新初一年级进度二(4)-复合二次根式
初二数学讲座《复合二次根式》+答案
初二数学讲座《复合二次根式》姓名一．知识摘要1．如果二次根式的被开方数（式）中含有二次根式，这样的式子叫做复合二次根式，如2．化简复合二次根式，要灵活运用二次根式的性质和运算法则，常用的方法有：（1）平方法：将复合二次根式平方后化简，再对结果开方.（2）配方法：利用公式将复合二次根式内部的二次根式化成平方形式，从而脱去外层根号.（3）构造法：将复合二次根式的整体设为一个未知数或将各部分设为不同的未知数，从而构造关于未知数的方程，解出待求值.（4）待空系数法：根据复合二次根式的特点，将原式设为几个简单二次根式的和或差的形式，通过平方并化简后，比较系数求出结果.二．例题1．化简代数式（）A. 3B. 1 +C. 2 +D.234．求.5．设a=那么a是（）A. 无理数 B. 正整数 C. 分数 D. 负数6．计算：7．已知a +b =a –，求a b的值8．若x =的值是____________三．习题1）A.B.C.12D. 12．代数式）A.B.C.D.3．的值等于（）A.B. 1C.D. 14．如果x + yx –y =那么xy的值是（）A.B.C.D.5．若一个数的平方是5-（）A.B.C.D. 11-或678．计算：910．已知x =x+的值11．设的值123参考答案 初二数学讲座《复合二次根式》一．知识摘要1．如果二次根式的被开方数（式）中含有二次根式，这样的式子叫做复合二次根式，如2．化简复合二次根式，要灵活运用二次根式的性质和运算法则，常用的方法有： （1）平方法：将复合二次根式平方后化简，再对结果开方. （2）配方法：利用公式将复合二次根式内部的二次根式化成平方形式，从而脱去外层根号. （3）构造法：将复合二次根式的整体设为一个未知数或将各部分设为不同的未知数，从而构造关于未知数的方程，解出待求值.（4）待空系数法：根据复合二次根式的特点，将原式设为几个简单二次根式的和或差的形式，通过平方并化简后，比较系数求出结果. 二．例题1所得结果是（ ） A. 3B. 1 +C. 2 +D. 解：设y > 0则y 2= 3 ++3-68+=y ∴=2=______________.解：原式的分母8(23)+==44∴==+原式3．计算：解：设aa 3 + b3 = 54 +– 2()()108a b a ab b ∴+-+= 即 (a + b )[(a + b )2 – 3ab ] = 108 (a+b )3 – 18(a + b ) – 108 = 0[(a + b )3 – 216] – 18[(a + b ) – b ] = 0 [(a + b ) – 6][(a + b )2 + 6 (a + b ) +18] = 0 即[(a + b )－6][(a + b + 3)2 + 9] = 0 6a b ∴+=4．求. 解：A313A =+×1+4于是32A =+，即A 3 + A – 2 = 0 (A 3 – 1) + (A – 1) = 0 A 2 + A + 2 = (A +12)2 +74> 0 10,1A A ∴-==5．设a =a 是（ ）A. 无理数B. 正整数C. 分数D. 负数 解：3236712a =+ 33223373273272=-+-- 33372)7=--= －26解：2003 = a ，则原式变为：a + 2∴原式= 2003 + 2 = 2005 7．已知a +b =a –ab = ___________解：由题设条件，有(a +b )2(a – b )2 =又4ab = (a + b )2 – (a – b )221()()4ab a ba b ⎡⎤∴=+--⎣⎦=14⎡-⎣8．若x =2+____________解：由1+1-∴原式+=6363193++-=-三．习题1）A.B.C.12D. 1解：设原式为x，则x2 = 14x∴=2．代数式）A.B.C.D.解；改原式为n，则n2 = 18x∴=3的值等于（）A.B. 1C.D. 11-4．如果x + yx –y = xy的值是（）A.B.C.D.解：xy =221[()()]4x y x y+--=5．若一个数的平方是5-，则这个数的立方是（）A.B.C.D. 11-或解：设x2=5-，则x =±x3 = x·x2 =±6．化简解：原式7．计算：解：原式4=+58．计算：_______________9_____________解：设，则m2 = 6m∴=10．如果x =x+= ______________解： 1 –x2=22144+-=∴原式4=11．设的值是____________解：x∴原式=2-12______________解：2=2 ===6。
初中数学知识点之二次根式
初中数学知识点之二次根式在初中复习时，特别对章节复习或总复习时，将统领知识的数学思想方法概括出来，增强我们对数学思想方法的运用意识。
下面是作者给大家带来的初中数学知识点之二次根式，欢迎大家浏览参考，我们一起来看看吧!中考数学：二次根式的3个基本性质1.任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。
