天津南开中学高三第五次月考数学(文)试卷
2017届天津市南开中学高三第五次月考数学(文)试题(解析版)
2017届天津市南开中学高三第五次月考数学（文）试题一、选择题1．复数z 满足: ()()25z i i --=，则z =（ ） A. 22i -- B. 22i -+ C. 22i - D. 22i + 【答案】D【解析】试题分析：因为()()25z i i --=，所以【考点】复数的运算2．函数()log f x x x=-+21的零点所在区间是（ ）（A ）()0,1 （B ）()1,2 （C ）()2,3 （D ）()3,4 【答案】B【解析】试题分析：不难知，当x ＞0时f （x ）为增函数，且f （1）＝－1＜0，f （2）＝－12＋1＝12＞0所以零点一定在（1，2）内.选B 【考点】函数的零点3．若0.30.33,log 3,log a b c e π===，则（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. c a b >>D. b c a >> 【答案】A【解析】因为00.31,1e <，所以0.3l o g 0c e =<，由于.30.3031,130l o g 31a b ππ>⇒=><<⇒<=<，所以a b c >>，应选答案A 。
4．若2223340a b c +-=，则直线0ax by c ++=被圆221x y +=所截得的弦长为（ ） A.23 B. 1 C. 12 D. 34【答案】B【解析】因为22243a b c +=，所以圆心()0,0O 到直线0ax by c ++=的距离d ==1212l =⨯=，应选答案B 。
5．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：左视图是从左往右看，将几何体上的点往右面做投影，看到的是一个长方形，连从右上角到左下角的对角线 【考点】本题考查三视图点评：考察学生的空间想象能力，此题比较简单，能直接想象出来6．如图， 12,F F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点， ,A B 分别是12,C C 在第二、四象限的公共点，若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是（ ）A.B. C.32 D. 2【答案】D【解析】因为2,1a b c ==⇒=22212||412AF AF c +==，由椭圆定义可得1224AF AF a +==，所以12216124AF AF ⋅=-=，又因为12AF AF -==a '=，所以双曲线的离心率c e a ===D 。
2020届天津市南开区南开中学高三第五次月考数学试题Word版含解析
2020届天津市南开区南开中学高三第五次月考数学试题一、单选题1．设U ∈R ，{}2,1,0,1,2A =--，{}1B x x =≥，则U A B =I ð（ ） A ．{}1,2 B ．{}1,0,1-C ．{}2,1,0--D ．{}2101--,,, 【答案】C【解析】先根据补集的定义求出U B ð，再由交集的定义可得结果. 【详解】因为{}1U R B x x ∈=≥，，{}|1U B x x ∴=<ð， 又因为{}2,1,0,1,2A =--，(){}2,1,0U A B ∴=--I ð，故选C ． 【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且不属于集合B 的元素的集合. 本题需注意两集合一个是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥.2．若变量,x y 满足约束条件4400y x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12 【答案】B【解析】试题分析：可行域为一个开放区域，如图其中(4,4),(2,2)B C ，所以直线2z x y =+过点C 时取最小值6，选B.【考点】线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.3．设0.10.3a =，131log 5b =，4log 25c =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c b a >>【答案】D【解析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出,,a b c 的取值范围，从而可得结果 . 【详解】因为0.100.3100.3a <==<，113333111log log log 592,og 53l b =<==<= 244log 25log 42c =>=，c b a ∴>>，故选D. 【点睛】本题主要考查对数函数的单调性、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（本题是看三个区间()()()0,1,1,2,2,+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.4．下列选项中说法正确的是（ ）A ．若非零向量a r ，b r 满足0a b ⋅>r r ，则a r 与b r的夹角为锐角B ．“0x ∃∈R ，2000x x -≤”的否定是“x ∀∈R ，20x x -≥”C ．直线1:210l ax y ++=，2:220l x ay ++=，12l l //的充要条件是12a =D ．在ABC ∆中，“若sin sin A B >，则A B >”的逆否命题是真命题 【答案】D【解析】利用a v ，b v同向的情况判断A ；利用特称命题的定义判断B ；利用12//l l 等价于12a =±判断C ；利用正弦定理边角互化以及原命题与其逆否命题的等价性判断D . 【详解】对于A ，a v ，b v 同向时， a v 与b v 的夹角为0，不是锐角，故不正确； 对于B ， “0x R ∃∈，2000x x -≤”的否定应该是“x R ∀∈，20x x ->”，故不正确；对于C ， 12//l l 等价于241a =，即12a =±，得12//l l 的充要条件是12a =± ，故不正确； 对于D ，Q sin sin A B >，∴由正弦定理可得ab >，由于大边对大角，A B ∴>，即原命题正确，∴逆否命题是真命题 ，故正确，故选D.【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查向量的夹角、特称命题的否定、两直线平行的充要条件以及正弦定理边角互化的应用，属于中档题.做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的、自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题. 5．已知为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，为的前项和，，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：,又因为是与的等比中项,所以，即，解之得，所以，故选D.【考点】1.等差数列定义与性质；2.等比数列的定义与性质；3.等差数列的前项和. 【名师点睛】本题考查等差数列定义与性质、等比数列的定义与性质、等差数列的前项和，属中档题；解决等差数列与等比数列相关问题最常用的方法就是基本量法，即用首项及公差，公比来表示已知条件，列出方程或方程组，求出就可以解决受益人问题.6．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为32，过右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为M ，若FOM ∆5O 为坐标原点，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22415y x -= B ．222125x y -= C ．22145x y -=D ．2211620x y -=【答案】C【解析】运用离心率公式，求得渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得F 到渐近线的距离为b ，由勾股定理可得OM a =，运用三角形的面积公式，结合,,a b c 的关系，解得,a b ，即可求出双曲线方程． 【详解】由题意可得 32c e a ==①， 可得2251b c a a =-= ，设 (),0F c ， 渐近线为by x a=， 可得 F 到渐近线的距离为22MF b a b==+ ，由勾股定理可得 2222||||OM OF MF c b a =-=-= ，因为FOM ∆的面积为5，所以152ab = ② ，又 222+=a b c ③，由①②③ 解得5,2,3b a c === ，所以双曲线的方程为22145x y -= ,故选C.【点睛】本题主要考查双曲线的方程与几何性质，属于中档题. 求解双曲线方程的题型一般步骤：（1）判断焦点位置；（2）设方程；（3）列方程组求参数；（4）得结论.7．已知函数，若方程在上有且只有四个实数根，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】作出的函数图象如图所示：令得或或设直线与在上从左到右的第4个交点为，第5个交点为，、则∵方程在（上有且只有四个实数根， 即解得.故选B ．8．已知定义在R 上的函数()[)[)222,0,12,1,0x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩，且()()2f x f x +=,若方程()20f x kx --=有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,34⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．111,,133⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭UD ．1111,,3443⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U【答案】C【解析】由()()2f x f x +=可得函数周期为2，结合函数在[]1,1-上的解析式，利用周期作出()f x 的函数图象,根据()y f x =和2y kx =+图象交点个数判断k 的范围. 【详解】方程()20f x kx --=有三个不相等的实数根， 等价于()y f x =和2y kx =+图象有三个不同交点，因为()()2f x f x +=,所以()f x 的周期为2，由函数()[)[)222,0,12,1,0x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩，利用周期性作出()f x 的函数图象，如图所示: 不妨设0,k >当直线2y kx =+过()()3,1,1,1--时，k 的值分别为13与1，由图可知，113k <<时直线2y kx =+与()f x 的图象有三个交点，113k ∴<<时, 方程()20f x kx --=有三个不相等的实数根, 同理,若k 0<,可得113k -<<-时，方程()20f x kx --=有三个不相等的实数根,所以实数k 的取值范围是111,,133⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，故选C. 【点睛】本题主要考查函数的周期与函数图象的应用，考查了函数零点与方程根的关系，同时考查了转化思想与数形结合思想的应用，属于难题. 函数零点的几种等价形式：函数()()y f x g x =-的零点⇔函数()()y f x g x =-在x 轴的交点⇔方程()()0f x g x -=的根⇔函数()y f x =与()y g x =的交点.二、填空题 9．已知复数z 满足1i 1zz-=-+，则z =________. 【答案】1【解析】化简原式，利用复数的乘法运算法则求得z i =，利用复数模的计算公式即可得结果. 【详解】Q 复数z 满足11zi z-=-+， (1)1i z i ∴-=+，(1)(1)(1)(1)i i z i i ∴+-=++，即22z i =，z i ∴=， 则1z =，故答案为1. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查乘除运算，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 10．在()621x -的展开式中，含3x 项的系数是________（请用数字作答）. 【答案】160-【解析】先求出二项式()621x -的展开式的通项公式，令x 的指数等于3，求出r 的值，即可求得展开式中3x 的项的系数. 【详解】6(21)x -的展开式的通项公式为666166(2)(1)2(1)r r r r r r r r C x C T x ---+⨯=-=⨯-，令633r r -=⇒=，所以含3x 的项是3336(2)(1)C x ⨯-336542(1)321x ⨯⨯=⨯⨯⨯-⨯⨯3160x =-，∴含3x 项的系数是160-，故答案为160-.【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C rn rr r n T ab -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.11．已知直线()600,0ax by a b +-=>>被圆22240x y x y +--=截得的弦长为则ab 的最大值为________. 【答案】92【解析】再由弦长为,可得到a 与b 满足的关系式,再利用基本不等式即可得到结论. 【详解】圆22240x y x y +--=可化为22(1)(2)5x y -+-=,则圆心为()1,2,半径为r =又因为直线()+6=00,0ax by a b ->>被圆22240x y x y +--=截得的弦长为2r =,所以直线()+6=00,0ax by a b ->>过圆心,即260a b +-=, 化为26,0,0a b a b +=>> ,62a b ∴=+≥当且仅当2a b =时取等号,9,2ab ab ∴≤∴的最大值为92,故答案为92.【点睛】本题主要考查圆的方程与性质以及基本不等式的应用，考查了转化思想的应用属于中档题. 转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将弦长问题转化为直线过圆心是解题的关键.12．《九章算术》中，将底面为长方形且由一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2,4PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为__________. 【答案】20π【解析】由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且PA ⊥平面ABC ，可得PC =PB =PBC V 为直角三角形，可得BC =PB BC ⊥，因此AB BC ⊥，结合几何关系，可求得外接球O 的半径R ===O 的表面积。
天津南开中学2019年文数第五次月考试卷
