2.5向量的应用(学生版)
高中数学第二章平面向量2.5向量的应用课件苏教版必修4
图 2-5-2
法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为 2， 则 A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，A→F＝(2,1)，D→E＝(1，－2)．
阶
阶
段
段一Leabharlann 三2.5 向量的应用
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1．会用向量方法解决简单的物理问题及其他的一些实际问题． 2．会用向量方法解决某些简单的几何问题．(重点、难点)
[基础·初探] 教材整理 向量的应用 阅读教材 P91～P92 的全部内容，完成下列问题． 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
标法更好用．
[探究共研型]
平面向量在解析几何中的应用 探究 1 如何利用向量求经过点 P0(x0，y0)，且与 a＝(1，k)平行的直线 l 的 方程？ 【提示】 设直线 l 上任意一点 P(x，y)，则P→0P＝(x－x0，y－y0)． 由题意可知P→0P∥a，∴y－y0＝k(x－x0)．
利用向量法解决解析几何问题，如有关平行、共线、垂直、 夹角、距离等问题，均可用向量表示或用向量解决，要先将线段 看成向量，再利用向量法则进行坐标运算，使问题得以解决.
1．已知三个力 f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体 上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力 f4，则 f4＝________.
【解析】 由题意知 f4＝－(f1＋f2＋f3) ＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)] ＝－(－1，－2)＝(1,2)． 【答案】 (1,2)
因为A→F·D→E＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以A→F⊥D→E，即 AF⊥DE.
高中数学2.5平面向量应用举例(教、学案)
2. 5平面向量应用举例一、教材分析向量概念有明确的物理背景和几何背景，物理背景是力、速度、加速度等，几何背景是有向线段，可以说向量概念是从物理背景、几何背景中抽象而来的，正因为如此，运用向量可以解决一些物理和几何问题，例如利用向量计算力沿某方向所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。
二、教学目标1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐 标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节” 和生活中的实际问题2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的 积极主动的探究意识，培养创新精神。
三、教学重点难点重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题. 难点：选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决. 四、学情分析在平面几何中，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，而在物理中，受力分析则是其中最基本的基础知识，那么在本节的学习中，借助这些对于学生来说，非常熟悉的内容来讲解向量在几何与物理问题中的应用。
五、教学方法1.例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。
2.学案导学：见后面的学案3.新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备1.学生的学习准备：预习本节课本上的基本内容，初步理解向量在平面几何和物理中的 应用2.教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
七、课时安排：1课时 八、教学过程(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
(二）情景导入、展示目标教师首先提问：（1）若O 为ABC ∆重心,则OA +OB +OC =0（2）水渠横断面是四边形ABCD ,DC =12AB ,且|AD |=|BC |,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?(3) 两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。
高中数学 2.5向量的应用课件 苏教版必修4
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何
元素，将平面_几__何__问__题___转__化__为__向___量__问__题___．
(2)通过向__量__运___算_，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角、
栏
平行等．
目
(3)把运算结果_“___翻__译__”成几何关系．
链 接
6．常见到的问题包括以下命题：
题型2 速度向量的合成与分解
例2 在风速为 75( 6－ 2) km/h 的西风中，飞机以 150 km/h
的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．
栏
分析：设
w＝风速，va＝有风时飞机的航行速度，vb＝无风时飞
目 链
接
机的航行速度，则 vb＝va－w.
解析：如上图所示，
∵vb＝va－w，∴vb、va、w 构成三角形，
栏 目
就是_向__量__的___加__减__法__．
链 接
3．功的定义即是力 F 与其所产生位移 s 的_数__量___积__．
4．平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹
角都可由__向__量__的__线___性__运__算__及__数___量__积__表示出来．
5．向量方法解决平面几何问题的“三部曲”．
问题，接下来结合向量知识、利用余弦函数的单调性解决问题．
变式 训练
1．如下图所示，用两条成 120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，
已知灯具的重量为 10 N，则每根绳子的拉力大小是________．
栏 目 链 接
解析：设绳子拉力为 F，则 2|F|cos 60°＝10，故有 F＝10.
答案：10 N
|A→B|＝|va|，|C→B|＝|w|，
人教版必修四2.2.5向量在物理中的应用举例课件
个力的协力所做的功.
