第四章--第四节--三角函数式的求值、化简与证明
第4章第四章三角函数、解三角形第4节二倍角公式及应用课件(共35张PPT) 高考数学一轮复习
＝12－co2s2α＋12＋14cos2α－ 43sin2α＋ 43sin2α－12sin2α＝1－14cos2α－12 sin2α
＝1－14(1－2sin2α)－12sin2α＝34.
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思考1►►► 如何利用二倍角公式进行三角函数式的化简及恒等式的证明？要注 意什么？
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要充分观察角与角之间的联系，看角是否有倍数关系？能否用二倍 角公式化简？有切有弦要弦切互化．
sin15°cos15°＝12sin30°＝14，故 D 不正确．
【答案】 C
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2. 已知角α的顶点为坐标原点 ，始边与x轴的非负半轴重合 ，且
P(8,3cosα)为α终边上一点，则cos2α等于( )
A. －79
B. －89
7
8
C. 9
D. 9
【分析】 根据三角函数定义和同角三角函数关系求出sinα，再由二
＝cos2αcsoinsαα2cosα2＝cosαsinα2cosα2＝12sinαcosα＝14sin2α＝右边， 所以原式成立．
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某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同 一个常数：
①sin212°＋cos242°＋sin12°cos42°； ②sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°； ③sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°； ④sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°. (1) 试从上述式子中选择一个，求出这个常数； (2) 根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明 你的结论．
倍角公式可求cos2α.
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【解析】 由三角函数定义可知 tanα＝3c8osα＝csoinsαα，则 3cos2α＝8sinα ＝3－3sin2α，解得 sinα＝13或 sinα＝－3(舍去)，则 cos2α＝1－2sin2α＝79.
4.4 三角函数的求值化简、和证明
2 tan
得 tan( ) 2 tan , tan( ) 1 又 0
4
,0
4
, 0
2
4
规律总结： 本例中,首先由 4 tan
2
1 tan
2
2
的形式
联想倍角公式,求得 tan ,再利用角的交换求
,0
, 且3sin sin
和2 的构造待求式 ，从而可求出 的一个三角函数值，再根据 、 的范 围求 的范围，从而确定角
2
的关系式可求出 的正切值，再根据
【解】
2 1 由4 tan 1 tan 得 tan 2 2 2 2 1 tan 2 由3sin[( ) ] sin[( ) ]
1 cos 20 求 sin10 (cot 5 tan 5 ) 的值. 2sin 20
2007年5月
3 答案: 2
黄冈中学网校达州分校
4 4 2 sin(2 ), 4 tan 1 tan , 求 的值 2 2
【思路分析】
由
【例3】 已知0
2007年5月 黄冈中学网校达州分校
sin 20 2sin 60 cos 20 2 cos 60 sin 20 cos 20
3.
规律总结： 给角求值（无条件求值）的关键是考虑角与 角之间的关系,构造特殊角,或者利用正负相抵消, 分子分母约去公因式等手段达到求值的目的. 变式训练2—1：
(完整版)三角函数化简求值证明技巧
第三讲一、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的应用技巧1、网络2、三角函数变换的方法总结（1）变换函数名对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。
【例1】已知θ同时满足和,且a、b 均不为0，求a、b的关系。
练习：已知sin（α＋β）＝，cos（α－β）＝，求的值。
2）变换角的形式对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变．它应用广泛，方式灵活，如α可变为（α＋β）－β；2α可变为（α＋β）＋（α－β）；2α－β可变为（α－β）＋α；α／2可看作α／4的倍角；（45°＋α）可看成（90°＋2α）的半角等等。
【例2】求sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）的值。
