第6章Fourier变换

nπ nπ f ( x ) ~a0 + ∑ an cos x + bn sin l l n =1
∞
x
1 l a0 = ∫ f (ξ )dξ , 2l −l
1 l nπ an = ∫ f (ξ ) cos ξdξ , −l l l
1 l nπ bn = ∫ f (ξ )sin ξdξ l −l l
∆ω=
ωn =
nπ l
积分与Fourier变换 第二节 Fourier积分与 积分与 变换
函数 f(x) 的实形式的Fourier积分表达式
f ( x) = ∫
+∞ 0
A(ω ) cos(ωx)dω + ∫
π∫ π∫
1 l nπ an = ∫ f (ξ ) cos ξdξ , −l l l
1 l nπ bn = ∫ f (ξ )sin ξdξ −l l l
第一节 Fourier级数 级数
例子
例1：设 f(x) = x+1, x (0,l),试将其展开成正弦级数．
-l
l
第一节 Fourier级数 级数
例2：设 f(x) = x, x (0,l)，试将其展开成余弦级数．
∞
其中
f ( x ) x∈( − l ,l )
a0 =
1 l ∫−l f (ξ )dξ 2l
1 an = l
∫
l
−l
nπ f (ξ ) cos ξdξ l
1 bn = l
∫
l
−l
f (ξ ) sin
nπ ξdξ l
∞ 1 l nπ nπ 1 l nπ nπ 1 l = ∫ f ( ξ ) d ξ + ∑ ∫ f ( ξ ) cos ξd ξ cos x + ∫ f ( ξ ) sin ξd ξ sin x 2l − l l l l −l l l l −l n =1
His works cover many aspects of mathematics; However, those on number theory, analysis, and potential theory are most famous.
In analysis, he gave Dirichlet condition for the convergence of trigonometric series; In potential theory, he dealt with the Dirichlet problem concerning the existence of harmonic functon; In number theory, he created the Dirichlet series.
∞
1 l a0 = ∫ f (ξ )dξ , 2l −l
1 l nπ an = ∫ f (ξ ) cos ξdξ , l −l l
1 l nπ bn = ∫ f (ξ )sin ξdξ l −l l
−i nπ x l
写成复形式
f ( x ) = c0 + ∑ cn e
n =1 ∞ i nπ x l
+ ∑ c− n e
1 l 1 ∞ = ∫ f ( ξ ) d ξ + ∑ ∆ω 2l − l π n =1
(∫
π l
l
−l
f ( ξ ) cos ωn ξd ξ cos ωn x + ∫ f ( ξ ) sin ωn ξd ξ sin ωn x
l −l
)
f ( x) =
∞ 1 ∞ ∞ f ( ξ ) cos ωξd ξ cos ωx + ∫ f ( ξ ) sin ωξd ξ sin ωx d ω −∞ π ∫0 ∫−∞
Jean Baptiste Joseph Fourier, 1768～1830 ～
生于法国中部欧塞尔一个裁缝家庭。1795年任巴黎综合工科 大学助教，1798年随拿破仑军队远征埃及，受到拿破仑器重， 回国后被任命为格伦诺布尔省省长。由于对热传导理论的贡 献于1817年当选为巴黎科学院院士，1822年成为科学院终身 秘书。 1807年写成关于热传导的基本论文，但经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德审阅 后被科学院拒绝。1811年又提交了经修改的论文，该文获科学院大奖，却未 正式发表。1822年出版了专著《热的解析理论》（Theorie ana1ytique de la Cha1eur，Didot，Paris，1822）。这部经典著作将欧拉、伯努利等人在 一些特殊情形下应用的三角级数方法发展成内容丰富的一般理论，三角级数 后来就以傅里叶的名字命名。傅里叶应用三角级数求解热传导方程，同时为 了处理无穷区域的热传导问题导出了“傅里叶积分”，这些研究成果极大地 推动了偏微分方程边值问题的研究。然而傅里叶的工作意义远不止此，它迫 使人们对函数概念作修正、推广，特别是引起了对不连续函数的探讨；三角 级数收敛性问题更刺激了集合论的诞生。因此，《热的解析理论》影响了整 个19世纪分析严格化的进程。