第1页，总20页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………天津南开中学2019年文数第五次月考试卷考试时间：**分钟 满分：**分姓名：____________班级：____________学号：___________题号 一 二 三 总分 核分人 得分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 15 分钟收取答题卡第Ⅰ卷 客观题第Ⅰ卷的注释评卷人 得分一、单选题（共8题)1. 执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是（ ）A . 1B . 2C . 4D . 7 2. 设，则“”是“”的（ ）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件 3. 若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）A .B .C .D .答案第2页，总20页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………4. 已知全集 ，集合 ，集合 ，则（ ）A .B .C .D .5. 实数 满足不等式组 ，则目标函数 的最小值是（ ）A . 2B . 3C . 4D . 56. 已知双曲线 的左右焦点分别为 ，若直线 与双曲线的一个交点 的横坐标恰好为 ，则双曲线的离心率为（ ） A . B . 2 C .D .7. 函数的最小正周期是 ，若其图象向左平移 个单位后得到的函数为偶函数，则函数 的图象（ ）A . 关于点 对称B . 关于直线 对称C . 关于点 对称D . 关于直线对称8. 在中，，于点，为 的中点，若，则实数（ ） A . B .C .D .第Ⅱ卷 主观题第Ⅱ卷的注释评卷人得分一、填空题（共6题)1. 若 （ 为虚数单位）是纯虚数，则实数 .。
2022-2023学年天津市南开中学高三(下)第五次月考数学试卷+答案解析(附后)
2022-2023学年天津市南开中学高三（下）第五次月考数学试卷1.集合，，，则等于( )A. B. C. D.2.设，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.函数的大致图象是( )A. B.C. D.4.某市为了解全市环境治理情况，对本市的200家中小型企业的污染情况进行了摸排，并把污染情况各类指标的得分综合折算成标准分100分，统计并制成如图所示的直方图，则标准分不低于70分的企业数为( )A. 30B. 60C. 70D. 1305.设，且，则( )A. B. 6 C. 12 D. 366.已知，，，则( )A. B. C. D.7.“迪拜世博会”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜举行，中国馆建筑名为“华夏之光”，外观取型中国传统灯笼，寓意希望和光明．它的形状可视为内外两个同轴圆柱，某爱好者制作了一个中国馆的实心模型，已知模型内层底面直径为12cm，外层底面直径为16cm，且内外层圆柱的底面圆周都在一个直径为20cm的球面上．此模型的体积为( )A. B. C. D.8.如图，、是双曲线C：的左、右焦点，过的直线与双曲线C交于A、B两点．若：：：4：5，则双曲线的渐近线方程为( )A.B.C.D.9.已知函数，且的最小正周期为，给出下列结论：①函数在区间单调递减；②函数关于直线对称；③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象.其中所有正确结论的序号是( )A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③10.设复数z满足为虚数单位，则的值为______.11.在的二项展开式中，的系数为__________用数字作答12.若为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程为______ .13.教育部决定自2020年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点也称强基计划强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀成基础学科拔尖的学生，强基计划的校考由试点高校自主命题．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目，且每门科目是否通过相互独立．若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率分别为该考生报考乙大学，每门科目通过的概率均为，设A为件“该考生报考乙大学在笔试环节至少通过二门科目”，事件A发生的概率为______，设X为该考生通过甲大学的笔试环节科目数，随机变量X的数学期望为______.14.若a，，，则的最小值为______.15.已知函数是偶函数，当时，，关于x的方程有且仅有6个不同的实根，则实数a的范围是__________.16.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，已知，，BC的面积为求a的值；求的值；求的值．17.如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，点E为棱PC的中点．证明：；求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；若F为棱PC上一点，满足，求平面FAB与平面ABP夹角的余弦值．18.已知椭圆的左、右焦点分别为，，B为上顶点，，原点O到直线的距离为求椭圆的方程；设斜率不为0的直线l过点，与椭圆交于M，N两点，若椭圆上一点P满足，求直线l的方程．19.已知数列是公比的等比数列，前三项和为13，且，，恰好分别是等差数列的第一项，第三项，第五项．求和的通项公式；已知，数列满足，求数列的前2n项和；设，求数列的前n项和20.已知求在处的切线方程以及的单调性；对，有恒成立，求k的最大整数解；令，若有两个零点分别为，且为的唯一的极值点，求证：答案和解析1.【答案】B【解析】解：故选：利用补集的定义求出T的补集；利用交集的定义求出两个集合的交集．本题考查利用集合的交集、补集、并集的定义求集合的交、并、补运算．2.【答案】A【解析】解：，，，“”是“”的充分不必要条件，故选：先求出命题所对应的集合，判断集合之间的包含关系，可知答案．本题考查解不等式，简易逻辑，属于基础题．3.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用排除法结合极限思想是解决本题的关键．利用极限思想，结合函数值的符号，利用排除法进行求解即可．【解答】解：当时，，排除A，C，，排除D，故选：4.【答案】C【解析】解：根据频率分布直方图，标准分不低于70分的企业的频率为：，标准分不低于70分的企业数为家故选：根据频率分布直方图，先求出标准分不低于70分的企业的频率，由此能求出标准分不低于70分的企业数．本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】A【解析】解：，故选：根据已知条件可利用对数的性质分别求得和关于m的表达式，进而根据求得m的值．本题主要考查了指数函数和对数函数的性质．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，计算能力．6.【答案】B【解析】解：，，，则故选：利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．本题考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了空间几何体的理解与应用，主要考查了圆柱和球的几何性质的应用，圆柱的体积公式的运用，解题的关键是求出内层圆柱和外层圆柱的体积，考查了逻辑推理能力、空间想象能力与化简运算能力，属于中档题．由题意，实心模型由两个圆柱构成，实心模型的体积=内层圆柱的体积+外层几何体的体积，利用圆柱与球的几何性质，求出内层圆柱的体积和外层圆柱的体积，从而求出外层几何体的体积，求出模型的体积．【解答】解：由题意可知，实心模型由两个圆柱构成，实心模型的体积=内层圆柱的体积+外层几何体的体积，因为内层圆柱的底面直径，所以，所以内层圆柱的底面积为，外层底面直径为，所以，所以外层圆柱的底面面积为，又内外层的底面圆周都在一个直径为20cm的球上，即，如图，以内层圆柱为例，因为内层圆柱的底面圆周在球面上，所以球心O与内层圆柱的底面圆心的连线垂直于底面圆，即，所以，根据球的对称性可得，内层圆柱的高为，所以内层圆柱的体积为，同理可得，外层圆柱的高为，所以外层圆柱的体积为，由题意可得，外侧几何体的体积等于外层圆柱体的体积减去高为12的内层圆柱体的体积，故，所以该几何体的体积为故本题选8.【答案】A【解析】解：设，，则，，根据双曲线的定义，得，即，解之得，：：：4：5，得是以B为直角的，，可得，中，，可得，即有，，，则双曲线的渐近线方程为故选：设，，根据双曲线的定义算出，中算出，可得，在中，利用余弦定理与双曲线的渐近线方程可得．本题着重考查了双曲线的定义与简单几何性质、直角三角形的判定与性质、利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：，因为的最小正周期为，所以，解得，所以，①当时，，因为，所以函数在区间单调递减，即①正确；②，即②正确；③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，显然与不相等，即③错误．故选：先利用辅助角公式化简，根据正弦函数的周期性求得，再结合正弦函数的图象与性质，逐一分析，即可．本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握正弦函数的周期性，单调性和函数图象的平移法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．10.【答案】【解析】解：由，得，故答案为：把已知等式变形，利用商的模等于模的商求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．11.【答案】【解析】【分析】本题考查二项式定理的应用，属于基础题．写出通项公式，根据题意求出r，代入即可．【解答】解：的二项展开式的通项公式为，由得，，，所以的系数为，故答案为：12.【答案】【解析】解：由圆，得到圆心C坐标为，又，，弦AB所在的直线方程斜率为，又P为AB的中点，则直线AB的方程为，即故答案为：由圆的方程找出圆心C的坐标，连接CP，由P为弦AB的中点，根据垂径定理的逆定理得到CP垂直于AB，根据两直线垂直时斜率的乘积为，由P与C的坐标求出直线PC的斜率，进而确定出弦AB所在直线的斜率，由P的坐标及求出的斜率，写出直线AB的方程即可．此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，垂径定理，两直线垂直时斜率满足的关系，以及直线的点斜式方程，根据题意得出直线PC与直线AB垂直是解本题的关键．13.【答案】【解析】解：①事件A可分为考生报考乙大学在笔试环节通过二门科目，或者考生报考乙大学在笔试环节通过三门科目，；②由题意可得，X的值可能为0，1，2，3，，，，，即X的分布列为：X0123P故答案为：；①根据已知条件，事件A可分为考生报考乙大学在笔试环节通过二门科目，或者考生报考乙大学在笔试环节通过三门科目，分别求出对应的概率，并求和，即可求解；②由题意可得，X的值可能为0，1，2，3，分别计算出其所对应的概率，再结合期望公式，即可求解．本题考查离散型随机变量分布列，以及期望的求法，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．14.【答案】8【解析】【分析】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题中要注意应用条件的合理配凑．先变形，再利用基本不等式求最值即可．【解答】解：，，，则，当且仅当且时，取得最小值8，故答案为：15.【答案】【解析】【分析】本题考查函数的零点，解题中注意数形结合思想，转化思想的应用，属于较难题．根据题意作出的图象，令，则方程为，若方程有且仅有6个不同的实根，则方程有两个实数根，即可得出答案．【解答】解：根据题意作出的图象，令，则方程为，若方程有且仅有6个不同的实根，则方程有两个实数根，所以其中一个根为0，且另一根在区间，或者一根在区间，另一根在区间，因为，故此种情况不成立，所以，解得，所以a的取值范围故答案为：16.【答案】解：由，由正弦定理得，又的面积为，解得，；由余弦定理有，，由正弦定理有，；，，又由知，，，，【解析】由已知条件结合三角形面积公式和正弦定理即可求a；由余弦定理求出b，再根据正弦定理即可求出；根据求出，再由正弦和角公式，正余弦二倍角公式即可求值，本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角差的余弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属中档题．17.【答案】依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系如图，可得，，，，由点E为棱PC的中点，得证明：向量，，故解：向量，设为平面PBD的法向量，则，即，不妨令，可得为平面PBD的一个法向量．于是有，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为解：，由点F在棱PC上，故，由，得，解得，即设为平面ABF的法向量，则，即，不妨令，可得为平面ABF的一个法向量．取平面PAB的法向量，则易知二面角是锐角，其余弦值为【解析】可以建立空间直角坐标系，利用向量数量积来证明；向量法：先求平面PBD的法向量，然后利用公式求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；向量法：先求平面ABF和平面PBA的法向量，再利用公式来求二面角的余弦值．本题主要考查异面直线垂直的证明，线面角的相关计算，面面角的计算，空间向量及其应用等知识，属于中等题．18.【答案】解：由题意得，，因为，所以，由原点O到直线：的距离为，可得，解得，所以椭圆的方程为因为直线l的斜率不为0，且过点，所以设直线l的方程为，设点，，联立方程，得，则，，因为，所以，将点P的坐标代入椭圆方程得，而，整理得到，即，，，解得，所以直线l的方程为或【解析】根据及原点到直线的距离可求a，b，从而可求椭圆的方程．设直线l的方程为，，，可用所设两点的坐标表示P，联立直线方程和椭圆方程，消元后利用韦达定理结合P在椭圆上可求直线的方程．本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．19.【答案】解：或舍又解：时，，；时，，，①，②由①-②可得，，，解：，，故【解析】利用等比基本量法结合等差中项列式可求得通项公式，再利用等差基本量法求得通项公式；，令，得到，由裂项相消求得，令，得，由错位相减法求得，即可求解；代入得，对指数型式子配凑进行裂项可得，再由裂项相消即可求解．本题考查了等差数列与等比数列的综合计算，错位相减法与裂项相消法求和的问题，属于中档题．20.【答案】解：的导数为，可得，，所以在处的切线方程为即；由，由，可得；由，可得，所以的单调递减区间为，单调递增区间为；由已知可得，等价于，可令，，记，，所以为上的递增函数，且，，所以，，即，所以在上递减，在上递增，且，所以k的最大整数解为3；证明：，，若要有极值点，显然，所以令，可得，当，，，，所以在上单调递减，上单调递增，而要使有两个零点，要满足，即可得，因为，，令，由，即，而，即，由，，只需证，令，则，令，则，故在上递增，；故在上递增，；【解析】本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查构造函数法和分析法，考查转化思想和化简运算能力，属于难题．求得的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意定义域；等价于，可令，求得导数，再构造函数，求得导数，判断单调性可得的单调性，以及最小值，即可得到所求k的最大整数解；求得的导数和单调性，由极小值小于0，可得，再由分析法，注意构造函数，求得导数和单调性，即可得证．。
2019届天津市南开区南开中学高三第五次月考数学试题(解析版)
连接 ， 等腰三角形 中, ，
,
是 的中线,
同理,可得 ,
由此可得
，
,可得 , 代入上式得
， , 当 时, 的最小值为 ,
此时 的最小值为 ,故答案为 .
