为：()4,0，当OP＝AP时，则P点坐标为：()2,0，∴点P的坐标不可能是()1,0故选：A．【点睛】此题主要考查了坐标与图形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，关键是根据等腰三角形的判定和性质，分情况讨论．6．A【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ADC的度数，再根据等腰三角形的性质及三角形外角与内角的关系求出∠B的度数即可．【详解】∵△ABC中，AC＝AD，∠DAC＝40°，∴∠ADC＝180402︒-︒＝70°，∵AD＝BD，∠ADC＝∠B+∠BAD＝70°，∴∠B＝∠BAD＝（702）°＝35°．故选：A．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练运用等边对等角是解此题的关键．7．C【解析】【分析】首先∠A＝∠B＝∠C，再根据三角形内角和定理即可解决问题．【详解】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠A＝∠C，∴∠A＝∠B＝∠C∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴3∠B＝180°∴∠B＝60°.故选：C．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．8．D【解析】【分析】如图，延长AC交BG的延长线于E，构建等腰△BAE、全等三角形△BEC和△AHC，利用等腰三角形的性质和全等三角形的对应边相等得到：BE=AH，所以BG=12AH=4．【详解】如图，延长AC交BG的延长线于E，∵△ABC中，∠C=90°，CA=CB，∴∠ABC=∠CAB=45°，∵AG平分∠BAC∴∠CAG=12∠BAC=22.5°，∵AG⊥BG，∴∠BGA=90°，∴∠GBA=90°-22.5°=67.5°，∴∠GBC=∠EBA-∠ABC=22.5°．∴∠GBC=∠CAH，∵CA＝CB，∠ACB=∠BCE∴△ACH≌△BCE∴BE=AH∵AG平分∠BAC，AG⊥BG，∴BG=EG，即BG=12 BE，∴BG=12AH=12×8=4．故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的性质．9．6【解析】【分析】根据等边三角形的性质可得∠DBC=30°，∠DCB=60°，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得∠E=30°，可得BD=DE，根据等腰三角形的“三线合一”可得BF=12BE即可求解．【详解】∵ABC是边长为8的等边三角形，D为AC的中点∴∠DBC=12∠ABC=30°，∠DCB=60°，BC=8，CD=4∵CE=CD∴CE=4，∠E=∠CDE=30°∴∠DBC=∠E，BE=BC+CE=12 ∴BD=DE∴BF=12BE=6 故答案为：6【点睛】本题考查的是等边三角形的性质及等腰三角形的性质与判定，掌握图形的性质并能根据三角形的外角的性质求出∠E 的度数是关键．10．60°【解析】【分析】通过证△ABD ≌△BCE 得∠BAD ＝∠CBE ，然后运用三角形外角的性质求解．【详解】解：在等边△ABC 中，∵60AB BC ABD BCE BD CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△BCE （SAS ），∴∠BAD ＝∠CBE ，∴∠APE ＝∠BAD ＋∠ABP ＝∠ABP ＋∠CBE ＝∠ABD ＝60°．故答案为：60°. 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形外角的性质，解答时证明三角形全等是关键．11．36【解析】【分析】根据底角与顶角的倍数关系，可设顶角是x 度，则底角就是2x 度，根据三角形内角和定理，即可列出方程解决问题．【详解】解：顶角是x 度，则底角就是2x 度，根据三角形内角和定理可得：2x+2x+x=180，5x=180，x=36，故答案为：36°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质的灵活应用．12．72°【解析】【分析】利用等腰三角形的性质和角平分线的定义以及三角形的外角的定义解答即可. 