矩形的性质和判定同步练习

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2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1-2矩形的性质与判定》同步练习题(附答案)

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》同步练习题（附答案）一．选择题1．已知平行四边形ABCD中，下列条件：①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD，其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是（）A．①B．②C．③D．④2．下列说法正确的是（）A．有两边和一角分别相等的两个三角形全等B．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形C．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45°D．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度3．若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是（）A．矩形B．菱形C．对角线互相垂直的四边形D．对角线相等的四边形4．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（）A．B．C．D．5．如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A'处．若∠DBC＝24°，则∠A'EB等于（）A．66°B．60°C．57°D．48°6．如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB＝9，BC＝6，则FC′的长为（）A．B．4C．4.5D．5二．填空题7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为．8．我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形．现有一个对角线分别为6cm和8cm的菱形，它的中点四边形的对角线长是．9．如图，矩形OABC的边OC在y轴上，边OA在x轴上，C点坐标为（0，3），点D是线段OA上的一个动点，连接CD，以CD为边作矩形CDEF，使边EF过点B．连接OF，当点D与点A重合时，所作矩形CDEF的面积为12．在点D的运动过程中，当线段OF 有最大值时，则点F的坐标为．10．如图，矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，点A在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上．当点A在x轴上运动时，点D也随之在y轴上运动，在这个运动过程中，点C到原点O的最大距离为．11．如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，连接CE，过点E作CE的垂线交AB于点F，交CD的延长线于点G，连接CF．已知AF＝，CF＝5，则EF＝．12．如图，矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD交于点O，DH⊥AC，垂足为点H，若∠ADH＝2∠CDH，则AD的长为．13．如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，对角线相交于点O，动点M从点B向点A运动（到点A即停止），点N是AD上一动点，且满足∠MON＝90°，连结MN．在点M、N 运动过程中，则以下结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①点M、N的运动速度不相等；②存在某一时刻使S△AMN＝S△MON；③S△AMN逐渐减小；④MN2＝BM2+DN2．三．解答题14．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．15．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，E，G分别是AC，DC的中点，F为DE延长线上的点，∠FCA＝∠CEG．（1）求证：AD∥CF；（2）求证：四边形ADCF是矩形．16．如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．17．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．18．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E、F．（1）若CE＝8，CF＝6，求OC的长；（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD中点，连接OE．过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF．求证：（1）△ODE≌△FCE；（2）四边形OCFD是矩形．20．如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）若AB＝6，AD＝8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．21．如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．（1）求证：BG＝DE；（2）若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．参考答案一．选择题1．解：A．AB＝BC，邻边相等的平行四边形是菱形，故A不符合题意；B．AC＝BD，对角线相等的平行四边形是矩形，故B符合题意；C．AC⊥BD，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C不符合题意；D．AC平分∠BAD，对角线平分其每一组对角的平行四边形是菱形，故D不符合题意．故选：B．2．解：A．有两边和一角分别相等的两个三角形全等；不正确；B．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形；不正确；C．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45°；不正确；D．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度；正确；故选：D．3．解：已知：如右图，四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD 的中点，求证：四边形ABCD是对角线垂直的四边形．证明：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG；∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，∴AC⊥BD，故选：C．4．解：∵AB＝6，BC＝8，∴矩形ABCD的面积为48，AC＝＝10，∴AO＝DO＝AC＝5，∵对角线AC，BD交于点O，∴△AOD的面积为12，∵EO⊥AO，EF⊥DO，∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即12＝AO×EO+DO×EF，∴12＝×5×EO+×5×EF，∴5（EO+EF）＝24，∴EO+EF＝，故选：C．5．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝90°，由折叠的性质得：∠BA'E＝∠A＝90°，∠A'BE＝∠ABE，∴∠A'BE＝∠ABE＝（90°﹣∠DBC）＝（90°﹣24°）＝33°，∴∠A'EB＝90°﹣∠A'BE＝90°﹣33°＝57°．故选：C．6．解：设FC′＝x，则FD＝9﹣x，∵BC＝6，四边形ABCD为矩形，点C′为AD的中点，∴AD＝BC＝6，C′D＝3．在Rt△FC′D中，∠D＝90°，FC′＝x，FD＝9﹣x，C′D＝3，∴FC′2＝FD2+C′D2，即x2＝（9﹣x）2+32，解得：x＝5．故选：D．二．填空题7．解：连接AD，∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，∴BC＝＝5，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四边形DMAN是矩形，∴MN＝AD，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，∴AD＝＝，∴MN的最小值为；故答案为：．8．解：∵顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点所得的图形是矩形.理由如下：∵E、F、G、H分别为各边中点∴EF∥GH∥AC，EF＝GH＝AC，∴四边形EFGH是平行四边形，∵DB⊥AC，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH是矩形，∵EH＝BD＝3cm，EF＝AC＝4cm，∴HF＝＝5cm．故答案为：5cm．9．解：当点D与点A重合时，如图：∵S矩形CDEF＝2S△CBD＝12，S矩形OABC＝2S△CBD，∴S矩形OABC＝12，∵C点坐标为（0，3），∴OC＝3，∴OA＝4，∵∠CFB＝90°，C、B均为定点，∴F可以看作是在以BC为直径的圆上，取BC的中点M，则MF＝BC＝2，OM＝＝，∴OF的最大值＝OM+BC＝+2，即O、M、F三点共线，设点F的横坐标为2x，则纵坐标为3x，∴（2x）2+（3x）2＝（+2）2，解得：x＝（负值舍去）∴2x＝+2，3x＝+3∴点F坐标（，+3）故答案为：（，+3）10．解：如图，取AD的中点H，连接CH，OH，∵矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，∴CD＝AB＝1，AD＝BC＝2，∵点H是AD的中点，∴AH＝DH＝1，∴CH＝＝＝，∵∠AOD＝90°，点H是AD的中点，∴OH＝AD＝1，在△OCH中，CO＜OH+CH，当点H在OC上时，CO＝OH+CH，∴CO的最大值为OH+CH＝+1，故答案为：+1．11．解：∵点E是AD中点，∴AE＝DE，在△AEF和△DEG中，，∴△AEF≌△DEG（ASA），∴EF＝EG，AF＝DG＝，∵CE⊥EF，∴CF＝CG＝5，∵∠G＝∠G，∠EDG＝∠CEG＝90°，∴EG2＝DG•CG＝，∴EG＝＝EF，故答案为．12．解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝3，∠ADC＝90°，∵∠ADH＝2∠CDH，∴∠CDH＝30°，∠ADH＝60°，∵DH⊥AC，∴∠DHA＝90°，∴∠DAC＝90°﹣60°＝30°，∴AD＝CD＝3，故答案为：3．13．解：如图，当M与B点重合时，此时NO⊥BD，∵在矩形ABCD中，AD＝AB，∴∠ADB＝∠DAC＝30°，∴∠AOD＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠NAO＝∠AOD﹣∠NOD＝120°﹣90°＝30°，∴∠DAO＝∠NOA＝30°，∴AN＝ON＝DN，∵AN+DN＝AD，∴AN＝AD，当M点运动到M'位置时，此时OM'⊥AB，N点运动到了N'，∵AC和BD是矩形ABCD的对角线，∴M点运动的距离是MM'＝AB，N点运动的距离是NN'＝＝＝AD，又∵AD＝AB，∴NN'＝×AB＝AB＝MM'，∴N点的运动速度是M点的，故①正确，当M在M'位置时，∵∠OM'A＝90°，∠N'AB＝90°，∠M'ON'＝90°，∴四边形AM'ON'是矩形，∴此时S△AMN＝S△MON，故②正确，令AB＝1，则AD＝，设BM＝x，则N点运动的距离为x，∴AN＝AD+x＝+x，∴S△AMN＝AM•AN＝（AB﹣BM）•AN＝（1﹣x）（+x）＝﹣x2，∵0≤x≤1，在x的取值范围内函数﹣x2的图象随x增加而减小，∴S△AMN逐渐减小，故③正确，∵MN2＝（AB﹣BM）2+（AD﹣DN）2＝AB2﹣2AB•BM+BM2+AD2﹣2AD•DN+DN2＝（AB2﹣2AB•BM+3AB2﹣2•DN）+BM2+DN2＝（4AB2﹣2AB•BM﹣2AB•DN）+BM2+DN2，∵AN＝AD+BM＝AB+BM，∴DN＝AD﹣AN＝AB﹣（AB+BM）＝AB﹣BM，∵2AB•DN＝2AB×（AB﹣BM）＝4AB2﹣2AB•BM，∴MN2＝（4AB2﹣2AB•BM﹣2AB•DN）+BM2+DN2＝BM2+DN2，故④正确，方法二判定④：如图2，延长MO交CD于M'，∵∠MOB＝∠M'OD，OB＝OD，∠DBA＝∠BDC，∴△OMB≌△OM'D（ASA），∴BM＝DM'，OM＝OM'，连接NM'，∵NO⊥MM'，则MN＝NM'，∵NM'2＝DN2+DM'2，∴MN2＝BM2+DN2，故④正确，故答案为：①②③④．三．解答题14．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，∵E是AD的中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE∥FG，∵OG∥EF，∴四边形OEFG是平行四边形，∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°，∴平行四边形OEFG是矩形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，∴∠AOD＝90°，∵E是AD的中点，∴OE＝AE＝AD＝5；由（1）知，四边形OEFG是矩形，∴FG＝OE＝5，∵AE＝5，EF＝4，∴AF＝＝3，∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2．15．证明：（1）∵E，G分别是AC，DC的中点，∴EG是△ACD的中位线，∴EG∥AD，∵∠FCA＝∠CEG，∴EG∥CF，∴AD∥CF；（2）由（1）得：AD∥CF，∴∠DAE＝∠FCE，∠ADE＝∠CFE，∵E是AC的中点，∴AE＝CE，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AD＝CF，∴四边形ADCF是平行四边形，又∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCF是矩形．16．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE，∵E为BC的中点，∴EB＝EC，∴△ABE≌△FCE（AAS），∴AB＝CF．∵AB∥CF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵AD＝BC，AD＝AF，∴BC＝AF，∴四边形ABFC是矩形．17．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，∴∠ABE＝∠CDF，∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴BE＝OB，DF＝OD，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA，∵E是OB的中点，∴AG⊥OB，∴∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，由（1）得：△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∵EG＝AE，∴EG＝CF，∴四边形EGCF是平行四边形，∵∠OEG＝90°，∴四边形EGCF是矩形．18．（1）证明：∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF，∵EF∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF，∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，∴OE＝OC，OF＝OC，∴OE＝OF；∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF＝180°，∴∠ECF＝90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF＝＝10，∴OC＝OE＝EF＝5；（2）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：连接AE、AF，如图所示：当O为AC的中点时，AO＝CO，∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．19．证明：（1）∵CF∥BD，∴∠ODE＝∠FCE，∵E是CD中点，∴CE＝DE，在△ODE和△FCE中，，∴△ODE≌△FCE（ASA）；（2）∵△ODE≌△FCE，∴OD＝FC，∵CF∥BD，∴四边形OCFD是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°，∴四边形OCFD是矩形．20．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EDO＝∠FBO，∵O为BD的中点，∴OB＝OD，又∵EF⊥BD，∴∠EOD＝∠FOB＝90°，在△DOE和△BOF中，，∴△DOE≌△BOF（ASA）；（2）解：∵由（1）可得，ED∥BF，ED＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BFDE是菱形，根据AB＝6，AD＝8，设AE＝x，可得BE＝ED＝8﹣x，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：BE2＝AB2+AE2，即（8﹣x）2＝x2+62，解得：，∴，∴四边形BFDE的周长＝．21．解：（1）∵四边形EFGH是矩形，∴EH＝FG，EH∥FG，∴∠GFH＝∠EHF，∵∠BFG＝180°﹣∠GFH，∠DHE＝180°﹣∠EHF，∴∠BFG＝∠DHE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠GBF＝∠EDH，∴△BGF≌△DEH（AAS），∴BG＝DE；（2）连接EG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵E为AD中点，∴AE＝ED，∵BG＝DE，∴AE＝BG，AE∥BG，∴四边形ABGE是平行四边形，∴AB＝EG，∵EG＝FH＝2，∴AB＝2，∴菱形ABCD的周长＝8．。