练习已知，求的值【例3】已知sinα＝Ａsin（α＋β）（其中cosβ≠A），试证明：tan（α＋β）＝提示：sin[（α＋β）－β]＝Ａsin （α＋β）（3）以式代值利用特殊角的三角函数值以及含有1的三角公式，将原式中的1或其他特殊值用式子代换，往往有助于问题得到简便地解决。
这其中以“1”的变换为最常见且最灵活。
“1”可以看作是sin2x＋cos2x, sec2x－tan2x, csc2x －cot2x，tanxcotx, secxcosx, tan45°等，根据解题的需要，适时地将“1”作某种变形，常能获得较理想的解题方法。
【例4】化简：（4）和积互化积与和差的互化往往可以使问题得到解决，升幂和降次实际上就是和积互化的特殊情形。
这往往用到倍、半角公式。
三角函数的化简与证明
三角函数的化简与证明三角函数是数学中的重要概念之一，它在解析几何、物理学、工程学等领域中有广泛应用。
在使用三角函数时，我们经常面临的一个问题就是如何将复杂的三角函数化简为简单形式，或者证明两个三角函数之间的等式。
本文将探讨三角函数的化简和证明方法。
一、三角函数的化简1. 三角恒等式三角恒等式是三角函数化简的基础。
它是一种等式关系，使得两个或多个三角函数能够互相转化。
下面是一些常见的三角恒等式：- 余弦函数的平方加正弦函数的平方等于1：$cos^2θ + sin^2θ = 1$- 2倍角公式：$cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ$- 倍角公式：$sin(2θ) = 2sinθcosθ$- 三角和差公式等通过运用这些恒等式，我们可以将复杂的三角函数化简为简单的形式，便于计算和理解。
2. 其他化简方法除了三角恒等式，还有一些其他的化简方法。
例如，使用欧拉公式，将三角函数转化为复指数函数进行化简。
这个方法可以将三角函数的复杂计算转化为简单的指数函数计算，能够提高计算效率。
在实际问题中，我们还可以利用对称性、周期性等性质进行化简。
这需要根据具体问题进行分析和推导，找到合适的化简方法。
二、三角函数的证明1. 等式的证明证明三角函数之间的等式是数学中的重要问题。
通过证明三角函数之间的等式，可以建立它们之间的联系，拓宽我们对三角函数的理解。
在证明三角函数等式时，我们可以运用三角恒等式、代数运算、数学归纳法等方法。
具体的证明过程需要根据问题的要求和条件进行推导。
2. 不等式的证明除了等式的证明，我们还经常需要证明三角函数之间的不等式。
三角函数的不等式证明在数学分析和优化等领域中有广泛应用。
在证明三角函数不等式时，我们可以使用极限、导数、积分和数学归纳法等方法。
通过分析三角函数的性质和变化趋势，找到合适的不等式证明方法。
需要注意的是，在证明过程中，要严谨而准确地推导，避免出现漏洞和错误，确保证明的有效性和可靠性。
第四章 三角恒等变换(知识点总结梳理)-高中数学北师大版(2019)必修第二册
2019新教材北师大版数学必修第二册第四章知识点清单目录第四章三角恒等变换§1 同角三角函数的基本关系§2 两角和与差的三角函数公式§3 二倍角的三角函数公式第四章 三角恒等变换 §1 同角三角函数的基本关系一、同角三角函数的基本关系式 1. 平方关系：sin 2α+cos 2α=1. 2. 商数关系：tan α= sin αcos α.3. 公式的常见变形(1)sin 2α=1-cos 2α；cos 2α=1-sin 2α.(2)sin α=±√1−cos 2α；cos α=±√1−sin 2α. (3)cos αtan α=sin α.(4)(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α；(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α. (5)1+tan 2α=1cos 2α；1+1tan 2α=1sin 2α二、由一个三角函数值求其他三角函数值1. 已知角的正弦、余弦、正切中的一个值，利用同角三角函数的基本关系式可以“知一求二”.2. 若题目中没有指出角终边所在的象限，则必须根据条件推断该角可能是第几象限角，再分情况加以讨论.三、利用同角三角函数的基本关系化简、求值、证明 1. 利用同角三角函数的基本关系化简或证明时常用的方法(1)化切为弦，即把正切函数化成正弦、余弦函数，从而达到化简的目的. (2)对于含有根号的三角函数式，常把根号下的式子化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的.(3)对于含高次的三角函数式，往往借助因式分解，或构造出“sin 2α+cos 2α”的形式，以降低次数，达到化简的目的.四、关于sin α，cos α的齐次式的求值问题1. 关于sin α，cos α的齐次式是指式子中的每一项都是关于sin α或cos α的式子，且每一项的次数相等，通常为一次齐次式、二次齐次式.2. 当齐次式为分式时，可将分子与分母同除以cos α的n(n为齐次式的次数)次幂，此时分式的分子与分母都可化为关于tan α的式子，代入tan α的值即可求得式子的值.3. 当二次齐次式为整式时，可将其视为分母为1的式子，然后将分母1用sin2α+cos2α替换，这时再将式子的分子与分母同时除以cos2α，即可化为关于tan α的式子，代入tan α的值即可求得式子的值.五、利用sin α±cos α与sin αcos α之间的关系求值1. 