2016届重庆育才中学高考数学(理)二轮复习学案：基本不等式
2016高考数学(理)二轮复习高效演练 2.1.3不等式、线性规划 含答案
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高效演练1.（考向一)（2015·威海一模)已知a，b∈R，下列四个条件中，使a〉b成立的必要而不充分的条件是（）A。
a〉b—1 B.a>b+1C.｜a｜>｜b｜D。
2a〉2b【解析】选A。
因为a〉b,b>b—1，所以a〉b—1，但当a>b-1时，a〉b未必成立。
2。
(考向二）(2015·德州一模）若直线2ax+by—2=0(a,b∈R）平分圆x2+y2—2x-4y—6=0，则+的最小值是（)A。
1 B.5 C。
4 D.3+2【解析】选D。
直线平分圆,则必过圆心。
圆的标准方程为(x—1）2+（y-2）2=11.所以圆心C（1，2）在直线上⇒2a+2b—2=0⇒a+b=1。
所以+=（a+b)=2+++1=3++≥3+2。
3.(考向一）设f(x）=则不等式f(x）〈2的解集为（)A.(，+∞)B。
（-∞,1）∪［2，）C.（1，2］∪（，+∞）D。
(1，）【解析】选B。
原不等式等价于或即或解得2≤x〈或x<1。
4.（考向三）（2015·北京高考)若x,y满足则z=x+2y的最大值为（）A。
0 B。
1 C。
D.2【解析】选D.作出可行域及l0:x+2y=0如图所示，把（1，0)代入l0,可知l0的右上方为正，所以向上平移l0，过点（0,1)时z=x+2y取最大值2。
5.（考向二）（2015·烟台模拟）设x，y均为正数，且+=1，则xy的最小值为（）A。
4 B。
4 C。
9 D。
16【解析】选D.由+=1得xy=8+x+y，所以xy≥8+2，解得≥4,所以xy≥16,即xy的最小值为16.6。
（考向三）（2015·聊城一模）若不等式组表示的平面区域是一个锐角三角形，则实数k的取值范围是________.【解析】画出表示的平面区域如图,由于直线y=kx+5过点（0，5）,当k=0时,直线y=kx+5与直线x=2垂直,当k=—1时,直线y=kx+5与直线x—y+5=0垂直,要使平面区域为锐角三角形，应有—1<k<0。
【热点重点难点专题透析】(新课标)2016届高考数学二轮复习 细致讲解专题1 不等式、函数与导数课件 理
������-������ ≤ 0,
3.设变量 x、y 满足约束条件 ������ + 3������-4 ≤ 0,则 z=y-2x 的最大值
为( ).
������ + 2 ≥ 0,
A.1 B.2 C.4 D.6
������-������ ≤ 0,
【解析】作出表示约束条件 ������ + 3������-4 ≤ 0,的可行域,得 z
数若在 x=0 处有定义,则必有 f(0)=0”的灵活应用.
2.应用不等式性质时,一定要弄清楚性质成立的前提条件.
判断数式的不等关系,既可利用不等式性质,也可灵活运用函数
的单调性.利用基本不等式求最值时,要善于运用“拆、拼、配、
凑”的技巧,同时满足基本不等式中“正、定、等”的条件,多次 使用基本不等式时,要确保取得等号的条件的一致性,否则容易
1+1
1+������
-1 0
=a0<1������+(ee-)1=1e+-e2-1<1,
即 a0∈(0,1).
当 a=a0 时,有 f'(x0)=0,f(x0)=φ(x0)=0,
由(1)知,f'(x)在区间(1,+∞)上单调递增,
故当 x∈(1,x0)时,f'(x)<0,从而 f(x)>f(x0)=0;
在处理分段函数问题时,不仅要研究每段函数的性质,而且要对
整个函数性质进行研究.