F3 北
W＝F·s＝
J
西
F1
F2
东
南
小结作业
1.利用向量解决物理问题的基本步骤： ①问题转化，即把物理问题转化为数学 问题；②建立模型，即建立以向量为载 体的数学模型；③求解参数，即求向量 的模、夹角、数量积等；④回答问题， 即把所得的数学结论回归到物理问题.
|v 行驶，那么船的实际速度v的大小是多少？
v1
v
60° v2
|v|2＝| v1＋v2|2＝(v1＋v2)2＝84.
思考3：船应沿什么方向行驶，才能使航
程最短？
B
与上游河岸的夹角为
v1 v
78.73°.
C
A v2
思考4：如果河的宽度d＝500m，当航程
θ∈[0°，180°)
思考6：|F1|有最大值或最小值吗？|F1| 与|G|可能相等吗？ 当θ＝0°时，|F1|有最小值，但没有最 大值； 当θ＝120°时，|F1|＝|G|.
探究（二）：向量在运动学中的应用
思考1：如图，一条河的两岸平行，一艘 船从A处出发到河对岸，已知船在静水中 的速度|v1|＝10km/h，水流速度|v2|＝ 2km/h，如果船垂直向对岸驶去，那么 船的实际速度v的大小是多少？
2.用向量知识解决物理问题时，要注意 数形结合.一般先要作出向量示意图，必 要时可建立直角坐标系，再通过解三角 形或坐标运算，求有关量的值.
3.向量源于物理中的矢量，运用向量方 法可以解决物理中的矢量问题，这体现 了认识来源于实践又服务于实践的辩证 观点.
2.5平面向量应用举例
2（1）
P113A3
3.解：（1）s sB sA (2,7);
(2)设s和sA的夹角为，则s在sA方向上的投影为
s cos s s sA s sA 2 4 7 3 13
s sA sA
16 9 5
P119A14
小结：
1.向量方法：以向量和向量运算为工具，对几何 元素及其关系进行讨论。 2.特点：由于向量能够运算，因此它可以把几何 问题由一个思辨过程变成了一个算法过程，从而 降低了思考问题的难度。
1 3
Байду номын сангаасAC
(1)转化：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题
中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)运算：通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)翻译：把运算结果“翻译”成几何关系。
三角形四心
• 重心是三角形三条中线的交点。 (重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离 之比为2：1。)
b
B
分析：要证∠ACB=90°，只须证向
aO
量AC CB，即 AC CB 0 。
解：设 AO a,OC b 则 AC a b,CB a ，b
由此可得： ACCB a b a b
2
2
2
2
a b a b
r2 r2 0
即 AC CB 0，∠ACB=90°
3.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
转化：建立平面几何与向量的联系，用向量
表示问题中涉及的几何元素，将平面 几何问题转化为向量问题；
运算：通过向量运算，研究几何元素之间的
关系，如距离、夹角等问题；
翻译：把运算结果“翻译”成几何关系。
数学苏教版4课前导引2.5向量的应用含解析
2。
5 向量的应用
课前导引
问题导入
如右图所示顶角是2θ的等腰劈,今有力F =100 N 作用于劈背上将物体劈开，力F 是怎样分解的呢?分力又与角θ有何关系呢?
思路分析：根据力的作用效果(力F 1、力F 2的方向分别都垂直于劈面），可将力分解如右下图：
由向量的平行四边形法则及解直角三角形的知识有
｜F 1|=｜F 2｜=θ
θθθsin 50sin 2100sin 2||sin 2|
|N N F F ===。
据题意有0〈2θ<π,∴0〈θ〈2
π, 又θ∈（0，2
π）时,sinθ是增函数。
∴随着θ的增加，|F 1｜在减小，即顶角越小，分力越大；
当θ=6π时,即顶角为3
π时，|F 1|=|F 2｜=|F |. 知识预览
1.向量法解决几何问题的“三步曲”
（1）形到向量的转化；
(2)向量的运算；
（3）向量到形的回归。
2。
向量法
几何中的向量方法基本与几何中的代数方法一致，不同的只是用
“向量和向量运算"来代替“数和数”的运算.即就是先把点、线、面等几何要素直接化归为向量，进而对这些向量进行分析、计算，然后把各种计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果。
3。
力、速度、加速度、位移都是向量.