如正数a的算术平方根是√a，则a的另一个平方根为-√a;最简情势中被开方数不能有分母存在。
2.零的平方根是零，即√0=0。
3.负数的平方根也有两个，它们是共轭的。
如负数a的平方根是√ai。
二次根式一样地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a叫做被开方数。
当a≥0时，√a表示a的算术平方根;当a小于0时，√a的值为纯虚数(在一元二次方程求根公式中，若根号下为负数，则方程有两个共轭虚根)。
判定一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地视察被开方数的每一个因数(或因式)的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再视察。
负根号二究竟是不是二次根式负的根号2是二次根式。
形如√a的代数式都叫做二次根式，负的根号2(-√2)的情势是二次根式的表现情势，其中的负号表明这个代数式是负值，负的根号2(-√2)即表示为一个负值的二次根式。
中考数学：判定式子是不是二次根式形如√a(a≥0)的代数式叫做二次根式。
注意，被开方数不为完全平方数。
当a 0时，根号a表示a的算术平方根，因此根号a 当a=0时，根号a表示0的算术平方根，因此根号a=0。
最简二次根式最简二次根式条件：1.被开方数的因数是整数或字母，因式是整式;2.被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。
二次根式化简一样步骤：1.把带分数或小数化成假分数;2.把开方数分解成质因数或分解因式;3.把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外;4.化去根号内的分母，或化去分母中的根号;5.约分。
中考数学：二次根式二次根式作为“式子”模块的最后一个章节，一样都是紧随着实数这一章下来的。
专题02 《二次根式》计算、解答题重点题型分类(解析版)
专题02 《二次根式》计算、解答题重点题型分类专题简介：本份资料专攻《二次根式》中“二次根式的性质与化简”、“二次根式的乘除法”、“二次根式的加减法”、“二次根式的混合运算”、“二次根式的化简求值”计算、解答题重点题型；适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。
考点1：二次根式的性质与化简方法点拨：（1）二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．（2）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．1．化简：（1（2（3（4（50,0)>>a b【答案】（1）（2）（3）（4）13；（5）2【分析】先将被开方数进行因数分解或因式分解，再应用积的算术平方根的性质，将能开得尽方的因数或因式开出来即可．【详解】解：（1===（2===；（3===；（413===；（52=【点睛】本题主要考查了利用二次根式的性质化简，解题的关键在于能够熟练掌握相关求解方法．2．已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示：【答案】0【分析】由三个数在数轴上的位置即可确定它们的符号及大小关系，从而可确定a －b 及c －a 的符号，最后可化简绝对值与二次根式，从而可求得结果．【详解】由数轴知：0c b a<<<∴0a b ->，0c a -<＝－b －（a －b ）－（c －a ）－（－c ）＝－b －a ＋b ＋a －c ＋c＝0【点睛】本题考查了算术平方根的性质、绝对值的化简、数轴上数的大小关系等知识，注意：当a 为负数a ．3．已知实数a ，b【答案】1a b +-【分析】根据题意得：2,b 2a >-< ，可得20,30a b +>-< ，然后根据二次根式的性质化简原式，即可求解．【详解】解：根据题意得： 2,b 2a >-< ，∴20,30a b +>-< ，23a b =+--()23a b =++-1a b =+- ．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，有理数的大小比较，根据题意得到2,b 2a >-< 是解题的关键．4．已知130a -£-£+．【答案】5【分析】先解不等式组可得23,a ££则有10,40,a a +>-<再化简二次根式即可得到答案.【详解】解：130a -£-£Q ，23,a \££10,40,a a \+>-<4-14 5.a a =++-=【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，二次根式的化简，解本题的关键是得到“10,40a a +>-< ”.5．阅读下列材料，然后回答问题．