7.函数导数的应用,一是利用导数的几何意义求切线方程,
此时要明确题给的已知点是“切点”还是“非切点”,以避免错 解;二是应用导数研究函数的单调性、极值与最值,此时要重视函 数的定义域,熟练掌握可导函数的单调性、极值与最值的判断方 法,利用数形结合思想;三是运用导数与函数的单调性建立不等 式求参数范围,此时不等号中切勿遗漏含等号情况;四是利用导 数研究函数的零点、求参数范围、解(证)不等式、求函数最值等 较难的综合问题,有时需构造函数,通过两次求导来解决问题,当
2016届高三二轮数学复习课件：第1部分-专题1-必考点3 不等式、线性规划
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第十七页，编辑于星期五：二十点 三分。
小题 速解
类型二 基本不等式的应用
特例检验法：检验 x＋y 能否为 0. 若 x＋y＝0，即 y＝－x ∴2x＋2－x＝1，∵2x＋21x>2 恒成立，所以 x＋y 不可能为 0.故选 D.
D
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知识 回扣
必记知识
重要结论
(2)简单分式不等式的解法 ①变形⇒gfxx>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； ②变形⇒gfxx≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且 g(x)≠0. (3)简单指数不等式的解法 ①当 a>1 时，af(x)>ag(x)⇔f(x)>g(x)； ②当 0<a<1 时，af(x)>ag(x)⇔f(x)<g(x)．
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小题 速解
类型二 基本不等式的应用
[设 x＋y＝m，设 t＝2x，根据方程 t＋2tm＝1 有正解求 m 的范围．] 设 x＋y＝m，y＝m－x，∴2x＋2m－x＝1， 即 2x＋22mx＝1，设 2x＝t>0， 若方程 t＋2tm＝1，即 t2－t＋2m＝0 存在正解时
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知识 回扣
必记知识
重要结论
(4)简单对数不等式的解法 ①当 a>1 时，logaf(x)>logag(x)⇔f(x)>g(x)且 f(x)>0，g(x)>0； ②当 0<a<1 时，logaf(x)>logag(x)⇔f(x)<g(x)且 f(x)>0，g(x)>0.
2016版高考数学二轮复习课件：专题三 函数与不等式
分。
专题三 函数与不等式
x＋y≥1 1．设变量 x，y 满足约束条件x－y≥0
，则目标函数 z＝x
2x－ y－ 2≤ 0
－2y 的最大值为( B )
A.3
B． 1
2
C．－1 2
D．－ 2
栏目 导引 第二十五页，编辑于星期五：二十三点 五十一
分。
＝f[x(x＋6)]，2f(4)＝f(16)，
则 f[x(x＋6)]<f(16)．
x（x＋6）<16
由题意，得x>0
，解得 0<x<2.
x＋6>0
栏目 导引
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考点二 基本不等式
专题三 函数与不等式
(2014·高考课标全国卷Ⅰ，10 分)若 a>0，b>0，且1a＋1b＝
考点三 线性规划
专题三 函数与不等式
(2014·高考课标全国卷Ⅱ，5 分)设 x，y 满足约束条件
x＋y－7≤0， x－3y＋1≤0，则 z＝2x－y 的最大值为( B ) 3x－ y－ 5≥ 0，
A．10 B．8 C．3 D．2
栏目 导引
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专题三 函数与不等式
解析：当 x≤1 时，
令 (1)x≥ 2＝ (1)－ 1，
2
2
得 x≤－1；
当 x>1 时，令 log2x≥2＝log24，得 x≥4.故不等式 f(x)≥2 的解
集为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．
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专题三 函数与不等式
2016届高考数学(人教理)总复习课件第6章-第4节 基本不等式
3a 4b · ＝7 b a
3a 4b ＋4 3，当且仅当 ＝ 时取等号．故选 D. b a
【答案】 D
2．(2013· 福建高考)若 2x＋2y＝1，则 x＋y 的取值范围是 ( A．[0,2] C．[ －2，＋∞) B.[ －2,0] D.(－∞，－2] )
【解析】 ∵2x＋2y≥2 2x＋y ，2x＋2y＝1， ∴2 2x＋y≤1， ∴2
考向一 利用基本不等式求最值 【命题视角】 利用基本不等式求最值是高考的热点类 型，题型既有选择题、填空题，也有解题答，难度中档，常 见的三个命题角度：
角度一：知和求积的最值 【例 1－1】 (2014· 四川高考)设 m∈R，过定点 A 的动 直线 x＋my＝0 和过定点 B 的动直线 mx－y－m＋3＝0 交于点 P(x，y)，则|PA |· |PB |的最大值是________．
【解】 (1)由 a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca， 得 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 由题设得(a＋b＋c)2＝1. 即 a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1. 1 所以 3(ab＋bc＋ca)≤1，即 ab＋bc＋ca≤3.