4.力、速度、加速度、位移的合成与分解运用的就是向量的加减,其运算法则就是三角形法则和平行四边形法则。
5.动量mv就是数学上的数乘运算。
6。
功即是力F与所产生位移s的数量积。
数学必修4自主训练：2.5向量的应用 含解析 精品
自主广场我夯基我达标1.已知A(1,2)、B(2,3)、C(-2,5),则△ABC 的形状是( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形思路解析：∵A(1,2)、B(2,3)、C(-2,5),∴AB =（1，1），BC =（-4，2），AC =（-3，3）. ∵·=1×（-3）+1×3=0,∴AB ⊥AC,即∠A=90°.∴△ABC 为直角三角形.答案：A2.以原点和点A(4,2)为顶点作等腰Rt △OAB,∠B=90°,则向量AB 的坐标为____________. 思路解析：利用长度公式和垂直条件列出关于向量坐标的方程,然后求解. 设OB =(x,y),则AB =(x-4,y-2). 由已知⎩⎨⎧-+-=+=-+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⊥2222)2()4(0)2()4(||||y x y x y y x x ⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==⇒.1,33,1y x y x 或 故B(1,3)或B(3,-1).∴=(-3,1)或(-1,-3).答案：(-3,1)或(-1,-3)3.已知两恒力F 1(3,4),F 2(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0).试求：(1)F 1、F 2分别对质点所做的功；(2)F 1、F 2的合力F 对质点所做的功.思路分析：设物体在力F 作用下位移为S ,则所做的功为W=F ·S . 解：AB =（7，0）-（20，15）=（-13，-15）,(1)W 1= F 1·AB =（3，4）·（-13，-15）=-99(焦耳).W 2=F 2·=（6，-5）（-13，-15）=-3(焦耳).(2)W=F ·AB=（F 1+F 2）·=［（3，4）+（6，-5）］·（-13，-15）=（9，-1）·（-13，-15）=-102(焦耳).4.如图2-5-8，在△ABC 中,D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、CA 的中点,G 是它的重心,已知D 点的坐标是(1,2),E 点坐标是(3,5),F 点坐标是(2,7),求A 、B 、C 、G 的坐标.图2-5-8思路分析：根据D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、CA 的中点,得=.从而求出A 点坐标,B 、C 、G 点的坐标求法与此类似.解：设A （x 1,y 1),由已知得EF 平行且等于AD, ∴AD =EF .∴(x 1-1,y 1-2)=(2-3,7-5)=(-1,2).∴⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=--=-.4,0,22,111111y x y x 解得 ∴A(0,4).同理,可得B(2,0),C(4,10).连结AE,则AE 过点G.设G(x 2,y 2),由=2得(x 2,y 2-4)=2(3-x 2,5-y 2), ∴⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧-=--=.314,2.2104,26222222y x y y x x 解得.∴G(2,314). 5.设a 、b 、c 是两两不共线的三个向量.(1)如果a +b +c =0,求证:以a 、b 、c 的模为边,必构成一个三角形；(2)如果向量a 、b 、c 能构成一个三角形,问它们应该有怎样的关系?思路分析：运用向量加法的三角形法则及多边形法则即可解答.解：(1)如图2-5-9,作=a ,=b ,=c .按向量加法的多边形法则有=++=a +b +c =0.图2-5-9∴B 与D 重合,故向量a 、b 、c 能构成一个三角形.(2)设向量a 、b 、c 能构成一个△ABC,根据向量加法的三角形法则,有+=,即++=0.∵a=-,b=-,c=-,∴a 、b 、c 有下列四种关系之一即可：①a +b -c =0,②a +b +c =0,③a -b -c =0,④a -b +c =0.6.如图2-5-10所示，△ABC 三边长分别为a 、b 、c,以A 为圆心,r 为半径作圆,PQ 为直径,试判断P 、Q 在什么位置时,·有最大值?图2-5-10思路分析：先构造向量表示和,然后运用向量的运算建立目标函数,再利用向量的数量积a·b≤|a||b|求解.