【详解】解:∵AB=AC，AB=AC∴∠ABC=∠C=12(180°-∠A)=72°又∵BD是△ABC的一条角平分线∴∠ABD=∠BDC=12∠ABC=36°∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和角平分线的定义以及三角形的外角的定义，灵活应用三角形的外角的定义进行解题是解答本题的关键.13．36【解析】【分析】设∠A=x，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得答案．【详解】设∠A=x．∵AD=BD，∴∠ABD=∠A=x；∵BD=BC，∴∠BCD=∠BDC=∠ABD+∠A=2x；∵AB=AC，∴∠ABC=∠BCD=2x，∴∠DBC=x ；∵x+2x+2x=180°，∴x=36°，∴∠A=36°，故答案为36.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，涉及了等边对等角、三角形外角的性质，三角形的内角和定理，通过三角形内角和定理列方程求解是正确解答本题的关键．14．10【解析】【分析】题中给出了周长和一边长，而没有指明这边是否为腰长，则应该分两种情况进行分析求解．【详解】①当6为腰长时，则腰长为6，底边=26-6-6=14，因为14＞6+6，所以不能构成三角形； ②当6为底边时，则腰长=（26-6）÷2=10，因为6-6＜10＜6+6，所以能构成三角形； 故腰长为10．故答案为：10．【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用，关键是利用三角形三边关系进行检验．15．（1）证明见解析；（2）直线AO 垂直平分线段BC .【解析】【分析】（1）根据等边对等角得到A ABC CB =∠∠，再结合中线的定义得到CD BE =，由三角形全等的判定可以证明()BCD CBE SAS ∆≅∆，从而证明12∠=∠；（2）根据全等三角形的判定和性质得到OA 平BAC ∠，再根据等腰三角形的三线合一的性质得到直线AO 垂直平分线段BC .【详解】（1）证明：如图1所示：在ABC ∆中，=AB AC ，∴AABC CB=∠∠，又Q BD和CE是三角形的中线，∴D和E分别是边AC、AB的中点，∴CD BE=，在BCD∆和CBE∆中，BC CBBCD CBECD BE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BCD CBE SAS∴∆≅∆，12∠∠∴=，∴OBC∆是等腰三角形；（2）直线AO垂直平分线段BC，理由如下：如图2所示，连接AO并延长交BC于点F，OBC∆Q是等腰三角形，BO CO∴=，在AOB∆和AOC∆中AB ACAO AOBO CO=⎧⎪=⎨⎪=⎩()AOB AOC SSS∴∆≅∆，BAF CAF∴∠=∠，∴直线AO垂直平分线段BC（等腰三角形三线合一）故答案为：直线AO垂直平分线段BC.【点睛】（1）利用三角形全等的判定证明对应角相等，由角相等可以得出等腰三角形；∠，再由等腰三角（2）利用三角形全等的判定和性质，证明对应角相等，得到OA平BAC形三线合一即可得出结论.16．结论：DE＝BD+EC．理由见解析.【解析】【分析】先根据角平分线的定义及平行线的性质证明△BDF和△CEF是等腰三角形，再由等腰三角形的性质得BD=DF，CE=EF，即可得到结论．【详解】解：结论：DE＝BD+EC．理由：∵BF平分∠ABC，∴∠DBF＝∠CBF，∵DE∥BC，∴∠CBF＝∠DFB，∴∠DBF＝∠DFB，∴BD＝DF，同理FE＝EC，∴DE＝DF+EF＝DB+EC．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质及角平分线的概念．根据角平分线的概念和平行线的性质证出等腰三角形是解决此题的关键．17．∠C 的度数是36°【解析】试题分析：设∠B=x°， 根据等腰三角形的性质可得∠CAB=∠B=x°，∠ADB=∠B=x°，∠C=∠CAD ，再根据三角形外角的性质可得∠C=12x°，在△ABC 中，根据三角形的内角和求出x 的值即可得∠C=36°．试题解析：设∠B=x°，∵CA=CB ，∴∠CAB=∠B=x°，∵AB=AD=DC ，∴∠ADB=∠B=x°，∠C=∠CAD ，∵∠ADB=∠C+∠CAD ，∴∠C=12x°， 在△ABC 中，x+x+12x=180， 解得：x=72，∴∠C= 12×72°=36°． 18．（1）证明见解析；（2）60.【解析】【分析】（1）利用SAS 定理证明ACD ∆≌BCE ∆，从而求解；（2）利用全等三角形的性质求得CBE CAD ∠=∠，然后根据三角形内角和求得∠BFA=180°-(∠BAF+∠ABF)，根据等量代换求得∠BFA =180°-（∠BAC+∠ABC ），然后利用等边三角形的性质求解.