线性代数(专升本)综合测试1(吕晓刚)
专接本(成人大专)线性代数试卷
专接本（成人大专）《线性代数（经管类）》试卷（期终试卷）班级： 姓名： 学号： 成绩：一、单项选择题：（20×2分=20分）1．设行列式1112132122233132331a a a a a a a a a =，则111112132121222331313233332332332a a a a a a a a a a a a ------=（ ）.A. 6B. -6C. 18D. -18 2. 设A 为3阶方阵，且|A |＝2，则|2A -1|=（ ）. A. -4 B. -1 C. 1 D. 43. 设A 、B 均为n 阶方阵，则必有 （ ）.A. A B A B +=+B. AB BA =C. AB BA =D. T T AB A B =4. 已知向量组123410000,1,0,20010αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 下列选项为该向量组的一个极大无关组的是 （ ）.A. 12,ααB. 23,ααC. 123,,αααD. 1234,,,αααα 5. 设A 是n m ⨯矩阵，齐次线性方程组Ax =0有非零解的充要条件是 （ ）. A. ()r A n = B. ()r A n < C. 0A = D. m n > 6. 设向量组4321,,,αααα线性相关，则向量组中（ ）. A ．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合 B ．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合 C ．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合 D ．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合7. 设3阶实对称矩阵A 的特征值为λ1=λ2=0，λ3=2，则秩（A ）=（ ）. A ．0 B ．1 C ．2D ．38. 设A 与B 是两个相似n 阶矩阵，则下列说法错误的是（ ）. A. ||||A B = B.秩（A ）=秩（B ）C. 存在可逆阵P ，使1P AP B -= D. E A E B λλ-=- 9. 下列向量中与(1,1,1)α=-正交的向量是（ ）.A. 1(1,1,1)α=B. 2(1,1,1)α=-C. 3(1,1,1)α=-D. 4(0,1,1)α=- 10. 二次型正定的充要条件是为实对称阵)(A Ax x T =f ( ).A. A 可逆B.|A |>0C. A 的特征值之和大于0D. A 的特征值全部大于0 二、填空题（20×2分=20分）11.设(1234)A =，1234B ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则AB =_________________.12. 矩阵A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111的伴随矩阵A *=______________. 13. 已知某个3元非齐次线性方程组Ax=b 的增广矩阵A 经初等行变换化为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→1)1(0021201321a a a A ，若方程组无解，则a 的取值为____________.14.设向量(Tb α=为单位向量，则数b =______________. 15. 设A 为5阶方阵，且r (A )=3，则由A 的列向量张成的线性空间的维数是______________.16. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300041003A ，则 =--1)2(E A .17. 若A 、B 为5阶方阵，且Ax =0只有零解，且r (B )=3，则r (AB )=_________________.18. 二次型3121232221321332),,(x x x x x x x x x x f -+-+=对应的对称矩阵是____________________.19. 已知1(1,0,1)T X =-, 2(3,4,5)T X =是3元非齐次线性方程组Ax =b 的两个解向量，则对应齐次线性方程组Ax =0有一个非零解向量ξ=__________________.20. 已知A 有一个特征值-2,则22B A E =+必有一个特征值____________.