若已知sin α±cos α，sin αcos α 中的一个,则可以利用方程思想进一步求得sin α, cos α 的值，从而解决相关问题. 常涉及的三角恒等式有：(1)(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α；(2)(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α；(3)(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2；(4)(sin α-cos α)2=(sin α+cos α)2-4sin α·cos α.2. 求sin α+cos α，sin α-cos α，sin αcos α的值时，要注意结合角的范围进行符号判断.§2 两角和与差的三角函数公式一、两角和与差的三角函数公式二、知识拓展 1. 公式的记忆方法：(1)公式C α+β，C α-β可记为“同名相乘，符号反”. (2)公式S α+β，S α-β可记为“异名相乘，符号同”.(3)公式T α+β，T α-β的结构特征可记为“分子为正切的和或差，分母为1与正切的积的差或和”，符号规律可记为“分子同，分母反”.2. 两角和与差的正切公式的变形：(1)tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)，tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β). (2)1-tan αtan β=tan α+tan βtan(α+β)，1+tan αtan β=tan α−tan βtan(α−β).(3)1+tan α1−tan α=tan π4+tan α1−tan π4⋅tan α=tan (π4+α)，1−tan α1+tan α=tan π4−tan α1+tan π4⋅tan α=tan (π4−α).以上式子中各角应保证各式有意义.三、三角函数的叠加公式1：asin α+bcos α=√a 2+b 2sin(α+φ)，其中sin φ=√a 2+b2，cos φ=√a 2+b 2，a ，b不同时为0.公式2：asin α+bcos α=√a 2+b 2cos(α-φ)，其中sin φ=√a 2+b 2，cos φ=√a 2+b 2，a ，b不同时为0.四、积化和差与差化积公式 1. 积化和差公式(1)cos αcos β=12 [cos(α+β)+cos(α-β)].(2)sin αsin β=-12 [cos(α+β)-cos(α-β)]. (3)sin αcos β=12 [sin(α+β)+sin(α-β)].(4)cos αsin β=12 [sin(α+β)-sin(α-β)].2. 和差化积公式 (1)sin x+sin y=2sinx+y 2cos x−y 2.(2)sin x-sin y=2cosx+y 2sinx−y2.(3)cos x+cos y=2cosx+y 2cos x−y2.(4)cos x-cos y=-2sinx+y 2sinx−y 2.五、利用公式解决给角求值问题利用公式解决给角求值问题的关键是通过公式的合理运用，使所求式中的非特殊角转化为特殊角，或使式中出现可以正负抵消的项，或使式中出现分子、分母能约分的项，从而达到化简求值的目的. 具体注意以下几点：(1)看角：把角尽量向特殊角或可化简或可求出值的角转化，合理拆角，化异为同； (2)看名称：把式子中的三角函数的名称尽量化成同一名称，例如可以把正切函数化为正、余弦函数，或把正、余弦函数转化为正切函数，再解决问题；(3)看式子：看式子是否满足两角和与差的正弦、余弦、正切公式，准确选择公式求解.六、利用公式解决给值求值问题给值求值，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，其关键在于“变角”，即使“所求角”变为“已知角”，常见的技巧如下：(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个已知角的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，应注意“已知角”与“所求角”的关系，通过诱导公式或引入特殊角，将“所求角”变成“已知角”；(3)配角技巧：①2α=(α+β)+(α-β)，②α=(α+β)-β=β-(β-α)，③α=(α+π4)-π4=(α−π4)+π4，④α−β2=(α+β2)-(α2+β).七、利用公式解决给值求角问题1. 解决给值求角问题的一般步骤：(1)求角的某一个三角函数值；(2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的角.2. 通过求角的某个三角函数值来求角，选取函数是关键，一般遵循以下原则：(1)已知正切函数值，选取正切函数.(2)已知正弦、余弦函数值，选取正弦函数或余弦函数；若角的范围是(0，π2)，选正弦函数、余弦函数均可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围是(−π2，π2)，选正弦函数较好.八、利用三角函数的叠加研究函数的性质1. 公式的作用：利用三角函数的叠加公式可将形如asin α+bcos α(a，b不同时为0)的三角函数式转化为Asin(α+φ)或Acos(α+φ)的形式，从而达到化简或求值的目的，也有利于研究函数的图象和性质.2. 