【详解】解：（1）在ACD ∆和BCE ∆中AC BC ACD BCD EC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACD ∆≌BCE ∆（SAS ）∴AD BE =（2）由ACD ∆≌BCE ∆得CBE CAD ∠=∠∴∠BFA=180°-(∠BAF+∠ABF)=180°-(∠BAC+∠CAD+∠ABF)=180°-（∠BAC+∠CBE+∠ABF ）=180°-（∠BAC+∠ABC ）∵△ABC 为等边三角形∴∠BAC=∠ABC=60°∴∠BFA=180°-(60°+60°)=60°故答案为：60【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，比较基础，掌握SAS 判定定理及相关性质是本题的解题关键。
八年级初二上册数学人教版课时练《 等腰三角形》02(含答案)
《13．3．1 等腰三角形》课时练一、选择题1．下列命题中，属于假命题的是( )A．等腰三角形底边上的高是它的对称轴B．有两个角相等的三角形是等腰三角形C．等腰三角形底边上的中线平分顶角D．等边三角形的每一个内角都等于60∘2．如图，在△ABC中，∠B=∠C， AB=5，则AC的长为（）A．2B．3C．4D．53．如图：等腰直角△ABC中，若∠ACB=90∘，CD=DE=CE，则∠DAB的度数为（）A．60∘B．30∘C．45∘D．15∘4．等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角是48∘，它的一个底角的度数是( )A．48∘B．21∘或69∘C．21∘D．48∘或69∘5．已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是（）A．7㎝B．9㎝C．12㎝或者9㎝D．12㎝6．等腰直角三角形的底边长为5，则它的面积是()A．25B．12．5C．10D．6．257．如图，△ABC中，∠ABC=90∘，∠C=30∘，AD是角平分线，DE⊥AC于E，AD、BE相交于点F，则图中的等腰三角形有（）A．2个B．3个C．4个D．5个8．一个角是60∘的等腰三角形是（）A．等腰直角三角形B．等边三角形C．直角三角形D．上述都正确9．以下关于等边三角形的判定：①三条边相等的三角形是等边三角形；②有一个角是60∘的等腰三角形是等边三角形；③有两个角为60∘的三角形是等边三角形④三个角相等的三角形是等边三角形其中正确的是（）A．只有①②③B．只有①②④C．只有①③④D．①②③④10．如图，在△ABC中，∠B=60∘，AB=9，BP=3，AP=AC，则BC的长为（）A．8B．7C．6D．511．等腰三角形一腰上的高等于该三角形另一边长的一半．则其顶角等于（）A．30∘B．30∘或150∘C．120∘或150∘D．120∘、30∘或150∘12．等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少20度，等腰三角形顶角的度数是( )A．140∘B．20∘或80∘C．44∘或80∘D．140∘或44∘或80∘二、填空题13．等腰三角形一腰的高等于腰长的一半，则其顶角的度数为________．14．如图，△ABC是边长为8的等边三角形，点D在BC的延长线上，做DF⊥AB，垂足为F，若CD=6，则AF的长等于________．15．如图所示的图形由4个等腰直角形组成，其中直角三角形（1）的腰长为1cm，则直角三角形（4）的斜边长为________．16．如图等边三角形ABC中，AB=3，D、E是BC上的两点，AD、AE把△ABC分割成周长相等的三个三角形，则CD=________．17．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，∠A＝100∘，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BC上一个动点．若△DEC是直角三角形，则∠BDE的度数是________．三、解答题18．从①∠B=∠C；②∠BAD=∠CDA；③AB=DC；④BE=CE四个等式中选出两个作为条件，证明△AED是等腰三角形（写出一种即可）．已知：________(只填序号)，求证：△AED是等腰三角形．19．如图，BD//AC，BD=BC，点E在BC上，且BE=AC．求证：D=∠ABC．20．如图所示，在矩形ABCD中，DE⊥CE，∠ADE=30∘，DE=4，求这个矩形的周长．21．