三、计算题（6×9分=54分）21. 计算文字行列式abac ae bdcd de bf cfef---.22. 设100110111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，111111B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵X 使得AX B =.23. 求非齐次线性方程组123412341234245373642748171121x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++=⎨⎪-++=⎩的通解.24. 向量组123451122102151,,,,2031311041ααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.求:(1) 该向量组的秩.(2) 该向量组的一个极大无关组.25. 求矩阵200021012A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的所有特征值和最小的特征值对应的所有特征向量.26. 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=08022120111601152033B 的秩.四、证明题（本大题共1小题，6分）27. 任给向量1234,,,αααα,证明12233441,,,αααααααα++++线性相关.专接本（成人大专）《线性代数（经管类）》试卷（期终试卷参考答案）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1-5 ADBCB 6-10 ABDDD 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11. 30 12. 1111⎛⎫⎪--⎝⎭13. 0 14. 0 15. 3 16. 1001/21/20001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ 17. 3 18. 11/23/21/2203/203-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭19. (2,4,6)T或(2,4,6)T--- （此题答案不唯一，是此向量的非零倍均可） 20. 8三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21. 1111114111abac ae b c e bdcdde adf b c e abcdef abcdef bfcfef b c e ----=-=-=---22. 1X A B -=, (2分)100111001111011010001111100100⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, (8分) 110000X ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. (9分)23. 245371211036427~24537481711211213914----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1分12110~0075700141014---⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭3分 2120175~0011700000-⎛⎫- ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭6分 方程的解为：12243422/7110105/70010x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭9分 24. 112211122111221021510215102151203130215100000110410022200222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪---⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭11221021510022200000⎛⎫⎪- ⎪→ ⎪-- ⎪⎝⎭, (6分)该向量组的秩为3, (7分) 极大无关组为123,,ααα(或124,,ααα或125,,ααα). (9分)25. 