形式选择：化为正弦还是余弦的形式，要由具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质.§3 二倍角的三角函数公式一、二倍角公式二、半角公式1. 半角的正弦公式：sinα2=±√1−cos α2.2. 半角的余弦公式：cosα2=±√1+cos α2.3. 半角的正切公式：tanα2=±√1−cos α1+cosα=sin α1+cosα=1−cos αsinα.三、知识拓展 二倍角公式的变形1. 降幂公式：sin αcos α=12sin 2α；sin 2α=1−cos 2α2；cos 2α=1+cos 2α2.2. 升幂公式：1±sin 2α=(sin α±cos α)2；1+cos 2α=2cos 2α；1-cos 2α=2sin 2α.3. 万能公式：sin 2α=2tan α1+tan 2α；cos 2α=1−tan 2α1+tan 2α.四、半角公式的应用利用半角公式求值的思路(1)看角：看已知角与待求角的二倍关系.(2)明范围：求出相应半角的范围，为定符号做准备. (3)选公式：涉及正切时，常利用tan α2=sin α1+cos α=1−cos αsin α进行计算；涉及正弦、余弦时，常利用sin 2α2=1−cos α2，cos 2α2=1+cos α2进行计算.(4)下结论：结合(2)求值. 五、三角函数公式的综合应用三角函数公式在三角函数式的化简、求值以及研究与三角函数有关函数的图象与性质等方面具有重要作用，尤其是研究与三角函数有关函数的图象与性质时，需要先对函数解析式进行化简，化简的过程就是运用公式的过程. 通常情况下，需要先对解析式降幂，变为一次式，再利用三角函数的叠加公式将函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)+k 或y=Acos(ωx+φ)+k 的形式，最后研究函数的图象与性质.。
三角函数式的化简和证明
简单的三角恒等变换——化简与证明学习目标：能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值，化简与恒等式的证明． 学习重点：三角函数的有关公式的灵活应用和一些简单的变性技巧.学习过程一、知识清单1.证明了cos()a b -= ®cos()a b += ®cos()2p a -= ，cos()2p a += ®sin()a b += sin()a b -= ®tan()a b += ，tan()a b -= 2. cos (+)a b = ®cos 2a = = = sin()a b += ®sin 2a = tan()a b += ®tan 2a =3.倍角的相对性sin a = ，cos a = ，tan a =4.要掌握这些公式的推导和联系，用时注意公式的“正用”，“逆用”和“变用”.如：降幂扩角公式 2sin a = ；2cos a = ； 1cos a += ；1cos a -= ；1sin a += ；1sin a -= .5. 划一公式：sin cos a x b x += （其中tan f = ，f 所在象限由 确定）.二、范例解析题型一 三角函数式的化简和证明1.三角函数式的化简要求：通过对三角函数式的恒等变形使最后所得到的结果中：①所含函数和角的名称或种类最少；②各项的次数尽可能地低；③出现的项数最少； ④一般应使分母和根号不含三角函数式；⑤对能求出具体数值的，要求出值．2.三角变换的三项基本原则：（1）角的变换：划同角（角的拆分，配角和凑角，1的变换）；（2）函数名称的变换：划同名（正切划弦）；（3）幂指数的变换：划同次（升幂、降幂公式，同角公式）.例1化简下列各式 ； ②1sin 2cos 21sin 2cos 2a a a a+-=++ ； ③2sin 2cos 1cos 2a a a-=+ ； ④222cos 12tan()sin ()44a p p a a -=-+ ； 例2 证明下列各式（从左到右或从右到左或左右开攻中间会师，一般化繁为简）①22tan 2sin 1tan 2a a a =+ ②221tan 2cos 1tan 2a a a -=+③sin 1cos tan21cos sin a a a a a -==+ ④[]1sin cos sin()sin()2a b a b a b =++-⑤sin sin 2sincos 22q f q f q f +-+=.三、课下练习： 课本142P 2 ； 143P A 组 1, 2, 3, 4；B 组 1； 146P 8；147P 5.。
高考数学总复习 4.4三角函数的化简、求值及证明课件 文 新人教版B版
h
40
思考探究 3
求证：1＋sicnoθs＋θ＋sincθ2osθ2＝1－sincoθsθ
h
41
＝csoinsθ2θ2((11＋＋22ccoossθ2θ2)) θ
＝csoins2θ2＝cotθ2＝1－sincoθsθ＝右边 ∴原恒等式成立．
()
A．－
7 2
B．－12
1
7
C.2
D. 2
h
15
[解析]
sinc(oαs－2α4π)＝
2(cos2α－sin2α) sinα－cosα
＝－
2(sinα＋cosα)＝－
2 2
∴sinα＋cosα＝12.