【思路点拨】 替换求最值．
3 1 将条件变形为 ＋ ＝1，然后用“1”的 5x 5y
【解析】 由 x＞0，y＞0，且 x＋3y＝5xy， 3 1 得 ＋ ＝1. 5x 5y
3 1 ∴3x＋4y＝(3x＋4y) ＋ 5x 5y
13 3x 12y 13 ＝ ＋ ＋ ≥ ＋2 5 5y 5x 5
x＋y
1 －2 ≤4＝2 ，
∴x＋y≤－2， 即(x＋y)∈(－∞，－2]．
【答案】 D
[ 命题规律预测] 命题 规律 从近几年高考试题看，利用基本不等式求最值是高考 的命题热点，题目形式多样，难度中档，题目灵活性 强，以考查运算能力与化归思想为目的． 预测 2016 年高考仍将以利用基本不等式求最值为命题 考向 热点，对于把等式转化为不等式或采用“拆”、 预测 “拼”、“凑”的技巧将代数式变形为可利用基本不 等式的问题，将会是高考重点.
2016届高考数学(理科 全国通用)二轮专题复习：专题三 不等式与线性规划
核 心 知 识 聚 焦
2 4 x＝3－3m， 2 4 2 2 得 即 B（3－3m，3＋3m）.因为 S△ABC 2 2 y＝ ＋ m， 3 3 1 2 2m ＝S△ADC－S△BDC＝2（2＋2m）[（1＋m）－（3＋ 3 ）] 1 4 2 ＝3（m＋1） ＝3，解得 m＝1 或 m＝－3（舍去）.
1 2 4．[2015· 湖南卷改编] 若实数 a，b 满足a＋b＝ ab，则 ab 的最小值为________．
[答案] 2 2
1 2 b＋2a [解析] 方法一：由已知得 a ＋b＝ ab ＝ ab，ab ab＝b 5 ＋2a≥2 2 ab，当且仅当 b＝2a＝24时，等号成立，所 以 ab≥2 2. 2 ab，即 ab≥2 2，当且仅当 b 1 2 方法二： ab＝a＋b≥2 5 ＝2a＝24时，等号成立.
核 心 知 识 聚 焦
专题三 不等式与线性规划
考 点 考 向 探 究
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核 心 知 识 聚 焦
a b 1．[2014· 四川卷改编] 若 a>b>0，c<d<0，则d与c的大小 关系为________．
[答案]
a b d<c
1 1 1 1 [解析] 因为 c<d<0， 所以 0>c>d， 即－d>－c>0， 又 a>b>0， a b a b 所以－d>－c，所以d<c.
[解析] 作出不等式组满足的平面区域，如图中阴影 部分所示.由图可知，要使不等式组表示的平面区域为 三 角 形 ， 则 有 m> － 1. 由
x＝1－m， 即 y ＝ 1 ＋ m ， x＋y－2＝0， x－y＋2m＝0，
【高优指导】2016届高考数学二轮复习 2 不等式课件 文
-4能力目标解读 热点考题诠释
1 2 3 4 5
1.(2014 四川高考,文 5)若 a>b>0,c<d<0,则一定有(
������ ������ ������ C. > ������
)
A. >
命题定位:本题主要考查不等式的基本性质,在利用不等式的基本性质 时两边同除以负数要变号.
关闭
������ ������ ������ ������
������2 有最大值 (和定积最 4
-10能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三
能力突破方略
能力突破模型
能力迁移训练
思考 2:利用基本不等式求最值的前提条件是什么?当不能直接应用基 本不等式时应如何处理?