200021012A E λλλλ-⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭, (1)(2)(3)A E λλλλ-=----, (3 分)特征值为1231,2,3λλλ===. (5 分) 最小特征值为1,100100011011011000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, （7分） 123330x x x x x ==-= 特征向量为01,0.1k k ⎛⎫⎪-≠ ⎪ ⎪⎝⎭(9分)26. 330251102111021110611106100042110213302500042220802208000042B ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪--⎪ ⎪ ⎪=→→⎪ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭1102100042000000000--⎛⎫⎪ ⎪→⎪⎪⎝⎭(7分)初等变换成行阶梯型后 有两行非零行，所以秩R(B)=2. （9分）四、证明题（本大题共1小题，6分）27. 设112223334441()()()()0k k k k αααααααα+++++++=, (3分)令12341,1,1,1k k k k ==-==-，则上式一定成立. (3分) 所以12233441,,,αααααααα++++线性相关.。
马克思主义原理(专升本)阶段性作业3(吕晓刚)
姓名学号学习中心专业年级考试时间[2019年秋季]马克思主义原理(专升本)阶段性作业3总分：100分得分：0分1. 劳动的二重性是指_______。
(5分)(A) 具体劳动(B) 抽象劳动(C) 简单劳动(D) 复杂劳动2. 货币的最基本的职能包括_______。
(5分)(A) 价值尺度(B) 流通手段(C) 支付手段(D) 贮藏手段3. 经济全球化的主要表现有_______。
(5分)(A) 生产全球化(B) 贸易全球化(C) 金融全球化(D) 企业经营全球化4. 资本主义政权的分权制衡是指_______。
(5分)(A) 立法权(B) 管理权(C) 行政权(D) 司法权5. 社会生产总过程的环节包括_______。
(5分)(A) 分配过程(B) 生产过程(C) 交换过程(D) 消费过程6. 全球经济的主要国际性协调组织有_______。
(5分)(A) 国际货币基金组织(B) 跨国公司(C) 世界银行(D) 世界贸易组织一、多选题参考答案：A,B 参考答案：A,B 您的回答：A 错误参考答案：A,B,C,D 参考答案：A,C,D 参考答案：A,B,C,D参考答案：A,C,D1. 请问生产价格形成的条件是否是平均利润的形成？(5分)正确错误2. 平均利润的形成是部门之间竞争的结果。
(5分)正确错误3. 超额利润是部门生产的剩余价值与平均利润的差额。
(5分)正确错误4. 金融寡头在经济上实现统治的手段主要是参与制。
(5分)正确错误5. 请问资本主义经济危机的深刻根源是否是资本主义基本矛盾？(5分)正确错误6. 请问资本主义国家在资本主义生产方式允许的范围内对资本主义生产关系进行一定调整，这种调整对生产力的发展起着彻底解放的作用？(5分)正确错误二、判断题参考答案：正确解题思路：参考答案：正确解题思路：参考答案：错误解题思路：参考答案：正确解题思路：参考答案：正确解题思路：参考答案：错误。
青岛理工成人教育 线性代数(本科、专升本)综合练习题及参考答案
解：A2=A (B2+2B+E)= (B+E)B2+2B+E=2B+2EB2=E
3、矩阵 的秩为2。
4、若A为n阶可逆矩阵，则R(A)＝n。
5、设A,B是两个三阶矩阵，且|A|=－1，|B|=－2，则 ＝1。
二、单项选择题
1、如果矩阵A,B满足|A|=|B|，则( )
6、n维向量组1，2，…，s(s1)若是线性相关的，则有一组不全为零的数k1，k2，…，ks，使k11+k22+…+kss=0成立。
7、设1，2，…，sRn，该向量组的秩为r，则对于s和r，当r=s时向量组线性无关；当r<s时向量组线性相关。
8、已知向量组1=(1,2,3,4),2=(2,3,4,5),3=(3,4,5,6),4=(4,5,6,7),，则该向量组的秩为(2)
解：(P-1AP)6=(P-1AP)(P-1AP)…(P-1AP)=P-1A6P
A6= , P-1= ,
(P-1AP)6= =
线性代数练习与答案(3)
一、填空题：
1、向量组1=(1,1,1,1),2=(1,0,2,2),3=(2,3,1,1)的线性相关性为线性相关.
