【金版学案】2015-2016学年高中数学 2 章末过关检测卷(二)苏教版必修3

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2015-2016学年上学期高二数学(理)期末模拟金卷(江苏版)03(解析版)

高二（上）理期末模拟三一、填空题1．若命题:01x p x <-,命题2:2q x x <,则p 是q 的条件．（在“充分不必、必要不充分、充要、既不充分也不必要”中选填）【答案】充分不必要【解析】试题分析：因为01x x <-，所以(1)0x x -<，所以01x <<，即命题:01p x <<；而22x x <，所以 02x <<，即命题:02q x <<,所以命题:01p x <<可推出命题:02q x <<，但命题:02q x <<不能推出命题:01p x <<，所以p 是q 的充分不必要条件．考点：1、充分条件；2、必要条件．2．复数ii +-13等于【答案】i 21- 【解析】试题分析：把复数的分子分母同时乘以1-i,i i +-13(3)(1)(1)(1)i i i i --==+-i 21-．考点：复数的除法运算．3．正四面体的棱长为，顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．【答案】144π【解析】考点：棱锥的外接球问题．4．圆5:22=+y x P ,则经过点()21，-M 的切线方程为．【答案】052=+-y x【解析】试题分析：点()12M -，在圆上，所以OM 与切线垂直2OM k =- 所以切线斜率为12，因此切线方程为()1212502y x x y -=+∴-+= 考点：1．直线方程；2．直线和圆相切的位置关系5．若椭圆)0(12222>>=+b a by a x 经过点)3,0(P ，且椭圆的长轴长是焦距的两倍，则=a ．【答案】2【解析】试题分析：由已知2222a c b a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩，解得2a =．考点：椭圆的几何性质．6．函数x x y ln =的单调递减区间是．【答案】10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦.考点：1、利用导数求函数的单调区间.7．已知不等式4716191411,3591411,23411<+++<++<+，照此规律总结出第n 个不等式为______________；【答案】22211121123n n n -++++< ．【解析】试题分析：由已知条件4716191411,3591411,23411<+++<++<+，可归纳猜想得出其第n 个不等式为： 22211121123n n n -++++< ．故应填22211121123n n n-++++< ．考点：1、类比推理．8．已知三角形的三个顶点为A （2，﹣1，4），B （3，2，﹣6），C （5，0，2），则BC 边上的中线长为．【答案】2【解析】试题分析：根据B ，C 两点的坐标和中点的坐标公式，写出BC 边中点的坐标，利用两点的距离公式写出两点之间的距离，整理成最简形式，得到BC 边上的中线长．解：∵B （3，2，﹣6），C （5，0，2），∴BC 边上的中点坐标是D （4， 1，﹣2）∴BC 边上的中线长为=，故答案为：2．点评：本题考查空间中两点的坐标，考查中点的坐标公式，两点间的距离公式，是一个基础题．9．给出下列三个命题：①命题p ：x R ∃∈,使得012<-+x x ，则p ⌝：x R ∀∈，使得012≥-+x x② ”或“15-<>x x 是“2450x x -->”的充要条件. ③若q p ∨为真命题，则p q ∧为真命题.其中正确．．命题的个数为．【答案】2考点：1.命题的否定；2.充要条件；3.含有逻辑连接词的命题的真假.10．已知点P 是椭圆22221x y a b+=(0,0)a b xy >>≠上的动点，1(,0)F c -、2(,0)F c 为椭圆对左、右焦点，O 为坐标原点，若M 是12F PF ∠的角平分线上的一点，且1F M MP ⊥，则OM 的取值范围是．【答案】(0,)c【解析】试题分析：延长1F M 交2PF 或其延长线于N 点，则212222111|||||2|||222OM F N PF PF a PF PF a PF ==-=--=-，因为2(,)(,)PF a c a a a c ∈-+ ，因此OM的取值范围是(0,)c 考点：椭圆定义11．若函数)1ln(2ln )(+-=x kx x f 不存在零点，则实数k 的取值范围是．【答案】)4,0(；【解析】试题分析：由题意可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=>+>)1ln(2ln 010x kx x kx ，解得1->x 且0≠x ，由对数的性质可得 2)1ln()1ln(2ln +=+=x x kx ，可得2)1(+=x kx )0,1(,21)1(2≠->++=+=⇒x x x x x x k 由于,21-<+x x 或02121<++⇒≥+x x x x 或421≥++xx ，要使函数)1ln(2ln )(+-=x kx x f 不存在零点，只需k 取21++xx 取值集合的补集，即}40|{<≤k x ，当0=k 时，函数无意义，故k 的取值范围应为：)4,0(考点：函数零点12．已知直线20ax y +-=与圆心为C 的圆22(1)()4x y a -+-=相交于A 、B 两点，且ABC ∆为等边三角形，则实数a=．【答案】4【解析】试题分析：依题意可知，圆心到直线的距离等于3，所以3122=+-+a a a ，解得=a 4±．考点：直线与圆的位置关系．13．已知函数()(21)ln(1)f x x a x a =-+++的定义域为(1,)a --+∞，若()f x ≥0恒成立，则a 的值是．【答案】13a =考点：1．恒成立问题；2．转化思想．14．已知点P 为圆C ：22(1)4x y -+=上任意一点，点Q 的坐标为（4a,a+3），则PQ 长度的最小值为.-2 【解析】试题分析：圆C ：22(1)4x y -+=，圆心为（1,0），半径为2，圆心到点Q ，当他最小时，PQ =，当117a =时，距离最小，最小距离为，所以PQ -2 考点：本题考查点与圆的位置关系二、解答题15．已知,z ω为复数，(13)i z +⋅为纯虚数，2z iω=+，且||ω=,求复数ω. 【答案】()7i ω=±-考点：1复数的计算；2复数的模长。

【金版学案】2021学年高中数学第三章章末过关检测试题(三)苏教版必修4(1)