解：∵AB+BP=AP,AC+CQ=AQ=-AP,∴·=（-）·（--）=-2+·+·-·=-r2+AB·AC+AP·（AB-AC）=AB·AC+AP·CB-r2=cbcos∠BAC+AP·CB-r2.∵r、a、b、c、∠BAC均为定值,故当且仅当AP·CB有最大值时，BP·有最大值.而当与同向共线时，其夹角为0，有·=ra.∴当∥,且与同向时,·有最大值：bccos∠BAC+ar-r2.我综合我发展7.在四边形ABCD中,·=0,且=,则四边形ABCD是( )A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形思路解析：由AB·BC=0得AB⊥BC,又AB=DC,∴AB与DC平行且相等.从而四边形ABCD是矩形.答案：C8.如图2-5-11,已知A、B、C是不共线的三点,O是△ABC内的一点,若++=0,求证：O是△ABC的重心.图2-5-11思路分析：以、为邻边构造平行四边形OBDC,则有=-,从而得||=2||,即O 为△ABC 的重心. 解：由于++=0,∴=-(+),即+是的相反向量,以、OC 为邻边构造平行四边形OBDC,则有OD =-OA .在平行四边形BOCD 中,设BC 与OD 交于E 点,则BE =EC ,ED OE =,∴AE 是△ABC 的中线,且|OA |=2|OE |.故O 是△ABC 的重心.9.在△ABC 内求一点P,使222++的值最小.思路分析：根据已知条件,可设=a ,=b ,再把222++表示成关于向量=x 的函数,进而求出该函数的最小值.解：如图2-5-12,设CA =a ,CB =b ,CP =x ，图2-5-12 则=x -a ,=x -b , ∴222++=(x -a )2+(x -b )2+x 2=3x 2-2(a +b )x +b 2+a 2 =3［x -31(a +b )］2+a 2+b 2-31(a +b)2. 根据向量运算的意义知,当x=31(a +b )时,222++有最小值. 设M 为AB 的中点,易知a +b =2CM .当x=31(a +b )时,CP =32CM ,也即P 为△ABC 的重心时, 222CP BP AP ++的值最小，为a 2+b 2-31(a +b )2,即32a 2+32b 2-32ab . 10.如图2-5-13(1),有两条相交成60°的直线xx 1、yy 1,交点为O.甲、乙分别在Ox 、Oy 1上,起初甲位于离O 点3 km 的A 处,乙位于离O 点 1 km 的B 处.后来两个人同时用每小时4 km 的速度,甲沿xx 1的方向,乙沿yy 1的方向运动.(1)起初两个人的距离是多少?(2)什么时候两人的距离最近?〔如图2-5-13(2),在三角形中有如下结论：b 2=a 2+c 2-2accosB 〕.（1） （2）图2-5-13思路分析：以甲、乙两人t 时刻的位置和O 三点形成三角形,通过对三角形有关量的求解便可实现解题的目的.解：(1)起初两人分别在a 、b 两点,则|OA |=3,|OB |=1.∴|AB |2=|OA |2+|OB |2-2|OA ||OB |cos60°=9+1-2×3×1×21=7.∴||=7 km,即起初两人相距7 km.(2)设甲、乙两人t 小时后的位置分别是P 、Q,则||=4t,||=4t.又∵甲沿xx 1的方向,乙沿yy 1的方向运动.∴当0≤t≤43时, ||2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos60°=48t 2-24t+7；当t ＞43时, ||2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(4t-3)(1+4t)cos120°=48t 2-24t+7.综上,|PQ |2=48t 2-24t+7=48(t-41)2+4,t ∈［0，+∞), ∴当t=41时,即在第15分钟末时,PQ 最短,两人最近,最近距离为2 km. 11.不顾国际社会的强烈反对,美国于2001年7月14日进行导弹防御系统拦截技术的第四次实验,军方先从加利福尼亚州的危登堡空军基地发射一枚作为标靶的洲际弹道导弹和诱弹,再从马绍尔群岛的夸贾林环礁发射另一枚导弹对前一枚导弹进行拦截,实施拦截时必须准确计算标靶的飞行速度、瞬时位置.现假设标靶与拦截导弹的飞行轨迹均在同一平面内,标靶飞行速度为|v|=10 n mk/h.令v =λ1e 1+λ2e 2,基底e 1、e 2是平面内的单位向量.若标靶的飞行方向为北偏东30°, e 1方向正东, e 2方向为北偏东60°,试求λ1、λ2的值.思路分析：本题实质就是利用平面内的一组基底表示向量v.解：建立如图2-5-14所示的直角坐标系,则e 1=(1,0),e 2=(23,21),v =(5n,35n).∵e 1、e 2不共线,图2-5-14∴v =λ1 e 1+λ2 e 2=λ1(1,0)+λ2(23,21), (5n,35n)=(λ1+23λ2,21λ2). ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+.352,523221n n λλλ ∴λ1=-10n,λ2=310n.。
