天津市耀华中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题(含解析)

天津市耀华中学2018-2019学年度第二学期期中形成性检测高二年级数学试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设(1) 1i x yi +=+，其中,x y 是实数，则x yi +=（ ） A. 1D. 2【答案】B 【解析】 【分析】根据复数相等的充要条件，求得1,1x y ==，再由复数模的计算公式，即可求解.【详解】由题意知，复数满足(1)1i x yi +=+，可得1x x y =⎧⎨=⎩，解得1,1x y ==， 所以||1x yi i +=+==B.【点睛】本题主要考查了复数相等的充要条件，以及复数模的计算，其中解答中熟记复数相等的充要条件和复数模的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.已知(3)(1)z m m i =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是A. (31)-，B. (13)-， C. (1,)+∞D.(3)-∞-，【答案】A 【解析】 试题分析：要使复数z 对应的点在第四象限,应满足30{10m m +>-<，解得31m -<<，故选A.【考点】 复数的几何意义【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）组即可． 复数z ＝a ＋bi复平面内的点Z （a ，b ）（a ，b∈R）．复数z ＝a ＋bi （a ，b∈R）平面向量OZ .【此处有视频，请去附件查看】3.已知()()231f x x xf '=+，则()2f '-=（ ） A. 1 B. 2C. 4D. 8【答案】A 【解析】 【分析】先求出()()231f x x f +''=，令1x =，求出()1f '后，导函数即可确定，再求()2f '． 【详解】()()231f x x f +''=，令1x =，得()()1231f f =+''，()11f '=-， ∴()23f x x '=-． ∴()21f '=． 故选A ．【点睛】本题考查函数与导数，求导公式的应用及函数值求解．本题求出()1f '是关键步骤．4.已知(1)1f '=，0(13)(1)lim x f x f x∆→+∆-∆等于（ ）A. 1B. -1C. 3D.13【答案】C 【解析】 【分析】根据导数概念，得到00(13)(1)(13)(1)lim 3lim 3(1)3x x f x f f x f f x x∆→∆→+∆-+∆-'==∆∆，即可求出结果.【详解】因为(1)1f '=，所以00(13)(1)(13)(1)lim 3lim 3(1)33x x f x f f x f f x x∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆.故选C【点睛】本题主要考查导数的概念，熟记导数的概念即可，属于常考题型.5.函数()ln xf x x=，则（ ） A. e x =为函数()f x 的极大值点 B. e x =为函数()f x 的极小值点C. 1e x =为函数()f x 的极大值点 D. 1ex =为函数()f x 的极小值点【答案】A 【解析】()211'nxf x x-=，故当0x e <<时函数单调递增，当x e >时，函数单调递减，故x e =为函数的极大值点．6.函数2()(0,0)f x ax bx a b =+>>在点(1,(1))f 处的切线斜率为2，则8a bab+的最小值是（ ） A. 10 B. 9C. 8D. 【答案】B 【解析】对函数求导可得，()'2.f x ax b =+根据导数的几何意义，()'122f a b =+=，即b1.2a += 8a b ab +=81b a +=(81b a +)·b (2a +)=8a b 2b a +，当且仅当228a b 2a b b a +=⎧⎪⎨=⎪⎩即1343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，取等号.所以8a b ab +最小值是9.故选B.点睛：本题主要考查导数的几何意义，求分式的最值结合了重要不等式，“1”的巧用，注意取等条件7.若函数()1ln f x x ax x=++在[)1,+∞上是单调函数，则a 的取值范围是( ) A. 1(,0][,)4-∞⋃+∞ B. 1(,][0,)4-∞-⋃+∞C. 1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. (],1-∞【答案】B 【解析】 【分析】由求导公式和法则求出()'f x ，由条件和导数与函数单调性的关系分类讨论，分别列出不等式进行分离常数，再构造函数后，利用整体思想和二次函数的性质求出函数的最值，可得a 的取值范围．【详解】由题意得，()211'f x a x x=+-， 因为()f x 在[)1,+∞上是单调函数，所以()'0f x ≥或()'0f x ≤在[)1,+∞上恒成立， 当()'0f x ≥时，则2110a x x+-≥在[)1,+∞上恒成立， 即211a x x≥-， 设()221111124g x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，因为[)1,x ∈+∞，所以(]10,1x∈， 当11x=时，()g x 取到最大值为0， 所以0a ≥； 当()'0f x ≤时，则2110a x x+-≤在[)1,+∞上恒成立， 即211a x x≤-，设()221111124g x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，因为[)1,x ∈+∞，所以(]10,1x∈， 当112x =时，()g x 取到最小值为14-， 所以14a ≤-，综上可得，14a ≤-或0a ≥，所以数a 的取值范围是][1,0,4⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭． 