第四章：正态分布

x2 e 2
x 2
x de 2
x 2
x 2 e
1 2来自x2 e 2 dx1
E( X )
3
3 x
f ( x) dx
x2 x3 2 e dx
2
0
2009 (数一) 设随机变量X的分布函数为F ( x) 0.3( x) 0.7( 年 其中( x)为标准正态分布函数则EX , ( A)0. ( B)0.3. (C )0.7. ( D)1.
(0.7) [1 (1.3)] 0.7580 [1 0.9032 0.6612 . ]
b a ( ) ( ) 2
} P{Z
a
}
Z ~ N (0,1)
例2.
设 XN(,2),求P{-3<X<+3}
解 P{ 3 X 3 } P{( 3 ) X ( 3 ) } P{3 X 3 } P{ 3 X 3 } P{3 ( X ) / 3} (3) (3)
2
D( X ) E{[ X E ( X )] }
2 2 x
[ x
E ( X )] f ( x)dx
1 2
x2 e 2 dx
1
例1 已知随机变量X的密度函数为 1 x 2 2 x 1 f ( x) e , x 求 E ( X )、D ( X ) .
X 3 C 3 C 3 另一方面 , P{ X C} P{ } ( ) 0.5 2 2 2 C 3 0 , C 3. 2
所以 P{X C} 0.5
例 4(2004 ) 年 ( A)
2
设 X ~ N (0 , 1), 对于给定的 (0,1), 数 ( B)
x 1 ), 2
分析: EX xf ( x)dx,因此先求随机变量 的概率密度函数 ( x). X f


解 f ( x) F ( x) [0.3 ( x) 0.7 (
0.7 x 1 0.3 ( x) ( ) 2 2
于是 EX

x 1 )] 2

1 x 1 2 ( ) 2 2
0.7 1 dx (2t 1) 2 e 2


t2 2
2dt
0.7 1 2t 2 e 2
0. 7 1 0 2 e 2

t2 2
0.7 1 2dt 2 e 2
2dt 0.7

( x )2 2 2
dx
x

2
t2 2 e dt
2
D( X )
) f ( x)dx
2
(二)标准正态分布N(0, 1)
x2 e 2
X ~ f ( x)
E( X )
1 2

, x
x 2
x2 e 2 dx
xf ( x)dx


(2 / ) (0) 0.3, (2 / ) 0.3 (0) 0.8
P{X 0} P{( X 2) / 2 / } (2 / ) 1 (2 / ) 1 0.8 0.2 例 4 设随机变量X ~ N (3, 4),且常数C满足 P{ X C} P{ X C}, 求常数C. 解 由P{X C} P{X C}, 即 1 P{X C} P{X C}
正态分布有两个特性： (1) 单峰对称 密度曲线关于直线x=对称
1 f()＝maxf(x)＝ 2
0
f (x)
1 2
(2) 的大小直接影响概率的分布

N (4,3 / 5)
N (4,1)
x
越大,曲线越平坦;
越小，曲线越陡峻. 正态分布也称为 高斯(Gauss)分布
f (x)
N (4,7 / 5)
1 x 1 2 ( ) 2 2
1 x 1 2 ) 2
dx
1 x 1 2 ) 2
0.7 1 x 2 e 2
0.7 1 2 ( dx x 2 e 2
dx
x 1 令 t , 则dx 2dt , x 2t 1. 代入上式得 2
0.7 1 x 2 e 2
dx
x

2
t2 2 e dt
2
D( X )
) f ( x)dx
2
二.
标准正态分布N(0, 1)
X ~ f ( x)
E( X )
1 2

x2 e 2
, x
x 2
x2 e 2 dx
xf ( x)dx

0(奇函数)

0(奇函数)
2
D( X ) E{[ X E ( X )] }
2 2 x
[ x
E ( X )] f ( x)dx
1 2
x2 e 2 dx
1
三. 一般正态分布概率的计算 若X～N(,2),>0,则有
f (x)
F ( x) P{ X x}