矩形性质和判定练习

一、选择题1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．两组对边分别相等B．两组对角分别相等C．两条对角线互相平分D．两条对角线相等2.在四边形ABCD中，AD∥BC，若四边形ABCD是平行四边形，则还应满足（）A．∠A+∠B＝180°B．∠A+∠C＝180°C．∠A+∠D＝180°D．∠A＝∠B 3.在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AB＝3，OA＝2，则AD的长为（） A．5 B． C． D．4.如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA到点E，使AE＝AB，联结ED、EC、AC．添加一个条件，能使四边形ACDE成为矩形的是（）A．AC＝CD B．AB＝AD C．AD＝AE D．BC＝CE．5.如图所示，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH，若EH＝3，EF＝4，那么线段AD与AB的比等于（）A．25：24 B．16：15 C．5：4 D．4：3（4）（5）（6）6.如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，连接AE若CD＝6，AE＝10，则AD的长为（） A．12 B．14 C．16 D．207.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AD＝6，CD＝8，P是AB 上的动点，PM⊥AC于M，PN⊥BD于N，则PM+PN的值为（）A．4.8 B．6.4 C．9.6 D．2.48.如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，若∠ADE＝2∠EDC，则∠BDE的度数为（）A．36°B．30°C．27°D．18°（7）（8）（9）9.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DF垂直平分OC，交AC于点E，交BC于点F，连接AF，若AD＝3，则AF的长为（）A．B．C．2D．310．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是边AB上一点，且OE ⊥AC．设∠AOD＝α，∠AEO＝β，则α与β间的关系正确的是（）A．α＝β B．α+β＝180°C．2α+β＝180°D．α+2β＝180°二、填空题11.已知平面上四点A（0，0），B（4，0），C（4，2），D（0，2），直线y＝mx﹣m+2将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则m的值为__________ ．12．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，若AB＝4，BC＝8，则DE的长为_______ ．13．如图，在矩形ABCD中对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，连接OE，若AD＝6，AB＝8，则OE＝_______ ．(12) (13)14. 如图,在Rt△ABC中,∠A＝90°,AB＝6,BC＝10,P是BC边上的一点,作PE垂直AB,PF垂直AC,垂足分别为E、F,求EF的最小值是_______ .(14) (15)15.如图，长方形ABCD中，AD＝BC＝6，AB＝CD＝10．点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，DE的长为_______三、解答题16．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，4），将△ABO向右平移到△CDE位置，A的对应点是C，O的对应点是E，函数y＝（k≠0）的图象经过点C和DE的中点F，则k的值是多少？17．如图，已知▱ABCD，延长AB到E，使BE＝AB，连接BD，ED，EC，若ED＝AD．（1）求证：四边形BECD是矩形；（2）连接AC，若AD＝6，CD＝3，求AC的长．18．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝4，求▱ABCD的面积．19.如图,四边形ABCD是矩形,E是BC边上一点,点F在BC的延长线上,且CF＝BE.(1)求证:四边形AEFD是平行四边形;(2)连接ED,若∠AED＝90°,AB＝4,BE＝2,求四边形AEFD的面积.20．（10分）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，点A落在点P 处，折痕为EF．（1）求证：△PDE≌△CDF；（2）若CD＝4cm，EF＝5cm，求BC的长．21．如图，已知在△ABC中，D为BC的中点，连接AD，E为AD的中点，过点A 作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：四边形ADCF为平行四边形．（2）当四边形ADCF为矩形时，AB与AC应满足怎样的数量关系？请说明理由．22．如图1，已知AD∥BC，AB∥DC，∠B＝∠C．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）如图2，M为AD的中点，N为AB的中点，BN＝2．若∠BNC＝2∠DCM，求BC的长．23．将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（3，0），点C（0，6），点P在边OC上（点P不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且∠OPQ＝30°，点O 的对应点O′落在第一象限．设OQ＝t．（Ⅰ）如图①，当t＝1时，求∠O′QA的大小和点O′的坐标；（Ⅱ）如图②，若折叠后重合部分为四边形，O′Q，O′P分别与边AB相交于点E，F，试用含有t的式子表示O′E的长，并直接写出t的取值范围；（Ⅲ）若折叠后重合部分的面积为3，则t的值可以是（请直接写出两个不同的值即可）．。