【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算以及平面向量数量积的运算法则，考查零点二次函数的性质，属于难题.向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式 ；二是向量的平方等于向量模的平方 .
因此 或 （舍）．
所以只可能是 ，
此时 ，因此 ，
所以平面 所在小圆的半径即为 ，
又因为 ，
所以外接球 的半径 ，
所以球 的表面积为 ．
【点睛】
本题考查三棱锥的外接球问题，难点在于确定BC的长，即得到 ，再结合几何性质即可求解，考查学生空间想象能力，逻辑推理能力，计算能力，属中档题。
13．已知曲线 的参数方程为 为参数），点 为其焦点,在平面直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ,点 分别在曲线 和 的实线部分上运动（如图所示），且 总是平行于 轴，则 的周长的取值范围是________.
由图可知， 时直线 与 的图象有三个交点，
时,方程 有三个不相等的实数根,
同理,若 ,可得 时，方程 有三个不相等的实数根,
所以实数 的取值范围是 ，故选C.
【点睛】
本题主要考查函数的周期与函数图象的应用，考查了函数零点与方程根的关系，同时考查了转化思想与数形结合思想的应用，属于难题.函数零点的几种等价形式：函数 的零点 函数 在 轴的交点 方程 的根 函数 与 的交点.
调性确定出f（x）的单调递减区间即可；（2）由f（x）解析式，以及f（ ） ，求出
2016-2017年天津市南开中学高三(下)第五次月考数学试卷(文科)(解析版)
2016-2017学年天津市南开中学高三（下）第五次月考数学试卷（文科）一、选择题1．复数z满足（z﹣i）（2﹣i）＝5．则z＝（）A．﹣2﹣2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．2+2i2．函数f（x）＝﹣+log2x的一个零点落在下列哪个区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）3．若a＝30.3，b＝logπ3，c＝log0.3e，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a4．若3a2+3b2﹣4c2＝0，则直线ax+by+c＝0被圆x2+y2＝1所截得的弦长为（）A．B．C．D．15．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．6．如图F1、F2是椭圆C1：+y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．7．设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x＝b y＝3，a+b＝2的最大值为（）A．2B．C．1D．8．设f（x）＝x3+log2（x+），则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的（）A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件二、填空题9．已知全集U＝R，A＝{y|y＝2x+1}，B＝{x||x﹣1|＜2}，则（∁U A）∩B＝．10．如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是．11．设函数y＝f（x）在区间[0，1]上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法近似计算由曲线y＝f（x）及直线x＝0，x＝1，y＝0所围成部分的面积S，先生产两组（每组N个）区间[0，1]上均匀随机数x1，x2，…，x N和y1，y2，…，y N，由此得到N个点（x i，y i）（i＝1，2，…，N），再数出其中满足y i≤f（x i）（i＝1，2，…，N）的点数N1，那么由随机模拟方法可得S的近似值为．12．已知{a n}是首项为1的等比数列，S n是它的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为．13．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，△ACD是等边三角形，则的值为．14．已知函数f（x）＝a x+x2﹣xlna，对任意的x1、x2∈[0，1]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a ﹣1恒成立，则实数a的取值范围为．三、解答题15．已知函数f（x）＝2sin x cos x﹣2cos2x+1（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若f（）＝2，b＝1，c＝2，求a的值．16．某家具厂有方木料90m3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1m3、五合板2m2；生产每个书橱需要方木料0.2m3、五合板1m2．出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元，怎样安排生产可使所得利润最大？最大利润为多少？17．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD （1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．18．如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y＝kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．19．已知数列{a n}的前n项和S n＝﹣a n﹣（）n﹣1+2（n为正整数）．（1）令b n＝2n a n，求证数列{b n}是等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）令c n＝a n，T n＝c1+c2+…+c n．是否存在最小的正整数m，使得对于n∈N×都有T n ＜2m﹣4恒成立，若存在，求出m的值；不存在，请说明理由．20．已知函数f（x）＝lnx+x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a＝3时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，1]，证明f（x1）﹣f（x2）≥﹣+ln2．2016-2017学年天津市南开中学高三（下）第五次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．复数z满足（z﹣i）（2﹣i）＝5．则z＝（）A．﹣2﹣2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．2+2i【解答】解：（z﹣i）（2﹣i）＝5⇒z﹣i＝⇒z＝+i＝+i＝+i＝2+2i．故选：D．2．函数f（x）＝﹣+log2x的一个零点落在下列哪个区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【解答】解：根据函数的实根存在定理得到f（1）•f（2）＜0．故选：B．3．若a＝30.3，b＝logπ3，c＝log0.3e，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a【解答】解：∵a＝30.3＞1，b＝logπ3∈（0，1），c＝log0.3e＜0，则a＞b＞c．故选：A．4．若3a2+3b2﹣4c2＝0，则直线ax+by+c＝0被圆x2+y2＝1所截得的弦长为（）A．B．C．D．1【解答】解：由圆的方程得到圆心坐标为（0，0），半径为1，∵3a2+3b2﹣4c2＝0，∴圆心到直线ax+by+c＝0的距离d＝＝，∴圆x2+y2＝1被直线ax+by+c＝0所截得的弦长为2＝1．故选：D．5．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．【解答】解：左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角到右上角的线，故选：D．6．如图F1、F2是椭圆C1：+y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：设|AF1|＝x，|AF2|＝y，∵点A为椭圆C1：+y2＝1上的点，∴2a＝4，b＝1，c＝；∴|AF1|+|AF2|＝2a＝4，即x+y＝4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+＝，即x2+y2＝（2c）2＝＝12，②由①②得：，解得x＝2﹣，y＝2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，则2m＝|AF2|﹣|AF1|＝y﹣x＝2，2n＝2c＝2，∴双曲线C2的离心率e＝＝＝．故选：D．7．设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x＝b y＝3，a+b＝2的最大值为（）A．2B．C．1D．【解答】解：∵a x＝b y＝3，∴x＝log a3＝，y＝log b3＝，∴当且仅当a＝b时取等号故选：C．8．设f（x）＝x3+log2（x+），则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的（）A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：f（x）＝x3+log2（x+），f（x）的定义域为R∵f（﹣x）＝﹣x3+log2（﹣x+）＝﹣x3+log2＝﹣x3﹣log2（x+）＝﹣f（x）．∴f（x）是奇函数∵f（x）在（0，+∞）上是增函数∴f（x）在R上是增函数a+b≥0可得a≥﹣b∴f（a）≥f（﹣b）＝﹣f（b）∴f（a）+f（b）≥0成立若f（a）+f（b）≥0则f（a）≥﹣f（b）＝f（﹣b）由函数是增函数知a≥﹣b∴a+b≥0成立∴a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的充要条件．二、填空题9．已知全集U＝R，A＝{y|y＝2x+1}，B＝{x||x﹣1|＜2}，则（∁U A）∩B＝（﹣1，1]．【解答】解：根据题意，集合A＝{y|y＝2x+1}表示函数y＝2x+1的值域，则A＝{y|y＝2x+1}＝（1，+∞），故∁U A＝（﹣∞，1]，|x﹣1|＜2⇒﹣1＜x＜3，则B＝{x||x﹣1|＜2}＝（﹣1，3），则（∁U A）∩B＝（﹣1，1]；故答案为：（﹣1，1]．10．如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是10．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：此时S值为10．故答案为：10．11．设函数y＝f（x）在区间[0，1]上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法近似计算由曲线y＝f（x）及直线x＝0，x＝1，y＝0所围成部分的面积S，先生产两组（每组N个）区间[0，1]上均匀随机数x1，x2，…，x N和y1，y2，…，y N，由此得到N个点（x i，y i）（i＝1，2，…，N），再数出其中满足y i≤f（x i）（i＝1，2，…，N）的点数N1，那么由随机模拟方法可得S的近似值为．【解答】解：∵∫01f（x）dx的几何意义是函数f（x）（其中0≤f（x）≤1）的图象与x轴、直线x＝0和直线x＝1所围成图形的面积，∴根据几何概型易知∫01f（x）dx≈．故答案为：．12．已知{a n}是首项为1的等比数列，S n是它的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为．【解答】解：显然q≠1，所以，所以是首项为1，公比为的等比数列，则前5项和为：．故答案为：13．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，△ACD是等边三角形，则的值为．【解答】解：∵AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5，cos∠BAC＝，又∵△ACD是等边三角形，∴AD＝AC＝5，cos∠CAD＝，∴＝•（﹣）＝•﹣•＝﹣＝，故答案为：．14．已知函数f（x）＝a x+x2﹣xlna，对任意的x1、x2∈[0，1]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a ﹣1恒成立，则实数a的取值范围为[e，+∞）．【解答】解：f′（x）＝a x lna+2x﹣lna＝（a x﹣1）lna+2x，当a＞1时，x∈[0，1]时，a x≥1，lna＞0，2x≥0，此时f′（x）≥0；f（x）在[0，1]上单调递增，f（x）min＝f（0）＝1，f（x）max＝f（1）＝a+1﹣lna，而|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min＝a﹣lna，由题意得，a﹣lna≤a﹣1，解得a≥e，故答案为：[e，+∞）．三、解答题15．