如图，在△ABC中，∠ACB−∠B=90∘，∠BAC的平分线交BC于点E，∠BAC的外角∠CAD的平分线交BC的延长线于点F，试判断△AEF的形状．22．（1）如图①，△ABC是等边三角形，△ABC所在平面上有一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，问：具有这样性质的点P有几个？在图中画出来．（2）如图②，正方形ABCD所在的平面上有一点P，使△PAB，△PBC，△PCD，△PDA都是等腰三角形，问：具有这样性质的点P有几个？在图中画出来．参考答案13．30∘或150∘14．115．416．−3+3√331617．30∘或70∘18．证明：选择的条件是：①∠B=∠C②∠BAD=∠CDA（或①③，①④，②③）；证明：在△BAD和△CDA中，∵{∠B=∠C，∠BAD=∠CDA，AD=DA，∴△BAD≅△CDA(AAS)，∴∠ADB=∠DAC，即在△AED中∠ADE=∠DAE，∴AE=DE，△AED为等腰三角形．19．证明：∵BD//AC，∴∠EBD=∠C，BD=BC，BE=AC，∴△EDB≅ABC(SAS)，∴∠D=∠ABC20．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=90∘，AD=BC．在Rt△ADE中，∵∠A=90∘，∠ADE=30∘，DE=4，∴AE=12DE=2，AD=√3AE=2√3．∵DE⊥CE，∠A=90∘，∴∠BEC=∠ADE=90∘−∠AED=30∘．在Rt△BEC中，∵∠B=90∘，∠BEC=30∘，BC=AD=2√3，∴BE=√3BC=6，∴AB=AE+BE=2+6=8，∴矩形ABCD的周长=2(AB+AD)=2(8+2√3)=16+4√3．21．解：△AEF是等腰直角三角形；理由如下：如图所示：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD，∴∠EAC=12∠BAC，∠FAC=12∠CAD，∵∠BAC+∠CAD=180∘，∴∠EAC+∠FAC=12(∠BAC+∠CAD)=90∘，即∠EAF=90∘，∵∠ACB−∠B=90∘，∴∠ACB=90∘+∠B，∴∠1=90∘−∠B=∠B+∠BAC，∴∠B=12(90∘−∠BAC)，∴∠4=∠B+∠AEF，∵AE平分∠DAC，∴∠3=∠4=∠B+∠AEF，∵∠BAC+∠3+∠4=180∘，∴2(∠B+∠AEF)+∠BAC=2[12(90∘−∠BAC)+∠AEF]+∠BAC=180∘，∴∠AEF=45∘，∴∠AFE=45∘，∴△AEF是等腰直角三角形．22．【解答】（1）10个，如解图①，当点P在△ABC内部时，P是边AB．BC．CA的垂直平分线的交点：当点P在△ABC外部时，P是以三角形各顶点为圆心，边长为半径的圆与三条垂直平分线的交点每条垂直平分线上得3个交点，故具有这样性质的点P共有10个．（2）9个，如解图③．两条对角线的交点是1个，以正方形各顶点为圆心，边长为半径画圆，在正方形里面和外面的交点一共有8个，故具有这样性质的点P共有9个．。
2022年秋八年级数学上册 第13章 轴对称 13.3 等腰三角形 13.3.1 等腰三角形 第2课
15．如图，在 Rt△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O 为 BC 的中点． (1)求证：OA＝OB＝OC； (2)若点 M、N 分别是 AB、AC 上的点，且 BM＝AN，试判断△OMN 的形 状，并说明理由．
(1)证明：在 Rt△ABC 中，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°， 又∵O 为 BC 的中点，∴AO⊥BC，AO 平分∠BAC(三线合一)，∴∠OAC＝ ∠OAB＝21∠BAC＝45°，∴∠OAB＝∠B＝45°，∴OA＝OB，∴OA＝OB＝ OC； (2)解：△OMN 为等腰直角三角形．理由：∵AB＝AC，BM＝AN，∴AB－ BM ＝ AC － AN ， ∴ AM ＝ CN ， 在 △ AOM 和 △ CON 中 ，
证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝21(180°－∠A)＝12×(180° －36°)＝72°，又∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝12∠ABC＝21×72° ＝36°，∠BDC＝∠A＋∠ABD＝36°＋36°＝72°， ∴∠C＝∠BDC，∠A＝ ∠ABD，∴AD＝BD＝BC.