章末过关检测卷(三)(测试时刻：120分钟评判分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°的值为( )A.12 B ．－12 C.22 D ．－22解析：原式＝sin 13°cos 32°＋cos 13°sin 32°＝sin 45°＝22.应选C.答案：C2．(2021·江西卷)假设sin α2＝33，那么cos α＝( )A ．－23 B ．－13 C.13 D.23解析：∵sin α2＝33，∴cos α＝1－2sin2α2＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫332＝13，应选C. 答案：C3．sin π12－3cos π12的值是( )A ．0B ．－ 2 C. 2 D ．2解析：原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12sin π12－32cos π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－π3＝－2sin π4＝－2，应选B.答案：B4．(2021·浙江卷)函数f(x)＝sin xcos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅别离是() A ．π，1 B ．π，2 C ．2π，1 D ．2π，2解析：f(x)＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，振幅为1，T ＝2πω＝2π2＝π，应选A. 答案：A5．化简21－sin 8＋2＋2cos 8 得( ) A ．2sin 4 B ．2sin 4－4cos 4C ．4cos 4－2sin 4D ．－2sin 4解析：原式＝2sin24＋cos24－2sin 4cos 4＋ 2＋22cos24－1＝2sin 4－cos 42＋2|cos 4| ＝2(cos 4－sin 4)－2cos 4＝－2sin 4.答案：D6．函数f(x)＝32sin 2x －12cos 2x ＋12在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上的最大值是( )A ．1 B.1＋32 C.32 D ．1＋3解析：f(x)＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，且π4≤x ≤π2，得π2≤2x ≤π，∴π3≤2x －π6≤5π6，∴当2x －π6＝π2，即当x ＝π3时，函数f(x)有最大值1＋12＝32.应选C.答案：C7．设向量a ＝(sin 15°，cos 15°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，那么a 、b 的夹角为()A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：∵|a|＝|b|＝1，且a ·b ＝sin 15°cos 15°＋cos 15°sin 15°＝sin 30°＝12， ∴a 、b 的夹角θ，cos θ＝a ·b |a||b|＝12，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝60°.答案：B 8．(2021·新课标Ⅱ卷)已知sin 2α＝23，那么cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A.16 B.13 C.12 D.23解析：因为cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2，因此cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－sin 2α2＝1－232＝16，应选A. 答案：A9．(2021·湖北卷)将函数y ＝3cos x ＋sin x(x ∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所取得的图象关于y 轴对称，那么m 的最小值是( )A.π12 B.π6 C.π3 D.5π6 解析：y ＝3cos x ＋sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，将函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，取得y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋m －π6，现在关于y 轴对称，那么m －π6＝k π，k ∈Z ，因此m ＝π6＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，m 的最小值是π6，应选B. 答案：B10.观看等式：sin230°＋cos260°＋sin 30°cos 60°＝34，sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°＝34和sin215°＋cos245°＋sin 15°cos 45°＝34，…，由此得出以下推行命题不正确的选项是( ) A ．sin2α＋cos2β＋sin αcos β＝34B ．sin 2(α－30°)＋cos2α＋sin(α－30°)cos α＝34C ．sin2(α－15°)＋cos2(α＋15°)＋sin(α－15°)cos(α＋15°)＝34D ．sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34解析：由3个等式观看可知，其结构形式如A 选项，且β－α＝30°.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 11．(2021·上海卷)假设cos xcos y ＋sin xsin y ＝13，那么cos(2x －2y)＝________. 解析：∵cos xcos y ＋sin xsin y ＝cos(x －y)＝13， ∴cos 2(x －y)＝2cos2(x －y)－1＝－79. 答案：－7912．设f (x)＝2cos2x ＋3sin 2x ＋a ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f(x)有最大值4，那么a ＝________. 解析：f(x)＝2cos2x ＋3sin 2x ＋a ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1. 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2知，⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6， ∴f(x)max ＝3＋a ＝4，∴a ＝1.答案：113．(2021·四川卷)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，那么tan 2α的值是________．解析：sin 2α＝－sin α，∴cos α＝－12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴α＝2π3，因此tan 2α＝tan 4π3＝tan π3＝3，故填 3.答案：3 14．已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫x ∈R ，A>0，ω>0，|φ|<π2的部份图象如以下图所示，那么f(x)的解析式为________________．解析：由题意知A ＝2，56－13＝12是f(x)周期的14，故T ＝2. ∴ω＝2π2＝π，那么f(x)＝2sin(πx ＋φ)，再将点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，2代入知2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝2 得φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，又|φ|<π2，得φ＝π6， ∴f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6. 答案：f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6 三、解答题(本大题共6小题，共80分，解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤)15．(本小题总分值12分)求 cos 20°cos 10°sin 20°＋3sin 10°tan 70°－2cos 40°的值．解析：原式＝cos 20°cos 10°sin 20°＋3sin 10°sin 70°cos70°－2cos 40° ＝cos 20°cos 10°＋3sin 10°cos 20°sin 20°－2cos 40° ＝cos 20°cos 10°＋3sin 10°sin 20°－2cos 40°＝2cos 20°cos10°sin 30°＋sin 10°cos 30°sin 20°－2cos 40°＝2cos 20°sin40°－2sin 20°cos 40°sin 20°＝2sin 20°sin 20°＝2. 16.(本小题总分值12分)已知sin(α－β)＝35，sin(α＋β)＝－35，且α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求cos 2β的值．解析：由si n(α－β)＝35及α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π得： cos(α－β)＝－45，由sin(α＋β)＝－35及α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π得： cos(α＋β)＝ 45. ∴cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×35＝－1. 17．(2021·广东卷)(此题总分值14分)已知函数f(x)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，x ∈R. (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值； (2)假设cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6. 解析：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1 (2)∵cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，sin θ＝－1－cos2θ＝－45， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝－15.18．(本小题总分值14分)设函数f ()x ＝cos2ωx ＋3sin ωxcos ωx ＋a(其中ω>0，a ∈R)．且f(x)的图象在y 轴右边的第一个最高点的横坐标是π3. (1)求ω的值； (2)若是f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π6上的最小值为3，求a 的值．解析：(1)f ()x ＝cos2ωx ＋3sin ωxcos ωx ＋a ＝1＋cos 2ωx 2＋3sin 2ωx 2＋a ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋12＋a. 依题意得2ω·π3＋π6＝π2⇒ω＝12. (2)由(1)知，f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋12＋a ，又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π6时，x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，从而f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π6 上的最小值为3＝－12＋12＋a ，故a ＝ 3. 19．(2021·陕西卷)(此题总分值14分)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x)，x ∈R ，设函数f(x)＝a ·b.(1)求f(x)的最小正周期．(2)求f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．解析：(1)f(x)＝a ·b ＝cos x ·3sin x －12·cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.最小正周期T ＝2π2＝π，因此f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，最小正周期为π. (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，由标准函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上的图象知，f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. 因此f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值别离为1，－12. 20．(本小题总分值14分)设a ∈R ，f(x)＝cos x(asin x －cos x)＋cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x , 知足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f(0)，求函数f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤ π4， 11π24上的最大值和最小值．解析：f(x)＝asin xcos x －cos2 x ＋sin2 x＝a 2sin 2x －cos 2x. 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f(0)得－32·a 2＋12＝－1，解得a ＝2 3.因此f(x)＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，f(x)为增函数，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，11π24时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4，f(x)为减函数，因此f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π24上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2，又因f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24＝2，故f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π24上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24＝ 2.。