【高中数学】2.5平面向量的应用
【高中数学】2.5平面向量的应用重难点：通过向量在几何、物理学中的应用能提高解决实际问题的能力．要求：① 能用矢量法解决一些简单的平面几何问题②会用向量方法解决简单的力学问题于其他一些实际问题．经典示例：如下图所示，非弹性绳索的一端固定在底部，并在相同质量的绳索的下端系上称重盘，因此，尝试分析三根绳索上的力，以确定哪根绳索受力最大？当堂练习：1.已知a、B和C是三个非共线点，P是平面中的一个点△ ABC。
如果是，则点P和△ ABC是（）a、点p在△abc内部b、点p在△abc外部c、点P在直线AB和D上，点P在AC的侧面2．已知三点a（1，2），b（4，1），c（0，-1）则△abc的形状为（）a、正三角形B，钝角三角形C，等腰直角三角形D，等腰锐角三角形3．当两人提起重量为|g|的旅行包时，夹角为，两人用力都为|f|，若|f|=|g|，则的值为（）a、 300b、600c、900d、12004．某人顺风匀速行走速度大小为a，方向与风速相同，此时风速大小为v，则此人实际感到的风速为（）a、 v-ab、a-vc、v+ad、v5．一艘船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，船的实际航行方向与水流方向成300角，则水流速度为km/h。
6.两个粒子A和B从同一个粒子源发射。
在某一时刻，以粒子源为原点，它们的位移为sa=（3，-4），sb=（4,3），（1）粒子B相对于粒子a的位移；（2）求s在sa方向上的投影。
7.如图所示，P点是AB线上的一个点，AP？pb=点O是直线ab之外的点。
让、、尝试用公式来表示向量8．如图，△abc中，d，e分别是bc，ac的中点，设ad与be相交于g，求证：ag?gd=bg?ge=2?1．9.如图所示，O是外部的任意点△ ABC。
如果是，验证G是物体的重心△ ABC（即三条边中线的交点）10．一只渔船在航行中遇险，发出求救警报，在遇险地西南方向10mile处有一只货船收到警报立即侦察，发现遇险渔船沿南偏东750，以9mile/h的速度向前航行，货船以21mile/h的速度前往营救，并在最短时间内与渔船靠近，求货的位移。
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课题：§2.5向量的应用 总第____课时
班级_______________ 姓名_______________ 【学习目标】
1．掌握向量的概念、坐标表示、运算性质，做到融会贯通； 2．能应用向量的有关性质解决诸如平面几何的问题． 【重点难点】
学习重点：向量的性质及相关知识的综合应用；
学习难点：用向量方法解决简单的几何问题，力学问题的过程． 【学习过程】
一、自主学习与交流反馈： 1．两个平面向量垂直的条件；
2．两个平面向量共线的坐标表示；
3．a 与b
夹解为锐角等价于_________________；
a 与b
夹解为钝角等价于_________________.
二、知识建构与应用：
||||cos a b a b θ⋅=⋅⋅
1212x x y y =+．
三、例题
例1 如图所示，无弹性的细绳OA ，OB 的一端分别固定在A ，B 处，同质量的细绳OC 下端系着一个称盘，且使得O B ⊥OC ，试分析OA ，OB ，OC 三根绳子受力的大小，判断哪根绳子受力最大．
c b a
O C
B
A
例2 已知OA BC OB AC OC AB ⊥⊥⊥
，，求证：．
思考：你能否画一个几何图形来解释这个结论呢？
例3 (1)已知在△ABC 中，⋅=⋅=⋅，则O 为△ABC 的 心.
(2)若O 是ABC ∆内一点，=++，则O 是ABC ∆的 心.
(3)A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足[AP λλ=∈∞
AB AC （+），0，+）|AB ||AC |
， 则P 的轨迹一定通过△ABC 的 心.
例4 某人在静水中游泳的的速度为3m/s ，河水自西向东流速为1m/s ，若此人朝正南方向游去，求他的实际前进方向和速度．
四、巩固练习
1．)1,3(),2,1(==b a
已知向量，则下列向量的坐标：
（1）b a
32+= ； （2）b a 2
1-= ．
2．在四边形ABCD 中，=+，0=∙，试证明四边形ABCD 是菱形.
3．用向量方法证明：在ABC ∆中,A AC AB AC AB BC cos 22
2
2
⋅-+= .
4．已知OAB ∆的两个顶点为原点O 和),2,5(A 且
90=∠A AO AB =．
求：(1)B 点的坐标；（2）的坐标．
5．已知向量OA ，OB ，OC 满足条件OA ＋OB ＋OC ＝0，且｜OA ｜＝｜OB ｜＝ ｜｜＝１，求证：△ＡＢＣ是正三角形．。