一样的式子，其实我们还可以将其进一====1===以上这种化简的步骤叫做分母有理化．（1 （2【答案】（2【分析】（1（2）根据分母有理化的步骤进行化简，即可求解．（2【点睛】本题主要考查了分母有理化，明确题意，理解分母有理化的步骤是解题的关键．6a ，b ，使a b m +=，ab n =，即22m +==0)a b ==>>.，这里7m =，12n =，由于437+=，4312´=，所以22+==，2===（1（2（3【答案】（11+；（2（3【详解】解：（1）∴4m =，3n =，∵314+=，313´=，∴224+==，1===；（2），∴13m =，42n =，∵7613+=，7642´=，∴2213+===∴8m =，15n =，∵358+=，3515´=，∴228+=====【点睛】本题考查了二次根式的化简，根据题中的范例把根号内的式子整理成完全平方的形式是解答此题的关键．7这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平1====；再如：==请用上述方法探索并解决下列问题：（1=，=；（2）若2()a m+=+，且a，m，n为正整数，求a的值．【答案】（13；（2）a的值为46或14【分析】（1）根据题意利用完全平方公式和二次根式的性质进行求解即可；（2）由222()5a m m n+==++，可得225a m n=+，62mn=，则3mn=，再根据a，m，n为正整数，可得1m=，3n=或3m=，1n=，由此求解即可．【详解】解：（1===3===-．3-；（2）∵222()5a m m n+==++，225a m n\=+，62mn=，∴3mn=又∵a，m，n为正整数，1m\=，3n=或3m=，1n=，∴当1m=，3n=时，2215346a=+´=；当3m=，1n=时，2235114a=+´=．综上所述，a的值为46或14．【点睛】本题主要考查了完全平方公式和二次根式的性质化简，解题的关键在于能熟练掌握完全平方公式．8．（阅读材料）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如=（12．善于思考的小明进行了以下探索：若设a +=（m +）2＝m 2+2n 2+2a 、b 、m 、n 均为整数），则有a ＝m 2+2n 2，b ＝2mn ．这样小明就找到了一种把类似a +法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（问题解决）（1）若a +=（m +2，当a 、b 、m 、n 均为整数时，则a ＝ ，b ＝ ．（均用含m 、n 的式子表示）（2）若x =（m +2，且x 、m 、n 均为正整数，分别求出x 、m 、n 的值．（拓展延伸）（3= ．【答案】（1）m 2+5n 2，2mn ；（2）当m =1，n =2时，x=13；当m =2，n =1时，x =7；（3．【分析】（1）利用完全平方公式展开可得到用m 、n 表示出a 、b ；（2）利用（1）中结论得到4＝2mn ，利用x 、m 、n 均为正整数得到12m n =ìí=î或21m n =ìí=î，然后利用x ＝m 2+3n 2计算对应x 的值；（3）=m +，两边平方(25m +=+，可得22651m n mn ì+=í=î消去n 得42560m m -+=，可求m【详解】解：（1）设a +m +2＝m 2+5n 2+2a 、b 、m 、n 均为整数），则有a ＝m 2+5n 2，b ＝2mn ；故答案为m 2+5n 2，2mn ；（2）∵(22232x m m n +=+=++∴4＝2mn ，∴mn ＝2，∵x 、m 、n 均为正整数，∴12m n =ìí=î或21m n =ìí=î，当m ＝1，n ＝2时，x ＝m 2+3n 2＝1+3×4＝13；当m ＝2，n ＝1时，x ＝m 2+3n 2＝4+3×1＝7；即x 的值为为13或7；（3=m +，∴(25m +=+，∴226522m n mn ì+=í=î，∴1n m=，22165m m æö+=ç÷èø，∴42560m m -+=，∴（m 2-2）（m 2-3）=0，∴m,m∴n =n =．∴m n ìïíïîm nìïí=ïî====．【点睛】本题考查二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．一元高次方程，二元方程组，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．1．计算（1）（2；（3；（4【答案】（1）12；（2（3）34；（4）【分析】（1）根据二次根式乘除运算法则从左到右顺序计算即可；（2）根据二次根式乘除运算法则从左到右顺序计算即可；（3）先化简二次根式，根据二次根式乘除运算法则从左到右顺序计算即可；（4）根据二次根式除运算法则转化为乘法计算，再化简即可．【详解】解：（1）原式==12；（2）原式=64（3）原式=´´=34；（4）原式=【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．