2点线

铅垂线
Z a A b a
a
b X
Z
a
b
X
O
YW
O B a(b)
b a(b)
a b OY
Y
2、 a bOX ;
YH
3、 a b = a b = AB
投影特性：1、a b 积聚 成一点

正垂线
Z ab A B O a b Y
ab
z
a
b
a
b X a O YW
b
b
a X A a

O b
O
a’’ YW


一、直角三角形法的作图要领 用线段在某一投影 面上的投影长作为一条直角边，再以线段的两端点 相对于该投影面的坐标差作为另一条直角边，所作 直角三角形的斜边即为线段的实长，斜边与投影长 间的夹角即为线段与该投影面的夹角。 二、直角三角形的四个要素 直角三角形的四个要 素即：实长、投影长、坐标差及直线对投影面的倾 角。已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。
投影面垂直线
一般位置直线

一般位置直线 Z
b
B b a X
b
Z
b
a
X A a

O b a
O b
a Y
Y a Y

一般位置直线投影特性
投影特性：1、a b、 ab、a b均小于实长 2 、a b、ab、a b均倾斜于投影轴 3 、 不反映 、 、 实角
例题4 已知 线段的实长AB，求它的水平 投影。
AB
b
|zA-zB|
AB |zA-zB|
a
X

ab
b
ab AB |yA-yB|

a
ab

直线上的点
c
b B C X a A O
直线上的点具有两个特性：
c b c
a
1 从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用 这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。
a
H
a

点的两面投影图性质 a A V
V
a
zA
X
ax a
O
X
ax yA
xA
O
H
a H
1）aaOX 2） aax =Aa = zA , aax =Aa = yA
形体的三面投影图
在这个三投影面体系中，水平放置的平面称为水平投影面 （简称水平面，用H表示），正对着观察者的投影面称为正立面 投影（简称立面，用V表示），第三个投影面在观察者右侧，称 为侧立投影面（简称侧面，用W表示），三投影面两两相交构成 三条投影轴OX、OY、OZ，三轴的交点O称为原点。
b
k
d
a d

两直线交叉
空间两直线若既不平行又不相交时， 则称为交叉(又称异面直线)。交叉两直线 的同面投影也可能相交，但各个投影的交 点不符合一点的投影规律。

两直线交叉
d d b
1(2) a X A a 2 C c 1 c 2
b
B D O b 1 d
1(2) a c
X

垂直相交的两直线的投影
a A
b
B
C c X a b H
c
a c b
AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac
交叉垂直的两直线的投影 定理三： 相互垂直的两直线，其中有一条 直线平行于投影面时，则两直线在该投影面 上的投影仍反映直角。 定理四： 两直线在同一投影面上的投影反 映直角，且有一条直线平行于该投影面，则 空间两直线的夹角必是直角。
a H
2. aa ox aa oz
YH

投影面和轴上的点投影
V
Байду номын сангаас
b
V
Bb a X
a c O b O H c
X b H
Cc c
Aa
a
例题1
已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影。
Z a a
X
O
YW
a YH
a
Z
a
注：因为 平面是无 限大的， 所以一般 不画出平 面边框。


垂直交叉的两直线的投影
A B N
a X m a
n
b
C a
c
n
n b H m
b B
D X
C
a
a X
A a
b b a c
d
b c

两直线相交
两相交直线在同一投影面上的投影仍 相交，且交点属于两直线。 反之，若两 直线在同一投影面上的投影相交，且交点 属于两直线，则该两直线相交。

两直线相交 d
d k B b
b
k a X c
C Ac a K D
a
X
c c b k

水平线 z
Z
a
b
a
b
a
A
b

a

X
O
YW
B
X
O
b
a

a
b
Y
b
投影特性：1、ab OX ; ab OYW 2、ab=AB 3、反映、 角的真实大小
YH

正平线
Z b b
Z
b
a

B a b
a
X

O
a
YW

A
X
O
a
b
Y
a
2、a b=AB
形体的三面投影图
为了更真实的反映形体的情况，我们一般把形体放在三个 互相垂直的平面所组成的投影面体系中进行投影。
形体的三面投影图

三面投影图的形成
形体的三面投影图
三面投影图的投影关系 “长对正、 高平齐、宽相 等”是三面投影

图最基本的投影 规律，它不仅适 用于整个群体的 投影，也适用于 形体的每个局部 的投影。
X
O
Y
a
Y

点的投影与坐标
若把三个投影面当作空间直角坐标面，投影 轴当作直角坐标轴，则点的空间位置可用其（X、 Y、Z）三个坐标来确定，点的投影就反映了点的 坐标值，其投影与坐标值之间存在着对应关系。
点的一个投影反映了点的两个坐标。已知点 的两个投影，则点的X、Y、Z三个坐标就可确定， 即空间点是唯一确定的。因此已知一个点的任意 两个投影即可求出其第三投影。
直
两
点的投影

两面投影体系的建立
V
X
水平投影面 —— H
垂直投影面 —— V 投 影 轴 —— OX
第 一 分 角
H
O

点的两面投影
V
a
zA
A
xA yA
X
O
H A点的水平投影 —— a
A点的垂直投影 —— a
a

点的两面投影图画法 a A V a
V
zA
O X
X
ax
ax yA
xA
O
H H
a X
b
c
a
2-3直线的相对位置
平行 相交——垂直 交叉——垂直

2-3直线的相对位置

直线平行
若空间两直线相互平行，则其各同面投影 必然相互平行且比值不变。反之，如果两直线 的各同面投影相互平行且比值相等，则此两直 线在空间也一定相互平行。

两直线平行 b d c d c
a H
a W
ay
Y
例2 已知点A（15，16，12），求作其三面投影

点的相对位置
Z a b O YW a
Z a a X b b a
两点中X 值大的点 ——在左 两点中Y 值大的点 ——在前 两点中Z 值大的点 ——在上
b X B b O
b
A
Y
a
YH
例题3 已知A点在B点之右8毫米，之前5毫米，之上9 毫米，求A点的投影。 Z
X
b
ab OZ 3 、 ab = ab =AB
投影特性： 1、 ab积聚 成一点 2 、 ab OX ;
YH

侧垂线
Z a b ab A
a
b
Z
ab
X
B O
X
O
YW
a a b Y
2 、 ab OYH ;
b YH
ab OZ 3 、 ab = ab =AB
b
2
a
c
d
1
例题6
判断两直线的相对位置
c
b
z
c
b
a X
a
d o d b c
a
d
YW
YH

直角投影
垂直相交的两直线的投影 定理一： 垂直相交的两直线，其中有一条直线平行于投影面时， 则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。 定理二： 相交两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条 直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。

点的投影与坐标
Aa″=a′aZ = aayh =x坐标； Aa′=aaX = a″aZ =y坐标； Aa =a′aX = a″ ayw =z坐标。 点的每个投影反映两个坐标， 点的三面投影与点的坐标关系为： （1）A点的H面投影a Z V 可反映该点的x和y坐标； az a （2）A点的V面投影a′ y 可反映该点的X和Z坐标； x （3）A点的W面投影a″ ax O X 可反映该点的y和Z坐标。 z
a X A a

C
b
O
X

AB


求直线的实长及对V面倾角 b B AB b