北师大版九年级数学上册第一章 1.2矩形的性质与判定同步练习题

北师大版九年级数学上册第一章 1.2矩形的性质与判定同步练习题第1课时矩形的性质1．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形．若∠BAG＝20°，则∠DAE＝(B)A．10° B．20° C．30° D．45°2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠COD＝60°，AB＝3，则AC的长是(A)A．6 B．8 C．10 D．123．如图，在矩形ABCD中，∠DAE＝∠CBE＝45°，AD＝1，则△ABE的周长等于(C)A．4.83 B．4 2C．22＋2 D．32＋24．如图，在矩形ABCD中，O是两对角线的交点，AE⊥BD，垂足为E.若OD＝2OE，AE＝3，则DE的长为(B)A．2 3 B．3 C．4 D.3＋15．如图，在矩形ABCD中，EG垂直平分BD于点G.若AB＝4，BC＝3，则线段EG的长度是(B)A.32B.158C.52D ．3 6．如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，M 是AD 的中点．若OM ＝3，BC ＝10，则OB7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，延长BC 至F ，使CF ＝12BC.若EF ＝13，则线段AB 的长为26．8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，AC 为对角线，∠DAC 的平分线AE 交DC 于点E ，则CE 的长为53．9．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P 为AD 上一动点，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，则PE ＋PF 的值为125．10．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，将△ABE 沿着AE 折叠至△AB′E.若BE ＝CE ，连接B′C，则B′C 的长为185．11．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝AE ，DF ⊥AE 于点F.求证：AB ＝DF.证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，∠B ＝90°. ∴∠AEB ＝∠DAF. ∵DF ⊥AE ，∴∠AFD ＝∠B＝90°.在△ABE 和△DFA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB＝∠DAF，∠B ＝∠AFD，AE ＝DA ，∴△ABE ≌△DFA(AAS)． ∴AB ＝DF.12．如图，BE ，CF 是锐角△ABC 的两条高，M ，N 分别是BC ，EF 的中点．若EF ＝6，BC ＝24.(1)求证：∠ABE＝∠ACF；(2)判断EF 与MN 的位置关系，并证明你的结论； (3)求MN 的长．解：(1)证明：∵BE，CF 是△ABC 的两条高， ∴∠ABE ＋∠A＝90°，∠ACF ＋∠A＝90°. ∴∠ABE ＝∠ACF. (2)MN 垂直平分EF. 证明：连接EM ，FM ，∵BE ，CF 是△ABC 的两条高，M 是BC 的中点， ∴EM ＝FM ＝12BC.∵N 是EF 的中点，∴MN ⊥EF. ∴MN 垂直平分EF. (3)∵EF＝6，BC ＝24，∴EM ＝12BC ＝12×24＝12，EN ＝12EF ＝12×6＝3.在Rt △EMN 中，MN ＝EM 2－EN 2＝122－32＝315.13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4.M ，N 在对角线AC 上，且AM ＝CN ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点．(1)求证：△ABM≌△CDN；(2)若G 是对角线AC 上的点，∠EGF ＝90°，求AG 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD. ∴∠MAB ＝∠NCD.在△ABM 和△CDN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，∠MAB ＝∠NCD，AM ＝CN ，∴△ABM ≌△CDN(SAS)． (2)连接EF ，交AC 于点O.在△AEO 和△CFO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EOA＝∠FOC，∠EAO ＝∠FCO，AE ＝CF ，∴△AEO ≌△CFO(AAS)．∴EO ＝FO ，AO ＝CO.∴O 为EF ，AC 的中点． ∵∠EGF ＝90°，∴OG ＝12EF ＝12AB ＝32.在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝5， ∴OA ＝52.∴AG ＝OA －OG ＝1或AG ＝OA ＋OG ＝4. ∴AG 的长为1或4.14．如图，在矩形ABCD 中，∠BAC ＝30°，对角线AC ，BD 交于点O ，∠BCD 的平分线CE 分别交AB ，BD 于点E ，H ，连接OE.(1)求∠BOE 的度数；(2)若BC ＝1，求△BCH 的面积； (3)求S △CHO ∶S △BHE .解：(1)∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD ，AO ＝CO ＝BO ＝DO.∴∠DCE ＝∠BEC.∵CE 平分∠BCD，∴∠BCE ＝∠DCE＝45°. ∴∠BCE ＝∠BEC＝45°.∴BE ＝BC.∵∠BAC ＝30°，AO ＝BO ＝CO ，∴∠OBA ＝30°. ∴∠BOC ＝60°. ∴△BOC 是等边三角形． ∴BC ＝BO ＝BE.∴∠BOE ＝180°－30°2＝75°.(2)过点H 作HF⊥BC 于点F.∵△BOC 是等边三角形，∴∠FBH ＝60°. ∴BH ＝2BF ，FH ＝3BF.∵∠BCE ＝45°，∴CF ＝FH ＝3BF. ∴BC ＝3BF ＋BF ＝1.∴BF＝3－12. ∴FH ＝3－32.∴S △BCH ＝12BC·FH＝3－34.(3)过点C 作CN⊥BO 于点N ， ∵BC ＝3BF ＋BF ＝BO ＝BE ， ∴OH ＝OB －BH ＝3BF －BF. ∵∠CBN ＝60°，CN ⊥BO ， ∴CN ＝32BC ＝3＋32BF. ∵S △CHO ∶S △BHE ＝(12OH·CN)∶(12BE·BF)，∴S △CHO ∶S △BHE ＝3－32.第2课时矩形的判定1．已知▱ABCD ，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是(B) A ．∠A ＝∠B B ．∠A ＝∠C C ．AC ＝BD D ．AB ⊥BC2．如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，DE ∥AC ，DF ∥AB ，下列四个判断中不正确的是(D)A ．四边形AEDF 是平行四边形B ．若∠BAC＝90°，则四边形AEDF 是矩形C ．若AD ＝EF ，则四边形AEDF 是矩形 D ．若AD 平分∠BAC，则四边形AEDF 是矩形3．如图，在▱ABCD 中，M ，N 是BD 上两点，BM ＝DN ，连接AM ，MC ，CN ，NA ，添加一个条件，使四边形AMCN 是矩形，这个条件是(A)A ．OM ＝12AC B ．MB ＝MOC ．BD ⊥AC D ．∠AMB ＝∠CND4．如图，在▱ABCD 中，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件∠A ＝90°，使平行四边形ABCD 是矩形．5．如图，已知MN∥PQ，EF 与MN ，PQ 分别交于A ，C 两点，过A ，C 两点作两组内错角的平分线，交于点B，D，则四边形ABCD是矩形．6．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，有下列四个条件：①AB＝BE；②DE⊥DC；③∠ADB＝90°；④CE⊥DE.如果添加其中一个条件就能使四边形DBCE成为矩形，那么正确的条件是①③④(填序号)．7．如图，在△ABC中，D是AB边的中点，E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF.当△ABC满足AC＝BC(答案不唯一)时(请添加一条件)，四边形BDCF 为矩形．8．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝10，对角线AC⊥AB，点E，F分别是边BC，AD上的点，且BE＝DF.当BE的长度为3.6时，四边形AECF是矩形．9．在坐标平面内，A，B两点的坐标分别是(1，5)，(4，1)，点C在y轴上，点D在坐标平面内，以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，则点D的坐标为(5，3)或(－3，2)或(3，1)．410．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD，△ABE，△BCF，∠BAC≠60°，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB＝AC时，四边形AEFD是菱形；④当∠BAC＝90°时，四边形AEFD是矩形．其中正确的结论是①②③．(填序号)11．已知：如图，▱ABCD 的两条对角线相交于点O ，BE ⊥AC ，CF ⊥BD ，垂足分别为E ，F ，且BE ＝CF.求证：▱ABCD 是矩形．证明：∵BE⊥AC，CF ⊥BD ， ∴∠OEB ＝∠OFC＝90°. 在△BEO 和△CFO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠OEB＝∠OFC，∠BOE ＝∠COF，BE ＝CF ，∴△BEO ≌△CFO(AAS)． ∴OB ＝OC.∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB ＝12BD ，OC ＝12AC.∴BD ＝AC. ∴▱ABCD 是矩形．12．如图，已知AB∥DE，AB ＝DE ，AC ＝FD ，∠CEF ＝90°.求证： (1)△ABF≌△DEC； (2)四边形BCEF 是矩形．证明：(1)∵AB∥DE， ∴∠A ＝∠D. ∵AC ＝FD ， ∴AC －CF ＝DF －CF ，即AF ＝CD.在△ABF 和△DEC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝DC ，∠A ＝∠D，AB ＝DE ，∴△ABF ≌△DEC(SAS)． (2)∵△ABF≌△DEC， ∴EC ＝BF ，∠ECD ＝∠BFA. ∴∠ECF ＝∠BFC.∴EC∥BF. ∴四边形BCEF 是平行四边形． ∵∠CEF ＝90°， ∴四边形BCEF 是矩形．13．如图，在等边△ABC 中，点D 是AC 的中点，F 是BC 的中点，以BD 为边作等边△BDE.求证：AB ＝EF ，且四边形AEBF 是矩形．证明：∵在等边△ABC 中，点D 是AC 的中点，F 是BC 的中点，∴∠AFB ＝90°，AF ＝BD ，∠CBD ＝30°. ∵△BDE 是等边三角形， ∴BE ＝BD ，∠DBE ＝60°.∴AF ＝BD ＝BE ，∠EBF ＝∠AFB＝90°. ∴AF ∥BE. 又∵AF＝BE ，∴四边形AEBF 是平行四边形．在△ABF 和△EFB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝EB ，∠AFB ＝∠EBF，BF ＝FB ，∴△ABF ≌△EFB(SAS)． ∴AB ＝EF.∴四边形AEBF 是矩形．14．如图，在▱ABCD 中，BC ＝12 cm ，∠ABC ＝60°，AC ⊥AB ，O 是AC ，BD 的交点，点E ，F 分别从点O 同时出发，沿射线OA 和OC 方向移动，速度都是1 cm/s.(1)求证：在整个运动过程中，四边形BEDF 始终是平行四边形；(2)设点E 和点F 同时运动的时间为t s ，当t 为何值时，四边形BEDF 是矩形？解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB ＝OD.由题意，得OE ＝OF ，∴四边形BEDF 始终是平行四边形．(2)在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝90°，∠ABC ＝60°，BC ＝12， ∴∠ACB ＝30°，AB ＝12BC ＝6，AC ＝3AB ＝6 3.∴OA ＝OC ＝3 3.∴BO ＝AB 2＋AO 2＝62＋（33）2＝37. ∵当EF ＝BD 时，四边形BEDF 是矩形， ∴OE ＝OB ，即t ＝37.∴当t ＝37时，四边形BEDF 是矩形．第3课时矩形的性质与判定的运用1．下列关于矩形的说法，正确的是(C) A ．对角线相等的四边形是矩形 B ．对角线互相平分的四边形是矩形 C ．矩形的对角线相等且互相平分 D ．矩形的对角线互相垂直且平分2．如图，已知在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AD ＝BC ，连接AC ，BD 交于点O.若AO ＝BO ，AD ＝3，AB ＝2，则四边形ABCD 的面积为(C)A ．4B ．5C ．6D ．73．如图，在矩形COED 中，点D 的坐标是(1，3)，则CE4．如图，在四边形ABCD中，已知对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为12．5．如图，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O，AC＝6，BD＝8.若DE∥AC，CE∥BD，则OE 的长为5．6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，M为BC上的一动点，ME⊥AB于点E，MF⊥AC于点F，点N为EF的中点，则MN的最小值为2.4．7．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在A′处．若A′恰好在矩形的对称轴上，则AE的长为1或38．如图，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，AD＝12 cm，点P从点A出发，向点D以每秒1 cm 的速度运动，Q从点C出发，以每秒4 cm的速度在B，C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D为止(同时点Q也停止)，这段时间内，当运动时间为2.4_s或4_s或7.2_s 时，P，Q，C，D四点组成矩形．9．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，AC＝10.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)求BD的长．解：(1)证明：∵AB＝6，BC＝8，AC＝10，∴AB2＋BC2＝AC2.∴∠ABC＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．(2)∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝10.10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于点E，CF ∥AE交AD延长线于点F.(1)求证：四边形AECF是矩形；(2)连接OE，若AE＝4，AD＝5，求OE的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，AD∥BC.∵CF∥AE，∴四边形AECF 是平行四边形． ∵AE ⊥BC ，∴四边形AECF 是矩形． (2)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ＝AB ＝BC ＝CD ＝5. ∵AE ＝4，∠AEB ＝90°， ∴EB ＝AB 2－AE 2＝3. ∴EC ＝EB ＋BC ＝8. ∴AC ＝AE 2＋EC 2＝4 5. ∵在Rt △AEC 中，AO ＝CO ， ∴OE ＝12AC ＝2 5.11．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD ，∠A ＝∠ADC ，E ，F 分别为AD ，CD 的中点，连接BE ，BF ，延长BE 交CD 的延长线于点M.(1)求证：四边形ABCD 为矩形；(2)若MD ＝6，BC ＝12，求BF 的长度．(结果可保留根号)解：(1)证明：∵在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形． ∴∠A ＋∠ADC＝180°. ∵∠A ＝∠ADC，∴∠A ＝90°. ∴四边形ABCD 是矩形． (2)∵AB∥CD，∴∠ABE ＝∠M. ∵E 为AD 的中点，∴AE ＝DE.在△ABE 和△DME 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB＝∠DEM ，∠ABE ＝∠M，AE ＝DE ，∴△ABE ≌△DME(AAS)． ∴AB ＝DM ＝CD ＝6. ∵F 为CD 的中点， ∴CF ＝12CD ＝3.∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠C ＝90°.在Rt △BCF 中，BF ＝BC 2＋CF 2＝122＋32＝317.12．如图，在▱ABCD 中，E 是AD 上一点，连接BE ，F 为BE 的中点，且AF ＝BF. (1)求证：四边形ABCD 为矩形；(2)过点F 作FG⊥BE，交BC 于点G.若BE ＝BC ，S △BFG ＝5，CD ＝4，求CG 的长度．解：(1)证明：∵F 为BE 的中点，AF ＝BF ，∴AF ＝BF ＝EF. ∴∠BAF ＝∠ABF，∠FAE ＝∠AEF.在△ABE 中，∠BAF ＋∠ABF＋∠FAE＋∠AEF＝180°， ∴∠BAF ＋∠FAE＝90°，即∠BAE ＝90°. 又∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴四边形ABCD 为矩形．(2)连接EG ，过点E 作EH⊥BC，垂足为H ，∵F 为BE 的中点，FG ⊥BE ，∴BG ＝GE. ∵S △BFG ＝5，CD ＝EH ＝4， ∴S △BGE ＝12BG·EH＝10.∴BG ＝GE ＝5.在Rt △EGH 中，GH ＝GE 2－EH 2＝3. ∴BH ＝5＋3＝8.在Rt △BEH 中，BE ＝BH 2＋EH 2＝4 5. ∴CG ＝BC －BG ＝BE －BG ＝45－5.13．已知：如图，在▱ABCD 中，AB ＞AD ，∠ADC 的平分线交AB 于点E ，作AF⊥BC 于点F ，交DE 于点G ，延长BC 至H 使CH ＝BF ，连接DH.(1)补全图形，并证明四边形AFHD 是矩形；(2)当AE ＝AF 时，猜想线段AB ，AG ，BF 之间的数量关系，并证明．解：(1)补全图形如图所示．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC.∵CH ＝BF ，∴FH ＝BC.∴AD＝FH. ∴四边形AFHD 是平行四边形． ∵AF ⊥BC ，∴四边形AFHD 是矩形． (2)猜想：AB ＝BF ＋AG.证明：延长FH 至M ，使HM ＝AG ，连接DM.∵AB∥CD，∴∠AED＝∠EDC.∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠EDC.∴∠AED＝∠ADE.∴AE＝AD.∵AE＝AF，∴AF＝AD.∵AF＝DH，∴AD＝DH.又∵∠GAD＝∠DHM＝90°，∴△DAG≌△DHM(SAS)．∴∠ADE＝∠HDM，∠AGD＝∠M.∴∠EDC＝∠HDM.∴∠GDH＝∠CDM.∵AF∥DH，∴∠AGD＝∠GDH.∴∠CDM＝∠M.∴CD＝CM＝CH＋HM. ∵AB＝CD，CH＝BF，HM＝AG，∴AB＝BF＋AG.。