2．若y =+【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，可得不等式组，根据解不等式组，可得x ，根据x 的值可得y的值，再根据二次根式的除法，可得答案．2x -3≥0,3-2x ≥0，即x =32，y=【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的被开方数是非负数得出不等式组是解题关键．3==的值．【答案】4【分析】根据二次根式分母有理化计算即可；2=+2==原式===+224==；【点睛】本题主要考查了二次根式分母有理化和乘除运算，准确化简是解题的关键．4．若99a和b ，求4312ab a b ---的值【答案】37-【分析】先求出99a ，b 的值，再代入求值即可．【详解】∵34∴12，95，∴99，995=4，∴a =3，b=4∴原式=3）（443）-3（4-12-13﹣12-=37-．【点睛】本题考查了无理数的估算，无理数都可以写成整数部分+小数部分的形式，从而得到小数部分＝这个无理数﹣整数部分，这是解题的关键．5．（13=，求a的值；（2能够合并，求a的值，并求出这两个二次根式的积．【答案】（1）a=7；（2）a=8，两个二次根式的积为5．【分析】（1）两边同时平方得关于a的方程，求解即可；（2）根据同类二次根式的意义可求出a的值，从而确定二次根式，进一步得出答案．【详解】解：（1）3=∴a+2=32解得a=7（2=能够合并=解得a=8∴5=.【点睛】本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键．6．如图，从一个大正方形中裁去面积为215cm和224cm的两个小正方形，求留下部分的面积．【答案】2【分析】先根据两个小正方形的面积可求得它们的边长，进而可得大正方形的边长，再利用大正方形的面积减去两个小正方形的面积列式计算即可求得答案．【详解】解：∵两个小正方形的面积分别为215cm和224cm，∴=，∴∴留下部分（即阴影部分）的面积是21524--152241524=++--=2)cm =，答：留下部分的面积为2．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键．7．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和线段ST ，我们定义点P 关于线段ST 线段比()()PS PS PT ST k PTPS PT ST ì<ïï=íïïî…．已知点(0,1)A ，(1,0)B ．（1）点(2,0)Q 关于线段AB 的线段比k = ；（2）点(0,)C c 关于线段AB的线段比k =c 的值．【答案】（1（2）3c =或c =．【分析】（1）求出QA 、QB 、AB ，根据线段比定义即可得到答案；（2）方法同（1），分0c >和0c …讨论．【详解】解：（1）∵(0,1)A ，(1,0)B ，(2,0)Q ，∴AB =QA ，1QB =，根据线段比定义点(2,0)Q 关于线段AB的线段比QB k AB ==；；（2）∵(0,1)A ，(1,0)B ，(0,)C c ，∴AB =|1|AC c =-，BC =2212AC c c =+-，221BC c =+，当0c >时，22AC BC <，即AC BC <，由(0,)C c 关于线段AB的线段比k =，解得3c =或1c =-（舍去），∴3c =，当0c …时，22AC BC …，即AC BC …，由(0,)C c 关于线段AB 的线段比k ==，解得c =c =，∴c =综上所述，点(0,)C c 关于线段AB 的线段比k 3c =或c =【点睛】本题考查坐标与图形的性质，解题的关键是读懂线段比的定义，找出“临界点”列不等式．8．先阅读下面的解题过程，然后再解答：a ，b ，使a b m +=，ab n =，即22m +=，=)a b ==>7m =，12n =因为437+=，4312´=即227+=所以2===根据上述方法化简：（1（2【答案】（1（2【分析】根据a b m +=，ab n =，即22m +==代入计算即可；【详解】（1）根据题意，可知13m =，42n =，因为6713+=，6742´=，即2213+=====（2）根据题意，可知8m =，15n =，因为538+=，5315´=即228+===【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，准确计算是解题的关键．9．材料1：因为无理数是无限不循环小数，所以无理数的小数部分我们不可能全部写出来．比如：π等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确．材料2：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以看成是2.5−2得来的．材料3：任何一个无理数，都夹在两个相邻的整数之间，如23<<<<．