已知函数f（x）＝2sin x cos x﹣2cos2x+1（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若f（）＝2，b＝1，c＝2，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）sin2x﹣cos2x＝2（sin2x﹣cos2x）＝2sin（2x﹣），∵ω＝2，∴最小正周期T＝＝π；由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z得，kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，则f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）；（Ⅱ）∵f（）＝2，∴2sin（A﹣）＝2，即sin（A﹣）＝1，∴A﹣＝+2kπ，k∈Z，即A＝+2kπ，k∈Z，又0＜A＜π，∴A＝，由余弦定理及b＝1，c＝2，cos A＝﹣得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝7，即a2＝1+4+2＝7，解得：a＝．16．某家具厂有方木料90m3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1m3、五合板2m2；生产每个书橱需要方木料0.2m3、五合板1m2．出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元，怎样安排生产可使所得利润最大？最大利润为多少？【解答】解：设生产书桌x张，书橱y张，利润z元，则目标函数z＝80x+120y，约束条件为作出上可行域：作出一组平行直线2x+3y＝t，此直线经过点A（100，400）时，即合理安排生产，生产书桌100张，书橱400个，有最大利润为z max＝80×100+400×120＝56000元．17．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD （1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．【解答】（1）证明：在Rt△DAC中，AD＝AC，∴∠ADC＝45°同理：∠A1DC1＝45°，∴∠CDC1＝90°∴DC1⊥DC，DC1⊥BD∵DC∩BD＝D∴DC1⊥面BCD∵BC⊂面BCD∴DC1⊥BC（2）解：∵DC1⊥BC，CC1⊥BC，DC1∩CC1＝C1，∴BC⊥面ACC1A1，∵AC⊂面ACC1A1，∴BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，OH∵A1C1＝B1C1，∴C1O⊥A1B1，∵面A1B1C1⊥面A1BD，面A1B1C1∩面A1BD＝A1B1，∴C1O⊥面A1BD而BD⊂面A1BD∴BD⊥C1O，∵OH⊥BD，C1O∩OH＝O，∴BD⊥面C1OH∴C1H⊥BD，∴点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角设AC＝a，则，，∴sin∠C1DO＝∴∠C1DO＝30°即二面角A1﹣BD﹣C1的大小为30°18．如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y＝kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．∴4a＝8，∴a＝2∵e＝，∴c＝1∴b2＝a2﹣c2＝3∴椭圆E的方程为．（Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12＝0∵动直线l：y＝kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0）∴m≠0，△＝0，∴（8km）2﹣4×（4k2+3）×（4m2﹣12）＝0∴4k2﹣m2+3＝0①此时x0＝＝，y0＝，即P（，）由得Q（4，4k+m）取k＝0，m＝，此时P（0，），Q（4，），以PQ为直径的圆为（x﹣2）2+（y﹣）2＝4，交x轴于点M1（1，0）或M2（3，0）取k＝，m＝2，此时P（1，），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x﹣）2+（y﹣）2＝，交x轴于点M3（1，0）或M4（4，0）故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），证明如下∵∴故以PQ为直径的圆恒过x轴上的定点M（1，0）方法二：假设平面内存在定点M满足条件，因为对于任意以PQ为直径的圆恒过定点M，所以当PQ 平行于x轴时，圆也过定点M，即此时P点坐标为（0，）或（0，﹣），由图形对称性知两个圆在x轴上过相同的交点，即点M必在x轴上．设M（x1，0），则•＝0对满足①式的m，k恒成立．因为＝（﹣﹣x1，），＝（4﹣x1，4k+m），由•＝0得﹣+﹣4x1+x12++3＝0，整理得（4x1﹣4）+x12﹣4x1+3＝0．②由于②式对满足①式的m，k恒成立，所以，解得x1＝1．故存在定点M（1，0），使得以PQ为直径的圆恒过点M．19．已知数列{a n}的前n项和S n＝﹣a n﹣（）n﹣1+2（n为正整数）．（1）令b n＝2n a n，求证数列{b n}是等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）令c n＝a n，T n＝c1+c2+…+c n．是否存在最小的正整数m，使得对于n∈N×都有T n ＜2m﹣4恒成立，若存在，求出m的值；不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：∵S n＝﹣a n﹣（）n﹣1+2，∴S n+1＝﹣a n+1﹣（）n+2，S n+1﹣S n＝a n+1＝﹣a n+1+a n+（）n，2a n+1＝a n+（）n，2n+1a n+1＝2n a n+1，∵b n＝2n a n，∴b n+1＝b n+1，∴数列{b n}是等差数列．（2）解：∵S n＝﹣a n﹣（）n﹣1+2，∴a1＝S1＝﹣a1﹣（）0+2，解得，又b n＝2n a n，b n+1＝b n+1，∴b1＝2×＝1，∴b n＝2n a n＝n，∴．（3）解：∵c n＝a n＝，∴T n＝c1+c2+…+c n＝，①2T n＝2+，②②﹣①，得：T n＝2++…+﹣＝2+﹣＝3﹣﹣＝3﹣．假设存在最小的正整数m，使得对于n∈N×都有T n＜3≤2m﹣4恒成立，则2m﹣4≥3，解得m≥，∴最小的正整数m＝4．20．已知函数f（x）＝lnx+x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a＝3时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，1]，证明f（x1）﹣f（x2）≥﹣+ln2．【解答】（Ⅰ）解：f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝，令f′（x）＞0，可得0＜x＜或x＞1，f′（x）＜0，可得＜x＜1，∴f（x）的递增区间为（0，）和（1，+∞），递减区间为（，1）；（Ⅱ）证明：∵函数f（x）有两个极值点x1，x2，∴f′（x）＝＝0，即2x2﹣ax+1＝0有两个不相等的实数根，∴x1+x2＝，x1x2＝，∴2（x1+x2）＝a，x2＝，∴f（x1）﹣f（x2）＝lnx1+x12﹣ax1﹣（lnx2+x22﹣ax2）＝2lnx1﹣x12++ln2（0＜x≤1）．设F（x）＝2lnx﹣x2++ln2（0＜x≤1），则F′（x）＝﹣＜0，∴F（x）在（0，1）上单调递减，∴F（x）≥F（1）＝﹣+ln2，即f（x1）﹣f（x2）≥﹣+ln2．。
2015-2016学年天津市南开中学高三(下)第五次月考数学试卷(文科)(解析版)
2015-2016学年天津市南开中学高三（下）第五次月考数学试卷（文科）一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数等于（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣12．（5分）已知命题p：若a＞b，则a2＞b2；q：“x≤1”是“x2+2x﹣3≤0”的必要不充分条件．则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．￢p∧￢q D．p∧￢q3．（5分）记集合A={（x，y）|x2+y2≤16}，集合B={（x，y）|x+y﹣4≤0，（x，y）∈A}表示的平面区域分别为Ω1，Ω2．若在区域Ω1内任取一点P（x，y），则点P落在区域Ω2中的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．115．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）为（）A．π+B．2 C．2πD．6．（5分）已知函数y=sin2x﹣cos2x，下列结论正确的个数是（）①图象关于x=﹣对称；②函数在[0，]上的最大值为2③函数图象向左平移个单位后为奇函数．A．0 B．1 C．2 D．37．（5分）已知定义在R上的函数f（x）=1﹣|1﹣（x﹣m）2|关于y轴对称，记a=f（m+2），b=f（log5），c=f（e），则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c8．（5分）已知函数f（x）=，如果关于x的方程f（x）=kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围是（）A．k＞1 B．k≥1 C．0＜k＜1 D．0＜k≤1二.填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.9．（5分）已知集合A={﹣1，a}，B={2a，b}，若A∩B={1}，则A∪B=．10．（5分）为了抗震救灾，现要在学生人数比例为2：3：5的A、B、C三所高校中，用分层抽样方法抽取n名志愿者，若在A高校恰好抽出了6名志愿者，那么n=．11．（5分）如图，AB是⊙O的直径，且AB=3，CD⊥AB于D，E为AD的中点，连接CE并延长交⊙O 于F，若CD=，则EF=．12．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的方程为．13．（5分）已知四边形ABCD，AC是BD的垂直平分线，垂足为E，O为四边形ABCD外一点，设||=5，||=3，则（+）•（﹣）=．14．（5分）设a＞0，b＞0，且不等式++≥0恒成立，则实数k的最小值等于．三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3sinA，周长为4（+1），且sinB+sinC=sinA．（1）求a及cosA的值；（2）求cos（2A﹣）的值．16．（13分）某卖场同时销售变频冷暖空调机和智能洗衣机，这两种产品的市场需求量大，有多少卖多少．今年五一假期该卖场要根据实际情况确定产品的进货数量，以达到总利润最大．已知两种产品直接受资金和劳动力的限制．根据过去销售情况，得到两种产品的有关数据如表：（表中单位：百元）试问：怎样确定两17．（13分）己知三棱柱ABC﹣A1B1C1，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，∠BCA=90°，AC=BC=2，又知BA1⊥AC1（Ⅰ）求证：AC1⊥平面A1BC；（Ⅱ）求点C到平面A1AB的距离；（Ⅲ）求二面角A﹣A1B﹣C余弦值的大小．18．（13分）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且S n、a n、成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，设，求数列{C n}的前项和T n．19．（14分）如图，设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足=，且•=0．（1）若过A、B、F2三点的圆恰好与直线l1：x﹣y﹣3=0相切，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM、PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．20．（14分）已知函数（a＞0）．（1）若函数f（x）有三个零点分别为x1，x2，x3，且x1+x2+x3=﹣3，x1x2=﹣9，求函数f（x）的单调区间；（2）若，3a＞2c＞2b，证明：函数f（x）在区间（0，2）内一定有极值点；（3）在（2）的条件下，若函数f（x）的两个极值点之间的距离不小于，求的取值范围．2015-2016学年天津市南开中学高三（下）第五次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2016春•天津校级月考）复数等于（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【解答】解：复数===i．故选：A．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．2．（5分）（2015•万州区校级二模）已知命题p：若a＞b，则a2＞b2；q：“x≤1”是“x2+2x﹣3≤0”的必要不充分条件．则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．￢p∧￢q D．p∧￢q【分析】先判断命题p，q的真假，再利用复合真假的判定方法即可判断出正误．【解答】解：命题p：若a＞b，则a2＞b2，不正确，举反例：取a=1，b=﹣2，不成立；q：由x2+2x﹣3≤0，解得﹣3≤x≤1，因此“x≤1”是“x2+2x﹣3≤0”的必要不充分条件，是真命题．∴p∧q，￢p∧￢q，p∧￢q，是假命题，￢p∧q是真命题．故选：B．【点评】本题考查了复合真假的判定方法，属于基础题．