的是( B )
A．∠A＝50°，∠B＝60°
B．∠A＝70°，∠B＝40°
C．∠A＝40°，∠B＝90°
D．∠A＝80°，∠B＝60°
2．如图，AD 是△ABC 的边 BC 上的高，添加下列条件中的某一个，不能
推出△ABC 为等腰三角形的是( A )
A．∠BAD＝∠ACD
B．∠BAD＝∠CAD
C．BD＝CD
A∠MO＝AMCN＝∠OCN＝45° ，∴△AOM≌△CON，∴OM＝ON，∠AOM＝ OA＝OC
∠CON，又∵∠CON＋∠AON＝90°，∴∠AOM＋∠AON＝90°，即∠MON ＝90°，∴△OMN 为等腰直角三角形．
人教版八年级上册数学课件 第十三章轴对称 等腰三角形 等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质 (2)
A．∠B＝∠C
B．AD⊥BC
C．AD平分∠BAC D．AB＝2BD
(2)若∠BAD＝35°，则∠C的度数为( C )
A．35° B．45° C．55° D．65°
7．(4分)如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若AB＝6，CD ＝4，则△ABC的周长是__2_0_．
8．(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，DE⊥AB. (1)求证：∠BAD＝∠BDE； (2)若AC＝6，DE＝2，求△ABC的面积．
16．(15分)如图，在△ABC中，AB＝AC，D是射线BC上一点，E是射 线AC上一点，且AD＝AE.
(212).如5°图 ① ， 若 ∠ BAC ＝ 90° ， D 是 BC 中 点 ， 则 ∠ EDC 的 度 数 为 _________；
(2)如图②，当点D在线段BC上时，若∠BAD＝40°，求∠EDC的度数； (3)如图③，当点D在线段BC延长线上时，试判断∠BAD和∠EDC的数 量关系，并证明．
13．(易错题)(青海中考)等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内 角的度数分别为____5_5_°__，__5_5_°__或__7_0_°__，__4_0_°____________________．
【变式】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三
角形的底角的度数为___6_3_°__或__2_7_°________．
八年级数学人教版(上册)第2课时等腰三角形的判定
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方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形 的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限 于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形 中，此结论不一定成立．
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如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB
的平分线交于点O.过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.
探究EF、BE、FC之间的关系.
∴ AC=AB. ( 等角对等边 ) B
C
即△ABC为等腰三角形. 侵权必究
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辨一辨：如图,下列推理正确吗?
A 12
B
D
C
∵∠1=∠2 ,
∴ BD=DC
（等角对等边）.
C D
1
A2
B
∵∠1=∠2, ∴ DC=BC （等角对等边）.
错，因为都不是在同一个三角形中.
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求证：如果三角形一个外角的平分线平行于 三角形的一边，那：1.作线段AB=a. 2.作线段AB的垂直平分线MN，交AB
于点D. 3.在MN上取一点C，使DC=h. 4.连接AC，BC，则△ABC即为所求.