本题选择B 选项.【点睛】本题主要考查导数研究函数的的单调性，恒成立问题的处理方法，二次函数求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.设点P 是曲线335y x =-+上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ） A. 203π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B. 2023πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，， C. 223ππ⎛⎤⎥⎝⎦， D.233ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【答案】B 【解析】 【分析】求导后通过导数的解析式确定导数的取值范围，再根据函数的导数就是函数在此点的切线的斜率，求出倾斜角的取值范围【详解】23y x =-≥'tan α∴≥02πα∴≤<或23παπ≤<则角α的取值范围为2023πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，， 故选B【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，求导后解得直线的倾斜角与斜率，属于基础题。

9.若函数2()ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是（ ） A. (,2]-∞-B. 1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C. 12,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭D.(2,)-+∞【答案】D 【解析】 【分析】先将函数2()ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭内存在单调递增区间，转化为1()20f x ax x '=+>在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭上有解，再转化为min 212()a x >-，进而可求出结果. 【详解】因为2()ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭内存在单调递增区间，所以1()20f x ax x '=+>在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭上成立， 即212a x >-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭上有解，因此，只需212412a >-=-⎛⎫⎪⎝⎭，解得2a >-.故选D【点睛】本题主要考查由导数在某区间内的单调性求参数的问题，只需对函数求导，利用导数的方法研究函数单调性即可，属于常考题型.10.用数学归纳法证明：“(1)(2)()n n n n ++⋯+=213(21)nn ⋅⋅-”.从“n k =到1n k =+”左端需增乘的代数式为（ ）A. (21)(22)k k ++B. 2(21)k +C.211k k ++ D.231k k ++ 【答案】B 【解析】 【分析】分别写出当n k =和当1n k =+时，左端的式子，两式相除即可得出结果. 【详解】当n k =时，左端(1)(2)()k k k k =++⋯+；当1n k =+时，左端(2)(3)()(1)(11)k k k k k k k k =++⋯++++++， 所以左端增乘的代数式(2)(3)()(21)(22)2(21)(1)(2)()k k k k k k k k k k k ++⋯+++==+++⋯+.故选B【点睛】本题主要考查数学归纳法，会分析式子的增量即可，属于常考题型.11.由0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成没有重复数字且能被5整除的5位数的个数是（ ） A. 144 B. 192C. 216D. 240【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，满足条件的五位数，个位数字只能是0或5，分别求出个位数字是0或5时，所包含的情况，即可得到结果.【详解】因为由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字且能被5整除的5位数，个位数字只能是0或5，万位不能是0；当个位数字是0时，共有45120A =种可能；当个位数字是5时，共有134496A A =种情况； 因此，由0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成没有重复数字且能被5整除的5位数的个数是12096216+=个. 故选C【点睛】本题主要考查排列的问题，根据特殊问题优先考虑的原则，即可求解，属于常考题型.12.已知函数1()ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】利用特殊值，对函数图像进行排除，由此得出正确选项.【详解】由于12201112ln 1ln 2222f ⎛⎫==> ⎪⎝⎭---，排除B 选项.由于()()2222,23f e f e e e ==--，()()2f e f e >，函数单调递减，排除C 选项.由于()10010020101f e e =>-，排除D 选项.故选A.【点睛】本小题主要考查已知具体函数的解析式，判断函数的图像，属于基础题.