实验五符号运算

实验五符号计算一．实验目的掌握符号运算基本用法，重点掌握使用符号解法求解带代数方程组，以及常微分方程解析解及数值解。

二．实验原理与方法与一般的数值计算不同，符号计算是对字符串符号进行分析和运算，为了便于理解，大家可以将符号计算看作“由计算机实现的数学公式推导”。

进行符号计算时，MATLAB负责将计算请求提交给其内置的MAPLE组件并返回MAPLE的计算结果。

MATLAB的符号计算历经多次的改进和完善，其功能已经非常强大，尤其是在大规模的简单公式推导、逻辑推导等应用中有重要应用。

Matlab的符号数学工具箱可以完成几乎所有得符号运算功能。

这些功能主要包括：符号表达式的运算，符号表达式的复合、化简，符号矩阵的运算，符号微积分、符号函数画图，符号代数方程求解，符号微分方程求解等。

此外，工具箱还支持可变精度运算，既支持符号运算并以指定的精度返回结果。

符号对象的创建MATLAB符号运算工具箱处理的对象主要是符号常量、符号变量【注：符号变量即为由字母（除了i与j）与数字构成的、字母打头的字符串】以及符号表达式。

要实现符号运算，首先需要将处理对象定义为符号变量或符号表达式。

命令1：sym功能：定义一个符号常量、符号变量或符号表达式。

格式（1）：s=sym（A） %如果输入参数A为一串，则生成的s为一符号常量或者符号变量；如果输入参数A为数值标量或者矩阵（包括符号矩阵），则所得s为所给数值标量或者矩阵的符号表达式；格式（2）：x = sym('x') %创建以x命名的符号变量并保存为x格式（3）：x=sym('x','real') %创建以x命名的符号变量,并限定该符号变量为‘实’符号变量，也即conj(x)等于x。

格式（4）：x = sym('x','positive') %创建以x命名的符号变量,并限定该符号变量为“正、实”符号变量。

格式（5）：x = sym('x','unreal') %创建以x命名的一般的符号变量,并限定该符号变量为“非实”符号变量。

格式（6）：S = sym(A,flag) % flag可为：'r', 'd', 'e', 'f' 将数值标量或者矩阵A转换为符号形式，转换浮点数方法由可选参数flag指定，flag可取'f', 'r', 'e' or 'd'默认为'r'。

例：a=[1 2 2/3;4 5 pi]b=sym([1 2 2/3;4 5 pi])输出结果为：a =1.00002.0000 0.66674.00005.0000 3.1416b =[ 1, 2, 2/3][ 4, 5, pi]例：c = sqrt(sym(2))输出结果为：c=2^(1/2) %注意sqrt(2)得到的是浮点十进制小数例：d=sym(2)/sym(5)输出结果为：d=2/5 %注意2/5结果是0.4000例：e=sym(2)/sym(5) + sym(1)/sym(3)输出结果为：e=11/15例：f=sym('sin(2)')输出结果为：f=sin(2)例：g=sym(2*sqrt(5)+pi,'d')输出结果为：7.6137286085893727261009189533070例：h = sym('a*x^2 + b*x + c')输出结果为：h =a*x^2 + b*x + c例：I=sym('[a,b;c,d]')输出结果为：I=[ a, b][ c, d]命令2：syms功能：创建多个符号对象格式：（1）syms arg1 arg2 ...argN ,或者syms（‘arg1’，‘arg2’，...，‘argN’）说明：该用法与下面语句实现相同的功能arg1 = sym('arg1')；arg2 = sym('arg2');...argN=sym('argN') （2）syms arg1 arg2 ...,argn, real或者syms（‘arg1’，‘arg2’，...，‘argN’，real）说明：该用法与下面语句实现相同的功能arg1 = sym('arg1','real');arg2= sym('arg2','real'); ...argN= sym('argN','real')(3）syms arg1 arg2 ... argN, unreal或者syms（‘arg1’，‘arg2’，...，‘argN’，’unreal’）(4) syms arg1 arg2 ... argN,positive或者syms（‘arg1’，‘arg2’，...，‘argN’，‘positive’）例：syms a b x t % 定义a,b, x,t 均为符号变量例：比较符号矩阵与字符串矩阵的不同。