【金版学案】2014-2015学年高中数学(必修一-苏教版)章末过关检测卷--第1章-集合

数学·必修1(苏教版)章末过关检测卷(一)第1章集合(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(每题5分，共40分)1．设P＝{x|x<4}，Q＝{x|x2<4}，则()A．P⊆Q B．Q⊆P C．P⊆∁R Q D．Q⊆∁R P解析：∵Q＝{x|－2<x<2}，∴Q⊆P.答案：B2．设全集U＝{x∈N*|x<6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则∁U(A∪B)＝()A．{1,4} B．{1,5} C．{2,4} D．{2,5}解析：∵U＝{1,2,3,4,5，}，A∪B＝{1,3,5}，∴∁U(A∪B)＝{2,4}．答案：C3．若集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0，x∈R}中只有一个元素，则实数k的值为()A．1 B．0 C．0或1 D．以上答案都不对解析：分情况k＝0和k≠0.答案：C4．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝3}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B等于() A．{(1,2)} B．(2,1)C．{(2,1)} D．∅解析：A ∩B 是点集，即满足⎩⎨⎧ x ＋y ＝3，x －y ＝1的解．答案：C5．若全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{2,3}，N ＝{1,4}，则集合{5,6}等于( )A ．M ∪NB ．M ∩NC ．(∁U M )∪(∁U N )D ．(∁U M )∩(∁U N )答案：D6．已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤a ＋2}，B ＝{x |3<x <5}，则能使A ⊇B 成立的实数a 的取值范围是( )A ．{a |3<a ≤4}B ．{a |3≤a ≤4}C ．{a |3<a <4}D ．∅解析：⎩⎨⎧ a －1≤3，5≤a ＋2⇒3≤a ≤4.7．已知全集U＝R，集合A＝{x|x>1或x<－2}，B＝{x|－1≤x≤0}，则A∪∁U B等于()A．{x|x<－1或x>0} B．{x|x<－1或x>1}C．{x|x<－2或x>1} D．{x|x<－2或x≥0}解析：∁U B＝{x|x<－1或x>0}，∴A∪∁U B＝{x|x<－1或x>0}．答案：A8．已知A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－5<x<5}，则()A．A∩B＝∅B．A∪B＝RC．B⊆A D．A⊆B解析：A＝{x|x<0或x>2}，∴A∪B＝R.二、填空题(每题5分，共30分)9．设集合A＝{x||x|<4}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则集合{x|x∈A，且x∉A∩B}＝________.解析：A＝{x|－4<x<4}，B＝{x|x>3或x<1}，A∩B＝{x|3<x<4或－4<x<1}，∴{x|x∈A且x∉A∩B}＝{x|1≤x≤3}．答案：{x|1≤x≤3}10．设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩∁U N＝{2,4}，则N＝________.答案：{1,3,5}11．设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7,8}，则满足S ⊆A 且S ∩B ≠∅的集合S 的个数是________．解析：A 的子集共有26＝64个，而{1,2,3}的子集共23＝8个，这8个均不满足S ∩B ≠∅的条件，所以满足条件的S 共有64－8＝56个．答案：56个12．已知集合A ＝{(x ，y )|ax －y 2＋b ＝0}，B ＝{(x ，y )|x 2－ay ＋b ＝0}，且(1,2)∈A ∩B ，则a ＝________，b ＝__________.解析：∵(1,2)∈A ∩B .∴⎩⎨⎧ a －4＋b ＝0，1－2a ＋b ＝0⇒a ＝53，b ＝73. 答案：53 7313．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＝k 2＋14，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k 4＋12，k ∈Z ，则M 与N 的关系是________．解析：任取x ∈M ，则x ＝k 2＋14＝2k ＋14＝2k －14＋12∈N ，而12∈N ，而12∉M ，∴M N .答案：MN14．某中小城市1 000户居民中，有彩电的有819户，有空调的有682户，彩电和空调二者都有的有535户，则彩电和空调至少有一种的有________户．解析：如图，有彩电无空调的有819－535＝284户；有空调无彩电的有682－535＝147户，因此二者至少有一种的有284＋147＋535＝966户．答案：966三、解答题(共80分)15．(12分)A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax －2＝0}，且A ∪B ＝A ，求实数a 组成的集合C .解析：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，当B ＝∅时，即a ＝0时，显然满足条件．当B ≠∅时，则B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2a ，A ＝{1,2}， ∴2a ＝1或2a ＝2，从而a ＝1或a ＝2，故集合C ＝{0,1，2}．16．(12分)已知集合A ＝{x |1≤x ＜7}，B ＝{x |2＜x ＜10}，C ＝{x |x ＜a }，全集为实数集R.(1)求A∪B，(∁R A)∩B；解析：(1)A∪B＝{x|1≤x＜10}，(∁R A)∩B＝{x|x＜1或x≥7}∩{x|2＜x＜10}＝{x|7≤x＜10}．(2)如果A∩C≠∅，求a的取值范围．解析：(2)当a＞1时，满足A∩C≠∅.因此a的取值范围是(1，＋∞)．17.(14分)已知集合A＝{x|x<－1或x≥1}，非空集合B＝{x|(x－a－1)(x －2a)<0}．若B⊆A，求实数a的取值范围．解析：B ≠∅，且B ⊆A ，∴⎩⎨⎧ a ＋1<2a ，2a ≤－1或a ＋1≥1或⎩⎨⎧ a ＋1>2a ，a ＋1≤－1或2a ≥1.解得a >1或a ≤－2或12≤a <1. ∴a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ＞1或a ≤－2或12≤a ＜1.18．(14分)已知A ＝{x |a －4＜x ＜a ＋4}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}．(1)若a ＝1，求A ∩B ；解析：(1)当a ＝1时，A ＝{x |－3＜x ＜5}．B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}. ∴A ∩B ＝{x |－3＜x ＜－1}．(2)若A ∪B ＝R ，求实数a 的取值范围．解析：(2)∵A ＝{x |a －4＜x ＜a ＋4}．B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，又A ∪B ＝R ，∴⎩⎨⎧ a －4＜－1，a ＋4＞5⇒1＜a ＜3.∴所求实数a 的取值范围是(1,3).19.(14分)已知集合A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}，求a 取何值时，A ∩B ≠∅与A ∩C ＝∅同时成立．解析：∵B ＝{2,3}，C ＝{2，－4}，由A ∩B ≠∅且A ∩C ＝∅知，3是方程x 2－ax ＋a 2－19＝0的解，∴a 2－3a －10＝0，解得a ＝－2或a ＝5，当a ＝－2时，A ＝{3，－5}，适合A ∩B ≠∅与A ∩C ＝∅同时成立，当a ＝5时，A ＝{2,3}，A ∩C ＝{2}≠∅，故舍去．所求a 的值为－2.20．(14分)已知两个正整数集合A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{a21，a22，a23，a24}满足：(1)A∩B＝{a1，a4}；(2)a1＋a4＝10；(3)a1<a2<a3<a4；(4)A与B的所有元素之和为124.求a1，a2，a3，a4.解析：∵a1，a2，a3，a4∈N*，∴a21≥a1，由A∩B＝{a1，a4}，必有a21＝a1，即a1＝1，而由a1＋a4＝10得a4＝9，此时B＝{1，a22，a23，81}，由A∩B ＝{1,9}可知a22＝9或a23＝9，可得a2＝3或a3＝3.(1)若a2＝3，则3<a3<9，由所有元素之和为124可得a3＝4.(2)若a3＝3，则a2＝2，此时所有元素之和为110≠124，不合题意．综上，即得a1＝1，a2＝3，a3＝4，a4＝9.。

【金版学案】2016-2017苏教版高中数学必修4 章末过关检测卷(一) Word版含解析

章末过关检测卷(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．角α终边经过点(1，－1)，则cos α＝( ) A ．1 B ．－1 C.22 D ．－22解析：角α终边经过点(1，－1)，所以cos α＝112＋（－1）2＝22. 答案：C2．已知扇形的半径为r ，周长为3r ，则扇形的圆心角等于( ) A.π3 B ．1 C.2π3 D ．3 解析：因为弧长l ＝3r －2r ＝r ，所以圆心角α＝lr ＝1.答案：B3．(2014·四川卷)为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度解析：根据三角函数图象的平移和伸缩变换求解．y ＝sin 2x 的图象向左平移12个单位长度得到函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的图象，即函数y＝sin(2x ＋1)的图象．答案：A4．如果函数f (x )＝sin (πx ＋θ)(0＜θ＜2π)的最小正周期是T ，且当x ＝2时取得最大值，那么( )A ．T ＝2，θ＝π2B ．T ＝1，θ＝πC ．T ＝2，θ＝πD ．T ＝1，θ＝π2解析：T ＝2π|ω|，当ωx ＋θ＝2k π＋π2(k ∈Z)时取得最大值．由题意知T ＝2ππ＝2，又当x ＝2时，有2π＋θ＝2k π＋π2，所以θ＝2(k －1)π＋π2，0＜θ＜2π.所以k ＝1.则θ＝π2.答案：A5．函数y ＝2sin(3x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪φ⎪⎪⎪<π2的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝( )A.π6B.π3C.π4 D ．－π4解析：由y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z)，可得3×π12＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，则φ＝k π＋π4.又|φ|<π2，所以取k ＝0，得φ＝π4.答案：C6．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，32π，则tan α＝( ) A.43 B.34 C ．－34 D ．±34解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝35，sin α＝－35，因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，32π，所以cos α＝－45.所以tan α＝34.答案：B7．已知a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π6，b ＝cos 23π4，c ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－334π，则a ，b ，c的大小关系是( )A ．b >a >cB ．a >b >cC ．b >c >aD ．a >c >b解析：a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π－π6＝－tan π6＝－33，b ＝cos 234π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π－π4＝cos π4＝22，c ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－334π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8π－π4＝－sin π4＝－22，所以b >a >c . 答案：A8．将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<θ<π2的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫0，32，则φ的值可以是( )A.5π3B.5π6C.π2D.π6解析：把P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32代入f (x )＝sin(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<θ<π2，解得θ＝π3，所以g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－2φ.把P ⎝⎛⎭⎪⎫0，32代入得，φ＝k π或φ＝k π－π6.答案：B9．函数y ＝3x －x 2tan x 的定义域是( )A ．(0，3]B ．(0，π)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3 解析：由y ＝3x －x 2tan x 有意义，得0≤x ≤3且x ≠k π＋π2(k ∈Z)，且x ≠k π(k ∈Z)，所以x ≠0且x ≠π2.所以x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3. 答案：C10．如图所示，函数y ＝f (x )图象的一部分，则函数y ＝f (x )的解析式可能为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6解析：14T ＝π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，所以T ＝π，所以ω＝2，排除A 、C.将f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝1代入可排除B. 答案：D11．(2014·安徽卷)设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x ≤π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0 D ．－12解析：因为f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，所以f (x )的周期T ＝2π.又因为当0≤x <π时，f (x )＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝0，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12. 答案：A12．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F (t )＝50＋4sint2(0≤t ≤20)给出，F (t )的单位是辆/分，t 的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的( )A ．[0，5]B ．[5，10]C ．[10，15]D ．[15，20]解析：因为10≤t ≤15时，有32π<5≤t 2≤152<52π，此时F (t )＝50＋4sin t2是增函数，即车流量在增加．答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上)13．(2015·四川卷)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．解析：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.所以2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝－4－14＋1＝－1. 答案：－114．(2014·江苏卷)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．解析：利用函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)的交点横坐标，列方程求解．由题意，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·π3＋φ＝cos π3，因为0≤φ<π，所以φ＝π6.答案：π615．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－m 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点，则m 的取值范围是________．解析：f (x )有两个零点，即m ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的实根．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，56π，结合正弦曲线知m ∈[1，2)．答案：[1，2)16．(2014·北京卷)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．解析：因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，所以T 2≥π2－π6.所以T ≥2π3.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，所以f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12.又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，所以f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3.所以14T ＝7π12－π3＝π4.所以T ＝π.答案：π三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知tan (2 013π＋α)＝3，试求：sin （α－3π）－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 013π2＋α－sin （－α）＋cos （π＋α）的值．解：由tan(2 013π＋α)＝3, 可得 tan α＝3，故sin （α－3π）－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 013π2＋α－sin （－α）＋cos （π＋α）＝－sin α＋2sin αsin α－cos α＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝33－1＝32.18．(本小题满分12分)已知函数y ＝2a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b 的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0， π2，值域是[－5，1]，求a ，b 的值．解：因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3.所以－12≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1.当a >0时，－a ＋b ≤2a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b ≤2a ＋b .由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝－5，2a ＋b ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3.当a <0时，2a ＋b ≤2a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b ≤－a ＋b . 由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－5，－a ＋b ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.19.(本小题满分12分)(2014·北京卷)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图象如图所示．(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值；(2)在f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．解：(1)f (x )的最小正周期为π，x 0＝7π6，y 0＝3.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，0.于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.20．(本小题满分12分)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．解：(1)因为x ＝π8是函数y ＝f (x )的图象的对称轴，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝±1. 所以π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z.因为－π<φ<0，所以φ＝－3π4.(2)由(1)知φ＝－3π4，因此y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4. 由题意得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2，k ∈Z.所以k π＋π8≤x ≤k π＋58π，k ∈Z ，所以函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z.21．(本小题满分12分)(2015·湖北卷)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．解：(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝ ⎭⎪⎫2x －π6. (2)由(1)知 f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，因此g (x )＝5sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ，令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z ，即y ＝g (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，0，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0. 22．(本小题满分12分)2016年的元旦，N 市从0时到24时的气温变化曲线近似地满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ，ω>0，|φ|≤π)．从天气台得知：N 市在2016年的第一天的气温为1到9度，其中最高气温只出现在下午14时，最低气温只出现在凌晨2时．(1) 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的表达式．(2)若元旦当天M 市的气温变化曲线也近似地满足函数y 1＝A 1sin(ω1x ＋φ1)＋b 1，且气温变化也为1到9度，只不过最高气温和最低气温出现的时间都比N 市迟了4个小时．①求早上7时，N 市与M 市的两地温差；②若同一时刻两地的温差不超过2度，我们称之为温度相近，求2016年元旦当日，N 市与M 市温度相近的时长．解：由已知可得：b ＝5，A ＝4，T ＝24⇒ω＝π12. 又最低气温出现在凌晨2时，则有2ω＋φ＝2k π－π2，又|φ|≤π⇒φ＝－23π. 则所求的函数表达式为y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12x －23π＋5. (2)由已知得M 市的气温变化曲线近似地满足函数y 1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12x －π＋5， y －y 1＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12x －23π－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12x －π ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12x －23π＋sin π12x ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12x －13π. ①当x ＝7时，y －y 1＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12·7－13π＝2 2.②由|y －y 1|≤2⇒－2≤4sin≤2⇒2≤x ≤6或14≤x ≤18. 则2016年元旦当日，N 市与M 市温度相近的时长为8小时．。