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16.0分）答案填入答题卡中13.复数21iz i +=-（i 为虚数单位）的共轭复数是__________． 【答案】1322i -【解析】 【分析】先由复数的除法运算化简z ，再根据共轭复数的概念，即可得出结果. 【详解】因为2(2)(1)13131(1)(1)222i i i i z i i i i ++++====+--+， 所以，其共轭复数为1322i -. 故答案为1322i - 【点睛】本题主要考查复数的除法运算，以及共轭复数，熟记除法运算法则，与共轭复数的概念，即可求解，属于常考题型.14.若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________． 【答案】2 【解析】分析：先根据复数的除法运算进行化简，再根据复数实部概念求结果. 详解：因为i 12i z ⋅=+，则12i2i iz +==-，则z 的实部为2. 点睛：本题重点考查复数相关基本概念，如复数+i(,)a b a b R ∈的实部为a 、虚部为b 、模(,)a b 、共轭复数为i a b -.15.在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科（3门理科学科，3门文科学科）中选择3门学科参加等级考试，小丁同学理科成绩较好，决定至少选择两门理科学科，那么小丁同学的选科方案有__________种． 【答案】10 【解析】 【分析】分类讨论：选择两门理科学科，一门文科学科；选择三门理科学科，即可得出结论．【详解】选择两门理科学科，一门文科学科，有2133C C 9=种；选择三门理科学科，有1种，故共有10种． 故答案为：10．【点睛】本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．16.定义在()0,+∞上的函数()f x 满足()210x f x '+>，()15f =，则不等式()14f x x<+的解集为__________． 【答案】()0,1 【解析】()0,1由()210x f x '+>，得0>，设()()14g x f x x =--，则()()21g x f x x '='+.故函数()g x 在()0,+∞上单调递增，又()10g =，故()0g x <的解集为()0,1，即()14f x x<-的解集为()0,1.点睛：由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.本题中只需构造函数()()14g x f x x=--，求导得到单调性，进而将不等式转化为()0g x <求解即可.三、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24.0分）答案填入答题卡中17.已知函数2()()x x f x e e a a x =--（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围． 【答案】（1）见解析（2）34[2e ,1]- 【解析】试题分析：（1）先求函数导数()()()2xxf x e a e a =+-'，再按导函数零点讨论：若0a =，无零点，单调；若0a >，一个零点ln x a =，先减后增；若0a <，一个零点ln 2a x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，先减后增；（2）由单调性确定函数最小值：若0a =，满足；若0a >，最小值为()2ln ln 0f a a a =-≥，即1a ≤；若0a <，最小值为23ln ln ?0242a a f a ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--≥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即342a e ≥-，综合可得a 的取值范围为342,1e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.试题解析：（1）函数()f x 的定义域为(),-∞+∞，()()()2222x x x x f x e ae a e a e a =--=+-'，①若0a =，则()2x f x e =，在(),-∞+∞单调递增. ②若0a >，则由()0f x '=得ln x a =.当(),ln x a ∈-∞时，()0f x '<；当()l n ,x a∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(),ln a -∞单调递减，在()ln ,a +∞单调递增.③若0a <，则由()0f x '=得ln 2a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 当,ln 2a x ⎛⎫⎛⎫∈-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '<；当ln ,2a x ⎛⎫⎛⎫∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '>，故()f x 在,ln 2a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减，在ln ,2a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递增. （2）①若0a =，则()2xf x e =，所以()0f x ≥. ②若0a >，则由（1）得，当ln x a =时，()f x 取得最小值，最小值为()2ln ln f a a a =-.从而当且仅当2ln 0a a -≥，即1a ≤时，()0f x ≥.