制作人程素君 第五章 角动量 关于对称性

三、质点对参考点的角动量定理和守恒定律
● 质点的角动量定理 dL d dr d (mv ) = (r × mv ) = × mv + r × dt dt dt dt d (mv ) = r× (为什么 ?) dt
于是
dL dL = r×F ⇒ τ = dt dt
上式表明，在惯性系中，作用在质点上的合力对某参考点的力 在惯性系中，
都不守恒，却遵从角动量守恒定律，这就为求解这类运动问题 都不守恒，却遵从角动量守恒定律， 开辟了新途径。 开辟了新途径。
角动量不但能描述经典力学中的运动状态，在近代物理理 论中仍然是表征微观运动状态的重要物理量，例如原子核的角 动量，通常称为原子核的自旋，就是描写原子核特性的。 角动量守恒定律和动量守恒定律一样，是自然界最基本最
二、力对一参考点的力矩
动量定理说明，引起动量改变的原因是力；下面将看到， 引起角动量改变的原因是力矩。 对于力矩的概念，虽然在中学物理课中已作过初步介绍，
Hale Waihona Puke 例如，推门时作用力对门轴有力矩，用扳手拧螺帽时作用力对 螺杆的轴有力矩等，但那里讨论的只是物体绕一定轴线转动， 所遇到的力矩总是对轴的力矩，是力矩的一种特殊形式，力矩 的普遍定义是对一定参考点的，对轴的力矩只是对点的力矩沿 轴线的一个分量，下面将给出力矩的一般定义。 z F 如右图所示，O 是空间一点，F 是作 用力，A 表示受力点，受力点相对于 τ 受力点相对于 φ 参考点O 参考点 的位置矢量 r 与力 F 矢量的 矢量积τ 对参考点O的力矩 的力矩， 矢量积 叫做力 F 对参考点 的力矩， r A y x 其数学表达式为τ= × 其数学表达式为 r× F O 由定义可知，同一个力对于不同的参考点有不同的力矩， 因此讲到力矩时必须指明是相对哪一点而言的。当力 F不为零 时，力矩τ仍可能为零，这有两种情况：一是力的作用点就在参 考点 O ，此时位置矢量 r =0；另一种是沿力的方向的延长线通 过参考点 O ，此时sinφ=0 。如果质点在运动中受到的力始终 指向某个固定的中心，这种力叫做有心力，该固定点称为力 指向某个固定的中心，
m1 ac
x′
x O (a)
z′
m1
y′
y
z′
− m1ac
C
mn
mi
x′
C
mi − mn ac
(b)
y′
ma
− mi ac
图（b）即表示质心参考系中的情况，诸质点相对 C 系的 角动量用 L′ 表示，又用 ∑ τ i′外 表示作用于各质点诸力对 C 点 外力矩的矢量和。此外，所有质点各受惯性力 − mi ac ，根据
z L r O x （a） y mv φ
z
L′ α ′L′ z
o′
Lα
r′
Lz
mv ϕ
s
r
o （b）
应当指出的是，虽然质点相 对于任一直线（例如 z 轴） 上的不同参考点的角动量是 不相等的，但是这些角动量 在该直线上的投影却是相等 的。如图（b）所示，取 S 平 面与 z 轴垂直，则质点对于o 点及 o′点的角动量分别为 L
§5 对称性 • 对称性与守恒律
一、关于对称性
在远古不同的文化里都有对称的观念，以后又渗透到各种不 同的人类活动之中，包括绘画、雕塑、音乐、文学、建筑等等。
dLi dL ⇒ ∑ τ i内 + ∑ τ i外 = ∑ i dt dt
L 表示质点系内各质点对于参考点 O 的角动量的矢量和，叫 的角动量的矢量和， 做质点系对 O 点的角动量，根据牛顿第三定律，质点系的内 力总是成对出现，每一对内力的大小相等，方向相反，作用在 同一直线上，因此它们对同一参考点的力矩的矢量和为零，只 有外力矩有贡献。这样，求和方程变为
上述三个典型例子意味着对选定的参考点的角动量守恒。 我们把质点对 z 轴上任一点的角动量 L 在 z 轴上的投影，叫 质点对 轴上的投影， 轴的角动量， 表示，上面已证明， Lz的数值是 做质点对于 z 轴的角动量，用 Lz 表示 与参考点无关的。
y
[例题] 质量为 m 的质点在 xy 例题]
平面内以速度 v 作匀速直线运动， 如图所示，求此质点相对于原点 O 的角动量。 [解] 根据角动量的定义式 L = r × mv ,
● 质点角动量守恒定律
dL 根据质点角动量定理 τ = ，如果 τ = 0，则 L = 常量 dt 即作用于质点的合力对参考点O的力矩始终为零，则质点 的力矩始终为零， 对该点的角动量保持不变，称为质点对参考点 O 的角动量守恒 对该点的角动量保持不变， 定律。
角动量守恒定律是物理学中最基本的定律之一，和动量守恒定 律一样，它不仅适用于宏观物体的运动，而且对于牛顿第二定律不 能适用的微观粒子的运动，它也适用。
质点对轴的角动量定理和守恒定律（自阅） 四、质点对轴的角动量定理和守恒定律（自阅）
§3 质点系的角动量定理及角动量守恒定律
一、质点系角动量定理
设质点系由 N 个质点组成，对选定的某固定参考点，第 i 个 质 点的角动量定理的表达式为