矩形的性质与判定练习题

矩形的性质与判定练习题矩形是几何学中常见的形状之一，具有许多独特的性质和特点。

在本文中，我们将通过一些练习题来探讨和判定矩形的性质。

请阅读以下练习题并回答。

练习题一：判断矩形1. 给定四个点A(1, 1), B(5, 1), C(5, 4), D(1, 4)，请判断这四个点能否构成一个矩形。

练习题二：矩形的性质1. 一条直线分割一个矩形，使其成为两个等面积的小矩形。

证明这条直线必定是通过矩形的中心点。

2. 如果一条直线沿着矩形的一条边切割，那么它将会切成两个全等的小矩形。

3. 证明：一个矩形的对角线相等。

练习题三：矩形的判定1. 给定四个点A(1, 1), B(5, 1), C(5, 4), D(1, 4)，请判断这四个点能否构成一个正方形。

2. 如果一条矩形的两条对边相等且平行，则它必定是一个正方形。

练习题四：矩形的角度1. 一个矩形的四个内角的和是多少度？2. 证明：一个矩形的内角都是直角（90度）。

练习题五：矩形的边长关系1. 一个矩形的两条对边的长度分别是a和b，它的对角线的长度是多少？2. 如果一个矩形的一边的长度是a，另一条边的长度是b，那么它的面积是多少？练习题六：矩形的面积1. 已知一个矩形的长为5cm，宽为3cm，求它的面积。

2. 如果一个矩形的面积是24平方单位，且长比宽多2个单位，求矩形的长和宽。

根据上述练习题，我们可以通过判断和计算来了解矩形的性质和特点。

矩形具有对角线相等、相对边平行、内角为直角等特点，这些性质可以帮助我们对矩形进行判定和计算。

答案：练习题一：可以构成一个矩形；练习题二：1. 通过矩形的对角线可以证明；2. 正确；3. 通过矩形的对角线可以证明；练习题三：1. 不能构成一个正方形；2. 正确；练习题四：1. 360度；2. 通过矩形的对角线可以证明；练习题五：1. 对角线的长度可以通过勾股定理计算：√(a^2 + b^2)；2. 面积可以通过长乘宽计算：a * b；练习题六：1. 面积等于长乘宽：5cm * 3cm = 15平方厘米；2. 设矩形的宽为x，则长为x+2，根据面积的计算公式得到：(x+2) * x = 24，解得x=4，所以矩形的长为6，宽为4。