提示:(1)基本不等式应用的前提是:“一正”“二定”“三相等”.所谓 “一正”指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定 值,“三相等”是指等号成立的条件. 连续使用基本不等式时,要注意等号要同时成立. (2)基本不等式的功能在于“和与积”的相互转化,使用基本不等式 求最值时,给定的形式不一定能直接应用基本不等式,这时往往需要拆 添项或配凑因式(一般是凑和或积为定值的形式),构造出基本不等式的 形式再进行求解.常用技巧有:拆项、凑项、凑系数、配凑 1 等.
由 f (a)+f (b)=0 得 lg
关闭
2+ 3
解析
答案
-15能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三
能力突破方略
能力突破模型
能力迁移训练
线性规划问题的解法
思考:利用线性规划解决问题的一般步骤是什么?
提示:解决线性规划问题首先要作出可行域,其次要注意目标函数 所表示的几何意义 形如 z = ax + by 的形式与截距有关,
高优指导2016届高考数学二轮复习 2 不等式课件 文
-5-
能力目标当解读a>0热时点考,画题诠出释 可行域1 (如2 图3 ①4所5示的阴影部分). 又 z=x+ay,所以 y=-1������x+1������z.因此当直线 y=-1������x+1������z 经过可行域中的
A ������2-12.,(���2���+20114时课,z标取全最国小Ⅰ值高.考,文 11)设 x,y 满足约束条件 ������������+-���������≤��� ≥-1���,���,且 z=x+a于y 是的���最���2-1小+a值·������为+21=77,则,解a得=( a=3()a=-5 舍去);
(4)本部分知识主要出现在客观题中,各年的难度不一,但备考时一定要 抓住基本,预测 2015 年的高考仍然会以不等式的基本思想方法为主线,对于 基本不等式和线性规划可能巧设背景并且与其他知识点综合,望大家备考 时加强这一方面的训练.
-4-
能力目标解读 热点考题诠释
12345
1.(2014 四川高考,文 5)若 a>b>0,c<d<0,则一定有( )
提示:(1)如果 xy 是定值 p,当且仅当 x=y 时,x+y 有最小值 2 ������(积定 和最小);(2)如果 x+y 是定值 s,当且仅当 x=y 时,xy 有最大值���4���2(和定积最 大).
能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三
能力突破方略 能力突破模型 能力迁移训练
-10-
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C
解析 答案
能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三
能力突破方略 能力突破模型 能力迁移训练
-17-
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基本不等式 姓名
一、学习内容：必修第四册P91～96． 二、课标要求：
基本不等式：2
a b
+≥(,0)a b ≥ ①了解基本不等式的证明过程。
②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。
三、基础知识 1.基本不等式
（1）如果R b a ∈ , ，那么ab b a 222≥+ （当且仅当 时取“=”号）. （2）（均值不等式）如果b , a 是正数，那么ab b
a ≥+2
（当且仅当 时取“=”号）.
注：称
2
b
a +为
b , a 的 平均数，称ab 为b , a 的 平均数. 2.常用结论：
（1）
当2
,112a b a b R a b
+
+∈⇒≥≥≥+（当且仅当 时取“=”号）.
（2）2
2 ,2,⎪⎭
⎫
⎝⎛+≤≥+⇒∈+b a ab ab b a R b a （当且仅当 时取“=”号）.
四、基础练习
1.（2011陕西文3）设0a b <<，则下列不等式中正确的是（ Ｂ ） A
．2a b
a b +<<
<
B
．2a b
a b +<
<
<
C
．2
a b
a b +<<<
D
2
a b
a b +<<<
2.（2011上海理15）若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是（ D ） A.222a b ab +>
B.a b +≥
C.