【金版学案】2015-2016学年高中数学 2.3.2平面向量的坐标运算练习(含解析)苏教版必修4

2．3.2 平面向量的坐标运算情景：我们知道，在直角坐标平面内，每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示，如点A(x，y)等．思考：对于每一个向量如何表示？若知道平面向量的坐标，应如何进行运算？1．两个向量和的坐标等于________________________________．即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝____________．答案：这两个向量相应坐标的和(x1＋x2，y1＋y2)2．两个向量差的坐标等于________________________________．即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝____________．答案：这两个向量相应坐标的差(x1－x2，y1－y2)3．实数与向量积的坐标分别等于__________________________，即a＝(x1，y1)，λ∈R，则λa＝________．答案：这个实数乘原来向量的相应坐标(λx1，λy1)4．一个向量的坐标等于表示此有向线段的__________减去____________．答案：终点的坐标始点的坐标5．将一个向量的始点平移到坐标原点，则向量的坐标和平移后向量的________是相同的．答案：坐标6．若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝________，y 0＝________．答案：x 1＋x 22y 1＋y 227．P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P (x ，y )，当P 1P →＝λPP 2→(λ≠－1)时，x ＝________，y ＝________．答案：x 1＋λx 21＋λy 1＋λy 21＋λ8．设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，那么当且仅当________时，向量a ，b 共线．答案：x 1y 2－x 2y 1＝09．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，只要证明______________，便可证得A 、B 、C 三点共线．答案：AB →＝λAC →(AB →与AC →共线)平面向量的坐标表示对于向量a ，当它的起点移至原点O 时，其终点的坐标(x ，y )称为向量a 的(直角)坐标，记作a ＝(x ，y )．若分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，则a ＝xi ＋yj .对平面向量的坐标表示的理解： (1)向量a 与有序实数对(x ，y )一一对应．(2)向量a 的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系．如右图所示，A 1B 1→是表示a 的有向线段，A 1，B 1的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则向量a 的坐标为x ＝x 2－x 1，y ＝y 2－y 1，即a 的坐标为(x 2－x 1，y 2－y 1)．(3)为简化处理问题的过程，把坐标原点作为表示向量a 的有向线段的起点，这时向量a 的坐标就由表示向量a 的有向线段的终点唯一确定了，即点A 的坐标就是向量a 的坐标表示如下：平面向量的坐标运算已知向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)和实数λ，那么a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)．即：两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．即：一个向量的坐标等于该向量的终点的坐标减去起点的坐标．向量平行的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，如果a ∥b ，那么x 1y 2－x 2y 1＝0; 反过来，如果x 1y 2－x 2y 1＝0，那么a ∥b .基础巩固1．若点P 的坐标为(2 014，140)，向量PQ →的坐标为(1，10)，则点Q 的坐标为________．答案：(2 015，150)2．已知AB →＝(3，4)，点A 坐标为(－2，－1)，则点B 坐标为________．答案：(1，3)3．已知A (4，3)，B (5，－5)，且a ＝(x 2＋4x －4，x －3)．若a ＝AB →，则x 的值等于________．答案：－54．已知a ＝(3，－1)，b ＝(－1，2)，则－3a －2b 的坐标是________．答案：(－7，－1)5．已知两点A (4，1)、B (7，－3)，则与向量AB →同向的单位向量是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－456．已知▱ABCD 中，AD →＝(3，7)，AB →＝(－2，3)，对角线AC 、BD 交于点O ，则CO→的坐标为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－57．若O (0，0)，A (1，2)，且OA ′→＝2OA →，则点A ′坐标为________．答案：(2，4)8．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12x ，b ＝(x ，1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x 的值是________．答案：49．已知两向量a ＝(2，sin θ)，b ＝(1，cos θ)，若a ∥b ，则sin θ＋2cos θ2sin θ－3cos θ＝________．答案：4能力升级10．若向量BA →＝(2，3)，CA →＝(4，7)，则BC →＝( ) A ．(－2，－4) B ．(2，4) C ．(6，10) D ．(－6，－10) 解析：利用向量加法的坐标运算求解． ∵CA →＝(4，7)，∴AC →＝(－4，－7)． ∵BC →＝BA →＋AC →，∴BC →＝(2，3)＋(－4，－7)＝(－2，－4)．答案：A11．已知P 1(5，－1)，P 2(－3，1)，点P (x ，2)分P 1P 2→所成的比为λ，则x 的值为________．解析：∵y ＝y 1＋λy 21＋λ，∴2＝－1＋λ1＋λ.解得：λ＝－3，则x ＝x 1＋λx 21＋λ＝5＋（－3）×（－3）1＋（－3）＝14－2＝－7.答案：－712．若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，4)共线，则a 的值等于________．解析：AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，2)，依题意，向量AB →与AC →共线，故有2(a －2)－4＝0，得a ＝4.答案：413．已知向量a ＝(4，2)，向量b ＝(x ，3)，且a ∥b ，则x 等于________．解析：a ∥b ⇔4×3－2x ＝0，∴x ＝6. 答案：614．已知A ＝{a |a ＝(1，0)＋m (0，1)，m ∈R}，B ＝{b |b ＝(1，1)＋n (－1，1)，n ∈R}是两个向量集合，则A ∩B ＝________．解析：由a ＝b 得：(1，0)＋m (0，1)＝(1，1)＋n (－1，1)，即：(1，m )＝(1－n ，1＋n )．∴m ＝1，n ＝0.故A ∩B ＝{(1，1)}．答案：{(1，1)}15．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，sin α，b ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos α，13，α∈(0，2π)，若a ∥b ，求角α.解析：∵a ∥b ，∴12－sin αcos α＝0，即sin αcos α＝12.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin α＝22，cos α＝22或sin α＝－22，cos α＝－22.∵α∈(0，2π)，∴α＝π4或5π4.16．等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，DC ＝2AB ，三个顶点的坐标分别为A (1，2)，B (2，1)，C (4，2)，求点D 的坐标．解析：设点D 的坐标为(x ，y )．∵DC ＝2AB ， ∴DC →＝2AB →.∵DC →＝OC →－OD →＝(4，2)－(x ，y )＝(4－x ，2－y )，AB →＝OB →－OA →＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，∴(4－x ，2－y )＝2(1，－1)，即： (4－x ，2－y )＝(2，－2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧4－x ＝2，2－y ＝－2. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4. 故点D 的坐标为(2，4)．17．已知a ＝(1，2)，b ＝(－2，1)，x ＝a ＋(t 2＋1)b ，y ＝－1ka ＋1tb ，是否存在正实数k ，t ，使得x ∥y ？若存在，求出取值X 围；若不存在，请说明理由．解析：依题意，x ＝a ＋(t 2＋1)b ＝(1，2)＋(t 2＋1)(－2，1)＝(－2t 2－1，t 2＋3)．y ＝－1ka ＋1tb ＝－1k(1，2)＋1t(－2，1)＝⎝ ⎛－1k－⎭⎪⎫2t，－2k＋1t .假设存在正实数k ，t ，使x ∥y ，则(－2t 2－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ＋1t －(t 2＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k －2t ＝0，化简得t 2＋1k＋1t＝0，即t 3＋t ＋k ＝0.∵k ，t 为正实数，故满足上式的k ，t 不存在，所以不存在这样的正实数k ，t ，使x ∥y .18．p 、q 、r 是互异实数，三个点P (p ，p 3)、Q (q ，q 3)、R (r ，r 3)，若P 、Q 、R 三点共线，求p ＋q ＋r 的值．解析：PQ →＝(α－β，α3－β3)，PR →＝(r －β，r 3－β3)． ∵P 、Q 、R 三点共线，∴PQ →与PR →共线． ∴存在实数λ使得PQ →＝λPR →，即⎩⎪⎨⎪⎧q －p ＝λ（r －p ）， ①q 3－p 3＝λ（r 3－p 3）. ② ②÷①得q 2＋pq ＋p 2＝r 2＋rp ＋p 2， ∴(q －r )(p ＋q ＋r )＝0. ∵p 、q 、r 互异，∴q －r ≠0. ∴p ＋q ＋r ＝0.19．设平面向量a ＝(m ，2)，b ＝(2，n )，其中m ，n ∈{1，2，3，4}． (1)请列出有序数组(m ，n )的所有可能结果；(2)记“使得a ∥b 成立的(m ，n )”为事件A ，求事件A 发生的概率．解析：(1)∵m ，n ∈{1，2，3，4}，∴有序数组(m，n)的所有可能结果为：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)共16个．(2)∵a＝(m，2)，b＝(2，n)，且a∥b，∴mn＝4.故事件A包含的结果有(1，4)，(2，2)，(4，1)共3个，∴P(A)＝316 .。