③若0a <，则由（1）得，当ln 2a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，()f x 取得最小值，最小值为23ln ln 242a a f a ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.从而当且仅当23ln 042a a ⎡⎤⎛⎫--≥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即342a e ≥-时()0f x ≥.综上，a 的取值范围为342,1e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.18.己知函数()()0b f x ax c a x=++>的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-. (Ⅰ)用a 表示出,b c ；(Ⅱ)若()ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围； (Ⅲ)证明: 111123n++++>()()()ln 1121n n n n ++≥+． 【答案】（Ⅰ）1b a =-,12c a =-；（Ⅱ）1,.2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（III ）见解析.【解析】试题分析：（1）通过函数的导数，利用导数数值就是切线的斜率，切点在切线上，求出,b c 即可；（2）利用()ln f x x ≥，构造函数()()ln g x f x x =-，问题可转化为()()ln 0g x f x x =-≥在[1,)+∞上恒成立，利用导数求出函数[1,)+∞上最小值大于0，即可求出a 的取值范围；（3）由（1）可知12a ≥时，()ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立，则当12a =时，11()ln 2x x x-≥在[1,)+∞上恒成立，对不等式的左侧每一项裂项，然后求和，即可推出要证的结论；或利用数学归纳法的证明步骤，证明不等式成立即可．试题解析：（1）2()b f x a x=-'，则有(1)0{(1)1f a b c f a b =++==-=，解得1{12b a c a =-=-， （2）由（1）知，1()12a f x ax a x-=++-， 令[)21()()ln 12ln ,1,a g x f x x ax a x x x -=-=++--∈+∞， 则22221(1)()11(1)(1)0,()a a x x a ax x a a g g x a x x xx -------==--='=，①当102a <<时，11a a ->，若11a x a-<<，则()0,()g x g x <'是减函数，所以()(1)0g x g <=， 即()ln f x x <，故()ln f x x ≥在[)1,+∞上不恒成立． ②当12a ≥时，11a a-≤． 若1x >，则()0,()g x g x >'是增函数，所以()(1)0g x g >=，即()ln f x x >，故当1x ≥时，()ln f x x ≥．综上所述，所求a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． （3）解法一：由（2）知：当12a ≥时，有()ln (1)f x x x ≥≥， 令12a =，有11()()ln (1)2f x x x x x =-≥≥，且当1x >时，11()ln 2x x x ->． 令1k x k +=，有111111ln (1)(1)2121k k k k k k k k +-⎡⎤⎡⎤<-=+--⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦， 即111ln(1)ln (),1,2,3,,21k k k n k k +-<+=-．将上述n 个不等式依次相加得11111ln(1)()2232(1)n n n +<++++++， 整理得1111ln(1)232(1)n n n n ++++>+++． 解法二：用数学归纳法证明．（1）当1n =时，左边=1，右边=1ln 214+<，不等式成立． （2）假设n k =时，不等式成立，就是、 1111ln(1)232(1)k k k k ++++>+++． 那么1111121ln(1)ln(1)2312(1)12(1)k k k k k k k k k ++++++>+++=++++++． 由（2）知：当12a ≥时，有()ln (1)f x x x ≥≥， 令12a =，有11()()ln (1)2f x x x x x =-≥≥．令21k x k +=+，得：1212()ln ln(2)ln(1)2121k k k k k k k k +++-≥=+-++++， ∴21ln(1)ln(2)2(1)2(2)k k k k k k ++++≥++++，∴111111ln(2)2312(2)k k k k k ++++++>++++． 这就是说，当1n k =+时，不等式也成立．根据（1）和（2），可知不等式对任何*n N ∈都成立．考点：函数的恒成立；利用导数在闭区间上函数的最值；领用导数研究曲线上某点切线方程；数学归纳法及数列求和．【方法点晴】本题主要考查了函数与导数的关系、曲线切线方程的求解、函数恒成立问题的应用、同时涉及到累加法与裂项法的应用、数学归纳法的应用等知识，知识综合能力较强，方法多样、思维量与运算大，属于难题，需要仔细审题、认真解答，同时着重考查了转化与化归思想及分类讨论思想的应用，本题的解答中，利用()ln f x x ≥，构造函数()()ln g x f x x =-，问题可转化为()()ln 0g x f x x =-≥在[1,)+∞上恒成立，利用导数求出函数[1,)+∞上最小值大于0，即可求出a 的取值范围；第三问中可对不等式的左侧每一项裂项，然后求和，即可推出要证的结论；或利用数学归纳法的证明步骤，证明不等式成立即可．。