2、向量组1=(1,2,0,0),2=(1,2,3,4),3=(3,6,0,0)的极大线性无关组为1,2或2,3
线性代数（1）练习与答案
一、填空题：
1、排列13582467的逆序数为7。
2、若排列21i36j87为偶排列，则i=(4),j=(5)
3、行列式 中，元素a12的代数余子式为15.
4、设行列式 ，则D1与D2的关系为D2=2D1。
中国地质大学 专升本线性代数
考试科目名称：线性代数
层次：专升本考试方式：考查
要求：1、独立完成; 2、答题要求正确运用所学本课程知识,同时联系实际进行分析；
3、逻辑清晰，内容完整，文字流畅；4、抄袭、雷同、非手写稿均记0分。
一、论行列式及其运算（共30分）
1.行列式是线性代数中的第一个基本概念。如何计算行列式是线性代数中的一个基本问题，常
须相等吗？在矩阵运算中，哪一种运算相当于通常我们说的除法？（10分）
2.你能说出两种以上的一个 阶方阵 可逆的充分必要条件吗？（10分）
3.试求矩阵 的逆矩阵，其中 。（10分）
三、论线性方程组的求解（共40分）
1.求解线性方程组是线性代数课程中要解决的最大问题。请问利用克莱姆法则求解线性方程组，对系数矩阵有条件限制吗？（10分）
用的计算方法有：化三角形法、递推法、降阶法、拆项法等等。请问什么是降阶法？（15分）
2.一个 阶行列式按定义计算是很困难的，通常先利用性质去简化行列式，再用相应方法解行列式。请问行列式有哪几条常用的性质(至少说出三条)？（15分中的第二个基本概念。矩阵与行列式一样是一个数吗？矩阵的行数与列数必
2.请描述非齐次线性方程组 的解的结构定理。(即什么条件下无解？什么条件下有
唯一解？什么条件下有无穷多组解，此时解由哪两部分组成？)（15分）
3.具体写出方程组 的通解。（15分）
(完整)线性代数习题集(带答案)
第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( )。
（A) 24315 （B ） 14325 （C ） 41523 (D ）24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k ， 则排列12j j j n 的逆序数是（ ）。
(A ）k (B)k n - (C ）k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( ）项.（A ） 0 (B ）2-n (C ） )!2(-n （D) )!1(-n4．=001001001001000（ )。
(A ） 0 (B)1- （C) 1 （D ） 25.=001100000100100( ）。
(A) 0 （B ）1- （C ） 1 (D) 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). （A) 0 （B)1- (C) 1 (D) 27。
若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D （ ). (A) 4 (B ） 4- (C) 2 （D) 2-8．若a a a a a =22211211,则=21112212ka a ka a ( ）.（A ）ka (B)ka - (C ）a k 2 （D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x （ ).（A) 0 （B ）3- (C ） 3 (D ） 210。
若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为（ ）.(A ）1- （B)2- （C ）3- （D ）011。
若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). （A)1- (B ）2- （C)3- （D ）012。
线性代数(专升本)阶段性作业3(吕晓刚)
___(6)___ .(5分)
(1). 参考答案: 3
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7. 设向量组
性___(7)___ .(5分) (1). 参考答案: 无关
，则
线
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(D) : 的行向量组线性相关， 的列向量组线性相关
参考答案：A
14. 向量组 ， ， ， 的极大线性无关组共有_____.(4分)
(A) : 2个 参考答案：A
(B) : 3个
(C) : 4个
(D) : 6个
15. 如果 (A) : (B) : (C) :如果 (D) :
参考答案：C