【金版学案】2015-2016学年高中数学 2.3.1平面向量基本定理练习(含解析)苏教版必修4

2．3 向量的坐标表示2．3.1 平面向量基本定理情景：“神舟”十号宇宙飞船在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度．在力的分解的平行四边形法则中，我们看到一个力可以分解为两个不共线方向的力的和．思考：平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示呢？1．如果e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使________．这个定理叫________________．答案：a＝λ1e1＋λ2e2平面向量基本定理2．不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组________．答案：基底3．基底的特征是________、________．答案：两个向量不共线平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．向量的正交分解：一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量的分解．当e1，e2互相垂直时，就称为向量的正交分解．重点诠释：对平面向量基本定理的理解主要体现在以下几个方面：(1)基底不唯一，关键是两基底不共线；(2)由定理可将任一向量a在给出基底e1，e2的条件下进行分解；(3)基底给定时，分解形式唯一；(4)以共线向量为基础，通过把一个向量在其他两个向量上分解，就可以揭示出该定理的本质，由此定理可以得到一个常用结论：若e1，e2不共线，则λ1e1＋λ2e2＝0⇔λ1＝λ2＝0.基础巩固1．e1，e2是平面内的一组基底，则下面四组向量中，不能作为一组基底的是( ) A．e1和e1＋e2B．e1－2e2和e2－2e1C．e1－2e2和4e2－2e1 D．e1＋e2和e1－e2答案：C2．下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．其中正确的说法是________(填序号)．答案：②③3．已知向量a，b不共线，且c＝λ1a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，若c与b共线，则λ1＝________．答案：04．若3x＋4y＝a且2x－3y＝b，其中a，b为已知向量，则x＋y＝________(用a，b表示)．答案：517a ＋117b能力升级5．向量OA →，OB →，OC →的终点A 、B 、C 在一条直线上，且AC →＝－3CB →，设OA →＝p ，OB →＝q ，OC →＝r ，则以下等式成立的是( )A ．r ＝－12p ＋32q B ．r ＝－p ＋2qC ．r ＝32p －12q D ．r ＝－q ＋2q解析：由AC →＝－3CB →，得OC →－OA →＝－3(OB →－OC →)，2OC →＝－OA →＋3OB →，OC →＝－12OA →＋32OB →，即r ＝－12p ＋32q .答案：A6．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么AO →＝________AD →.解析：由D 为BC 边中点可得： OD →＝12(OB →＋OC →)，又2OA →＋OB →＋OC →＝0，所以2OA →＋2OD →＝0.故AO →＝OD →，从而AO →＝12AD →.答案：127．在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________．解析：CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，故λ＝23.答案：238．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________．解析：依题意可知M 为△ABC 的重心，连接AM 并延长交BC 于点D ，则AM →＝23AD →.①因为AD 为中线，所以AB →＋AC →＝2AD →＝mAM →，即2AD →＝mAM →.② 联立①②解得m ＝3.答案：39．用向量证明三角形的三条边的中线共点．证明：设AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条中线．设AC →＝a ，BC →＝b ，AG →＝23AD →，则AB →＝a －b ，AD →＝a －12b ，BE →＝－12a ＋b .设AD 与BE 交于点G 1，并设AG 1→＝λAD →，BG 1→＝μBE →，则AG 1→＝λa －λ2b ，BG 1→＝－μ2a ＋μb .又因为AG 1→＝AB →＋BG 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－μ2a ＋(μ－1)b .所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1－μ2，－λ2＝μ－1，解得λ＝μ＝23，即AG 1→＝23AD →.再设AD 与CF 交于点G 2，同理可得AG 2→＝23AD →，故点G 1与点G 2重合，即AD 、BE 、CF 相交于一点．所以三角形的三条边的中线共点．10．如右下图，在△ABC 中，M 是边AB 的中点，E 是CM 的中点，AE 的延长线交BC 于点F ，MH ∥AF.求证：BH →＝HF →＝FC →.证明：设BH →＝a ，BM →＝b .则BA →＝2b ，MH →＝a －b ，AF →＝2MH →＝2a －2b ，BF →＝AF →＋BA →＝2a －2b ＋2b ＝2a . 所以HF →＝BF →－BH →＝a .因此BH →＝HF →. 同理可证：HF →＝FC →. 因此结论成立．11．如图，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为60°，OA →与OC →，OB →与OC →的夹角都为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →，求λ＋μ的值．解析：过点C 分别作CN ∥OA ，交射线OB 于点N ，作CM ∥OB ，交射线OA 于点M ，则OC →＝OM →＋ON →＝λOA →＋μOB →.所以OM →＝λOA →，ON →＝μOB →.由已知，|OA →|＝|OB →|＝1，在平行四边形OMCN 中， ∠MOC ＝∠NOC ＝∠NCO ＝30°，所以△NOC 为等腰三角形．所以ON ＝NC ＝OM .所以平行四边形OMCN 为菱形．连接MN 交OC 于点H ，则OC ⊥MN ，且H 为O C 中点．在Rt △OHM 中， cos ∠HOM ＝OH OM ＝12OC OM，即cos 30°＝3OM＝32，解得OM ＝2，所以ON ＝2.所以λ＝|OM →||OA →|＝2，μ＝|ON →||OB →|＝2.故λ＋μ＝4.12．在一个平面内有不共线的三个定点O 、A 、B ，动点P 关于点A 的对称点为Q ，Q 关于点B 的对称点为R.已知OA →＝a ，OB →＝b ，用a 、b 表示PR →.解析：如右图所示．方法一由题意知A 为PQ 的中点，B 为QR 的中点， ∴PR ∥AB 且PR ＝2AB .∴PR →＝2·AB →＝2(OB →－OA →)＝2(b －a )．方法二 PR →＝OR →－OP →，在△OQR 中，B 为QR 的中点， ∴2OB →＝OR →＋OQ →.∴OR →＝2OB →－OQ →. 同理有2OA →＝OP →＋OQ →，∴OP →＝2OA →－OQ →.则PR →＝2OB →－OQ →－(2OA →－OQ →)＝2b －OQ →－2a ＋OQ →＝2b －2a .。