3．（5分）（2016•烟台一模）记集合A={（x，y）|x2+y2≤16}，集合B={（x，y）|x+y﹣4≤0，（x，y）∈A}表示的平面区域分别为Ω1，Ω2．若在区域Ω1内任取一点P（x，y），则点P落在区域Ω2中的概率为（）A．B．C．D．【分析】由题意，根据几何概型的公式，只要求出平面区域Ω1，Ω2的面积，利用面积比求值．【解答】解：由题意，两个区域对应的图形如图，其中，，由几何概型的公式可得点P落在区域Ω2中的概率为；故选B．【点评】本题考查了几何概型的概率求法，解答本题的关键是分别求出平面区域Ω1，Ω2的面积，利用几何概型公式求值．4．（5分）（2016•宜春校级模拟）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．11【分析】模拟程序框图的运行过程，该程序是累加求和的应用问题，当S≤﹣1时输出i的值即可．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；，否；，否；，否；，否；，是，输出i=9．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用问题，是基础题目．5．（5分）（2014•太原二模）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）为（）A．π+B．2 C．2πD．【分析】由三视图可以看出，该几何体下部是一个圆柱，上部是一三棱锥，圆柱半径为1高也是1，三棱锥底面是一等腰直角三角形，过斜边的侧面与多方面垂直且该侧面是一等边三角形，边长是2，由于该几何体是一组合体故其体积为圆柱的体积与棱锥体积的和．【解答】解：由三视图，该组合体上部是一三棱锥，下部是一圆柱由图中数据知V圆柱=π×12×1=π三棱锥垂直于底面的侧面是边长为2的等边三角形，且边长是2，故其高即为三棱锥的高，高为故棱锥高为由于棱锥底面为一等腰直角三角形，且斜边长为2，故两直角边长度都是底面三角形的面积是=1故=故该几何体的体积是π+故选A．【点评】本题考点是由三视图还原实物图，考查由在视图给出几何体的度量，由公式求体积，本题是三视图考查中常出现的题型，关键是正确地还原出几何体的特征．6．（5分）（2016春•天津校级月考）已知函数y=sin2x﹣cos2x，下列结论正确的个数是（）①图象关于x=﹣对称；②函数在[0，]上的最大值为2③函数图象向左平移个单位后为奇函数．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】利用两角和的正弦函数化简函数的解析式，①利用正弦函数的对称性，判断图象关于x=﹣对称是否正确；②求出函数在[0，]上的最大值是否为2，判断正误即可．③利用函数图象向左平移个单位后，求出函数的解析式，判断是否为奇函数．【解答】解：函数y=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），①因为2x﹣=k，k∈Z，当k=﹣1时，x=是函数的一条对称轴，所以图象关于x=﹣对称正确；②x∈[0，]，则2x﹣∈[，]，所以函数y=2sin（2x﹣）的最大值为2，正确；③函数图象向左平移个单位后可得：函数y=2sin（2x+﹣）=sin2x，函数为奇函数．正确；故选：D．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的对称性，函数的最值以及函数的图形的平移，考查计算能力．7．（5分）（2016春•天津校级月考）已知定义在R上的函数f（x）=1﹣|1﹣（x﹣m）2|关于y轴对称，记a=f（m+2），b=f（log5），c=f（e），则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c【分析】先由偶函数的性质求出f（x）=1﹣|1﹣x2|，由此利用对数函数和指数函数的性质能求出a，b，c 的大小关系．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）=1﹣|1﹣（x﹣m）2|关于y轴对称，∴m=0，∴f（x）=1﹣|1﹣x2|，∵a=f（m+2）=f（2）=1﹣|1﹣22|=﹣2，b=f（log5）=1﹣|1﹣（）2|=（log5）2∈（0，1），c=f（e）=1﹣|1﹣（）2|=1﹣|1﹣e|=2﹣e≈﹣0.71828，∴a＜c＜b．【点评】本题考查三个数的大小关系的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．8．（5分）（2015秋•赤峰校级期末）已知函数f（x）=，如果关于x的方程f（x）=kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围是（）A．k＞1 B．k≥1 C．0＜k＜1 D．0＜k≤1【分析】根据方程的特点，相当于只需有三个不等于零的不同实数根，把方程解的问题转化为两函数的交点问题，通过数形结合得出k的范围．【解答】解：f（x）=kx2有四个不同的实数解，∴显然当x=0时，无论k为何值，都成立，当只需有三个不等于零的不同实数根，∴方程可化=|x|（x+2），只需y=和y=|x|（x+2）有三个不等于零的交点即可，画出函数y=|x|（x+2）的图象如图：有图象可知只需0＜＜1，∴k＞1，故选A．【点评】本题考查了方程的解和函数的交点问题的转换，难点是利用数形结合的思想解决问题．二.填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.9．（5分）（2012•张家港市校级一模）已知集合A={﹣1，a}，B={2a，b}，若A∩B={1}，则A∪B={﹣1，1，2} ．【分析】由A∩B={1}，可得1∈A且1∈B，进而可得a=1，b=1，求出集合A，B后，根据集合并集运算规则可得答案．【解答】解：集合A={﹣1，a}，B={2a，b}，又∵A∩B={1}，∴a=1，2a=2，则b=1故A={﹣1，1}，B={1，2}∴A∪B=故答案为{﹣1，1，2}【点评】本题以集合交集及并集运算为载体考查了集合关系中的参数取值问题，解答是要注意集合元素的互异性．10．（5分）（2011•江苏模拟）为了抗震救灾，现要在学生人数比例为2：3：5的A、B、C三所高校中，用分层抽样方法抽取n名志愿者，若在A高校恰好抽出了6名志愿者，那么n=30．【分析】学生人数比例为2：3：5，用分层抽样方法抽取n名志愿者，每个个体被抽到的概率相等，A高校恰好抽出了6名志愿者，则每份有3人，10份共有30人【解答】解：∵学生人数比例为2：3：5，A高校恰好抽出了6名志愿者，∴n==30，故答案为：30．【点评】一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本．这样使得样本更具有代表性．11．（5分）（2016春•天津校级月考）如图，AB是⊙O的直径，且AB=3，CD⊥AB于D，E为AD的中点，连接CE并延长交⊙O于F，若CD=，则EF=．【分析】AB是圆O的直径，可得∠ACB=90°．利用射影定理可得CD2=AD•DB．已知AD=2DB，得DB=1，已知E为AD的中点，可得ED=1．在Rt△CDE中，利用勾股定理可得CE．利用△ACE∽△FBE可得：EA•EB=EC•EF，即可求得EF．【解答】解：在Rt△ABC中，CD⊥AB于D，∴CD2=AD•BD=2BD2=2，∴DB=1，∵E为AD的中点，∴AE=ED=1，∴CE=BC=，又△ACE∽△FBE，∴，∴EF==．故答案为：．【点评】熟练掌握圆的性质、射影定理、勾股定理、相交弦定理是解题的关键．12．（5分）（2016春•天津校级月考）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的方程为．【分析】根据题意，点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得p=4，进而可得抛物线的焦点坐标，依据题意，可得双曲线的左顶点的坐标，即可得a的值，由点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，即可求出双曲线的方程．【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），即点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，又由抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣，则p=4，则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（﹣2，0），即a=2；点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y=±x，由双曲线的性质，可得b=1；则双曲线的方程为．故答案为．【点评】本题考查双曲线与抛物线的性质，注意题目“双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1）”这一条件的运用，属于中档题．13．（5分）（2016春•天津校级月考）已知四边形ABCD，AC是BD的垂直平分线，垂足为E，O为四边形ABCD外一点，设||=5，||=3，则（+）•（﹣）=16．【分析】根据条件，AC垂直平分线段BD，从而得出，，而，，且，代入进行向量加法和数量积的运算便可求出答案．【解答】解：∵AC是BD的垂直平分线；∴，；∴====25﹣9=16．故答案为：16．【点评】考查垂直平分线的概念，向量垂直的充要条件，向量加法的几何意义，相反向量的概念，以及向量减法的几何意义，向量数量积的运算．14．（5分）（2016•浙江模拟）设a＞0，b＞0，且不等式++≥0恒成立，则实数k的最小值等于﹣4．【分析】把k看作参数，将参数分离成k≥，再利用基本不等式求的最大值．【解答】解：∵a＞0，b＞0，由++≥0，得k≥，只需k≥[]max即可．∵a+b≥，∴．∴k≥﹣4，从而实数k的最小值等于﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题属于不等式恒成立问题，是高考常考题型之一．常规思路是先分离参数，再转化为函数最值问题求解．三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.15．（13分）（2016春•天津校级月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3sinA，周长为4（+1），且sinB+sinC=sinA．（1）求a及cosA的值；（2）求cos（2A﹣）的值．【分析】（1）由已知及三角形面积公式可求bc=6，进而可求a，利用余弦定理即可得解cosA的值．（2）利用同角三角函数基本关系式可求sinA，利用二倍角公式可求sin2A，cos2A的值，进而利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．【解答】解：（1）∵△ABC的面积为3sinA=bcsinA，∴可得：bc=6，∵sinB+sinC=sinA，可得：b+c=，∴由周长为4（+1）=+a，解得：a=4，∴cosA====，（2）∵cosA=，∴sinA==，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=﹣，∴cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角差的余弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16．（13分）（2016春•天津校级月考）某卖场同时销售变频冷暖空调机和智能洗衣机，这两种产品的市场需求量大，有多少卖多少．今年五一假期该卖场要根据实际情况确定产品的进货数量，以达到总利润最大．已知两种产品直接受资金和劳动力的限制．根据过去销售情况，得到两种产品的有关数据如表：（表中单位：件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解．【解答】解：设进货量分别为空调机x台，洗衣机y台，利润z百元，则，化简为目标函数z=10x+8y即，做出可行域如图所示：由可得A（8，10），平移经过A（8，10）点时截距最大，即目标函数z最大，此时z=10×8+8×10=160百元．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．17．（13分）（2011•东湖区校级三模）己知三棱柱ABC﹣A1B1C1，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，∠BCA=90°，AC=BC=2，又知BA1⊥AC1（Ⅰ）求证：AC1⊥平面A1BC；（Ⅱ）求点C到平面A1AB的距离；（Ⅲ）求二面角A﹣A1B﹣C余弦值的大小．【分析】解法一﹣﹣几何法：（I）根据已知中∠BCA=90°得BC⊥AC，由A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，可得A1D⊥BC，结合线面垂直判定定理得BC⊥面A1AC，所以BC⊥AC1，又由BA1⊥AC1，再由线面垂直的判定定理，可得AC1⊥平面A1BC；（Ⅱ）根据（I）的结论可得A 1ACC1是菱形，进而根据AC=BC=2，我们可以根据，得到点C到平面A1AB的距离；（Ⅲ）令AC1∩A1C=O，作OE⊥A1B于E，连AE，由（I）中结论可得A1B⊥AE，故∠AEO为二面角平面角，解三角形AEO即可得到答案．解法二﹣﹣向量法：（I）取AB的中点E，则DE∥BC，因为BC⊥AC，所以DE⊥AC，又A1D⊥平面ABC，以DE，DC，DA1为x，y，z轴建立空间坐标系，求出各点坐标，进而得到相应向量的坐标，利用向量垂直数量积为0，可以判断出AC1与平面A1BC内两条件相交直线都垂直，进而得AC1⊥平面A1BC；（II）C到平面A1AB的距离，其中平面A1AB的法向量，求出法向量的坐标，代入即可求出答案．