根据上述材料，回答下列问题：（1的整数部分是，小数部分是．+的值．（2）5+5<<，求a ba b（3）已知3x y=+，其中x是整数，且0＜y＜1，求x+4y的倒数．【答案】（1）44-；（2）13；（3【分析】（1的整数部分和小数部分；（2（3的整数部分，得到x的值，从而表示出y，求出x+4y的结果，再求x+4y的倒数即可．【详解】解：（1）<∴45<，的整数部分是4，故答案为：44；（2）<<，∴12<，∴67<<，∵5<<，a b∴a=6，b=7，∴a+b=13；（3）∵12，∴1+3＜2+3，∴4＜5，∴x=4，y1，x+4y）∴x+4ya≥0）的无理数的整数部分时，常用的方法是“夹逼法”，其依据是平方和开平方互为逆运算．在应用“夹逼法”估算无理数时，关键是找出位于无理数两边的平方数，则无理数的整数部分即为较小的平方数的算术平方根．1+（2）()14---．【答案】（1）；（2【分析】（1）先化简二次根式，然后再进行二次根式的加减运算；（2）根据绝对值、化简二次根式、立方根可直接进行求解．【详解】解：（1）原式=+（2）原式134+【点睛】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．2．计算或化简下列各题：（1）2021(1)(+--；（2）【答案】（1）1-；（2．【分析】（1）根据二次根式的加减运算法则计算即可；（2）去掉绝对值符号，根据二次根式的加减运算法则计算即可．【详解】（1）解：原式＝(1)-+＝1；（2）解：原式==【点睛】本题考查了二次根式的加减混合运算，熟练掌握二次根式的加减运算法则是解题的关键．3．先化简再求值：当a =时，求a【答案】21,1a -【分析】本题应先根据二次根式的性质把原式进行化简，再将a 的值代入即可求解．【详解】解：当a a -1＞0，∴原式=a =a +(a -1)=2a ﹣1∴原式1．故答案为：2a ﹣1；1【点睛】本题考查了二次根式的性质化简求值，熟知二次根式的性质是解题的关键．4．已知【答案】2y-【分析】先根据已知条件判断出0y < ，30x -£ ，再根据0y < ，3x £ 化简即可．【详解】解：0=<Q ，0y \< ，30x -£ ，3x \£ ，=413x y x =-+---413x y x =-+--+2y =- ．5．嘉琪准备完成题目“计算：（）﹣”时，发现“■”处的数字印刷不清楚，（1）他把“■”处的数字猜成6，请你计算（）﹣（2）他妈妈说：“”通过计算说明原题中“■”是几？【答案】（1）0；（2）原题中“■”是152【分析】（1）先去括号，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可；（2）将原式进行整理，设“■”为m【详解】解：（1）（﹣）﹣＝＝0；（2）设“■”为m ，-=，解得：152m =，∴原题中“■”是152．【点睛】本题考查了二次根式的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．阅读下列内容：因为139<<，所以13<<11．试解决下列问题：（1的整数部分和小数部分；（2）若已知8+a ，8的整数部分是b ，求34ab a b -+的值．【答案】（1的整数部分是33-；（2）34ab a b -+13．【分析】（1的大小即可；（2，a 、b 的值，代入计算即可．【详解】解：（1）∴3＜4，的整数部分是3-3；（2）∵34，∴11＜12，∴a ，∵34，∴-4＜-3，∴4＜5，∴b =4，∴ab -3a +4b=）×4-3×）+4×4，答：ab -3a +4b ．【点睛】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是解决问题的前提，求出a 、b 的值是正确解答的关键．7111111112=+-=+；111112216=+-=+；1111133112=+-=+．（1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想．（2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n 的式子表示的等式（n 为正整数）．【答案】（1）111441+-+，1120，1119+2）11(1)n n ++【分析】（11120的结果为11380；（2）第n 1与1n(n 1)+的和．【详解】解：（11111144120=+-=+；1111119191380=+-=+；故答案是：111441+-+，1120，11119191+-+，11380；（2）通过观察等式右边为1与1n(n 1)+的和，故第n 11(1)n n =++．【点睛】本题考查了二次根式的加减法：解题的关键是掌握二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．8．观察下列一组等式，解答后面的问题：=﹣1，==应用计算：（1（2＝ ；（3+LL＝ ．