【金版学案】高中数学(人教A版)必修二练习：评估验收卷(三)(含答案解析)

评估查收卷 (三 ) (时间：120 分钟满分：150 分)一、选择题(本大题共12 小题，每题5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的)1．直线x － y ＝ 0 的倾斜角为( )A ． 45°B ．60°C ． 90°D ． 135°分析：因为直线的斜率为 1，所以 tan α＝1，即倾斜角为 45° .答案： A2．若三点 A(0 ， 8)， B( －4， 0)， C(m ，－ 4)共线，则实数 m 的值是 ()A ． 6B ．－ 2C ．－ 6D ． 2分析：因为 A 、 B 、 C 三点共线，所以 k AB ＝ k AC ，8－ 08－（－ 4），所以 m ＝－ 6.所以0－（－ 4）＝－ m答案： C3．倾斜角为 135°，在 y 轴上的截距为－ 1 的直线方程是 ( )A ． x － y ＋ 1＝ 0B ．x － y －1＝ 0C ． x ＋ y － 1＝ 0D ． x ＋ y ＋ 1＝ 0分析：由斜截式可得直线方程为 y ＝－ x － 1，化为一般式即为x ＋ y ＋ 1＝0.答案： D4．已知点 A(0 ， 4)， B(4 ， 0)在直线 l 上，则直线 l 的方程为 ( )A ． x ＋ y － 4＝ 0B ．x － y －4＝ 0C ． x ＋ y ＋ 4＝ 0D ． x － y ＋ 4＝ 0xy分析：由截距式方程可得 l 的方程为＋＝ 1，即 x ＋ y －4＝ 0.答案： A5．已知直线 l 1：(a － 1)x ＋ (a ＋ 1)y － 2＝0 和直线 l 2：(a ＋ 1)x ＋ 2y ＋ 1＝ 0 相互垂直，则实数 a 的值为 ()A ．－ 1B ．0C ． 1D ． 2分析：因为l 1⊥ l 2，所以(a － 1)(a ＋ 1)＋ 2a ＋2＝ 0，所以 a2＋2a＋ 1＝ 0，即 a＝－ 1.答案： A6．和直线 5x－4y＋ 1＝0 对于 x 轴对称的直线方程为 ()A． 5x＋ 4y＋ 1＝ 0 B ．5x＋ 4y－ 1＝ 0C．－ 5x＋4y－ 1＝ 0 D ．－ 5x＋ 4y＋1＝ 0分析：设所求直线上的任一点为(x， y)，则此点对于 x 轴对称的点的坐标为(x，－ y)，因为点 (x，－ y)在直线 5x－ 4y＋ 1＝ 0 上，所以 5x＋ 4y＋ 1＝ 0，故所求直线方程为5x＋ 4y＋1＝ 0.答案： A7．已知 A(2 ，4)与 B(3 ， 3)对于直线 l 对称，则直线 l 的方程为 ()A． x＋ y＝ 0 B ．x－ y＝0C． x＋ y－ 6＝ 0D． x－ y＋ 1＝ 0分析：由已知得直线l 是线段 AB 的垂直均分线，所以直线l 的斜率为 1，且过线段 AB中点5，7，由点斜式得方程为 y－7＝ x－5，化简得 x－y＋ 1＝ 0.2222答案： D8．直线 l 过点 A(3 ， 4)且与点 B( － 3， 2)的距离最远，那么l 的方程为 ()A． 3x－ y－ 13＝ 0 B ．3x－ y＋ 13＝ 0C． 3x ＋ y－ 13＝ 0D． 3x＋ y＋ 13＝ 0分析：因为过点 A 的直线 l 与点 B 的距离最远，所以直线AB 垂直于直线 l，直线 l 的斜率为－ 3，由点斜式可得直线 l 的方程为3x＋ y－ 13＝ 0.答案： C9．过点 (3，－ 6)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是()A． 2x＋ y＝ 0 B ．x＋ y＋3＝ 0C． x－ y＋ 3＝ 0D． x＋ y＋ 3＝ 0 或 2x＋ y＝ 0分析：当截距均为0 时，设方程为y＝ kx ，将点 (3，－ 6)代入得 k＝－ 2，此时直线方程为 2x＋ y＝ 0；当截距不为0 时，设直线方程为x＋y＝1，将(3，－6)代入得a＝－3，此时直线方程为a ax＋ y＋ 3＝ 0.答案： D10．设点A(3 ，－ 5)， B( －2，－ 2)，直线的斜率 k 的取值范围是 ()A． k≥ 1 或 k≤－ 3 B ．－ 3≤ k≤1l 过点P(1， 1)且与线段AB订交，则直线l C．－ 1≤ k≤ 3D．以上都不对分析：如下图，直线PB ，PA 的斜率分别为k PB＝ 1， k PA＝－ 3，联合图形可知 k≥1或 k≤－ 3.答案： A11．若 a， b 知足 a＋2b＝ 1，则直线 ax＋ 3y＋ b＝0 必过定点 ()A.－1，－1B.1，－1 2626C.1， 1D. －1，12626分析：采纳赋值法，令a＝－ 1， b＝ 1 或 a＝ 1，b＝ 0，得直线方程分别为－x＋ 3y＋ 1＝0， x＋ 3y＝ 0，其交点为1，－1，此即为直线所过的定点．26答案： B12．如下图，已知两点A(4 ，0) ， B(0 ， 4)，从点 P(2， 0)射出的光芒经直线后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光芒所经过的行程是AB(反射)A．2 10 C．33B ．6 D．25分析：易得AB所在的直线方程为x＋ y＝ 4，因为点P 对于直线AB对称的点为A1 (4，2)，点P 对于y 轴对称的点为A′(－2，0)，则光芒所经过的行程即 A 1(4， 2)与A ′( －2， 0)两点间的距离．于是 |A1A ′ |＝（4＋2）2＋（2－0）2＝210.答案： A二、填空题 (本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上)13．直线 (2m2－ 5m＋ 2)x － (m2－ 4)y＋ 5m＝ 0 的倾斜角为45°，则 m 的值为 ________．2m2－5m＋ 2分析：直线的斜率k＝m2－4＝1，解得 m＝2 或 m＝ 3.但当 m＝2 时， m2－ 4＝ 0，直线的斜率不存在，此时倾斜角为90°舍去．所以 m＝3.答案： 314．已知斜率为 2 的直线经过点A(3 ，5)， B(a ，7)， C(－1， b)三点，则a，b 的值分别为 ________．k AC＝ 2，b－ 5＝ 2，－ 1－3分析：由题意得即7－ 5k AB＝ 2，＝ 2，a－ 3解得 a＝ 4， b＝－ 3.答案： 4，－ 315．已知直线 l 在 y 轴上的截距是－ 3，它被两坐标轴截得的线段的长为5，则此直线的方程为 ______________________________ ．x y分析：设所求的直线方程为a＋－3＝ 1，则此直线与 x 轴交于点 (a，0)，与 y 轴交于点 (0，－ 3)，由两点间的距离公式解得a＝±4，故所求的直线方程为x4＋y＝ 1，即 3x＋ 4y＋ 12±－3＝ 0 或 3x－4y－ 12＝ 0.答案： 3x＋ 4y＋ 12＝ 0 或 3x－ 4y－ 12＝ 016．已知直线 l1：mx ＋4y－ 2＝ 0 与 l 2：2x－ 5y＋ n＝0 相互垂直，且垂足为(1，p)，则 m － n＋ p 的值为 ________．分析：因为 l1⊥ l 2，所以 2m＋ 4×(－ 5)＝0，解得 m＝10；又因为点 (1， p)在 l1上，所以10＋ 4p－ 2＝0，即 p＝－ 2；又因为点 (1， p)也在 l 2上，所以2－ 5×(－ 2)＋ n＝0，即 n＝－ 12.