1. 3.3 函数y=Asin(wx+)的图象

1．3.3 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象情景：下表是某地1951—1981年月平均气温(华氏)：(2)用正弦曲线去拟合这些数据． (3)这个函数的周期是多少？(4)估计这个正弦曲线的振幅A (精确到度)．(5)下面四个函数模型中，________最合适这些数据．A.ya ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6 B.y －46a ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6 C.y －46－a ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x D.y －46a ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x1．函数y＝sin(x＋φ)，x∈R(其中φ≠0)的图象，可以看做是把正弦曲线上所有的点__________(当φ＞0时)或________(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度而得到．答案：向左向右2．函数y＝sin ωx，x∈R(其中ω＞0，且ω≠1)的图象，可以看做是把正弦曲线上所有点的横坐标________原来的1ω倍(纵坐标不变)而得到．答案：变为3．函数y＝A sin x，x∈R(A＞0且A≠1)的图象，可以看做是把正弦曲线上所有点的纵坐标________原来的A倍(横坐标不变)而得到的，函数y＝A sin x的值域为______，最大值为________，最小值为________．答案：变为[－A，A]A－A4．函数y＝A sin(ωx＋φ)，x∈R其中(A＞0，ω＞0)的图象，可以看做用下面的方法得到：先把正弦曲线上所有的点______(当φ＞0时)或________(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度，再把所得各点的横坐标________原来的1ω倍(纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标________原来的A倍(横坐标不变)而得到．答案：向左向右变为变为5．y＝A sin(ωx＋φ)的周期是________．答案：2π|ω|6．在y＝A sin(ωx＋φ)中________、________决定“形变”，________决定“位变”，________影响值域，________影响周期，________、________、________影响单调性．答案：AωφAωAωφ7．一般地，y＝f(x)的图象沿x轴方向平移________个单位后得到函数y＝f(x＋a)的图象(a≠0)．当________时向左平移，当________时向右平移．答案：|a|a＞0a＜08．y＝f(x)的图象沿y轴方向平移________个单位长度后得到y ＝f(x)＋b的图象(b≠0)．当________时向上平移，当________时向下平移．答案：|b|b＞0b＜0y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象的画法 1．图象变换法．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0)的图象，可以看做用下面的方法得到：先画出函数y ＝sin x 的图象；再把正弦曲线向左(右)平移|φ|个单位长度，得到函数y ＝sin(x ＋φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的1ω倍，得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象；最后再把曲线上各点的纵坐标变为原来的A 倍，这时的曲线就是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象．2．五点法作图．令ωx ＋φ＝0，π2，π，3π2，2π，分别求出相应的x 、y ，得出y ＝A sin(ωx ＋φ)图象上一个周期内的五个特殊点(两个最值点，三个平衡位置的点)，然后用光滑的曲线将它们连接起来，再由周期性向两端延伸．重点诠释：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换步骤可直观地表示如下：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R(其中A ＞0，ω＞0)的图象变换的另一种途径：y ＝sin x →sin ωx →sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x ＋φω→y ＝A sin(ωx ＋φ)，即先将y ＝sin x 的图象的横坐标变为原来的1ω倍，再向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平移|φ|ω个单位长度，再把所得图象上各点的纵坐标变为原来的A 倍．基础巩固1．若将某正弦函数的图象向右平移π2个单位长度以后，所得到的图象的函数式是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，则原来的函数表达式为________．答案：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋34π 2．函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象可以看做是把函数y ＝12sin 2x 的图象____________________________________________________．答案：向右平移π6个单位长度3．要得到y ＝sin x 的图象，只需将y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象______________________________________________________. 答案：向右平移π6个单位长度4．(2014·浙江卷)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( )A ．向右平移π4个单位B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位答案：C5．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π的简图是( )答案：A6．设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2图象的两条相邻对称轴间的距离为π2，将f (x )图象向左平移π6个单位后，得到的图象关于坐标原点对称，则φ的值为________．答案：π67．将函数y ＝cos x 的图象向右平移π4个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的两倍，纵坐标变为原来的14倍，所得图象的函数解析式为______________________________________．答案：y ＝14cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π48．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝－π6B ．x ＝－512πC ．x ＝π2D ．x ＝π6答案：B9．函数f (x )＝3sin(2x ＋5θ)的图象关于y 轴对称，则最小正角θ为________．答案：π1010．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的振幅、周期和初相分别是( )A ．2，14π，－π4B ．2，14π，π4C ．2，4π，－π4D ．±2，4π，－π4答案：C11．若函数f (x )＝sin(πx ＋α)的最小正周期是T ，且当x ＝2时有最大值，则T ＝________，α＝________．答案：2 π2能力升级12．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π10B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π5C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π20解析：将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，所得函数图象的解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π10，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10.答案：C13．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则函数的解析式为f (x )＝________．解析：由图象可知：34T ＝5π12－⎝⎛⎭⎪⎫－π3， 解得T ＝π，∴ω＝2.又∵函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ＝2.