，则_____正确.(4分) 的一个部分组如果包含向量个数不超过4，则一定线性无关
是
的一个极大线性无关组
的一个部分组无关，则它包含的向量个数一定不超过4
的线性相关部分组一定含有多于4个向量
二、填空题
1. 若某向量组中含有零向量，则该向量组线性___(1)___ .(5分) (1). 参考答案: 相关
2. 若某向量组中有两个向量对应成比例，则该向量组线性___(2)___ .(5分) (1). 参考答案: 相关
3. 向量组 (1). 参考答案: 相关
线性___(3)___ .(5分)
4. 设有向量组
，又
，
，
线性___(4)___ .(5分) (1). 参考答案: 相关
，则向量组
5. 若向量组
线性相关，则向量组
，
，
线性___(5)___ .(5分)
(1). 参考答案: 相关
6. 设
， 的列向量组线性无关，则
和
均线性无关，则向量组
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_____.(4分)
线性代数第一单元（行列式）试卷（专升本）
线性代数第一单元（行列式）试卷（专升本）第一篇：线性代数第一单元(行列式)试卷(专升本)第1题标准答案：D 1-3-1 计算行列式，结果＝（）。
A、60B、70C、80D、90第2题标准答案：C 1-1-1 排列32145的逆序数是（）。
A、1B、2C、3D、4第3题标准答案：B 1-2-1 已知3阶行列式计算：的值，结果＝（）。
A、10B、20C、30D、40第二篇：线性代数教案第一节：低阶行列式《线性代数》教案第一章：行列式本章重点：行列式的计算及其性质的应用本章难点：行列式的几条性质的证明及利用这些性质计算行列式基本要求：1．会用对角线法则计算2阶行列式和3阶行列式2．了解n阶行列式的概念3．了解行列式的性质并掌握4阶行列式的计算，会计算简单的n 阶行列式 4．了解克莱姆法则第三篇：线性代数教案-第三章行列式及其应用第三章行列式及其应用本在线性代数应用于几何、分析等领域时,行列式理论起着重要的作用,线性代数范畴的矩阵理论的进一步深化,也要以行列式作工具.本章研究行列式理论以及它的一些作用.一、教学目标与基本要求（一）知识1n阶行列式的定义及性质现将这些性质作为公理体系来定义n阶行列式.设A=[aij]是任意一个n阶方阵,用Ai记其第i行元素为分量的n元向量,即2,Λ,n, Ai=(ai1,ai2,Λ,ain),i=1,并称其为行向量.有序向量组{A1,Λ,An}所定义的实值函数d(A1,Λ,An)被称为n阶行列式函数,如果它满足下列公理: 公理1 对每行具有齐性,即对任意实数t,有Λ,n.d(Λ,tAk,Λ)=td(Λ,Ak,Λ),k=1,公理2 对每行都具加性.即对任意n元向量B,有d(Λ,Ak+B,Λ)=d(Λ,Ak,Λ)+d(Λ,Ak-1,B,Ak+1,Λ), k=1,Λ,n.公理3若任意相邻两行相等,则行列式为零.即若Ak=Ak+1(k=1,Λ,n-1),则d(A1,Λ,An)=0.公理4 对于R中常用基{e1,Λ,en},有nd(e1,Λ,en)=1.当{A1,Λ,An}取定,则称d(A1,Λ,An)为一个n阶行列式.有时也简称为n阶行列式函数为n阶行列式.n行列式常被记为detA,|A|,或a11a21M an1a12a22MΛa1nΛa2n M.an2Λann公理4意味着,对于n阶单位方阵E,有 detE=|E|=1.前两个公理意味着,行列式函数是它每一行的线性函数,即对任意一行(如第1行)而言,若t1,Λ,tp是任意p个实数,B1,Λ,Bp是任意p个n元向量(p是任意正整数),有d(∑tkBk, A2,Λ,An)=∑tkd(Bk,A2,Λ,An)k=1k=1pp定理3.1.1满足公理1,2,3的行列式函数d(A1,Λ,An)具有以下性质:(1)若行列式某一行为零,则此行列式为零.(2)对调行列式任意两行,则行列式变号.(3)若行列式任意两行相等,则此行列式为零.(4)若向量组{A1,Λ,An}是相关的,则行列式d(A1,Λ,An)=0.(5)把行列式某行乘以数加到另一行去,行列式值不改变.行列式的计算例3.2.2设A是形如下式的n阶对角方阵⎡a11⎢0⎢⎢M⎢⎣00a22M00⎤Λ0⎥⎥(a=0,i≠j)M⎥ij⎥Λann⎦Λ则detA=a11a22Λann.由该例可得到: 例3.2.3设A 是形如下式的n阶上三角方阵⎡a11⎢⎢0⎢⎢M⎢⎢⎣0a12a22M0Λa1n⎤⎥Λa2n⎥⎥(主对角线下方各元素为零)M⎥⎥Λann⎥⎦则detA=a11a22Λann.定理3.2.1 设d是满足行列式公理1～4的n阶行列式函数,f是满足行列式公理1～3的n阶行列式函数,则对任意选定的n元向量A1,Λ,An及R中常用基{e1,Λ,en},有nf(A1,Λ,An)=d(A1,Λ,An)f(e1,Λ,en).