所以 m－n＋ p＝ 20.答案： 20三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤 )17．(本小题满分10 分 )已知直线l 1：ax＋ by＋ 1＝ 0(a，b 不一样时为 0)，l 2：(a－ 2)x ＋y＋a＝ 0，(1)若 b＝ 0，且 l 1⊥l 2，务实数 a 的值；(2)当 b＝ 3，且 l 1∥l 2时，求直线l 1与 l 2之间的距离．解： (1)当 b＝ 0 时，直线 l1的方程为 ax＋ 1＝0，由 l1⊥ l2，知 a－ 2＝0，解得 a＝ 2.a－ 3（ a－ 2）＝ 0，(2)当 b＝ 3 时，直线 l 1的方程为 ax＋ 3y＋ 1＝ 0，当 l 1∥ l2时，有解3a－ 1≠0，得 a＝ 3，此时，直线 l1的方程为3x ＋3y＋ 1＝0，直线 l 2的方程为x＋ y＋ 3＝0，即 3x＋ 3y＋ 9＝ 0.故所求距离为d＝ |1－ 9| ＝ 4 29＋ 9 3.18．(本小题满分 12 分 )在△ ABC 中， BC 边上的高所在直线的方程为x－ 2y＋1＝ 0，∠A 的均分线所在的直线方程为y＝ 0，若点 B 的坐标为 (1， 2)，求点 A 和点 C 的坐标．解：由方程组x－ 2y＋ 1＝ 0，解得点 A 的坐标为 (－ 1， 0)．y＝0又直线 AB 的斜率 k AB＝ 1， x 轴是∠ A 的均分线，所以 k AC＝－ 1，则 AC 边所在的直线方程为y＝－ (x＋ 1)．①又已知 BC 边上的高所在直线的方程为x－ 2y＋ 1＝ 0，故直线所以 BC 边所在的直线方程为y－ 2＝－ 2(x － 1)．②BC的斜率k BC＝－ 2，x＝ 5，解①②构成的方程组得y＝－ 6，即极点 C 的坐标为 (5，－ 6)．19.(本小题满分12 分 )如下图，已知点A(2 ， 3)，B(4 ， 1)，△ ABC是以AB为底边的等腰三角形，点 C 在直线 l ：x－ 2y＋2＝ 0 上．(1)求 AB 边上的高CE 所在直线的方程；(2)求△ ABC 的面积．解： (1)由题意可知， E 为 AB 的中点，1所以 E(3 ， 2)，且 k CE＝－k AB＝ 1，所以 CE 所在直线方程为：y－ 2＝ x－3，即 x－y－ 1＝ 0.x－2y＋ 2＝ 0，(2)由得C(4，3)，所以|AC|＝|BC|＝2，x－ y－ 1＝ 0AC ⊥BC ，1所以 S△ABC＝2|AC|· |BC|＝ 2.20． (本小题满分12 分 )已知点 P(2，－ 1)．(1)求过点 P 且与原点的距离为 2 的直线方程．(2)求过点 P 且与原点的距离最大的直线方程，并求出最大值．(3)能否存在过点P 且与原点的距离为 3 的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明原因．解： (1)当斜率不存在时，方程x＝ 2 切合题意；当直线的斜率存在时，设为k，则直线方程应为y＋ 1＝k(x － 2)，即 kx －y－ 2k－1＝ 0.由题意，得|2k＋1|＝ 2.解得 k＝3. k2＋14所以直线方程为3x－ 4y－ 10＝ 0.所以合适题意的直线方程为x－ 2＝0 或3x －4y－ 10＝ 0.(2)过点P，且与原点的距离最大的直线应为过点P 且与OP垂直的直线，易求其方程为2x－ y－5＝ 0，且最大距离d＝ 5.(3)因为原点到过点P(2 ，－ 1)的直线的最大距离为5，而 3>5，故不存在这样的直线．21． (本小题满分12 分 )设直线 l 的方程为 (a＋ 1)x ＋ y＋ 2－ a＝ 0(a∈ R)．(1)若 l 不经过第二象限，务实数 a 的取值范围；(2)证明：无论 a 为什么值，直线恒过某定点，并求出这个定点的坐标；(3)证明：无论 a 为什么值，直线恒过第四象限．(1)解：将l 的方程化为y＝－ (a＋ 1)x ＋ a－2，欲使l 不经过第二象限，－（ a＋ 1）>0 ，－（ a＋ 1）＝ 0，当且仅当或建立．a－2≤0a－ 2≤0，所以 a≤－ 1，故所求a 的取值范围为a≤－1.(2)证明：方程可整理成a(x－ 1)＋ x＋ y＋ 2＝0，当 x＝ 1， y＝－ 3 时方程 a(x－ 1)＋ x＋y ＋ 2＝ 0 对 a∈ R 恒建立，所以，直线恒过点(1，－ 3)．(3)证明：由 (2)知，直线恒过第四象限内的点(1，－ 3)，所以，无论 a 为什么值，直线恒过第四象限．22． (本小题满分12 分 )在直线 l ：3x － y－1＝ 0 上求一点P，使得：(1)P 到 A(4 ， 1)和 B(0， 4)的距离之差最大；(2)P 到 A(4 ， 1)和 C(3， 4)的距离之和最小．解：如图①所示，设点 B 对于 l 的对称点为 B′， AB ′与 l 的交点 P 知足 (1)；如图②所示，设点 C 对于 l 的对称点为 C′， AC ′与 l 的交点 P 知足 (2) ．图①图②对于 (1)，若 P′是 l 上异于 P 的点，则 |P ′－A| |P ′＝B| |P′ A| －|P′ B ′|<|AB ′|＝ |PA|－ |PB′|＝|PA|－ |PB|；对于 (2)，若 P′是 l 上异于P 的点，则 |P ′＋A| |P ′＝C||P′ A|＋ |P′ C|>|AC ′|＝ |PA|＋ |PC′|＝|PA|＋ |PC|.(1)设点 B 对于 l 的对称点B′的坐标为 (a， b)，则 k BB′·k l＝－ 1，即b－ 43×＝－ 1，所以 a＋ 3b－12＝ 0①.a又因为线段 BB′的中点坐标为a，b＋4，且中点在直线上，22a b＋ 4所以 3×－－ 1＝ 0，即 3a－ b－ 6＝ 0② .22联立①②得， a＝ 3， b＝ 3，所以 B′(3，3) ．于是直线 AB′的方程为y－1＝x－4，即 2x＋ y－9＝ 0. 3－ 13－ 43x－ y－1＝ 0， x＝ 2，解得2x＋ y－ 9＝0， y＝ 5，即此时所求点P 的坐标为 (2， 5)．3，24 (2)设点 C 对于 l 的对称点为 C′，同理可求出 C′的坐标为5 5 .所以直线 AC′的方程为19x ＋ 17y－ 93＝ 0，113x－ y－1＝ 0x＝7，解，得2619x ＋ 17y－ 93＝ 0，y＝71126故此时所求点P的坐标为7，7 .。

【人教A版】2015-2016学年高中数学第二章数列章末过关检测卷新人教A版必修5

AA教育章末过关检测卷(二) 第二章数列 (测试时间：120分钟评价分值：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。) 1．有穷数列{1，23，26，29，…}，那么23n＋6的项数是( ) A．3n＋7 B．3n＋6

C．n＋3 D．n＋2

2．已知数列{an}中a1＝1且满足an＋1＝an＋2n，n∈N*，则an＝( ) A．n2＋n＋1 B．n2－n＋1 C．n2－2n＋2 D．2n2－2n＋1

3．(2014·广东六校联考)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，则a2＋a18＝( ) A．36 B．35 C．34 D．33 4．(2014·黑龙江佳木斯一中三调)数列{an}定义如下：a1＝1，当n≥2时，an＝