【答案】（1（2（310【分析】（1），然后利用平方差公式计算；（2）利用题中的计算结果和（1）小题的计算结果找出规律求解；（3）先分母有理化，然后合并即可．【详解】解：（1=（2、（3...+10．10．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法是解决问题的关键．考点4：二次根式的混合运算方法点拨：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的； (2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； (3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.1．计算：（1）3）（−5）（2））（3）（）×（4）（）2018×（3）2018【答案】（1）2）2（3）-30（4）12．已知1x=+，求代数式229-+的值．x x【答案】11．【分析】先将代数式配方，然后再把1x =+代入要求的代数式中进行求解即可．【详解】解： ()222918x x x -+=-+当1x =时，原式)21183811=-+=+=．【点睛】本题主要考查了代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握完全平方公式和二次根式的混合计算法则．3．如图，一只蚂蚁从点A 沿数轴向右爬行2个单位长度到达点B ，点A 所表示的数为，设点B 所表示的数为m ．（1）求m 的值；（2）求|m ﹣1|＋（2）（4﹣m ）的值．【答案】（1）2m =（21【分析】（1）根据一只蚂蚁从点A 沿数轴向右爬行2个单位长度到达点B ，可得2AB =，再由点A 表示的数为B 表示的数为m ，即可得到(2m -=，由此求解即可；（2）根据（1）求出的结果，代入m 的值，根据实数的混合计算法则求解即可．【详解】解：（1）由题意得：2AB =，∵点A 表示的数为，点B 表示的数为m ，∴(2m -=，∴2m =-；（2）∵2m =-∴(()124m m -+--(21242=--+-(122=-+-142=-+-1．【点睛】本题主要考查了实数与数轴，实数的混合运算，平方差公式，解题的关键在于能够根据题意求出2m =4．某居民小区有块形状为长方形ABCD 的绿地，长方形绿地的长BC AB长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分）1）米．（1）长方形ABCD 的周长是 米；（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m 2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果均化为最简二次根式）【答案】（1）（2）600元【分析】（1）由长方形的周长等于相邻两边和的2倍，再计算二次根式的加法，后计算乘法即可；（2）先求解通道的面积，再乘以单价即可得到答案.（1）解：Q 长方形绿地的长BC AB\ 长方形ABCD 的周长为：(2=2答：长方形ABCD 的周长为：米.故答案为：（2)11-131=-+ =11212100,-=Q 通道要铺上造价为6元/m 2的地砖，则购买地砖需要花费：1006600´=，答：购买地砖需要花费600元.【点睛】本题考查的是二次根式的加法与二次根式的乘法及混合运算的应用，熟练的进行二次根式的的化简与运算是解本题的关键.5．阅读下列材料，然后回答问题这样的式子，我们可以将其分母有理化：1====；1====-．（1（2【答案】（12）1【分析】（1）法一：原式==（2）：原式=（1=；===；（2）解：原式=+=+=．1【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，二次根式的加法运算，平方差公式等知识．解题的关键在于正确的将分式中的分母有理化．6．在初、高中阶段，要求二次根式化简的最终结果中分母不含有根号，也就是说当分母中有无理数时，要将其化为有理数，实现分母有理化．比如：（1==．（21试试看，将下列各式进行化简：（1（2（3【答案】（11；（3）2【分析】（1）根据第一个例子可以解答本题；（2）根据第二个例子和平方差公式可以解答本题；（3）根据第二个例子和平方差公式把原式化简，找出式子的规律得出结果即可．【详解】解：==；（211++¼+，1，＝3－1＝2．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算、分母有理化和平方差公式，解答本题的关键是明确分母有理化的方法．7．阅读下列材料，然后回答问题：在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下方法将其进一步1===，化简：（1）（2）【答案】（1（2【分析】（1）利用分母有理化的形式进行化简；（2，然后分母有理化，最后进行二次根式的乘法运算．