(3.2.2)若f还满足行列式公理4,则有f(A1,Λ,An)=d(A1,Λ,An).-1定理3.2.2 若A是一个非奇异方阵(即A存在),则detA≠0,且detA-1=1 detA定理3.2.3 设A1,Λ,An是n个n元向量.该向量独立的充要条件是d(A1,Λ,An)≠0.本节最后,讨论分块对角方阵的行列式的简便算法.定理3.2.3 形如式(3.2.10)的分块对角方阵成立着⎡AO⎤det⎢⎥=detAdetB ⎢⎣OB⎥⎦本定理可以推广到一般情形:若C是一个具有对角子块A1,Λ,An的分块对角方阵,即⎡A1⎢⎢⎢⎢C=⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣OA2O O⎤⎥⎥⎥⎥⎥, ⎥⎥⎥⎥An⎥⎦则detC=(detA1)(detA2)Λ(detAn).行列式的展开公式定义3.3.1给定n阶方阵A=[akj](n≥2).去掉其元素akj所在的第k 行和第j列后,余下元素按原来位置构成的n-1阶方阵,被称为元素akj 的余子阵,记为Akj.而称detAkj为akj的余子式.定理3.3.1对任意n阶方阵A=[akj](n≥2),有'=(-1)k+jdetAkj,k=1,Λ,n.(3.3.2)detAkj从而有nΛ,n.(3.3.3)detA=∑akj(-1)k+jdetAkj,k=1,j=1此式被称为行列式按第k行的展开式.定义3.3.2对行列式detA而言,称(-1)k+jdetAkj为元素akj的代数余子式,记为cofakj.下面将利用数学归纳法来证明n阶行列式函数的存在性,从而在理论上确立了n阶行列式函数的存在唯一性.与此同时,可得到行列式按列展开的公式.定理3.3.2设n-1阶行列式函数存在.对任意n阶方阵A=[akj],定义函数f(A1,Λ,An)=∑(-1)k+1ak1detAk1,(3.3.4)k=1n则它是n阶行列式函数定理3.3.3对任意n阶方阵A=[akj],有∑(-1)j=1nni+j i=k⎧detA,(3.3.6)akjdetAij=⎨0, i≠k⎩i=k⎧detA,i+j(3.3.7)(-1)adetA=⎨∑jkji i≠kj=1⎩ 0,定理3.3.4对任意n阶方阵A=[akj],有detA=detAT.4 伴随阵及方阵的逆定义3.4.1给定n阶方阵A=[aij],称n阶方阵[cofaij]为A的伴随阵,记为TA*.据此定义知: A的伴随阵A*位于第j行第i列的元素,就是A的元素aij的代数余子式cofaij=(-1)i+jdetAij.定理3.4.1对任意n阶方阵A=[aij](n≥2),有AA*=(detA)E.-1又:若detA≠0,则A存在,且有A-1=1A*.detA-1定理3.4.2对任意n阶方阵A而言,A存在得充分必要条件是detA≠0.当detA≠0,就有A-1=11A*,detA-1= detAdetA5矩阵的秩定义3.5.1在一个m⨯n矩阵A中,任取k行k列(k≤min(m,n)),位于这些行列交叉处的元素按原来位置构成的k阶行列式,被称为矩阵A 的k阶子式.A中不为零的子式.A中不为零的子式的最高阶数,被称为矩阵A的秩,记为R(A).若A没有不为零的子式(等价的说法是: A是零矩阵),则认为其秩为零.推论若A有一个r阶子式不为零,而所有r+1阶子式全为零,则R(A)=r.定理3.5.1初等变换不改变矩阵的秩.等价的说法是:若A～B(即A与B等价),则R(A)=R(B).若A是n阶方阵且R(A)=n,则称A为满秩方阵.显然,下列命题等价:(1)A是满秩方阵.(2)detA≠0.(3)A是可逆的(非奇异的).克莱姆法则定理3.6.1对于含有n个未知量x1,Λ,xn的n个线性代数方程构成的方程组⎧a11x1+a12x2+Λ+a1nxn=b1,⎪ax+ax+Λ+ax=b,⎪2112222nn2(3.6.1)⎨⎪M M M M⎪⎩an1x1+an2x2+Λ+annxn=bn,(或写为∑aj=1nijΛ,n.)xj=bi,i=1,如果其系数方阵A=[aij]是非奇异的(即detA≠0),则它是唯一解.这里cofakj是方阵A的元素akj的代数余子式.式(3.6.2)表示的线性代数方程组(3.6.1)的解亦可表示为xj=detCjdetA,j=1,Λ,n.(3.6.3)这里方阵Cj是A中第j列换为列阵b 所成的n阶方阵.读者容易验证(3.6.3)式右端与(3.6.2)式右端相等.二本章重点及难点1、理解用公理定义行列式概念中的数学原理2、利用公理4进行行列式计算3、方阵的行列式及方阵可逆之间的关系4、矩阵的秩5、利用伴随阵求解方阵的逆6、克莱母法则三：本章教学内容的深化和拓宽１．２．若第四个公理改变,行列式的值如何改变当克莱母法则法则的相关条件改变又如何? 四：思考题和习题1(3)(4)3(1)5(2)7(3)10(2)15 16(2)五、教学方式（手段）本章主要采用讲授新课的方式。
