第5章 频率法

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幅频特性和相频特性可在复平面上构成一个完整的向量G( j ) :
G ( j ) A( )e
称为频率特性。
j ( )
注： 当传递函数中的复变量s用 j代替时，传递函数就转变 为频率特性。反之亦然。
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到目前为止，我们已学习过的线性系统的数学模型有以下 几种：微分方程、传递函数和频率特性。它们之间的关系如下：
第5章 频率法
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 频率特性 典型环节频率特性的伯德图 控制系统开环频率特性的伯德图 由伯德图确定传递函数 奈奎斯特稳定判据 控制系统相对稳定性分析
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5.1 频率特性
考察一个系统的好坏，通常通过阶跃响应来分析系统的动 态性能和稳态性能。 控制系统中的信号可表示为不同频率正弦信号的合成，所 以，可以通过分析不同频率正弦波输入时系统的响应，来考察 系统性能，这种方法称为频域分析法。
对于一般的线性定常系统，系统的输入和输出分别为r(t)和 c(t)，系统的传递函数为G(s)。 C (s) N ( s) G( s) R( s) ( s p1 )( s p2 )...( s pn )
式中， p j , j 1,2,..., n 为极点。 Rm Rm 若： r (t ) Rm sin t , 则R( s ) 2 2 s ( s j )( s j )
e j (t ( )) e j (t ( )) A( ) Rm 2j A( ) Rm sin(t ( )) Cm sin(t ( ))
式中：Rm 、Cm分别为输入输出信号的幅值。
上述分析表明，对于稳定的线性定常系统，加入一个正弦信号， 它的稳态响应是一个与输入同频率的正弦信号，稳态响应与输入 不同之处仅在于幅值和相位。其幅值放大了 A( ) | G( j ) | 倍， 相位移动了 ( ) G( j ) 。 A( ) 和 ( ) 都是频率的函数。
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频率特性的物理意义
频率特性的定义：线性定常系统在正弦输入信号作用下，输出量的稳态分量的 复相量与输入正弦信号复相量之比，称为频率特性。
线性定常系统在正弦输入信号作用下： 稳态输出的正弦信号幅值，与输入正弦信号的幅值之比，就是系统的幅频特性； 稳态输出的正弦信号相角，与输入正弦信号的相角之差，就是系统的相频特性。
20 log K 20 log K 20 log K
K 1 K 1 log K 1
0 L( ) 20 lg K 常数 0 0 K 1 K 1 K 1
相频特性：
0 ( ) K 180 K 0 K 0
( ) 180
C 则： ( s) Rm N ( s) R( s) N (s) ( s p1 )( s p2 )...( s pn ) ( s p1 )( s p2 )...( s pn ) ( s j )( s j )
k k k k1 k 2 ... n c1 c 2 s p1 s p2 s p n s j s j
2
V ( )
T 1 (T ) 2
G ( j ) 1 1 (T ) 2
1 1 2 U ( ) V ( ) 2 4
G( j ) tg 1 (T )
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2 伯德图 （Bode图，由两幅图组成） 组成：对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线。 横坐标按 lg 分度，单位为弧度/秒（rad/s)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
r (t ) sin(t )
r (t ) sin(2t )
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5.1.3 频率特性的几何表示
1 奈氏图（Nyquist 图） G( j ) Re[G( j )] j Im[G( j )]
U ( ) Re[G( j)] ~ w
40 20 20 40
K 10

20 log K 20 log , 当K 1时， 1, L( ) 0;

1 10 100
K 1
当 10时，L( ) 20
( )
90
可见斜率为－20dB/dec

1 10 100
当K 0时， 1, L( ) 20 log K ; 当 K时，L( ) 0
1 10T
1 5T
1 2T
1 T
2 T
5 T
10 T
20 T
图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。
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惯性环节的Bode图
波德图误差分析（实际频率特性和渐近线之间的误差）： 当 o 时，误差为： 1 20 log 1 T 2 2 当 o 时，误差为： 2 20 log 1 T 2 2 20 log T 最大误差发生在 T 0.1 0.2 0.5 1 2 5 10
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拉氏反变换为： c(t ) k1e p1t k2e p2t ... kn e pnt kc1e jt kc 2e jt 若系统稳定，则极点都在s左半平面。当 t ，即稳态时：
e p1t 0, e p2t 0,..., e pnt 0
cs (t ) kc1e jt kc 2e jt