【详解】解：（1===；L（2+=L2=L==【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和平方差公式是解决问题的关键．81====．==2根据以上解法，试求：（1n为正整数）的值；（2×××【答案】（1（2）9【分析】（1）由题意根据材料所给出的解法进行分析计算求解即可；（2）根据题意直接依据材料所给出的解法得出规律进行计算即可.【详解】解：（1==；（2×××1=×××110=-+9=.【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式分母有理化的方法是解题的关键.考点5：二次根式的化简求值方法点拨：（1）数形结合法：用坐标轴和数学表达式相结合，达到快速化简的目标。
初中数学二次根式知识点总结PPT
面积公式中的二次根式
在求解一些几何图形的面积时，如正 方形、矩形、三角形等，可能会涉及 到二次根式的计算。
体积公式中的二次根式
在求解一些几何图形的体积时，如长 方体、正方体、圆柱体等，也可能会 涉及到二次根式的计算。
Part
05
拓展：复数和虚数单位i的引 入
复数的定义和基本运算规则
易错难点剖析及应对策略
易错点一
忽视二次根式中被开方数的取值 范围。应对策略：在解题时，要 时刻注意被开方数的取值范围，
确保其非负。
易错点二
混淆二次根式的性质。应对策略： 正确理解并区分二次根式的性质， 如$sqrt{a^2}$和$(sqrt{a})^2$的 区别。
易错点三
运算顺序出错。应对策略：遵循先 乘除后加减的运算顺序，同时注意 括号的使用。
运算规则与注意事项
加减运算
先将二次根式化为最简形 式，再合并同类二次根式 。
乘除运算
根据二次根式的乘法法则 和除法法则进行计算。
注意事项
在运算过程中，要保证被 开方数是非负数，同时要 注意运算顺序和符号问题 。
Part
02
二次根式的化简与求值
化简方法与技巧
STEP 01
因式分解法
STEP 02
二次根式的性质
$sqrt{a^2} = |a|$，即正数的平方根是其本身，负数的平方根是其相反数，0的平方根是 0。
二次根式的运算法则
包括加法、减法、乘法和除法。其中，乘法法则为$sqrt{a} times sqrt{b} = sqrt{ab}$（ $a geq 0, b geq 0$），除法法则为$frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$（$a geq 0, b > 0$）。
二次根式中复合根式的化简
= 5 2
方法总结：对于形如 a m b的式子，如果m=2，则 把a凑成两数的和，b凑成两数的积。
依据： ( a b)2 a b 2 ab
复合二次根式的化简
例2： 15 6 6 =
= =
15 2 54 = 9 6 2 54
32 ( 6)2 2 96 (3 6)2 = 3 6
复合二次根式的化简
相信你！一定行
练习：（1） 11 2 18 （3） 3 5 （2） 19 8 3 （4） 7 3 5
老张讲数学
复合根式的化简
复合二次根式的概念
复合二次根式也叫双重二次根式，指的是二 次根式的被开方数（式）中含有二次根式 的式子。形如 a （a 0）的式子。
化简：（1） 7 2 10 （2） 15 6 6
（3） （4）
4 15
63 3
复合二次根式的化简
例1： 7 2 10 = 5 22 10 = ( 5)2 ( 2)2 2 52
复合二次根式的化简
例4： 6 3 3 =
= =
6 27
=
12 2 27 2
9 3 2 27பைடு நூலகம்2
(3 3) 2 2 2
= ( 9 3)2 2
= 3 2 6
2
= 12 2 27 2
3 3
=
2
方法总结：对于形如 a m b的式子，如果m既不是2 的倍数，也不是1，我们先把根号外的因数移到根号 里面，再按照例3的方法计算。
方法总结：对于形如 a m b的式子，如果m 2，但
是2的倍数，我们先把2以外的因数移到根号里面， 再按照例1的方法计算。
复合二次根式的化简
例3： 4 15 =
二次根式的复习教案
二次根式的复习教案二次根式是数学中的一种运算形式，也是中学数学中的重要内容。
学生对于二次根式的理解和掌握程度直接影响到其对于数学整体的理解和应用能力。
因此，本教案将围绕二次根式的概念、性质和运算法则展开，帮助学生对二次根式有一个全面的复习和加深理解。
一、概念回顾1.二次根式的定义：如果a是正实数，那么形如√a的数就叫做二次根式。
其中，√a叫做二次根号，a叫做被开方数。
2.二次根式的简化：一个二次根式，如果被开方数a的因数中有一个是平方数，那么这个二次根式就可以简化。
3.二次根式的分解：一个二次根式，如果可以分解成两个因数的二次根式的乘积形式，那么这个二次根式就可以进行分解。
二、性质回顾1.二次根式的大小比较：如果a和b都是正实数且a<b，那么√a<√b。
2.二次根式的相加减：如果a和b都是非负实数，那么√a±√b=√(a±b)。
3. 二次根式的乘法：如果a和b都是非负实数，那么(√a)(√b)=√(ab)。