中国地质大学线性代数(专升本)阶段性作业2
线性代数(专升本)阶段性作业2单选题1. 设是矩阵，是矩阵，是矩阵，互不相等，则下列运算没有意义的是_____.(6分)(A) :(B) :(C) :(D) :参考答案：D2. 设是矩阵，是矩阵，则下列_____的运算结果是阶方阵．(6分)(A) :(B) :(C) :(D) :参考答案：B3. 设都是阶方阵，则必有_____.(6分)(A) :(B) :(C) :(D) :参考答案：C4. 下列命题中，正确的是_____.(6分)(A) :(B) : 若，则(C) : 设是三角矩阵，则也是三角矩阵(D) :参考答案：D5. 设都是阶矩阵，，则必有_____.(6分)(A) :(B) :(C) : 或(D) :参考答案：C6. 设都是阶方阵，下列结论正确的是_____.(6分)(A) : 若均可逆，则可逆(B) : 若均可逆，则可逆(C) : 若可逆，则可逆(D) : 若可逆，则均可逆参考答案：B7. 设阶方阵满足关系式，则必有_____.(6分)(A) :(B) :(C) :(D) :参考答案：D8. 设均为阶方阵，若，则_____.(6分)(A) :(B) :(C) :(D) :参考答案：A9. 设三阶矩阵，若的伴随矩阵的秩为1，则必有_____.(6分)(A) :或(B) :或(C) :且(D) :且参考答案：C10. 矩阵的秩为2，则=_____.(6分)(A) 3(B) 4(C) 5(D) 6参考答案：D11. 设都是阶非零矩阵，且，则的秩_____.(6分)(A) : 必有一个等于零(B) : 都小于(C) : 一个小于，一个等于(D) : 都等于参考答案：B12. 下列矩阵中，_____不是初等矩阵.(6分)(A) :(B) :(C) :(D) :参考答案：B13. 设，，，，则必有_____.(6分)(A) :(B) :(C) :(D) :参考答案：C14. 设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的倍加到第2列得，记，则_____.(6分)(A) :(B) :(C) :(D) :参考答案：B15. 设为3阶矩阵，将的第1列与第2列交换得，再将的第2列加到第3列得，则满足的可逆矩阵为_____.(6分)(A) :(B) :(C) :(D) :参考答案：D填空题16. 设阶矩阵的秩为，则其伴随矩阵的秩为___(1)___ .(5分)(1) .参考答案:17. 设矩阵，且，则___(2)___ .(5分)(1) .参考答案:-3（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。
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5. 论特征值与特征向量
(1) 设A为n阶方阵， 是A的特征值，x是A的关于 的特征向量，则A、 、x必须满足什么条件
？ 应如何求得？
(2) n阶方阵A必有n个特征值:
，则这n个特征值必须满足哪两条性质？
(3) 两个n阶方阵A与B相似的定义是什么？它们的特征值之间有什么关系？方阵A与一个对角矩阵
似的充分条件。实对称矩阵一定与对角矩阵相似。等等（答出任意一个即可）
解题思路：
第2/2页
(C) :
(D) :
参考答案：C
3. 设 可逆，则 (A) :
参考答案：B
的解是 _____.(5分)
(B) :
(C) :
(D) : 不存在
4. 若向量组线性相关，则它的部分向量组是_____.(5分)
(A) : 线性相关
(B) : 线性无关
(C) : 或者线性相关，或者线性无关
(D) : 既不线性相关，也不线性无关
此时所有的解构成解空间，解空间中存在着ｎ－ｒ个线性无关的解向量，构成基础解系，方程组
中的每一个解均可表为基础解系的一个线性组合. （2）对于ｎ元非齐次线性方程组AX＝ｂ而言：当系数矩阵的秩R(A)＝增广矩阵的秩R(Aｂ)时， 方程组有解；当R(A)≠R(Aｂ)时，方程组无解. 且R(A)＝R(Aｂ)＝ｎ时有惟一解，R(A)＝R(Aｂ) ＜ｎ时有无穷多解；此时AX＝ｂ的通解由齐次通解与非齐次特解相加构成. （3）答案是不一定必有无穷多组解. 由解的结构定理可知，AX＝0有无穷多解，则其秩必 有R(A)＝ｒ＜ｎ，但仅此并不能保证AX＝ｂ有无穷多组解，因为不能保证R(A)＝R(Aｂ)，所以 非齐次线性方程AX＝ｂ也可能无解.