（III）分别求出平面AA1B与平面A1BC的法向量，代入向量夹角公式，即可求出答案．【解答】解法一﹣﹣几何法：（I）∠BCA=90°得BC⊥AC，因为A1D⊥底ABC，所以A1D⊥BC，A1D∩AC=D，所以BC⊥面A1AC，所以BC⊥AC1因为BA1⊥AC1，BA1∩BC=B，所以AC1⊥底A1BC（II）由（I）得AC1⊥A1C，所以A1ACC1是菱形，所以AC=AA 1=A1C=2，，由，得（III）设AC1∩A1C=O，作OE⊥A1B于E，连AE，由（1）所以A1B⊥AE，所以∠AEO为二面角平面角，在Rt△A1BC中，所以，所以二面角余弦解法二﹣﹣向量法：（I）如图，取AB的中点E，则DE∥BC，因为BC⊥AC，所以DE⊥AC，又A1D⊥平面ABC，以DE，DC，DA1为x，y，z轴建立空间坐标系，则A（0，﹣1，0），C（0，1，0），B（2，1，0），A1（0，0，t），C1（0，2，t），，，，由，知A1C⊥CB，又BA1⊥AC1，从而AC1⊥平面A1BC；（II）由，得设平面A1AB的法向量为，，，所以，设z=1，则所以点C到平面A1AB的距离=（III）再设平面A1BC的法向量为，，，所以，设z=1，则，故=，根据法向量的方向可知二面角A﹣A1B﹣C的余弦值大小为【点评】本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，点面之间距离的计算，二面角的平面角，解答立体几何有几何法和向量法两种方法，前者要求熟练掌握相应的判定定理、性质定理，要求有较强的逻辑性，后者可将空间问题转化为向量问题，需要记忆大量公式和较强的计算能力．18．（13分）（2008•湖北校级模拟）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且S n、a n、成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，设，求数列{C n}的前项和T n．【分析】（Ⅰ）S n、a n、成等差数列．即，再利用1）根据Sn与an的固有关系an=去解（Ⅱ）（Ⅱ），∴b n=4﹣2n，==，可用错位相消法求和．【解答】解：（Ⅰ）由题意知当n=1时，；当两式相减得a n=2a n﹣2a n﹣1（n≥2），整理得：（n≥2）∴数列{a n}是为首项，2为公比的等比数列.（Ⅱ），∴b n=4﹣2n==，①②①﹣②得∴【点评】本题考查Sn与an关系的具体应用，指数的运算，数列错位相消法求和知识和方法．要注意对n 的值进行讨论19．（14分）（2014•蒙山县模拟）如图，设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足=，且•=0．（1）若过A、B、F2三点的圆恰好与直线l1：x﹣y﹣3=0相切，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM、PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．【分析】（1）设B（x0，0），由已知条件推导出，b2=3c2，从而得到a=2c，再由，能求出椭圆C的方程．（2）由（1）知F2（1，0），l：y=k（x﹣1），联立，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出存在满足题意的点P，且m的取值范围是（0，）．【解答】解：（1）设B（x0，0），∵F2（c，0），A（0，b），∴，，∵•=0，∴，∴，∵=，∴F1为BF2中点，∴，b2=3c2，从而a2=4c2，∴a=2c，∵•=0，∴⊥，∴△ABF2的外接圆的圆心为F1（﹣c，0），半径r=|F2B|=2c，又直线：x﹣﹣3=0与△ABF 2的外接圆相切，∴，解得c=1，∴a=2，b=，∴椭圆C的方程为．（2）由（1）知F2（1，0），l：y=k（x﹣1），联立，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，y1+y2=k（x1+x2﹣2），=（x1﹣m，y1）+（x2﹣m，y2）=（x1+x2﹣2m，y1+y2），∵菱形的对角线互相垂直，∴（）•=0，∴（x1+x2﹣2m，y1+y2）•（x2﹣x1，y2﹣y1）=0，∴（x1+x2﹣2m）（x2﹣x1）+（y1+y2）（y2﹣y1）=0，∵，∴（x1+x2﹣2m）+k（y1+y2）=0，∴，由题意知k∈R且k≠0，∴m=，∴0＜m＜，∴存在满足题意的点P，且m的取值范围是（0，）．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点的坐标是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和函数与方程思想的合理运用．20．（14分）（2011•蓝山县校级模拟）已知函数（a＞0）．（1）若函数f（x）有三个零点分别为x1，x2，x3，且x1+x2+x3=﹣3，x1x2=﹣9，求函数f（x）的单调区间；（2）若，3a＞2c＞2b，证明：函数f（x）在区间（0，2）内一定有极值点；（3）在（2）的条件下，若函数f（x）的两个极值点之间的距离不小于，求的取值范围．【分析】（1）根据函数零点的概念，x1，x2，x3，即为=0的三个实数根，则x3=0，结合韦达定理得出，，由此f′（x）=a（x﹣1）（x+3），单调区间可求．（2）由条件得出f′（1）=a+b+c=＜0，整理3a+2b+2c=0，又f′（2）=4a+2b+c=4a﹣（3a+2c）+c=a﹣c．考察f′（0），f′（1），f′（2）的符号，利用f′（x）在（0，2）内由零点（需对c的取值进行讨论）进行证明．（3）设m，n是函数的两个极值点，则m，n也是导函数f′（x）=ax2+bx+c=0的两个零点．可得出|m﹣n|，关于的不等式，并结合约束条件2c=﹣3a﹣2b，3a＞2c＞2b得出取值范围．【解答】（1）因为函数=x（）（a＞0），又x1+x2+x3=﹣3，x1x2=﹣9，则x3=0，x1+x2=﹣3，x1x2=﹣9（1分）因为x1，x2是方程=0的两根，则，，得，，（3分）所以=a（x2+2x﹣3）=a（x﹣1）（x+3）．令f′（x）=0 解得：x=1，x=﹣3故f（x）的单调递减区间是（﹣3，1），单调递增区间是（﹣∞，﹣3），（1，+∞）．（5分）（2）因为f′（x）=ax2+bx+c，，，所以a+b+c=，即3a+2b+2c=0．又a＞0，3a＞2c＞2b，，所以3a＞0，2b＜0，即a＞0．b＜0．（7分）于是＜0，f′（0）=c，f′（2）=4a+2b+c=4a﹣（3a+2c）+c=a﹣c．（8分）①当c＞0时，因为f′（0）=c＞0，＜0，而f′（x）在区间（0，1）内连续，则f′（x）在区间（0，1）内至少有一个零点，设为x=m，则在x∈（0，m），f′（x）＞0，f（x）单调递增，在x∈（m，1），f′（x）＜0，f（x）单调递减，故函数f（x）在区间（0，1）内有极大值点x=m；（9分）②当c≤0时，因为＜0，f′（2）=a﹣c＞0，则f′（x）在区间（1，2）内至少有一零点．同理，函数f（x）在区间（1，2）内有极小值点．综上得函数f（x）在区间（0，2）内一定有极值点．（10分）（3）设m，n是函数的两个极值点，则m，n也是导函数f′（x）=ax2+bx+c=0的两个零点，由（2）得3a+2b+2c=0，则m+n=﹣，mn==．所以|m﹣n|===由已知，，则两边平方≥3，得出≥1，或≤﹣1，即≥﹣1，或≤﹣3又2c=﹣3a﹣2b，3a＞2c＞2b，所以3a＞﹣3a﹣2b＞2b，即﹣3a＜b＜﹣a．因为a＞0，所以﹣3＜＜﹣．综上分析，的取值范围是[﹣1，﹣）．【点评】本题是函数与不等式的综合．考查函数零点的知识，导数在研究函数性质的应用，不等式的性质．需具有分析解决、代换转化，推理计算能力．。
2017-2018年天津市南开中学高三(下)第五次月考数学试卷(文科)(解析版)
2017-2018学年天津市南开中学高三（下）第五次月考数学试卷（文科）一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若复数（2+i）（a﹣2i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则|a+i|＝（）A．B．C．D．102．（5分）“lgx，lgy，lgz成等差数列”是“y2＝xz”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z＝2x﹣y的最大值为（）A．﹣3B．C．5D．64．（5分）设a＝0.23，b＝log0.30.2，c＝log30.2，则a，b，c大小关系正确的是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a5．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足（）A．y＝2x B．y＝3x C．y＝4x D．y＝5x6．（5分）已知抛物线y2＝8x的准线与双曲线＝1相交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，△ABF为直角三角形，则双曲线的离心率为（）A．3B．2C．D．7．（5分）若关于x的不等式3﹣|x+a|＞x2至少有一个负数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，）B．（）C．（﹣3，3）D．[）8．（5分）已知函数f（x）＝，g（x）＝1+，若f（x）＜g（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪（，+∞）B．（﹣∞，）∪（，+∞）C．（，）D．（，1）∪（1，）二.填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.9．（5分）已知集合A＝{﹣1，a}，B＝{2a，b}，若A∩B＝{1}，则A∪B＝．10．（5分）如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是．11．（5分）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y＝lg2，则的最小值是．12．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣5）2＝5，过圆心C的直线l交圆C于A，B两点，交y轴于点P．若A恰为PB的中点，则直线l的斜率为．13．（5分）已知△ABC中，||＝10，＝﹣16，D为边BC的中点，则||等于．14．（5分）函数f（x）＝sin x（sin x+cos x）﹣在区间（）（0＜a＜1）上有且仅有一个零点，则实数a的取值范围是．三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤. 15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞c．已知•＝2，cos B＝，b＝3．求：（1）a和c的值；（2）cos（B﹣C）的值．16．（13分）有编号为A1，A2，…，A10的10个零件，测量其直径（单位：cm），得到下面数据：其中直径在区间[1.48，1.52]内的零件为一等品．（1）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；（2）从一等品零件中，随机抽取2个．（i）用零件的编号列出所有可能的抽取结果；（ii）求这2个零件直径相等的概率．17．（13分）如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝，现以AD为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF 与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．（1）求证：AM∥平面BEC；（2）求证：BC⊥平面BDE；（3）求直线DC与平面BEC所成角的正弦值．18．（13分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，S5＝30；数列{b n}的前n项和为T n，且T n＝2n﹣1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n＝（﹣1）n（a n b n+lnS n），求数列{c n}的前2n项和W2n．19．（14分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线x＝2与椭圆C交于P，Q两点，A，B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为．（i）求四边形APBQ面积的最大值；（ii）设直线P A的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，判断k1+k2的值是否为常数，并说明理由．20．（14分）设函数f（x）＝+x2+（m2﹣1）x（x∈R），其中m＞0．（1）当m＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；（2）求函数f（x）的单调区间与极值；（3）已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，x1，x2，且x1＜x2，若对任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立，求m的取值范围．