C
M A DB
N
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讲授新课
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB 边上的高，AE是∠BAC的平分线，AE与CD交于点F， 求证：△CEF是等腰三角形．
第十三章 轴对称
13.3 等腰三角形
第2课时 等腰三角形的判定
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新课导入
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当堂练习
课堂小结
侵权必究
新课导入
✓ 教学目标 ✓ 教学重点
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学习目标
探索等腰三角形的判定定理及其应用
人教版八年级下册数学专题复习及练习(含解析)：等腰三角形
专题13.3 等腰三角形知识点1：等腰三角形1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．2.等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．（2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、 底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．3.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．知识点2：等边三角形1.定义：三条边相等的三角形叫做等边三角形．2.等边三角形的性质和判定：（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
知识点3：直角三角形的一个定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．【例题1】如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求：△ABC各角的度数．【例题2】证明：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=AB ．【例题7】已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为（ ）A ．B ．C ．D ．不能确定【例题3】如图，已知AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC 与BD 交于点O ，AC=BD.求证：(1)BC=AD ；(2)△OAB 是等腰三角形.一、选择题1.已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为（ ）12C AA．B．C．D．不能确定2.如图所示，点D是△ABC的边AC上一点（不含端点），AD=BD，则下列结论正确的是（）A．AC＞BC B．AC=BC C．∠A＞∠ABC D．∠A=∠ABC3．如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN 为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）A．1个B．2个C．3个D．3个以上4.如图所示，底边BC为2，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为（）A．2+2B．2+C．4 D．3二、解答题5.已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求证：△ABC是等边三角形．6.如图，在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB交AC于E．求证：AE=CE．7.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1=∠2，AD ∥BC （如图）．求证：AB=AC ．8.已知：如图，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ．求证：AB=AD ．9.证明：等腰三角形两底角的平分线相等．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 、CE 是△ABC 的平分线．求证：BD=CE ．10.证明：等腰三角形两腰上的高相等．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BE 、CF 分别是△ABC 的高．E DCAB11.证明：等腰三角形两腰上的中线相等．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 、CE 分别是两腰上的中线．求证：BD=CE ．12.已知：如图，在△ABC 中，AB=AC=2a ，∠ABC=∠ACB=15°，CD 是腰AB 上的高．求：CD 的长．13．已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°．求证：BD=AB ．14.已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍，这个角的平分线把对边分成两条线段．求证：其中一条是另一条的2倍．已知：在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC=2∠C ，BD 是∠ABC 的平分线．1415.已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=AB ．求证：∠BAC=30°．16.已知，如图，点C 为线段AB 上一点，△ACM 、△CBN 是等边三角形．求证：AN=BM ．17．一个直角三角形房梁如图所示，其中BC ⊥AC ，∠BAC=30°，AB=10cm ， CB 1⊥AB ，B 1C ⊥AC 1，垂足分别是B 1、C 1，那么BC 的长是多少？18.如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，AC 的垂直平分线交AB 于E ，D 为垂足，连接EC ．（1）求∠ECD 的度数；（2）若CE=5，求BC 长．12专题13.3 等腰三角形知识点1：等腰三角形1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．2.等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．（2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、 底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．3.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．知识点2：等边三角形1.定义：三条边相等的三角形叫做等边三角形．2.等边三角形的性质和判定：（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。
八年级上册数学-等腰三角形(二)三线合一
第15讲等腰三角形（二）三线合一知识导航1、等腰三角形底边上的高→底边上的中线，顶角的平分线。
2、等腰三角形底边上的中线→底边上的高，顶角的平分线。
3、等腰三角形顶角的平分线→底边上的中线，底边上的高。
【板块一】知等腰→连中线方法技巧遇等腰三角形底边的中点，常连接底边上的中线，构造三线合一的模型解题。
120，点F为CD的中点，AB=AE,BC=ED，【例1】如图，在五边形ABCDE中，∠B=∠E，∠BAE=0求∠BAF的度数。
针对练习11、如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点O是BC的中点，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，求证：AD=AE。
90，AB=AC，点D是BC的中点。
2、已知△ABC中，∠BAC=0（1）如图1，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，试判断△DEF的形状，并说明理由；（2）如图2，若E，F分别为AB，CA的延长线上的点，且仍有BE=AF，请判断△DEF的是否仍有（1）中的形状，并说明理由。
【板块二】知等腰→作高线方法技巧遇等腰三角形，常作底边上的高，构造三线合一的模型解题。
【例2】如图，在△ABC中，AB=AC，AD=DB，DE⊥AB于点E，若BC=10，且△BDC的周长为24，求AE的长。
【例3】如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，EB⊥AB且EA=EC，求证：AC=2AB。
针对练习21、如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且∠ABC=2∠C，求证：CD=AB+BD。
2、如图，在△ABC中，CA=CB，BD⊥AC于点D，AE⊥BC于点E，BD，AE交于点O。
（1）求证：CD=CE；（2）求证：OC⊥AB。
3、如图1，在等腰△ABC中，∠ACB=090，AC=BC，点D在AB上，AD=AC，BE垂直于直线CD，垂足为点E。
（1）求∠BCD的度数；（2）求证：CD=2BE；（3）如图2，若点O是AB的中点，点G在OC上，∠OAG=∠OCD，求BEAG的值。
【板块三】构等腰→用“三线”方法技巧在同一个三角形中证明两线段相等或垂直时，往往构造等腰（直角）三角形，运用三线合一来解决问题。
2.3 等腰三角形的性质定理(2)浙教版八年级数学上册课件
△ABC就是所求作的等腰三角形.