nπ nπ 1, cos x, sin l l x n =1
∞
nπ 1, cos l
x = 0,
nπ x = 0, 1, sin l
nπ mπ x , sin x = 0 cos l l
(1,1) = 2l ,
f ( x) 在连续点 x 函数f ( x )的 Fourier展开 = 1 2 [ f ( x − 0) + f ( x + 0)] 在间断点 x
-l
l
第一节 Fourier级数 级数
例子： 例子：
设 f(x) = x+x2, x (- , )，试将其展开成Fourier级 数． 并验证： 1 1 1 π2 1+ 2 + 2 +L+ 2 +L = 2 3 n 6
z
r k
r P r j y
r i
x
r r r r P = xi + yj + zk r r x = (i , P ) r r y = ( j , P) r r z = (k , P)
R n ≡ {x | x = ( x1 , x2 , L, xn ), xm ∈ R, m = 1,2, L, n}
( x, y ) = ∑ xm y m
( x, y ) = ∑ xm y m
m =1
n
( f ( x), g ( x) ) = ∫a
∞ m =1
b
f ( x) g ( x)dx
x = ∑ xm e m
m =1
n
f ( x ) = ∑ cm e m ( x )
第一节 Fourier级数 级数
Fourier展开 展开
L2[-l, l]空间的概念 基本函数族
nπ mπ cos x, cos l l
0, n ≠ m x = , l , n = m
nπ mπ sin x, sin l l
0, n ≠ m x = l , n = m
第一节 Fourier级数 级数
函数 f(x) 的Fourier展开式
积分与Fourier变换 第二节 Fourier积分与 积分与 变换
无限区域上的Fourier展开
积分与Fourier变换 第二节 Fourier积分与 积分与 变换
实形式的Fourier积分与 积分与Fourier变换 实形式的 积分与 变换
设 f(x)是定义在区域(- , + )上的函数
nπ nπ f ( x ) x∈( − l ,l ) = a0 + ∑ an cos x + bn sin x l l n =1
完备性的概念
nπ nπ f ( x )? = a0 + ∑ an cos x + bn sin x l l n =1
∞
第一节 Fourier级数 级数
Dirichlet定理 定理-Fourier展开收敛定理 定理 展开收敛定理
若 f(x) 满足： (1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点； (2) 在每个周期内只有有限个极值点， 则
n m =1
x = x1e1 + x2e 2 + L + xne n
第一节 Fourier级数 级数
无限维空间的结构-Hilbert空间 空间 无限维空间的结构
空间的范围 如何去构造
R n ≡ {x | x = ( x1 , x2 , L , xn )}
H ≡ { f ( x) | x ∈ [a, b]}
设 f(x) 是定义在 处理 处理1：将 f(x) 区域(a,b)内的函 转化为 (-l, l) 内 数，其中a和b是 的函数 有限数 2l ( x − a) − l ⇒ x b−a 处理2：周期化为整个实数 处理 轴上的以2l为周期的周期函 数
a
b
-l
l
-l
l
第一节 Fourier级数 级数
有限维空间的结构-n维欧几里德空间 有限维空间的结构 维欧几里德空间
第六章 Fourier变换 变换
第一节 Fourier级数 级数 积分与Fourier变换 第二节 Fourier积分与 积分与 变换 函数 第三节 -函数
第一节 Fourier级数 级数
有限区域上的Fourier展开 或周期函数的Fourier展开
第一节 Fourier级数 级数
有限区域上的函数周期化的处理方法
n =1
∞
c0 = a0 1 1 cn = ( an − ibn ) , c− n = ( an + ibn ) , n = 1, 2,L 2 2