《矩形的性质和判定》同步练习及答案

北师大版九年级数学上册《1.2 矩形的性质与判定》同步练习题-附答案

北师大版九年级数学上册《1.2 矩形的性质与判定》同步练习题-附答案一、选择题1．如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，若OB=5．则AC=（）A．10 B．8 C．5√3D．52．如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE＝1，BE的垂直平分线MN恰好过点C.则AB的长度为（）A．1 B．√2C．√3D．23．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠EAC 的度数是（）A．18°B．36°C．45°D．72°4．如图，在矩形ABCD中E，F分别是AD，CD的中点，连接BE，BF，且G，H分别是BE，BF的中点，已知BD=20，则GH的长为( )A．4B．5C．8D．105．如图∠BAC=90°，AB=6，AC=8，P为边BC上一动点（点P不与点B，C重合），PE⊥AB于点E，PF⊥AC 于点F，则EF的最小值为（）A．4 B．4.8C．5.2D．66．如图，在矩形纸片ABCD中AB=10，AD=6点E为AD边上一点，将△ABE沿BE翻折，点A恰好落在CD边上点F处，则AE长为（）A．83B．72C．103D．1347．如右图，A，B为5×5的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，则在此图中以A，B为顶点的格点矩形共可以画出（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点M是AB边的中点，点N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N旋转到点N'，则△MBN'周长的最小值为（）A．15 B．5+5√5C．10+5√2D．18二、填空题9．在矩形ABCD中AB=2，对角线AC与BD相交于点 O，若∠BAO=60°，则边BC的长为．10．如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠AOD=120°若AB=3cm，则AC=cm．11．如图所示的长方形纸条ABCD，将纸片沿MN折叠，MB与DN交于点K，若∠1=70°，则∠KNC=°12．如图，在矩形ABCD中AB=2AD=6，点P为AB边上一点，且AP≤3，连接DP，将ΔADP沿DP折叠，点A落在点M处，连接CM,BM，当ΔBCM为等腰三角形时，BP的长为．13．如图，在矩形ABCD中AB=8，BC=12，E为BC上一点，CE=4，M为BC的中点．动点P，Q从E出发，分别向点B，C运动，且PE=2QE．若PD和AQ交于点F，连接MF，则MF的最小值为．三、解答题14．如图，折叠长方形纸片ABCD的一边，使点D落在BC边的D′处AB=6cm，BC=10cm求CE的长．15．如图，在矩形ABCD中，点E在BC边上，点F在CD边上，且AB=4，BE=3，EF=6，AF=√61求三角形AEF的面积．16．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，且AE=CG,BF=DH，连接EG、FH．（1）求证：△AEH≌△CGF；（2）若EG=FH,∠AHE=35°，求∠DHG的度数．17．如图，四边形ABCD中∠DAB=45°，AB=8，AD=3√2，E为AB中点，且CD⊥DE，连接CE．（1）求DE的长度；（2）若∠BEC=∠ADE，求BC的长度．18．已知：如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点。

人教版八年级数学下册第02课矩形的性质与判定同步练习题

初中数学试卷第02课矩形的性质与判定同步练习题【例1】如图,在矩形ABCD中,点E是BC上一点,AE＝AD,DF⊥AE,垂足为F.求证：DF＝DC.【例2】如图,在矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M,与BC相交于点N,连接BM,DN．（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若AB=4,AD=8,求MD的长．【例3】如图,已知在△ABC中,AC＝3,BC＝4,AB＝5,点P在AB上(不与A、B重合)，过P作PE⊥AC,PF⊥BC,垂足分别是E、F,连接EF,M为EF的中点．(1)请判断四边形PECF的形状，并说明理由；(2)随着P点在边AB上位置的改变，CM的长度是否也会改变？若不变，请你求CM的长度；若有变化，请你求CM的变化范围．【例4】如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E，F分别在边AD,BC上,且DE＝CF,连接OE,OF.求证:OE＝OF.【例5】如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB 的外角平分线于点F.(1)求证:OE＝OF；(2)若CE＝12,CF＝5,求OC的长；(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形？并说明理由．课堂同步练习一、选择题：1、如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E，使DE＝AD,连接EB,EC,DB,添加一个条件,不能使四边形DBCE 成为矩形的是( )A.AB＝BEB.DE⊥DCC.∠ADB＝90°D.CE⊥DE第1题图第2题图第4题图2、如图是一张矩形纸片ABCD,AD=10cm,若将纸片沿DE折叠,使DC落在DA上,点C的对应点为点F,若BE=6cm,则DC的长是（）A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm3、若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得到的四边形是矩形，则该四边形ABCD一定是（）A.菱形B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形4、如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置,若∠EFB=65°,则∠AED′等于（）A.50°B.55°C.60°D.65°5、如图.矩形ABCD中.E在AD上.且EF⊥EC.EF=EC.DE=2.矩形的周长为16.则AE的长是（）A.3B.4C.5D.7第5题图第6题图第7题图6、如图,E是矩形ABCD中BC边的中点,将△ABE沿AE折叠到△AFE,F在矩形ABCD内部,延长AF交DC于G 点,若∠AEB＝55°,则∠DAF＝( )A.40°B.35°C.20°D.15°7、如图,将矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点B与CD的中点重合,若AB=2,BC=3,则△FCB′与△B′DG的面积之比为( )A.9：4B.3：2C.4：3D.16：98、如图,矩形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在C′处,BC′交AD于E,AD=8,AB=4,则DE长为( )A.3B.4C.5D.6第8题图第9题图9、如图,在矩形ABCD中,AB＝2,BC＝4,对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O,连接CE，则CE的长为( )A.3B.3.5C.2.5D.2.810、如图,矩形ABCD中,AE平分∠BAD交BC于E,∠CAE=15°，则下列结论：△ODC是等边三角形;②BC=2AB;③∠AOE=135°;④S△AOE=S△COE.其中正确的结论的个数有( )A.1B.2C.3D.4第10题图第11题图第12题图11、在矩形ABCD中,点A关于∠B的角平分线的对称点为E,点E关于∠C的角平分线的对称点为F,若AD=,AB=3,则S △ADF=（）A.2B.3C.3D.12、如图,在矩形ABCD中,O为AC中点,EF过O点,且EF⊥AC分别交DC于F,交AB于E,点G是AE中点,且∠AOG＝30°.①DC＝3OG；②OG＝BC；③△OGE是等边三角形；④S△AOE＝S矩形ABCD.则结论正确的个数为( )A.1B.2C.3D.4二、填空题:13、若矩形的一个角的平分线分一边为4cm和3cm的两部分，则矩形的周长为cm．14、如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4 cm，则四边形CODE的周长为。