11a b +>
D.2b a
a b +≥
3.（2010重庆文12）已知0t >，则函数241
t t y t
-+=的最小值为____________ . 2-
4.（2010山东理14）若对任意0x >，
231
x
a x x ≤++恒成立，
则a 的取值范围是 . 15
a ≥
【解】2111
131235
3x y x x x x
=
=≤=
+++++ 5.（2011湖南理10）设,x y R ∈,则222
211
()(4)x y y x
+
+的最小值为 .9 【解】22222222111()(4)54549x y x y y x x y
+
+=++≥+= 6.（2010重庆理7）已知822,0,0=++>>xy y x y x ，则y x 2+的最小值是（ B ）
A 、3
B 、4
C 、
29 D 、2
11
解：2
228)2(82⎪⎭⎫
⎝⎛+-≥⋅-=+y x y x y x ，整理得
()()0322422
≥-+++y x y x ， 即()()08242≥++-+y x y x ，又02>+y x ，42≥+∴y x
7.（2011浙江理16）．设,x y 为实数，若2
2
41,x y xy ++=则2x y +的最大值是
.
【解】()2
231x y xy +-=，()2
2322131()22x y x y xy ++=+≤+
⇒252()182
x y +≤
⇒2x y +≤
8. （2012浙江理9）若正数x ，y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是（ C ） A.
245 B. 285
C.5
D.6 解：35x y xy +=⇒
13155y x +=，34x y +()()13
34134()555x y x y y x
=+=++=≥ 9.（2010四川文12）设0a b >>，则2
11
()
a a
b a a b +
+
-的最小值是（ D ） （A ）1 （B ）2 （C ） 3 （D ）4
解析：
()
211a ab a a b +
+
-＝
211()a ab ab ab a a b -++
+-＝11()()
ab a a b ab a a b ++-+-≥2＋2＝4当且仅当ab ＝1,a(a －b)＝1时等号成立，如取a
,b
满足条件.
10.（2010安徽文15）若a>0,b>0,a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a 、b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．①③⑤
①1ab ≤；
≤
； ③222a b +≥； ④333a b +≥; ⑤11
2a b
+≥
【解析】
由21a b ab =+≥⇒≤，命题①正确；令1a b ==，故②错；
222()2422a b a b ab ab +=+-=-≥，命题③正确；当1a b ==时，332a b +=，故④
错； 1122
a b a b ab ab ++==≥，命题⑤正确。
11．（2013年高考四川卷（文13））已知函数()4(0,0)a
f x x x a x
=+
>>在3x =时取得最小值,则a =__________. 【答案】36
【解析】解法一：x a x x f +
=4)(a x a x 44=∙≥ (当且仅当x
a
x =4，即24x a =时
取等号)，所以36342=⨯=a ，故填36.
解法二：x a x x f +=4)(，04)(2=-='x
a
x f ，所以32==a x ，所以36=a ，故填
36.
12．（2013年高考天津卷（文14））设a + b = 2, b >0, 则1||
2||a a b
+的最小值为______. 【答案】
3
4
【解析】因为2a b +=，所以
1||2||a a b +||||14||4||4||4||
a b a a b a a a b a a b a +=+=++≥+。
显然当0a <时，且2b a =时，上式取等号，此时2b a =-，联立2a b +=，解得2a =-，此
时23114||424a a +
=-=⨯。
所以当2a =-时，1||
2||a a b +的最小值为34。
13．（2013年上海高考数学试题（文科13））设常数0a >,若2
91a x a x
+≥+对一切正实数x 成立,则a 的取值范围为________.
【答案】1[,)5
+∞ 【解析】 考查均值不等式的应用。
5
1
16929)(,022≥⇒+≥=+≥+=>a a a x a x x a x x f x 时由题知，当
14.（2013年高考山东卷（文12））设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ,则当
z
xy
取得最小值时,2x y z +-的最大值为 （ ） A ．0 B ．
98
C ．2
D ．
94
【答案】C 【
解
析
】
由
题
设
知
2
243y xy x z +-=，解得
223443431z x xy y x y xy xy y x
-+==-+≥-=， 当且仅当y x 2=时取等号，min (
)1z
xy
=. 21124222(4)(2)(4)()2222
y x x y z y y xy y x y x +-+-=+-=-=⨯-≤=，故选C.
选修4-5 P12练习 7、8、11
15、若232a b +=，则48a b m =+的取值范围是____________[)4,+∞ 16、函数22
4
()1
f x x x =+
+的最小值是_______3
17、函数()f x =。