[答案] C
h
16
4．(2009 年江西卷文)函数 f(x)＝(1＋ 3tanx)cosx 的最小正周期为
h
37
例 4 试证：ttaannθθ((11＋ ＋ssiinnθθ))＋ －ssiinnθθ＝tatnanθ＋ θsisninθθ.
h
38
＝22ssiinnθ2θ2ccoossθ22θ＋ ＋22csoins22θ22θ
θ ＝cosθ2＝cotθ2，
sin2
右边＝cssoinisnθθθ＋sinθ＝1＋sincoθsθ＝
• 2．对本部分内容的考查，选择题、填空题、解答题的形式均 可能出现，一般难度不大属于低、中档题目．整个命题过程主 要侧重两角和、差、二倍角公式的考查．
• 3．在2009年高考中，有7套试题考查此知识点．如2009全国Ⅱ 卷，17题；2009广东理16题；2009重庆7题；2009山东17题； 估计2011年高考中在“三角函数式的化简、求值和证明”仍是考 查的重点.
三角函数式的化简与求值
三角函数式的化简与求值知识网络三角函数式化简与求值的理论依据—三角公式体系，主要由两个系列组成：三角函数坐标定义的推论系列；公式的推论系列一、高考考点以三角求值为重点，同时对三角式的化简具有较高要求，主要考查：1、同角三角函数基本关系式与诱导公式的应用.运用诱导公式的“准确”；运用同角公式的“灵活”：正用、反用、变用。
2、两角和与差的三角函数与倍角公式的应用：正用、反用；有关公式的联合运用，主要应用于无附加条件的三角式的化简或求值（以选择题、填空题为主）；带有附加条件的三角式的求值问题（以解答题为主）；比较简单的三角恒等式的证明（多为解答题，不同某一小题）。
3、等价转化思想以及三角变换的基本技能重难点归纳1求值问题的基本类型①给角求值，②给值求值，③给式求值，④求函数式的最值或值域，⑤化简求值2技巧与方法①要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式②注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用③对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法④求最值问题，常用配方法、换元法来解决二、知识要点（一）三角函数坐标定义的推论1、三角函数值的符号2、特殊角的三角函数值3、同角三角函数的基本关系式（同角公式）（1）课本中的公式：（2）同角公式“全家福”①平方关系：.②商数关系：.③倒数关系：4、诱导公式：（1）认知与记忆：对使三角函数有定义的任意角① k·360°＋（k∈Z），－，180°±，360°－（共性：偶数×90°±形式）的三角函数值，等于的同名函数值，前面放上一个把看作锐角时原函数值的符号；② 90°±，270°±（共性：奇数×90°±）的三角函数值，等于的相应余函数值，前面放上一个把看作锐角时原函数值的符号。
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三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条 件恒等式. 1.证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左
右归一，变更论证，通过三角恒等式变换，使等式的两 边化异为同.
2.条件恒等式的证明则要认真观察，比较已知条件与求证 等式之间的联系，选择适当途径对条件等式进行变形， 直到得到所证等式，或者将欲证等式及条件进行变式， 创造机会代入条件，最终推导出所证等式.
【解】
(2)原式＝
又tan2θ＝
＝－2 解得tanθ＝－ 或tanθ＝
∵π＜2θ＜2π，∴ ＜θ＜π，
∴tanθ＝－ ，故原式＝
＝3＋2
1.化简
解：原式
条件求值问题要仔细观察条件与求式之间的角函数名称 及有关运算之间的差异及联系． 1．由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函
数值，关键在于“变角”，使“目标角”变换成“已知角”．若 角所在的象限没有确定，则应分类讨论，应注意公式的正 用、逆用、变形运用，掌握其结构特征，还要会通过分析 “目标角”与“已知角”之间的关系，灵活拆角或拼角．
等．
4.次数的变化：常用方式是升次或降次；主要公式是二倍 角的余弦公式及其逆向使用.
5.结构变化：对条件、结论的结构进行调整，或重新分组， 或移项，或变除为乘，或求差等.
(1)f(α)＝2tanα－
求f ( )；
(2)已知tan2θ＝－2 ，π＜2θ＜2π，求
的值．
要先化简再求值，将所给关系式尽可能化成最简式或 化成含有已知式子的形式，运用整体代入的方法求值.
2．如果条件是等式，可将已知式进行变形向求式转化， 或将求式进行变形向已知式转化．总之，设法消除 已知式与求式之间的种种差异是解这类题的关键． 【注意】 “给值求角”的实质是“给值求值”，求解 的关键是先求出该角的某一三角函数值，其次判断 该角对应函数的单调区间，最后求出角．
(2008·江苏高考)如图，在平面 直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两 个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆 交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别 为 (1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值.