矩形的性质和判定同步练习及答案

矩形的性质和判定一．填空题1．如图，矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD边于点E，点F是CD的中点，连接EF．若AB=8，且EF平分∠BED，则AD的长为．题1 题3 题42．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是．3．如图，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是．4．如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为．5．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE．若BC=7，AE=4，则CE= ．题5 题6 题76．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF= cm．7．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加条件，才能保证四边形EFGH是矩形．8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO，要使四边形ABCD 为矩形，则需添加的条件为（填一个即可）．题8 题11 题129．已知四边形ABCD为平行四边形，要使得四边形ABCD为矩形，则可以添加一个条件为．10．木匠做一个矩形木框，长为80cm，宽为60cm，对角线的长为100cm，则这个木框（填“合格”或“不合格”）11．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件，使四边形ABCD成为矩形，这个条件是．12．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件，使四边形DBCE是矩形．二．解答题13．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB=14，DE=8，求sin∠AEB的值．14．如图，AD是等腰△ABC底边BC上的高．点O是AC中点，延长DO到E，使OE=OD，连接AE，CE．（1）求证：四边形ADCE的是矩形；（2）若AB=17，BC=16，求四边形ADCE的面积．15．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，F为DC上一点，且FC=AB，E为AD上一点，EC交AF于点G．（1）求证：四边形ABCF是矩形；（2）若EA=EG，求证：ED=EC．16．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E点，延长BC至F点使CF=BE，连接AF，DE，DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AB=6，DE=8，BF=10，求AE的长．17．平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE的面积．矩形的性质和判定解析一．填空题（共12小题）1．如图，矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD边于点E，点F是CD的中点，连接EF．若AB=8，且EF平分∠BED，则AD的长为12 ．【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠AEB=∠EBC，再求出∠ABE=∠EBC，根据等角对等边可得AE=AB，然后根据AD=AE+ED代入数据计算即可得解．【解答】解：∵矩形ABCD中，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∵∠ABC的平分线交AD边于点E，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE=8，同理得出ED=DF=DC=4，∴AD=AE+ED=8+4=12，故答案为：12．2．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是80°．【分析】因为两条对角线相交所成的锐角只有一个，直接应用三角形的内角和定理求解即可．【解答】解：由矩形的对角线相等且互相平分，所构成的三角形为等腰三角形，利用等边对等角，所以另一底角为40°，两条对角线相交所成的钝角为：180°﹣40°×2=100°故它们所成锐角为：180°﹣100°=80°．故答案为80．3．如图，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是．【分析】根据四边形ABCD是矩形，得到∠ABE=∠BAD=90°，根据余角的性质得到∠BAE=∠ADB，根据相似三角形的性质得到BE=1，求得BC=2，根据勾股定理得到AE==，BD==，根据三角形的面积公式得到BF==，过F作FG⊥BC于G，根据相似三角形的性质得到CG=，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE=∠BAD=90°，∵AE⊥BD，∴∠AFB=90°，∴∠BAF+∠ABD=∠ABD+∠ADB=90°，∴∠BAE=∠ADB，∴△ABE∽△ADB，∴，∵E是BC的中点，∴AD=2BE，∴2BE2=AB2=2，∴BE=1，∴BC=2，∴AE==，BD==，∴BF==，过F作FG⊥BC于G，∴FG∥CD，∴△BFG∽△BDC，∴==，∴FG=，BG=，∴CG=，∴CF==．故答案为：．4．如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为．【分析】由AAS证明△ABM≌△DEA，得出AM=AD，证出BC=AD=3EM，连接DM，由HL证明Rt △DEM≌Rt△DCM，得出EM=CM，因此BC=3CM，设EM=CM=x，则BM=2x，AM=BC=3x，在Rt△ABM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC=1，∠B=∠C=90°，AD∥BC，AD=BC，∴∠AMB=∠DAE，∵DE=DC，∴AB=DE，∵DE⊥AM，∴∠DEA=∠DEM=90°，在△ABM和△DEA中，，∴△ABM≌△DEA（AAS），∴AM=AD，∵AE=2EM，∴BC=AD=3EM，连接DM，如图所示：在Rt△DEM和Rt△DCM中，，∴Rt△DEM≌Rt△DCM（HL），∴EM=CM，∴BC=3CM，设EM=CM=x，则BM=2x，AM=BC=3x，在Rt△ABM中，由勾股定理得：12+（2x）2=（3x）2，解得：x=，∴BM=；故答案为：．5．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE．若BC=7，AE=4，则CE= 5 ．【分析】首先证明AB=AE=CD=4，在Rt△CED中，根据CE=计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB=CD，BC=AD=7，∠D=90°，∴∠AEB=∠EBC，∵∠ABE=∠EBC，∴AB=AE=CD=4，在Rt△EDC中，CE===5．故答案为56．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF= cm．【分析】根据勾股定理求出AC，根据矩形性质得出∠ABC=90°，BD=AC，BO=OD，求出BD、OD，根据三角形中位线求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，BD=AC，BO=OD，∵AB=6cm，BC=8cm，∴由勾股定理得：BD=AC==10（cm），∴DO=5cm，∵点E、F分别是AO、AD的中点，∴EF=OD=，故答案为：．7．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加AC⊥BD 条件，才能保证四边形EFGH是矩形．【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，HG∥BD，EH∥AC，根据平行线的性质∠EHG=∠1，∠1=∠2，根据矩形的四个角都是直角，∠EFG=90°，所以∠2=90°，因此AC⊥BD．【解答】解：∵G、H、E分别是BC、CD、AD的中点，∴HG∥BD，EH∥AC，∴∠EHG=∠1，∠1=∠2，∴∠2=∠EHG，∵四边形EFGH是矩形，∴∠EHG=90°，∴∠2=90°，∴AC⊥BD．故还要添加AC⊥BD，才能保证四边形EFGH是矩形．8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO，要使四边形ABCD 为矩形，则需添加的条件为∠DAB=90°（填一个即可）．【分析】根据对角线互相平分线的四边形为平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，添加条件∠DAB=90°可根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定．【解答】解：可以添加条件∠DAB=90°，∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠DAB=90°，∴四边形ABCD是矩形，故答案为：∠DAB=90°．9．已知四边形ABCD为平行四边形，要使得四边形ABCD为矩形，则可以添加一个条件为∠BAD=90°．【分析】根据矩形的判定方法：已知平行四边形，再加一个角是直角填空即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD=90°，∴四边形ABCD是矩形，故答案为：∠BAD=90°（答案不唯一）．10．木匠做一个矩形木框，长为80cm，宽为60cm，对角线的长为100cm，则这个木框合格（填“合格”或“不合格”）【分析】只要算出桌面的长与宽的平方和是否等于对角线的平方，如果相等可得长、宽、对角线构成的是直角三角形，由此可得到每个角都是直角，根据矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形，可得此桌面合格．【解答】解：解：∵802+602=10000=1002，即：AD2+DC2=AC2，∴∠D=90°，同理：∠B=∠BCD=90°，∴四边形ABCD是矩形，故答案为合格．11．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件，使四边形ABCD成为矩形，这个条件是∠A=90°．【分析】根据有一个角是90°的平行四边形是矩形，即可解决问题．【解答】解：∵AB∥DC，AB=DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴当∠A=90°时，四边形ABCD是平行四边形．故答案为∠A=90°．（填∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°也可以）12．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件EB=DC ，使四边形DBCE是矩形．【解答】解：添加EB=DC．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴DE∥BC，又∵DE=AD，∴DE=BC，∴四边形DBCE为平行四边形．又∵EB=DC，∴四边形DBCE是矩形．故答案是：EB=DC．二．解答题（共6小题）13．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB=14，DE=8，求sin∠AEB的值．【分析】（1）欲证明四边形ABCD是矩形，只需推知∠DAB是直角；（2）如图，过点B作BH⊥AE于点H．构建直角△BEH．通过解该直角三角形可以求得sin ∠AEB的值．在Rt△BCE中，由勾股定理得．在Rt△AHB中，BH=AB•sin45°=7．所以通过解Rt△BHE得到：sin∠AEB=．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠DAF=∠F．∵∠F=45°，∴∠DAE=45°．∵AF是∠BAD的平分线，∴∠EAB=∠DAE=45°．∴∠DAB=90°．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．（2）解：如图，过点B作BH⊥AE于点H．∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠DCB=∠D=90°．∵AB=14，DE=8，∴CE=6．在Rt△ADE中，∠DAE=45°，∴∠DEA=∠DAE=45°．∴AD=DE=8．∴BC=8．在Rt△BCE中，由勾股定理得．在Rt△AHB中，∠HAB=45°，∴BH=AB•sin45°=7．∵在Rt△BHE中，∠BHE=90°，∴sin∠AEB=．14．如图，AD是等腰△ABC底边BC上的高．点O是AC中点，延长DO到E，使OE=OD，连接AE，CE．（1）求证：四边形ADCE的是矩形；（2）若AB=17，BC=16，求四边形ADCE的面积．【分析】（1）根据平行四边形的性质得出四边形ADCE是平行四边形，根据垂直推出∠ADC=90°，根据矩形的判定得出即可；（2）求出DC，根据勾股定理求出AD，根据矩形的面积公式求出即可．【解答】（1）证明：∵点O是AC中点，∴AO=OC，∵OE=OD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，∴∠ADC=90°，∴四边形ADCE是矩形；（2）解：∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，BC=16，AB=17，∴BD=CD=8，AB=AC=17，∠ADC=90°，由勾股定理得：AD===15，∴四边形ADCE的面积是AD×DC=15×8=120．15．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，F为DC上一点，且FC=AB，E为AD上一点，EC交AF于点G．（1）求证：四边形ABCF是矩形；（2）若EA=EG，求证：ED=EC．【分析】（1）由条件可先证得四边形ABCF为平行四边形，再由∠B=90°可证得结论；（2）利用等腰三角形的性质可求得∠EAG=∠EGA=∠FGC，再利用直角三角形的性质可求得∠D=∠ECD，可证得ED=EC．【解答】证明：（1）∵AB∥CD，且FC=AB，∴四边形ABCF为平行四边形，∵∠B=90°，∴四边形ABCF是矩形；（2）∵EA=EG，∴∠EAG=∠EGA=∠FGC，∵四边形ABCF为矩形，∴∠AFC=∠AFD=90°，∴∠D+∠DAF=∠FGC+∠ECD=90°，∴∠D=∠ECD，∴ED=EC．16．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E点，延长BC至F点使CF=BE，连接AF，DE，DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AB=6，DE=8，BF=10，求AE的长．【分析】（1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF=90°即可．（2）证明△ABF是直角三角形，由三角形的面积即可得出AE的长．【解答】（1）证明：∵CF=BE，∴CF+EC=BE+EC．即 EF=BC．∵在▱ABCD中，AD∥BC且AD=BC，∴AD∥EF且AD=EF．∴四边形AEFD是平行四边形．∵AE⊥BC，∴∠AEF=90°．∴四边形AEFD是矩形；（2）解：∵四边形AEFD是矩形，DE=8，∴AF=DE=8．∵AB=6，BF=10，∴AB2+AF2=62+82=100=BF2．∴∠BAF=90°．∵AE⊥BF，∴△ABF的面积=AB•AF=BF•AE．∴AE===．17．平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE的面积．【分析】（1）根据有一个角是90度的平行四边形是矩形即可判定．（2）首先证明AD=DF，求出AD即可解决问题．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴DF∥BE，∵CF=AE，∴DF=BE，∴四边形BFDE是平行四边形，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形．（2）∵AB∥CD，∴∠BAF=∠AFD，∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠AFD，∴AD=DF，在Rt△ADE中，∵AE=3，DE=4，∴AD==5，∴矩形的面积为20．18．在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AD=DF，求证：AF平分∠BAD．【分析】（1）先证明四边形BFDE是平行四边形，再证明∠DEB=90°即可．（2）欲证明AF平分∠BAD，只要证明∠DAF=∠BAF即可．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，即BE∥DF，∵CF=AE，∴DF=BE，∴四边形BFDE是平行四边形，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形．（2）由（1）可知AB∥CD，∴∠BAF=∠AFD，∵AD=DF，∴∠DAF=∠AFD，∴∠BAF=∠DAF，即AF平分∠BAD．。