2017-2018学年天津市南开中学高三（下）第五次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若复数（2+i）（a﹣2i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则|a+i|＝（）A．B．C．D．10【解答】解：∵（2+i）（a﹣2i）＝（2a+2）+（a﹣4）i的实部与虚部相等，∴2a+2＝a﹣4，即a＝﹣6．∴|a+i|＝|﹣6+i|＝．故选：C．2．（5分）“lgx，lgy，lgz成等差数列”是“y2＝xz”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：lgx，lgy，lgz成等差数列，∴2lgy＝lgx•lgz，即y2＝zx，∴充分性成立，因为y2＝zx，但是x，z可能同时为负数，所以必要性不成立，故选：A．3．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z＝2x﹣y的最大值为（）A．﹣3B．C．5D．6【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣1，﹣1），B（2，﹣1），C（0.5，0.5）设z＝F（x，y）＝2x﹣y，将直线l：z＝2x﹣y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z最大值＝F（2，﹣1）＝5故选：C．4．（5分）设a＝0.23，b＝log0.30.2，c＝log30.2，则a，b，c大小关系正确的是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a【解答】解：a＝0.23＝0.008，b＝log0.30.2＞log0.30.3＝1，c＝log30.2＜1，∴b＞a＞c，故选：B．5．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足（）A．y＝2x B．y＝3x C．y＝4x D．y＝5x【解答】解：输入x＝0，y＝1，n＝1，则x＝0，y＝1，不满足x2+y2≥36，故n＝2，则x＝，y＝2，不满足x2+y2≥36，故n＝3，则x＝，y＝6，满足x2+y2≥36，故y＝4x，故选：C．6．（5分）已知抛物线y2＝8x的准线与双曲线＝1相交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，△ABF为直角三角形，则双曲线的离心率为（）A．3B．2C．D．【解答】解：依题意知抛物线的准线x＝﹣2，代入双曲线方程得y＝±•，不妨设A（﹣2，）．∵△F AB是等腰直角三角形，∴＝p＝4，求得a＝，∴双曲线的离心率为e＝＝＝＝3，故选：A．7．（5分）若关于x的不等式3﹣|x+a|＞x2至少有一个负数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，）B．（）C．（﹣3，3）D．[）【解答】解：不等式3﹣|x+a|＞x2即|x﹣a|＜﹣x2+3，在同一坐标系内画出y＝﹣x2+3（x＜0，y＞0）与y＝|x|的图象，将绝对值函数y＝|x|向右移动，当左支过点（0，3），得a＝﹣3；将绝对值函数y＝|x|向左移动，当右支与y＝﹣x2+3相切，即联立，得x2+x+a﹣3＝0，由△＝1﹣4（a﹣3）＝0，得a＝．∴要使不等式3﹣|x+a|＞x2至少有一个负数解，则﹣3＜a．故选：A．8．（5分）已知函数f（x）＝，g（x）＝1+，若f（x）＜g（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪（，+∞）B．（﹣∞，）∪（，+∞）C．（，）D．（，1）∪（1，）【解答】解：当x≤0时，f（x）＜g（x）可化为：，解得：x＜，或x＞1，故x ≤0；当0＜x＜1时，f（x）＜g（x）可化为：+x，解得：＜x＜，或x＞1，故0＜x＜；当x＞1时，f（x）＜g（x）可化为：+x，解得：＜x＜1，或x＞，故x＞；综上可得：若f（x）＜g（x），则实数x的取值范围是（﹣∞，）∪（，+∞）故选：B．二.填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.9．（5分）已知集合A＝{﹣1，a}，B＝{2a，b}，若A∩B＝{1}，则A∪B＝{﹣1，1，2}．【解答】解：集合A＝{﹣1，a}，B＝{2a，b}，又∵A∩B＝{1}，∴a＝1，2a＝2，则b＝1故A＝{﹣1，1}，B＝{1，2}∴A∪B＝故答案为{﹣1，1，2}10．（5分）如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是8+6π．【解答】解：根据三视图知几何体是组合体，下面是半个圆柱、上面是一个以圆柱轴截面为底的四棱锥，圆柱的底面半径为2，母线长为3；四棱锥的高是2，底面是边长为4、3的矩形，∴该几何体的体积V＝×π×22×3+×3×4×2＝6π+8，故答案为：6π+8．11．（5分）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y＝lg2，则的最小值是．【解答】解：x＞0，y＞0，lg2x+lg8y＝lg2，可得x+3y＝1．＝＝＝≥＝．当且仅当x＝，x+3y＝1，即y＝＝，x＝＝时取等号．的最小值是．故答案为：．12．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣5）2＝5，过圆心C的直线l交圆C于A，B两点，交y轴于点P．若A恰为PB的中点，则直线l的斜率为±2．【解答】解：根据题意，圆C：（x﹣3）2+（y﹣5）2＝5，圆心C（3，5），则直线L的斜率存在，可设直线L的方程为y﹣5＝k（x﹣3），令x＝0可得y＝5﹣3k，即P（0，5﹣3k），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与圆的方程，消去y可得（1+k2）x2﹣6（1+k2）x+9k2+4＝0，由方程的根与系数关系可得，x1+x2＝6，x1x2＝，∵A为PB的中点，∴x2＝2x1②，把②代入①可得x2＝4，x1＝2，则x1x2＝＝8，解可得：k＝±2，即直线l的斜率为±2；故答案为：±2．13．（5分）已知△ABC中，||＝10，＝﹣16，D为边BC的中点，则||等于3．【解答】解：如图，D为边BC的中点；∴＝；根据余弦定理：＝＝＝；∴．故答案为：3．14．（5分）函数f（x）＝sin x（sin x+cos x）﹣在区间（）（0＜a＜1）上有且仅有一个零点，则实数a的取值范围是（，）∪（，1）．【解答】解：f（x）＝sin x（sin x+cos x）﹣＝sin2x+sin x cos x﹣＝﹣cos2x﹣+sin2x ＝sin（2x﹣），令f（x）＝sin（2x﹣）＝0，则2x﹣＝kπ，解得x＝π+，k∈Z，当k＝0时，x＝，此时＜＜aπ，解得＜a＜，当k＝1时，x＝π，此时＜π＜aπ，解得＜a＜1，综上所述f（x）在区（，aπ）（0＜a＜1）上有且仅有一个零点，则实数a的取值范围是（，）∪（，1）故答案为：（，）∪（，1）三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤. 15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞c．已知•＝2，cos B＝，b＝3．求：（1）a和c的值；（2）cos（B﹣C）的值．【解答】解：（1）•＝2，cos B＝，b＝3，可得ca cos B＝2，即为ac＝6；b2＝a2+c2﹣2ac cos B，即为a2+c2＝13，解得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2，由a＞c，可得a＝3，c＝2；（2）由余弦定理可得cos C＝＝＝，sin C＝＝，sin B＝＝，则cos（B﹣C）＝cos B cos C+sin B sin C＝×+×＝．16．（13分）有编号为A1，A2，…，A10的10个零件，测量其直径（单位：cm），得到下面数据：其中直径在区间[1.48，1.52]内的零件为一等品．（1）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；（2）从一等品零件中，随机抽取2个．（i）用零件的编号列出所有可能的抽取结果；（ii）求这2个零件直径相等的概率．【解答】解：（1）由10个零件直径（单位：cm）数据，得：10个零件中，一等品有6个，∴从上述10个零件中，随机抽取一个，这个零件为一等品的概率p＝．（2）①从一等品零件中，随机抽取2个，用零件的编号列出所有可能的抽取结果共15个，分别为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，A5），（A1，A6），（A2，A3），（A2，A4），（A2，A5），（A2，A6），（A3，A4），（A3，A5），（A3，A6），（A4，A5），（A4，A6），（A5，A6）．②这2个零件直径相等包含的基本事件有6个，分别为：（A1，A4），（A1，A6），（A2，A3），（A2，A5），（A3，A5），（A4，A6）．∴这2个零件直径相等的概率p＝＝．17．（13分）如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝，现以AD为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．（1）求证：AM∥平面BEC；（2）求证：BC⊥平面BDE；（3）求直线DC与平面BEC所成角的正弦值．【解答】证明：（1）取EC中点N，连结MN，BN，在△EDC中，M，N分别为ED、EC的中点，∴MN∥CD，且MN＝CD．由已知AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABMN为平行四边形．∴BN∥AM．又∵BN⊂平面BEC，且AM⊄平面BEC，∴AM∥平面BEC．（2）在正方形ADEF中，ED⊥AD，又∵平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD＝AD，∴ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BC，在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝1，CD＝2，得BC＝．在△BCD中，BD＝BC＝，CD＝2，BD2+BC2＝CD2，∴BC⊥BD．∵ED∩BD＝D，∴BC⊥平面BDE．解：（3）作DH⊥平面BEC于点H，连接CH，则∠DCH为CD与平面BEC所成角，由（2）知，BC⊥BE，BC⊥BD，∴S△BCD＝，又∵ED⊥平面ABCD，＝．∴DH＝，∴sin＝＝．∴CD与平面BEC所成角的正弦值为．18．（13分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，S5＝30；数列{b n}的前n项和为T n，且T n＝2n﹣1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n＝（﹣1）n（a n b n+lnS n），求数列{c n}的前2n项和W2n．【解答】解：（1）等差数列{a n}的前n项和为S n，利用：＝30，且a1＝2，解得：d＝2．故：a n＝2n．数列{b n}的前n项和为T n，且T n＝2n﹣1①．则：当n≥2时：②，①﹣②得：．当n＝1时，符合通项公式．故：．（2）由（1）得到：S n＝n（n+1），故：c n＝（﹣1）n（a n b n+lnS n）＝n•（﹣2）n+（﹣1）n•[lnn+ln（n+1）]设数列{（﹣1）n a n b n}的前2n项和为A2n，数列{（﹣1）n lnS n}的前2n项和为B2n，则：+2•（﹣2）2+…+n•（﹣2）n①．﹣2A2n＝1•（﹣2）2+2•（﹣2）3+…+n•（﹣2）n+1②．①﹣②得：3A2n＝（﹣2）1+（﹣2）2+…+（﹣2）2n﹣2n•（﹣2）2n+1解得：A2n＝，数列{（﹣1）n lnS n}的前2n项和，利用叠加法得到：B2n＝﹣（ln1+ln2）+（ln2+ln3）+…+（ln2n+ln（2n+1）），＝ln（2n+1）﹣ln1，＝ln（2n+1）．故：W2n＝ln（2n+1）．19．（14分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线x＝2与椭圆C交于P，Q两点，A，B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为．（i）求四边形APBQ面积的最大值；（ii）设直线P A的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，判断k1+k2的值是否为常数，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为．由已知b＝2，离心率e＝，a2＝b2+c2，得a＝4，所以，椭圆C的方程为．（Ⅱ）①由（Ⅰ）可求得点P、Q的坐标为P（2，3），Q（2，﹣3），则|PQ|＝6，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y＝x+t，代入，得：x2+tx+t2﹣12＝0．由△＞0，解得﹣4＜t＜4，由根与系数的关系得，四边形APBQ的面积，故当t＝0时，；②由题意知，直线P A的斜率，直线PB的斜率，则＝＝，由①知，可得，所以k1+k2的值为常数0．20．（14分）设函数f（x）＝+x2+（m2﹣1）x（x∈R），其中m＞0．（1）当m＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；（2）求函数f（x）的单调区间与极值；（3）已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，x1，x2，且x1＜x2，若对任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（1）当，故f'（1）＝﹣1+2＝1，所以曲线y＝f（x）在点（1，）处的切线的斜率为1．方程为y﹣＝x﹣1，即为y＝x﹣（2分）（2）f'（x）＝﹣x2+2x+m2﹣1，令f'（x）＝0，解得x＝1﹣m或x＝1+m．∵m＞0，所以1+m＞1﹣m，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：∴f（x）在（﹣∞，1﹣m），（1+m，+∞）内是减函数，在（1﹣m，1+m）内是增函数．函数f（x）在x＝1﹣m处取得极小值f（1﹣m），且f（1﹣m）＝，函数f（x）在x＝1+m处取得极大值f（1+m），且f（1+m）＝．（6分）（3）由题设，，∴方程有两个相异的实根x1，x2，故，∵m＞0解得m，（8分）∵x1＜x2，所以2x2＞x1+x2＝3，故x2＞．（10分）①当x1≤1＜x2时，f（1）＝﹣（1﹣x1）（1﹣x2）≥0，而f（x1）＝0，不符合题意，②当1＜x1＜x2时，对任意的x∈[x1，x2]，都有x＞0，x﹣x1≥0，x﹣x2≤0，则，又f（x1）＝0，所以f（x）在[x1，x2]上的最小值为0，于是对任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立的充要条件是f（1）＝m2﹣＜0，解得，∵由上m，综上，m的取值范围是（，）．（14分）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