一般地,有
0
P{a X b} P{a X b }
a X b a b P{ } P{ Z }
P{Z
b
例1 设随机变量 X ~ N (1, 2 ) , 求 P{1.6 X 2.4} 解 P{1.6 X 2.4} P{1.6 1 X 1 2.4 1} P{2.6 X 1 1.4} P{2.6 / 2 ( X 1) / 2 1.4 / 2} P{1.3 ( X 1) / 2 0.7} (0.7) (1.3)
(3) [1 (3)] 2 (3) 1 0.9973
本题结果称为3原则.在工程应用中,通常认为 P{|X|≤3} ≈1，忽略{|X|>3}的值.如在质量控制中, 常用标准指标值±3作两条线,当生产过程的指标观察
值落在两线之外时发出警报,表明生产出现异常.
例 3 设随机变量 X ~ N (2, 2 ),且 P{2 X 4} 0.3, 求 P{ X 0}. 随机变量 解 P{2 X 4} P{0 ( X 2) / 2 / } 标准化

解
1 x f ( x) e
2
2
2 x 1
1 e 2 (1 / 2 )

( x 1) 2 2 (1 / 2 ) 2
1 故 1, 2
例2 设X服从N(0，1)分布，求E(X2),E(X3)
1 解 f ( x) 2 x2 x2 2 2 2 E ( X ) x f ( x)dx e dx 2 2 2
一. 一般正态分布
1. 定义 若随机变量X的密度函数为
1 2 2 f ( x) e 2 其中 x ( x )2
f (x)
0

x
式中 为实数, >0 .则称X服从参数为 ,2的正态分 布,亦称高斯分布.记为N(, 2).可表为X～N(, 2). 图象见右上角
第二节 正态分布的数字特征
一.
一般正态分布N(, 2)
( x )2 2 2
1 X ~ f ( x) e 2
, x

E( X )
t
xf ( x)dx
t
( x

x e 2

( x )2 2 2
f (x)
f ( x)
0
x
正态分布的数字特征
(一) 一般正态分布N(, 2)
1 X ~ f ( x) e 2
( x )2 2 2
, x

E( X )
t
xf ( x)dx
t
( x

x e 2
故 P{Y 0} (1 p)3 0.4195
2 (2006年) 设随机变量 X ~ N ( 1 , 12 ),Y ~ N ( 2 , 2 ),
且 P{ X 1 1} P{ Y 2 1}, 则必有 ( A) 1 2 . ( B) 1 2 . (C ) 1 2 . ( B) 1 2 .
x
1
2
例5 一种电子元件的使用寿命Ｘ(小时)服从正态分 布Ｎ(100,152),某仪器上装有3个这种元件,三个元件 损坏与否是相互独立的.求：使用的最初90小时内无 一元件损坏的概率. 解:设Y为使用的最初90小时内损坏的元件数,则Y~B(3,p)
90 100 ) (0.67 ) 0.2514 其中 p P{ X 90} ( 15

t2 x 1 e 2 dt , 2
(2) (+∞)＝1；
x
1 e 2
x2 2
(3) (x)＝1－ (－x). 一般的概率统计教科书均附有 标准正态分布表供读者查阅 (x)的值.(P328附表1)如,若 X~N（0,1),(0.5)=0.6915, P{1.32<X<2.43} =(2.43)-(1.32)=0.9925－0.9066
第 四 章 正 态 分 布
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
正态分布的密度函数 正态分布的数字特征 正态分布的线性性质 二维正态分布 中心极限定理
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第一节 正态分布的密度函数
正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上 研究 最多的分布之一,它在概率统计中占有特别重要的地 位.比如,考察一群人的身高,个体的身高作为一个随 机变量,其取值特点是:在平均身高附近的人较多,特 别高和特别矮的人较少.一个班的一次考试成绩、测 量误差等均有类似的特征.高斯在研究误差理论时曾 用它来刻画误差,因此很多文献中亦称之为高斯分布. 进一步的理论研究表明,一个变量如果受到大量 独立的因素的影响(无主导因素),则它一般服从正态 分布,这是中心极限定理探讨的问题.