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矩形的性质和判定同步练习
1．矩形的对边，对角线且，四个角都是，即是图形又是图形。

2．矩形的面积是60，一边长为5，则它的一条对角线长等于。

3．如果矩形的一边长为8，一条对角线长为10，那么这个矩形面积是__________。

4. 矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是___________.
5. 矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为_______，短边长为_______.
6．已知，如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为。

7．若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边上的中线等于 .
8．平行四边形没有而矩形具有的性质是（）
A、对角线相等
B、对角线互相垂直
C、对角线互相平分
D、对角相等
9.下列叙述错误的是（）
A.平行四边形的对角线互相平分
B.平行四边形的四个内角相等。

C.矩形的对角线相等。

D.有一个角时90º的平行四边形是矩形
10.下列检查一个门框是否为矩形的方法中准确的是（）
A．测量两条对角线是否相等B．用曲尺测量对角线是否互相垂直
C．用曲尺测量门框的三个角是否都是直角D.测量两条对角线是否互相平分
11．矩形ABCD的对角线相交于点O，如果ABC
∆的周长大10cm，则AD的长是
∆的周长比AOB
（）
A、5cm
B、7.5cm
C、10cm
D、12.5cm
12.下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A、平行四边形
B、等边三角形
C、矩形
D、直角三角形
二、解答题
1．如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，︒
AOD，AB=4cm，求此矩形的面积。

∠120
=
B C
2.平行四边形ABCD ，E 是CD 的中点，△ABE 是等边三角形，求证：四边形ABCD 是矩形
4．如图，矩形ABCD 中，ABCD EB EF EB EF ,,=⊥周长为22cm ，CE=3cm ，求：DE 的长。

5．如图，矩形ABCD 中，DE=AB ，DE CF ⊥，求证：EF=EB 。

6．如图，矩形ABCD 中，点E 、F 分别在AB 、CD 上，BF//DE ，若AD=12cm ，AB=7cm ，且AE ：EB=5：2，求阴影部分。

7．如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，BD AE ⊥，垂足为E ，已知AB=3，AD=4，求AEO ∆的面积。

8．矩形ABCD 中，E 是CD 上一点，且AE=CE ，F 是AC 上一点AE FH ⊥于H ，CD FG ⊥于G ，求证：AD FG FH =+
A
E
D
A B C D F C E D F A
B D
E O D A E G C
F H
9.在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，EF过点O，且AF⊥BC，求证：四边形AFCE是矩形
10.平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点Ｏ，点Ｐ是四边形外一点，且PA⊥PC，PB⊥PD，垂足为Ｐ。

求证：四边形ABCD为矩形。