与对角矩阵相似的___(2)___ 条件(5分)
1. 计算行列式：
. (10分)
参考答案： 先提出各列的公因子，再利用展开法则得到
原式
.
解题Байду номын сангаас路：
2. 解矩阵方程
，求 ，其中
.(10分)
参考答案：解答
,
第1/2页
解题思路：
3. 设 阶方阵 满足关系式
参考答案：因为
，证明 可逆，并写出 ，通过移项与提取公因子得
的表达式.(10分)
从而由可逆定义知 可逆，并且
.
解题思路：
4. 论线性方程组的解的结构与计算
无论是在科学研究领域，还是在工程技术应用中，大量的问题可以归结为线性方程组的求解，因
此研究线性方程组的求解问题是线性代数的一个重要内容. （1）请描述齐次线性方程组AX=0的解的结构定理 (即什么条件下只有唯一的零解？什么条件 下有无穷多组非零解，此时的非零解由什么组成？) （2）请描述非齐次线性方程组AX=b的解的结构定理 ( 即利用系数矩阵与增广矩阵的秩的关系 ，给出在:什么条件下无解？什么条件下有唯一解？什么条件下有无穷多组解，此时的解由哪两 部分组成？) （3）请利用齐次线性方程组与非齐次线性方程组的解的结构定理讨论：若齐次线性方程组AX=0 有无穷多组解，则非齐次线性方程组AX=b是否也必有无穷多组解？(15分) 参考答案：（1）设有ｎ元齐次线性方程组AX＝0 ，则它的解的结构定理是： 当秩R(A)＝ｎ时，方程组只有唯一的零解; 当秩R(A)＝ｒ＜ｎ时，方程组有无穷多组非零解.
参考答案：C
5. 若 阶方阵 不可逆，则必有_____.(5分) (A) :
(D) : 参考答案：B
(B) : 0为 的一个特征值 (C) : 秩
二、填空题
1.
，
，且
，则 ___(1)___ .(5分)
(1). 参考答案: -4
2. 阶方阵 的 个特征值互不相同是 (1). 参考答案: 充分
三、问答题
相似通常需要满足哪些条件(条件不止1个，任意写出1条即可）？(20分)
参考答案：解答要点
(1)特征值与特征值向量必须满足关系式
；并且是通过解特征多项式
求出所
有的特征值 ，通过解线性方程组
求出所有的特征向量 ；
(2) 阶方阵 必有 个特征值，这 个特征值必须满足两条性质:
①
，②
。
(3) 两个n阶方阵A与B相似的定义是：如果存在n阶可逆矩阵P，使得（P逆）AP=B，则称A与B 相似。相似矩阵有相同的特征值。相似对角化的条件不止一条，例如：矩阵A的n个特征向量线 性无关，是A与对角矩阵相似的充分必要条件。矩阵A的n个特征值互不相等，是A与对角矩阵相
[2019年秋季]
姓名
线性代数(专升本)综合测试1
总分： 100 分 得分： 0 分
一、单选题
1. 若行列式
，则 _____.(5分)
学号 学习中心 专业 年级 考试时间
(A) :
(B) :
(C) :
(D) :
参考答案：B
2. 对任意同阶方阵 ，下列说法正确的是_____.(5分)
(A) :
(B) :