观察左、右两边式子间的差异，若选择“从左 证到右”，则“切化弦”的方法势在必行；若选择 “从右证到左”，则倍角公式应是必用公式.
【证明】法一：左边
法二：右边 故原等式成立
3.求证：
证明：左边＝
=右边. 故原等式成立
从近几年高考试题来看，本节内容主要灵活运用公 式，利用恒等变换进行三角函数的化简与求值，其考查 的热点是借助三角变换研究三角函数的性质、解三角形 有关的问题.2009年山东卷就考查了这一问题
∴sin2θ＝2sinθcosθ＝
答案：
进行三角化简的几种解题思路
1.角的变换：观察各角之间的和、差、倍、半关系，减少
角的种类，化异角为同角.
2.函数名称的变换：观察、比较题设与结论之间，在等号
左右两边的函数名称的差异，化异名为同名.
3.常数的变换常用方式有：
1＝sin2α＋cos2α＝tan，
一、三角函数化简的常用技巧 1．注意特殊角的三角函数与特殊值的互化； 2．注意利用代数式的一些恒等变形法则(如因式分解)和分数
的基本性质； 3．注意利用角与角之间的隐含关系； 4．注意利用“1”的恒等变形．
二、求值问题的类型及策略 有给角求值、给值求值、给值求角：
1．给角求值的关键是正确分析角之间的关系，准确地选用 公式，要注意产生特殊角，同时把非特殊角的三角函数 值相约或相消，从而求出三角函数式的值；
1．无条件恒等式的证明．证明时要认真分析等式两边 三角函数式的特点，角度、函数、结构的差异，一般由 繁的一边向简的一边证，逐步消除差异，最后达到统一． 对于较难的题目，可以用分析法帮助思考，或分析法和 综合法联用．
2．有附加条件恒等式的证明．证明的关键是恰当地利用附 加条件，要认真分析条件式和结论式中三角函数之间的 联系，从分析过程中发现条件应怎样利用．证明这类恒 等式时，还常常用到消元法和基本量方法，消元法即用 代入、加减、乘除、平方后相加减等手段消去某些量； 基本量方法就是适当选择其中可以独立取值的量作为基 本量，把其他的量都用基本量表示出来，从而将问题归 结为研究这些量之间的关系．
等于
()
4.已知α、β均为锐角，且
＝
.
解析：tanβ＝
＝tan( －α)，
∵α、β为锐角， ∴β＝ －α，
∴α＋β＝ ，∴tan(α＋β)＝1.
答案：1
则tan(α＋β)
5.已知
且cosθ－sinθ＋1＜0，则sin2θ＝ .
解析：∵sinθ＝ ，cosθ－sinθ＋1＜0，
即cosθ＜
∴cosθ＝
从而由tan(α＋2β)＝－1得α＋2β＝
2.已知 (1)求tan2α的值； (2)求β.
解：(1)由cosα＝ ，0<α< ，得
(2)由0<β<α< ，得0<α－β< . 又∵cos(α－β)＝ ∴sin(α－β)＝ ＝
由β＝α－(α－β)，得 cosβ＝cos[α－(α－β)] ＝cosαcos(α－β)＋sinαs in(α－β) ＝ 所以β＝
由三角函数的定义可得cosα、cosβ，从而可求得 tanα、tanβ的值，所求问题可以求解.
【解】 (1)由已知条件及三角函数的定义可知，
因α为锐角，故sinα＞0，从而sinα＝ 同理可得
所以
(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＜β＜ ，故0＜α＋2β＜
1.
的值等于
()
解析：∵tan150°＝tan(75°＋75°) 答案：D
2.如果α∈( ， )且 (α＋ ) ＝
，那么sin(α＋ )＋cos ()
解析：∵sinα＝
<α<π，∴cosα＝
∴sin(α＋ )＋cos(α＋ )＝sin(α＋ )
＝
答案：D
3.已知
则
解析：
＝2＋2tanα＝3. 答案：A
2．给值求值的关键是分析已知式与待求式之间角、函数、 结构间的差异，有目的地将已知式、待求式的一方或 两方加以变换，找出它们之间的联系，最后求出待求式 的值；
3．给值求角的关键是先求出该角的某一三角函数值，其次 判断该角对应函数的单调区间，最后求出角．
三、证明问题 它包括无条件恒等式和有附加条件恒等式的证明．