1＋an2（n为偶数），

1an－1

（n为奇数），

若an＝14，则n的值等于( )

A．7 B．8 C．9 D．10 5．在各项均为正数的等比数列{an}中，a3＝2－1，a5＝2＋1，则a23＋2a2a6＋a3a7

＝( )

A．4 B．6 C．8 D．8－42 6．(2014·辽宁卷)设等差数列{an}的公差为d，若数列{2a1an}为递减数列，则( ) A．d＜0 B．d＞0 C．a1d＜0 D．a1d＞0 7．已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a是不为0的常数)，则数列{an}( ) A．一定是等差数列 B．一定是等比数列 C．或是等差数列或是等比数列 D．既不是等差数列也不是等比数列 8．(2014·吉林普通中学摸底)已知数列{an}，an＝－2n2＋λn，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是( ) A．(－∞，6) B．(－∞，4] C．(－∞，5) D．(－∞，3] 9．在数列{an}中，a1＝1，an＞0，a2n＋1＝a2n＋4，则an＝( ) A．4n－3 B．2n－1

C.4n－3 D.2n－1 10．下列四个命题： ①若b2＝ac，则a，b，c成等比数列； AA教育 ②若{an}为等差数列，且常数c>0且c≠1，则数列{can}为等比数列； ③若{an}为等比数列，则数列{a4n}为等比数列； ④非零常数列既是等差数列，又是等比数列．其中，真命题的个数是( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5 ＝21，则a3＋a5＋a7＝( ) A．21 B．42 C．63 D．84 12．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－n＋(1－t)，则“t＝1”是“数列{an}为等差数列”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

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1 第2章统计 (测试时间：120分钟评价分值：150分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2014·湖南卷)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则( ) A．p1＝p2＜p3 B．p2＝p3＜p1 C．p1＝p3＜p2 D．p1＝p2＝p3

答案：D 2．(2014·重庆卷)某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为( ) A．100 B．150 C．200 D．250

答案：A

右图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是( ) A．65 B．64 C．63 D．62 2

答案：B 4．(2014·广东卷)为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( ) A．50 B．40 C．25 D．20

答案：C

5. (2014·湖北卷)根据如下样本数据： x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 －0.5 0.5 －2.0 －3.0

得到的回归方程为y^＝bx＋a，则( ) A．a＞0，b＜0 B．a＞0，b＞0 C．a＜0，b＜0 D．a＜0，b＞0

解析：作出散点图如下：由图象不难得出，回归直线y^＝bx＋a的斜率b＜0，截距a＞0.所以a＞0，b＜0，故选A.

答案：A 3

6. (2014·山东卷)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，„，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( ) A．6 B．8 C．12 D．18

解析：由频率分布直方图可得第一组与第二组的频率之和为1×(0.24＋0.16)＝0.4，又其频数为20，故样本容量为200.4＝50，而第三组的频率为0.36，因此其频数为50×0.36＝18，故第三组中有疗效的人数为18－6＝12，故选C. 答案：C

7．下列说法：①一组数据不可能有两个众数 ②一组数据的方差必须是正数 ③将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一常数后，方差恒不变 ④在频率分布直方图中，每个小长方形的面积等于相应小组的频率，其中错误的个数有( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

答案：C

8．(2014·陕西卷)某公司10位员工的月工资(单位：元)为x1，x2，„，x10，其均值和4

方差分别为x－和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( )

A.x－，s2＋1002 B.x－＋100，s2＋1002 C.x－，s2 D.x－＋100，s2

解析：据已知易得 y－＝x1＋x2＋„＋x10＋10×10010＝x－＋100，

又sy2＝[x1＋100－（x－＋100）]2＋„＋[x10＋100－（x－＋100）]210 ＝sx2，故选D. 答案：D

9．已知样本： 10 8 6 10 13 8 10 12 11 7 8 9 11 9 12 9 10 11 12 12 那么频率为0.25的范围是( ) A．5.5～7.5 B．7.5～9.5 C．9.5～11.5 D．11.5～13.5

答案：D 10．已知某次期中考试中，甲、乙两组学生的数学成绩如下：甲：88 100 95 86 95 91 84 74 92 93 乙：93 89 81 77 96 78 77 85 89 96 则下列结论正确的是( )

A.x－甲＞x－乙，s甲＞s乙 B.x－甲＞x－乙，s甲＜s乙 C.x－甲＜x－乙，s甲＞s乙 D.x－甲＜x－乙，s甲＜s乙 5

答案：A 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分；将正确答案填写在题中的横线上) 11.

某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示(如右图)．s1，s2分别表示甲、乙两班抽取的5名学生学分的标准差，则s1________s2(填“＞”、“＜”或“＝”)．

答案：＜

12．(2014·上海卷)某校高一、高二、高三分别有学生1 600名、1 200名、800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样．若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为________．

答案：70

13．(2014·湖北卷)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件． 6

答案：1 800 14．(2014·江苏卷)为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm.

解析：由直方图可得树木底部周长小于100 cm的频率是(0.025＋0.015)×10＝0.4，又样本容量是60，所以频数是0.4×60＝24. 答案：24

三、解答题(本大题共6小题，共80分；解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤) 15．(本小题满分12分)(2014·广东卷)某车间20名工人年龄数据如下表：年龄(岁) 工人数(人) 19 1 28 3 29 3 30 5 31 4 32 3 40 1 合计 20 (1)求这20名工人年龄的众数与极差； 7

(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； (3)求这20名工人年龄的方差．

解析：(1)这20名工人年龄的众数为30，极差为40－19＝21. (2)茎叶图如下：

(3)年龄的平均数为（19＋28×3＋29×3＋30×5＋31×4＋32×3＋40）20＝30，

故这20名工人年龄的方差为 120[(－11)2＋3×(－2)2＋3×(－1)2＋5×02＋4×12＋3×22＋102]＝120(121＋12＋3＋4

＋12＋100)＝120×252＝12.6.

16．(本小题满分12分)某学校从高一年级、高二年级、高三年级学生中采用分层抽样抽一个容量为45人的样本，其中高一年级被抽取20人，高三年级被抽取10人，高二年级共有学生300人，则此学校共有高中学生多少人？

解析：设此学校共有高中学生x人，则样本容量与总体容量的比值为45x. 则45x×300＝45－20－10，故x＝900. 答：学校共有高中学生900人．

17．(本小题满分14分)抽样调查30个工人的家庭人均月收入，得到如下数据(单位：元)： 404 444 556 430 380 420 500 430 420 384 8

420 404 424 340 424 412 388 472 358 476 376 396 428 444 366 436 364 438 330 426 (1)取组距为60，起点为320，列出样本的频率分布表； (2)画出频率分布直方图； (3)根据频率分布直方图估计人均月收入在[440，500)的家庭所占的百分比．

解析：(1)分布表如下：分组频数频率 [320，380) 6 0.20 [380，440) 18 0.60 [440，500) 4 0.13 [500，560] 2 0.07 合计 30 1.00 (2)频率分布直方图为：

(3)人均月收入落在[440，500)中的家庭所占的频率为：0.13＝13%.所以估计人均月收入在[440，500)的家庭所占的百分比为13%.

18．(本小题满分14分)关于人体的脂肪含量(百分比)和年龄关系的研究中，得到如下一组数据：年龄/岁 23 27 39 41 45 49 50 53 脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 判断它们是否有相关关系．若有，作一拟合直线． 9

解析：有相关关系，正相关，拟合直线如下图．点评：判断两变量之间是否有线性相关关系可以先作出两变量的散点图，看这些点是否呈条状分布，即这些点是否在某条直线上下波动．若是，则有线性相关关系；若不是，则没有线性相关关系．散点图中，点所在的带形区域越窄，变量间的相关性就越强．

19.(本小题满分14分)山东鲁洁棉业公司的科研人员在7块并排的、形状大小相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量x对产量y影响的试验，得到如下表所示的一组数据(单位：kg). 施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45 棉花产量y 330 345 365 405 445 450 455 (1)画出散点图； (2)判断x与y是否具有相关关系．

分析：用施化肥量x作为横轴，产量y为纵轴可作出散点图，由散点图即可分析是否具有线性相关关系．解析：(1)以x轴为施肥量，y轴为产量，可得相应的散点图．