A=sym('[a,b;c,d]')；% A为符号矩阵B='[a,b;c,d]' % B为字符串矩阵结果为：A =[ a, b][ c, d]B =[a,b;c,d]C=sym(B) %转换为符号矩阵观察三个变量的区别：Name Size Bytes ClassA 2x2 312 sym objectB 1x9 18 char arrayC 2x2 312 sym object命令3 r = findsym(S)功能：从一符号表达式中或符号矩阵中找出符号变量格式： r = findsym(S) %以字母表的顺序返回表达式S中的所有符号变量,若S中没有任何的符号变量，则findsym返回一空字符串。

r = findsym(S,n) %返回字母表中接近x的n个符号变量例syms a x y z t alpha betaS1 = findsym(sin(pi*t*alpha+beta))S2 = findsym(x+i*y-j*z+eps-nan)S3 = findsym(a+y,pi)计算结果为；S1 = alpha, beta, tS2 = NaN, x, y, zS3 =a,y符号矩阵的算术运算命令： +、-、*、.*、\、.\、/、./、^、.^、’、.’功能：符号矩阵的算术操作用法如下：A+B、A-B ：符号阵列的加法与减法。

若A与B为同型阵列时，A+B、A-B分别对对应分量进行加减；若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行加减。

A*B ：符号矩阵乘法。

A*B为线性代数中定义的矩阵乘法。

按乘法定义要求必须有矩阵A的列数等于矩阵B的行数。

或者至少有一个为标量时，方可进行乘法操作，否则将返回一出错信息。

A.*B：符号数组的乘法。

A.*B为按参量A与B对应的分量进行相乘。

A与B必须为同型阵列，或至少有一个为标量。

即：An*m.*Bn*m=(aij)n*m.*(bij)n*m=Cn*m=(cij)n*m，则cij= aij* bij，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。

A\B 矩阵的左除法。

X=A\B为符号线性方程组A*X=B的解。

我们指出的是，A\B近似地等于inv(A)*B。

若X不存在或者不唯一，则产生一警告信息。

矩阵A可以是矩形矩阵（即非正方形矩阵），但此时要求方程组必须是相容的。

A.\B 数组的左除法。

A.\B为按对应的分量进行相除。

若A与B为同型阵列时，An*m.\Bn*m=(aij)n*m.\(bij)n*m=Cn*m=(cij)n*m，则cij= aij\ bij，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。

若若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行操作。

A/B 矩阵的右除法。

X=B/A为符号线性方程组X*A=B的解。

我们指出的是，B/A粗略地等于B*inv(A)。

若X不存在或者不唯一，则产生一警告信息。

矩阵A可以是矩形矩阵（即非正方形矩阵），但此时要求方程组必须是相容的。

A./B 数组的右除法。

A./B为按对应的分量进行相除。

若A与B为同型阵列时，An*m./Bn*m=(aij)n*m./(bij)n*m=Cn*m=(cij)n*m，则cij= aij/bij，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。

若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行操作。

A^B 矩阵的方幂。

计算矩阵A的整数B次方幂。

若A为标量而B 为方阵，A^B用方阵B的特征值与特征向量计算数值。

若A与B同时为矩阵，则返回一错误信息。

A.^B 数组的方幂。

A.^B为按A与B对应的分量进行方幂计算。

若A与B为同型阵列时，An*m..^Bn*m=(aij)n*m..^(bij)n*m=Cn*m=(cij)n*m ，则cij= aij^bij ，i =1,2,…,n；j=1,2,…,m。

若A 与B 中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行操作。

A' 矩阵的Hermition 转置。

若A 为复数矩阵，则A'为复数矩阵的共轭转置。

即，若A=(aij)=(xij+i*yij)，则)y i x ()a ()a (A ij ij ij 'ji *-==='。

A.' 数组转置。

A.'为真正的矩阵转置，其没有进行共轭转置。

syms a b c d e f g h;A = [a b; c d];B = [e f; g h];C1 = A.*BC2 = A.^BC3 = A*B/AC4 = A.*A-A^2syms a11 a12 a21 a22 b1 b2;A = [a11 a12; a21 a22];B = [b1 b2];X = B/A; % 求解符号线性方程组X*A=B 的解x1 = X(1)x2 = X(2)计算结果为：C1 =[ a*e, b*f][ c*g, d*h]C2 =[ a^e, b^f][ c^g, d^h]C3 =[ -(a*c*f+c*b*h-a*e*d-b*d*g)/(a*d-b*c), (a*b*h-b^2*g+a^2*f-b*a*e)/(a*d-b*c)][ -(-c*e*d+c*d*h+c^2*f-d^2*g)/(a*d-b*c), (a*d*h+a*c*f-b*c*e-b*d*g)/(a*d-b*c)]C4 =[ -b*c, b^2-a*b-b*d][ c^2-a*c-d*c, -b*c]x1 =(-a22*b1+b2*a21)/(a12*a21-a11*a22)x2 =-(-a12*b1+a11*b2)/(a12*a21-a11*a22)符号对象的基本运算函数1： collect功能：合并同类项格式：（1） R = collect(S) %对于多项式S中的每一函数，collect(S)按缺省变量x的次数合并系数。