dLi τi = dt
于是
令
τ i内 + τ i外 =
L = ∑ Li
v 因在平面内运动，故 r × = 恒矢量 2
● 橡皮筋实验，掠面速度亦为一恒量 ● 质点匀速直线运动，对线外任一点掠面速度守恒 上述不同的运动有共同特征，即 r × v 2 = 恒矢量 ，（运动 学量），能否对它们提供统一的动力学描述？ 前两种运动的动量、动能均发生变化， 后一种动量、动能 均守恒。因此，动量和动能都不是对上面现象作出统一描述的 物理量。研究上述问题总需要选择参考点，对于一矢量，常可 对于一矢量，
dL τ= ，再考虑诸质点所受惯性力的力矩，即得 dt
dL′ ∑ τ i′外 + ∑ ri′× (−mi ac ) = dt 式中惯性力矩又可写作 ∑ mi ri′) × ma ⇒ ∑ τ ′ = dL′ − (∑ mi ri′) × ac = −( c i外 m dt
此即质点系对质心的角动量定理，与惯性系中角动量定理具有完 全相同的形式。是表明质心系特殊和重要性的又一个例子。
与 L′ ， L 和 L′ 分别等于以 r 及 mv 为邻边及以 r ′ 及mv为邻边的平 行四边形的面积， L 与 L′ 在 z 轴上的投影分别是 Lz = L cos α
′ 和 L z = L ′ cos α ′(α 与 α ′分别是 L 与 L′和 z轴间的夹角 ) ，由图 ′ L （b）可见， z 和 Lz分别是相应的两个平行四边形在 S 面上的投 ′ 影面积，两者是相同的，故 Lz = Lz
普遍的定律之一。由于角动量这个物理量，从概念到数学表达， 都比动量要难理解，我们循序渐进逐步深入地来理解。 本章还要触及对称性的概念，尽管经典力学中的对称性没 有在微观领域中那么重要，但是介绍一下与本课水平相当的对 称性问题是十分有益的。
二、本章的基本要求
1. 理解质点及质点系角动量的物理意义； 2. 掌握质点、质点系的角动量定理； 3. 掌握角动量守恒定律； 4. 理解对称性的概念，了解守恒律与对称性的关系。
dL （1） ∑ τ i外 = dt 即质点系对于参考点O的角动量随时间的变化率等于各质点 所受外力对该点力矩的矢量和，称为质点系对参考点O的角动量 所受外力对该点力矩的矢量和， 定理。
这个定理告诉我们质点系的角动量随时间的变化率只决定
于质点系所受外力矩的矢量和，而与内力矩无关。内力矩只能 使系统内各质点的角动量改变，但不能改变质点系总的角动量。 在直角坐标系中，上式沿三个坐标轴的投影式为
三、本章的思考题及练习题
1.思考题：教材P164-165 2.练习题：5.1.2 5.1.7 5.1.8 5.1.9 5.2.2
§2 质点的角动量
一、质点的角动量
角动量的概念是怎么引出来的？三个重要的例子（教材第 149页） ● 行星绕太阳公转时，掠面速度守恒
1 1 r × dr r × v dt ds 1 2 2 = = = r × v = 常量 dt dt dt 2
§1 前 言
一、本章的基本内容及研究思路
角动量概念的建立和转动有密切联系，在研究物体的运动 时，人们经常可以遇到质点或质点系绕某一确定点或轴线运动 的情况，并且在这类运动中也存在着某些共同的重要规律。例 如，天文观测表明，行星绕日运动遵从开普勒第二定律，在近 日点附近绕行速度较快，远日点速度较慢，这个特点如果用角 动量及其规律很容易说明。特别是在有些过程中动量和机械能
O′ d O
m
φ v
r
x
设 k 为沿 z 轴的单位矢量，则质点的角动量为
L = r × m v = − rmv sin φ k r 即 L 指向 z 轴负方向。由上图可以看出， sin φ 正好等于 O 点
与轨道的垂直距离 d ，因此代入上式得
L = −mvd k
由上例可以看出，并非质点仅在圆周运动时才具有角动量， 质点作直线运动时，对于不在此直线上的参考点也具有角动量。 另外，还可以看出，如果把参考点选在该直线上，则 sin φ = 0， 质点对该点的角动量永远等于零。因此，当谈到角动量时，必 须指明是对哪个参考点而言的，否则没有意义。
当∑τ iz = 0时,
Lz = 常量.
§4 质点系对质心的角动量定理和 守 恒 定 律
前面给出的角动量定理和角动量守恒定律都相对于惯性系 而言，现在研究质心参考系中质点系角动量的变化规律。如图 （a），C − x′y′z′ 即质心参考系。C 为质心， 和 z ′ 坐标轴
与惯性参考系 O − xyz 的 x, y 和 z 轴总保持平行，而质心具有 加速度 ac 。 z
心，上述第二种情况，有心力相对于力心的力矩恒为零。 力对 O 点的力矩τ 在通过 O 点的任一轴线如 z 轴上的分量， 叫做力对轴线 z 的力矩，用 τz 表示，这就是中学物理课中给出 的力矩的定义。正如上面对于角动量的讨论一样，力 F对于轴 线 z 上任一点的力矩τ 在该轴线上的分量的数值 τz 是与所选参 考点无关的。