∴5π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z. ∵－π2<φ<π2，∴φ＝－π3.故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.答案：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π314．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象如下图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (11)＝________．解析：由图得A ＝2，T ＝8＝2πω，∴ω＝π4.由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4×2＋φ＝2，得φ＝0， ∴f (x )＝2sin π4x .∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (11)＝2sin π4＋2sin 2π4＋2sin 3π4＋…＋2sin 11π4＝2＋2 2.答案：2＋2215．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于________．解析：函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ωx 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－ωπ3，ωπ4，∴－ωπ3≤－π2或ωπ4≥3π2. ∴ω的最小值等于32.答案：3216．直线y ＝a 与曲线y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3在x ∈(0，2π)内有四个不同的交点，则实数a 的取值范围是________．解析：作函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3在x ∈(0，2π)内的简图．观察图象即可得答案．答案：(－2，3)∪(3，2)17．先将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度，再作所得图象关于y 轴的对称图形，所得图形的函数解析式为________．解析：向右平移π3个单位长度得y ＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，关于y 轴对称只要将关系式中的“x ”换成“－x ”即可，∴y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x －2π3.答案：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x －23π18．若函数f (x )具有性质：①f (x )为偶函数；②对任意x ∈R ，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，则函数f (x )的解析式是________(只需写出满足条件的一个解析式即可)．解析：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 知y ＝f (x )关于x ＝π4对称，又∵f (x )为偶函数，∴可写成y ＝cos 4x 或y ＝cos 4x ＋b ，本题属于开放性问题．答案：y ＝cos 4x (答案不唯一)19．(2014·福建卷)将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位长度，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0对称解析：利用函数y ＝f (x )的性质，逐个进行判断．由题意知，f (x )＝cos x ，所以它是偶函数，A 错误；它的周期为2π，B 错误；它的对称轴是直线x ＝k π，k ∈Z ，C 错误；它的对称中心是点⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0，k ∈Z ，D 正确．答案：D20．已知函数f (x )＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.(1)求f (x )的最大值和最小值；(2)若不等式f (x )－m <2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上恒成立，求实数m 的取值范围．解析：(1)∵π4≤x ≤π2， ∴π6≤2x －π3≤2π3. 故当2x －π3＝π2，即x ＝5π12时，f (x )max ＝3；当2x －π3＝π6，即x ＝π4时，f (x )min ＝2.(2)由题设条件可知f (x )<m ＋2对x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2恒成立，又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，f (x )max ＝3.所以m ＋2>3，即m >1，故m 的取值范围是(1，＋∞)．21．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的一个周期的图象如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)若函数g (x )与f (x )的图象关于直线x ＝2对称，求g (x )的解析式；(3)求函数g (x )的单调区间．解析：(1)由图知：A ＝2，T ＝7－(－1)＝8， 故ω＝2πT ＝π4.∵图象过(－1，0)，∴－π4＋φ＝0.∴φ＝π4.∴所求的函数解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.(2)∵g (x )与f (x )的图象关于直线x ＝2对称， 设g (x )的图象上任一点坐标(x ，y )，则(x ，y )关于x ＝2的对称点为(4－x ，y )，这个点在f (x )上，∴f (4－x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4（4－x ）＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－π4x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4.(3)当2k π－π2≤π4x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z)即8k －1≤x ≤8k ＋3(k ∈Z)时，函数g (x )单调递增；当2k π＋π2≤π4x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)即8k ＋3≤x ≤8k ＋7(k ∈Z)时，函数g (x )单调递减．∴g (x )的单调增区间为[8k －1，8k ＋3](k ∈Z)，单调减区间为[8k ＋3，8k ＋7](k ∈Z)．22．设函数f (x )的图象与直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f (x )在[a ，b ]上的面积，已知函数y ＝sin nx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，πn 上的面积为2n(n ∈N *)．(1)求y ＝sin 3x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的面积； (2)求y ＝sin(3x －π)＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3上的面积．解析：(1)令n ＝3，则y ＝sin 3x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的面积为23.又∵y ＝sin 3x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3上的面积相等， ∴y ＝sin 3x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的面积为2×23＝43.(2)由y ＝sin(3x －π)＋1，设3φ＝3x －π， ∴y ＝sin 3φ＋1.又∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，∴3φ∈[0，3π]．∴φ∈[0，π]． 由(1)y ＝sin 3φ在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的面积为23，y ＝sin 3φ＋1在[0，π]上的面积为S 1＋S 2＋S 3－S 4＝2×23－23＋S 3＝23＋S 3(S 3为y ＝1与图象围成的大矩形的面积)，∵S 3＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3－π3＝π，∴y ＝sin(3x －π)＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3上的面积为π＋23.。