可以展宽频带；频率是以10倍频表示的，因此可以清楚的 表示出低频、中频和高频段的幅频和相频特性。 可以将乘法运算转化为加法运算。 所有的典型环节的频率特性都可以用分段直线（渐进线） 近似表示。 对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近 似的方法，可以很容易的写出它的频率特性表达式。
Dec Dec Dec Dec
...
0
2 0.01
1 0.1
0 1
1 10
2 100
log

对数幅频曲线的纵坐标按下式分度：
L( ) 20 lg G ( j ) 20 lg A( ) 单位为分贝(dB)
对数相频特性曲线的纵坐标：按 ( )线性分度，单位为度 （°）
微分方程
s p
传递函数
s j
系统
j p
频率特性
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5.1.2 频率响应
对于线性定常系统，在正弦输入信号作用下， 系统输出的稳态分量也是一个同频率的正弦信号。
A sin( t ) 1
系统的稳态输出
G( j)
B sin( t 2 )
G( j )
B A
G( j ) 2 1
5
a( ) jb ( ) G ( j ) G ( j ) e c( ) jd ( )
j
G ( j )
A( )e
j ( )
j ( )
j a( ) jb ( ) G ( j ) G( j ) G( j ) e c( ) jd ( )
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5-2 典型环节分解和频率特性曲线绘制
5.2.1 典型环节 对任一传递函数，可分解为以下形式：
最小相位环节 非最小相位环节
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比例环节的bode图
5.2.2 典型环节的频率特性 一、典型环节的对数频率特性曲线 G( j ) K ⒈ 比例环节： G( s) K ;
A 幅频特性： ( ) K ；相频特性： ( ) 0 L( ) / dB 对数幅频特性：
式中， c1 , kc 2 分别为： k
Rm ( s j ) RmG ( j ) kc1 C ( s )( s j ) |s j G ( s ) ( s j )( s j ) s j 2j Rm ( s j ) RmG ( j ) kc 2 C ( s )( s j ) |s j G ( s ) ( s j )( s j ) s j 2j
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r (t ) sin(t ) r (t ) sin(2t )
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1
G( s)
1 Ts
G( j)
稳态输出0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1
稳态输出
0
A sin(t 1 )
G( j)
B sin(t 2 )
系统的稳态输出
G( j )
B A
G( j ) 2 1
对于稳定系统可以采用实验的方法得到系统的频率特性，即在感兴趣的频 率范围内，改变正弦输入信号的频率，测量系统稳态输出与输入的幅值比 和相角差，就可以得到系统的幅频特性和相频特性曲线。
V ( ) Im[G( j)] ~ w
实频特性 虚频特性
U 以 为参变量， ( ) Re[G( j )] 为横坐标，V ( ) Im[G( j )] 为纵坐标的频率特性图。
1 1 jT
例如，惯性环节
G ( j )
的奈氏图如图所示。
U ( ) 1 1 (T ) 2
180
K 0 K 0
log
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积分环节的Bode图
K ⒉ 积分环节的频率特性：G( s) s K K K j e 2 频率特性： G ( j ) j K K A( ) ( ) tg 1 ( 0) 2 K L( ) 20 log A( ) 20 log L( ) / dB
2
特点
（1）频率特性具有明确的物理意义，它可以用实验 的方法来确定，这对于难以列写微分方程式的元部件或 系统来说，具有重要的实际意义。 （2）控制系统的频域设计可以兼顾动态响应和噪声 抑制两方面的要求。 （3）频率响应法不仅适用于线性定常系统，还可推 广应用于部分非线性系统的分析。