h
a
m
如图，已知∠α和线段a,用直尺和圆规作一个等腰三角形，使
它的顶角等于∠α，底边上的中线等于a.
a
1. 以线段a为半径,A为顶点画弧交
AM,AM于BC
2.用任意半径,分别以BC点为半径画
弧相交,连接交点与A点,此线为角A
∴∠CBD+∠ACB=90°，
即α+∠ACB=90°．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴ β+2∠ACB=180°，
即β+2（90°-α）=180°，
∴ β=2α．
这节课我们学习了：
等腰三角形的性质定理2：
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高
浙教版
八年级上
等腰三角形的性质定理
——第二课时
学习目标
1.掌握等腰三角形三线合一的性质
2.会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断、
计算和作图
你已经知道等腰三角形的哪些性质？
1.等腰三角形的轴对称性：
等腰三角形是轴对称图形， 对称轴是顶角平分线所在的直线.
2.等腰三角形性质定理1：
等腰三角形的两个底角相等.
B
等腰三角形性质定理2：
D
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互
相重合，简称等腰三角形三线合一
C
几何语言表述：
A
1 2
B
D
A
（1）∵AB=AC，∠1=∠2，
∴AD⊥BC，BD=CD.
C
（2）∵AB=AC，AD⊥BC，
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P
C
1.已知等腰三角形的两边长分别是4和6，则 它的周长是（ D ） A、14 B、15 C、16 D、14或16
若把此等腰三角形的两边长改为 3和7，则 它的周长应是多少？
2. 如图， AD 是等腰△ ABC 的角平分线， E ， F 分别是 AB，AC上的点，请分别作 出E，F关于AD的对称点。
B
C
1. 如图，点D在AC上，
AB=AC，AD=BD=BC，
你能在图中找出几个等腰 三角形？
A
D
说出每个等腰三角形的腰、 底边和顶角。
B
C
10 个等腰三角形。 ２.如图，五角星中有______
1）在透明纸上任意画一个等腰三角形ABC ，
2）接下来画出它的顶角平分线AD，
3）然后沿着AD所在的直线把△ABC对折， 你发现了什么？
A E
F B D C
在平面内，分别用3根、5根、6根火柴棒首尾顺 次相接，能搭成什么形状的三角形？通过尝试，完 成下面的表格，7根火柴棒呢？8根呢？9根呢？你发 现了什么规律？
3 5 6 7 8 9
火柴数
示意图
△ 等边 三角形 等腰 三角形
形状
实践探索
请拿出准备的三边不等的三角形纸片， 试一试，通过折叠一次，剪一次，是否可 以剪出一个等腰三角形呢？（小组合作， 看有何发现？）
A
B
C
对于等腰三角形，你们已经了 解了哪些方面的知识？
定义：两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 等腰三角形中，相等的两条
A
边都叫做腰，另一边叫做底边
两腰的夹角叫做顶角，腰和底 边的夹角叫做底角.