天津南开中学2016届高三第五次月考数 学(文史类)本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）复数212ii+-等于 A ．i B ．i - C. 1D .1-（2）已知命题p ：若a b >，则22a b >；q ：“1x ≤”是“2230x x +-≤”的必要不充 分条件，则下列命题是真命题的是A ．p q ∧B .p q ⌝∧ C.p q ⌝∧⌝ D.p q ∧⌝（3）记集合22{(,)|16}A x y x y =+≤，集合{(,)|40,(,)}B x y x y x y A =+-≤∈表 示的平面区域分别为12,ΩΩ.若在区域1Ω内任取一点(,)P x y ，则点P 落在区域2Ω中的 概率为A ．24ππ- B ．324ππ+C ．24ππ+ D ．324ππ-（4）运行如下图所示的程序，则输出的结果为A ．7B ．9C ．10D ．11（5）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积 为A ．π+B ．2π+C ．2π+D ．π+（6）已知函数sin 2y x x =-，下列结论正确的个数是 ①图象关于12x π=-对称②函数在[0，2π]上的最大值为2 ③函数图象向左平移6π个单位后为奇函数 A ．0B ．1C ．2D ．3（7）已知定义在R 上的函数2()1|1()|f x x m =---关于y 轴对称，记(2),a f m =+1251(log ),()2b fc f e ==则,,a b c 的大小关系是A ．c a b <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c <<（8）已知函数||()2x f x x =+，若关于x 的方程2()f x kx =有4个不同的实数解，则k 的取值范围是 A ．1k >B ．1k ≥C ．01k <<D ．01k <≤天津南开中学2016届高三第五次月考数 学(文史类)第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2. 本卷共12小题，共110分。
二.填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.（9）已知集合{1,}A a =-，{2,}a Bb =，若{1}A B =，则A B =．（10）在学生人数比例为2:3:5的A ，B ，C 三所学校中，用分层抽样方法招募n 名志愿者，若在A 学校恰好选出了6名志愿者，那么n =．（11）如图，AB 是O 的直径，且3AB =，CD AB ⊥于D ，E 为AD的中点，连接CE 并延长交O 于F，若CD =， 则EF =．（12）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1)--，则双曲线的方程为．（13）已知四边形ABCD ，AC 是BD 的垂直平分线，垂足为,E O 为四边形ABCD 外一点，设||5,||3,OB OD ==则()()OA OC OB OD +⋅-=．（14）设0,0a b >>且不等式110k a b a b++≥+恒成立，则实数k 的最小值为． 三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.（15）（本小题满分13分）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知△ABC 的面积为3sin A ,周长为1)+，且sin sin B C A +=.(1)求a 及cos A 的值； (2)求cos(2)3A π-的值.（16）（本小题满分13分）某卖场同时销售变频冷暖空调机和智能洗衣机，这两种产品的市场需求量大，有多少卖多少。
今年五一假期该卖场要根据实际情况确定产品的进货数量，以达到总利润最大。
已知两种产品直接受资金和劳动力的限制。
根据过去销售情况，得到两种产品的有关数据如下表：（表中单位：百元）试问：怎样确定两种货物的进货量，才能使五一期间的总利润最大，（17）（本小题满分13分）己知三棱柱111ABC A B C -，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，90BCA ∠=︒，2AC BC ==，又知11BA AC ⊥（1）求证：1AC ⊥平面1A BC ； （2）求点C 到平面1A AB 的距离； （3）求二面角1A A B C --的余弦值．（18）（本小题满分13分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1,,2n n S a 成等差数列. (1) 求数列{}n a 的通项公式；(2) 设22nb n a -=，设nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T .（19）（本小题满分14分）设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别为21F F 、，上顶点为A ，在x 轴负半轴上有一点B ，满足211F F BF =，且2AF AB ⊥. (1)求椭圆C 的离心率；(2)若过2F B A 、、三点的圆恰好与直线033:=--y x l 相切，求椭圆C 的方程；(3)在(2)的条件下，过右焦点2F 作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于N M 、两点，在x 轴上是否存在点(,0),P m 使得以PN PM ,为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，说明理由.（20）（本小题满分14分） 已知函数3211()32f x ax bx cx =++（0a >）. （1）若函数)(x f 有三个零点分别为123,,x x x ，且3321-=++x x x ，129x x =-，求函数)(x f 的单调区间；（2）若1(1)2f a '=-，322a c b >>，证明：函数)(x f 在区间(0，2)内一定有极值点；（3）在（2）的条件下，若函数)(x f ，求ba的取值范围.天津南开中学2016届高三第五次月考数 学(文史类)参考答案一. 选择题二．填空题三．解答题15.【解析】2222221sin 3sin 621)1)4()2121cos 22123sin 7sin 2,cos(2)93S bc A A bc b c a a b c a b c bc a a A bc bc A A A A π==∴=+=∴=∴=+-+---====∴=∴==--=16.百元，32710,x y x y x N y +≤+∈⎧⎪⎨⎪⎩54y x =-由32710156x x y ++=⎧⎨⎩可得(8,10)A ，平移48y x =-+经过(8,10)A 点时截距8最大，即目标函数z 最大，此时108810160z =⨯+⨯=百元.17.【解析】（1）90BCA ∠=︒得BC AC ⊥，因为1A D ⊥底ABC ，所以1A D BC ⊥， 1A D AC D =，所以BC ⊥面1A AC ，所以1BC AC ⊥因为11BA AC ⊥，1BA BC B =，所以1AC ⊥底1A BC （2）由（1）得11AC AC ⊥，所以11A ACC 是菱形， 所以112AC AA AC ===，1AB A B == 由11C AA B A ABC V V --=，得h =（3）设11AC AC O =，作1OE A B ⊥于E ，连AE ， 由（1）所以1A B AE ⊥，所以AEO ∠为二面角平面角，在1Rt A BC ∆中OE AO AE ==，所以cos α= 18.【解析】（1）由已知得122n n a S =+，0n a >，当1n =时，11122a a =+，112a ∴= 当2n ≥时，122n n a S =+，11122n n a S --=+A 1B 1C 1ABCDE O两式相减得1122 2(2)nn n n n a a a a n a --=-∴=≥ 数列{}n a 是12为首项，2为公比的等比数列22n n a -= （2）由22n b n a -=42n b n ∴=-322n n n n b n c a --∴==由错位求和得32n n n T -=19.【解析】（1）设B （x 0，0），由2F （c ，0），A （0，b ）知),(),,(02b x b c AF -=-=c b x b cx AF 20202,0,-==+∴⊥ ， 由于211F F BF =即1F 为2BF 中点．故c c c b 22-=+-22223c a c b -==∴故椭圆的离心率21=e …………4分 （2）由（1）知,21=a c 得a c 21=于是2F （21a ，0）, B )0,23(a -，△2ABF 的外接圆圆心为（21-a ，0），半径r =A F 1=a ,所以a a =--2|321|，解得a =2，∴c =1，b =3，所求椭圆方程为13422=+yx 。
…8分 （3）由（2）知)0,1(2F , l ：)1(-=x k y⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 代入得01248)43(2222=-+-+k x k x k 设),(11y x M ，),(22y x N则2221438kk x x +=+，)2(2121-+=+x x k y y -………………10分 =-+-=+),(),(2211y m x y m x ),2(2121y y m x x +-+由于菱形对角线垂直，则⋅+)(0=)1k ，故02)(2121=-+++m x x y y k 则02)2(21212=-++-+m x x x x k2k )2438(22-+k k 0243822=-++m k k ………………12分由已知条件知0≠k 且R k ∈43143222+=+=∴k kk m 410<<∴m 故存在满足题意的点P 且m 的取值范围是410<<m ． ………………14分 20.【解析】（1）因为211()()32f x x ax bx c =++，又1233x x x ++=-，129x x =-，则30x =，123,x x +=-129x x =-……………1分因为x 1，x 2是方程211032ax bx c ++=的两根， 则332b a -=-，39c a =-，得2b a =，3c a=-，……………3分所以22()()b cf x ax bx c a x x a a'=++=++ 2(23)a x x =+-(1)(3)a x x =-+.令0)(/=x f 解得：1,3x x ==- 故()f x 的单调递减区间是（－3，1），单调递增区间是(,3),(1,)-∞-+∞．……………5分（2）因为2()f x ax bx c '=++，1(1)2f a '=-，所以12a b c a ++=-，即3220a b c ++=. 又0a >，322a c b >>，所以30,20a b ><，即0,0a b ><.…………… 7分于是(1)02af '=-<，(0)f c '=，(2)424(32)f a b c a a c c a c '=++=-++=-. …………… 8分① 0c >时，因为(0)0,(1)02af c f ''=>=-<，而()f x '在区间(0,1)内连续，则()f x '在区间(0,1)内至少有一个零点，设为x =m ，则在(0,)x m ∈，()f x '>0，()f x 单调递增，在(,1)x m ∈，()f x '<0，()f x 单调递减，故函数()f x 在区间(0,1)内有极大值点x =m ；……………9分②当0c ≤时，因为(1)0,(2)02af f a c ''=-<=->，则()f x '在区间（1，2）内至少有一零点.同理，函数()f x 在区间(1，2)内有极小值点.综上得函数)(x f 在区间(0，2)内一定有极值点．…………… 10分14分。