4.二次根式的除法：如果a和b都是非负实数，且b≠0，那么(√a)/(√b)=√(a/b)。
三、运算法则复习1.化简二次根式：将一个二次根式化简成最简形式。
2.合并同类项：将含有相同被开方数的二次根式合并为一个二次根式。
3.分解二次根式：将一个二次根式分解成两个因数的二次根式乘积形式。
4.有理化分母：将一个二次根式的分母有理化，即将其分母中的二次根式化简成有理数。
四、练习题设计1.计算以下二次根式的值：(1)√9；(2)√16；(3)√25；(4)√362.简化以下二次根式：(1)√8；(2)√18；(3)√32；(4)√753.计算以下表达式的值：(1)√16+√9；(2)√25-√16；(3)(2√5+√2)(√5-√2)；(4)(√3+√2)²。
4.将以下二次根式分解为两个因数的乘积形式：(1)√40；(2)√98；(3)√252；(4)√725.有理化以下二次根式的分母：(1)1/√3；(2)2/(√2+√5)；(3)(3+√2)/(√2-1)；(4)1/(√2-√3)。
第8节复合二次根式
复合二次根式【知识要点】一、知识要点和基本方法：一般地，我们把二次根式中套叠着二次根式的式子叫做复合二次根式，如a 76+，x a -5，c b a 3+-都是复合二次根式。
二、把复合二次根式化简需要灵活运用二次根式的性质和运算法则，其基本方法有三种：1、平方法：先将复合二次根式平方并化简，再将结果开方，求得原式的值。
2、配方法： 如将b a 2+中b a 2+能配成()()y x y x y x ,0,02+，这样就可以把原复合二次根式化为y x +。
此时，应有x + y = a , x y = b 。
由此可求得这里x 、y 右边的式子通常能化简。
于是，2424222b a a b a a b a --+++=+。
3、待定系数法：先根据复合二次根式的特点，假设原式能化为几个简单二次根式的和或差，再通过平方、化简，比较系数求出结果。
万能变形公式 复合二次根式B A ± 的恒等变形公式是：2222B A A B A A B A --±-+=± 其中，0,0,02>->>B A B A【典型例题】例1 化简下列各式1、21027+2、324324-++,24,2422b a a y b a a x --=-+=3、()()32151216+++4、15216157---例2 化简532154154---++例3 计算2232233232--+--++例4 化简5840858408+-+++=M 。
例5 化简()()7151211+++例6 设3819-的整数部分为x ，小数部分为y ，求yy x 1++。
【练习与拓展】1．（1= 。
（2= 。
（3= 。
（4= 。
（5= 。
（6= 。
（7= 。
（8= 。
2的值为（ ）。
A +．12D ．13+ ）。
A ．．．4的值等于（ ）。
A -1- C +1-5．如果x y +=，x y -=xy 的值是（ ）A ．+．-． D ．6= 。
人教版初一数学二次根式的运算
人教版初一数学二次根式的运算二次根式是初中数学中一个重要的概念，也是数学运算的基础之一。
在人教版初一数学教材中，二次根式的运算是一个重要的知识点。
本文将从基本概念、运算法则等方面进行讲解，帮助学生更好地掌握二次根式的运算。
一、基本概念在初一数学中，我们学习了一次根式，它是一个数的 n 次方根。
而二次根式则是一个数的平方根。
如果一个数 a 的平方等于 b，则表示 a是 b 的平方根，记作√b=a。
在这里，b 是被开方数，a 是开方后得到的结果。
二、运算法则1. 同号相乘法则当两个二次根式的被开方数具有相同的正负号时，可以将它们的被开方数相乘，再开平方，结果仍然具有相同的正负号。
例如：√a * √b = √(a * b)。
2. 开方的分配律如果 a 和 b 都大于等于 0，那么有：√a + √b = √(a + b)。
同理，对于减法也成立，即：√a - √b = √(a - b)。
3. 分数的二次根式运算对于二次根式的运算，特别需要注意分数的情况。
如果一个分数先开方，然后再化简，结果通常不等于先化简再开方。
例如：√(2/3) ≠ √2 / √3。
因此，在进行二次根式的运算时，需要特别注意对分数进行化简后再做运算。
三、练习题1. 计算√4 + √9的值。
解：根据同号相乘法则，可以得到√4 + √9 = √(4 * 9) = √36 = 6。
2. 计算2√3 + 3√2的值。
解：根据开方的分配律，可以得到2√3 + 3√2 = √(2^2 * 3) + √(3^2 *2) = 2√6 + 3√6 = 5√6。
3. 计算√(2/3)的值。
解：根据前面提到的分数的二次根式运算注意事项，需要先化简再开方。
√(2/3) = √(2 * 1/3) = √(2 * 1) / √3 = √2 / √3。
四、总结二次根式的运算是初中数学中的重要内容，需要掌握运算法则以及化简分数的方法。
通过数学练习题的反复练习，可以巩固对二次根式的运算法则的理解和掌握。