腰
B
顶 角 腰 底角 底边
C
定义的理解：
⑴ 由 “两边相等” 得到“等腰三角形”. ∵△ABC中， AB ＝AC ∴△ABC是等腰三角形. ⑵ 由“等腰三角形”得到 ∵△ABC是等腰三角形 ∴AB＝AC. . A
等腰三角形是轴对称图形，顶角平 分线所在的直线是它的对称轴。
A
1. 如图 在△ABC中，AB=AC， D 、 E 分别是 AB ， AC 上的点，且 AD=AE，AP是△ABC的角平分线。
D E
(1). 点 D ).DE与BC平行吗？请说 明理由。
B
观察你所得到等腰三角 形，你发现等腰三角形具有 哪些特征？
这节你又学到了 什么知识？
再见
；
/cp ； /ssc ；
ysh61zvb
主殿下恕罪……”慕容凌娢很麻溜的跪下了，毕竟膝盖什么的，能有命重要？宫斗大戏里的套路就是一言不合就掌嘴，一点不爽就一丈红，还 是小心为好。“奴婢并非有意冒犯公主殿下，还望公主殿下开恩。”“哼！”傲娇的小公主得意的哼了一声，把头扬地更高了，“说，你是哪 个宫的。”“……”还问我的工作单位？这是要告状告到顶头上司那儿的节奏啊。慕容凌娢很郁闷，她抬起头来想要继续用主角的嘴炮技能， 却发现那位公主根本就没有再正眼看她，她的嘴炮就是再厉害，对着别人的鼻孔也说不出什么好词好句，所以她又把头低了下去。“亦清这是 怎么了，居然因为一个下人这么生气？”皇宫之中能还能听到这种平和的语调实数难能可贵。韩哲轩！慕容凌娢激动的眼睛放光，感觉自己有 救了。“八哥～”韩亦清很不满的跺跺脚，指着慕容凌娢说道，“不知道这是哪个宫的奴婢，没规矩没教养，见到我居然装作没看见！还鬼鬼 祟祟的，指不定是偷了什么东西……”韩亦清喋喋不休的说着慕容凌娢犯下的滔天大罪，慕容凌娢却脑洞大开。八哥……是那种“少年老成” 满脸皱纹眼睛又大又圆还闪烁着天真光芒的狗狗，还是那种会学人说话的小黑鸟?韩哲轩虽然有的时候眼神很像呆萌的八哥狗，但实际上，他 绝对没有八哥狗那么老实。所以说，他还是更像八哥鸟。“晓白是我那儿的人。今天早上我的玉佩丢在这附近了，所以才让她来帮我找。”韩 哲轩冲着慕容凌娢使了个眼色。“玉佩找到了吗？”尼玛，居然给我乱起外号！而且怎么听都像是宠物的名字。慕容凌娢虽然心里不爽，但口 头上也回答的很好。“回殿下……还没有找到。”慕容凌娢装出一副十分紧张的样子。“那就继续去找。”“是。”慕容凌娢起身行了个礼， 拔腿就走。“八哥～”韩亦清拽着韩哲轩的衣袖，用她常用的方式高声埋怨道，“这奴婢实在是没大没小，你这样纵容她，指不定哪天她就不 把你放在眼里了！”“亦清。”韩哲轩摸摸韩亦清的头，笑道，“晓白不守规矩是我管教的不好，八哥在这里给你赔罪，回去之后我一定替你 好好惩罚她。我们亦清公主大人有大量，就别为一个奴婢的事而生气了。”“那好吧，八哥你一定要好好罚她。”……快步走了一会儿，到了 安全地带，慕容凌娢才敢放慢速度往宫外走。她不紧不慢，也可以说是闲散的晃悠着，突然听到背后有人在叫自己。“晓白——”“干嘛啊？ 搞事情啊！”慕容凌娢愤怒的回头，如果她手里有板砖的话，一定直接就扔上去了。“没人教过你表随便给人起外号吗？最主要的是如果外号 多到一定程度，我就记不住了！”“并没有。”韩哲轩扬唇一笑，说道“不过老师教过我要见义勇为。”“那好吧，非常非常感谢你救了我。” 慕容凌娢转