四川省广安市2021-2022高二数学下学期期末考试试题 理(含解析)

广安市2021-2022高二下学期期末考试数学（理科）试卷注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．总分150分．考试时间120分钟．2．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0．5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上．并检查条形码粘贴是否正确．3．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0．5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．第I 卷（选择题60分）一、选择题（每小题5分，共12小题60分．每个小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1.复数212i i -+＝（） A. 4355i -+B. ﹣iC. 4355i -- D. i【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的运算法则即可得出．【详解】复数()()()()212251212125i i i ii i i ---===++-i ． 故选：D ．【点睛】本题考查了复数的除法运算法则，考查了运算能力，属于基础题．2.已知变量x ，y 呈现线性相关关系，回归方程为ˆ1-2 yx =，则变量x ，y 是（） A. 线性正相关关系B. 线性负相关关系C. 由回归方程无法判断其正负相关关系D. 不存在线性相关关系【答案】B【解析】 【分析】根据变量x ，y 的线性回归方程的系数b ＜0，判断变量x ，y 是线性负相关关系． 【详解】根据变量x ，y 的线性回归方程是y =1﹣2x ， 回归系数b =-2＜0，所以变量x ，y 是线性负相关关系． 故选：B ．【点睛】本题考查了由线性回归方程判断变量是否正负相关问题，是基础题目．3.随机变量()~1,4X N ，若()20.2p x ≥=，则()01p x ≤≤为（ ） A. 0.2 B. 0.3C. 0.4D. 0.6【答案】B 【解析】分析：根据正态分布的整体对称性计算即可得结果. 详解：(0)(2)0.2,P X P X ≤=≥=10.22(01)0.3,2P X -⨯∴≤≤== 故选B.点睛：该题考查的是有关正态分布的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有正态分布曲线的对称性，从而求得结果.4.用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设（ ） A. 三个内角都不大于60° B. 三个内角至多有一个大于60° C. 三个内角都大于60° D. 三个内角至多有两个大于60° 【答案】C 【解析】 【分析】根据命题“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”的否定是：三角形的三个内角都大于60°。

【详解】∵用反证法证明在一个三角形中，至少有一个内角不大于60°，∴第一步应假设结论不成立，即假设三个内角都大于60°.故选：C.【点睛】反证法即是通过命题的反面对错判断正面问题的对错，反面则是假设原命题不成立。

5.某班4名同学参加数学测试，每人通过测试的概率均为12，且彼此相互独立，若X为4名同学通过测试的人数，则D（X）的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】A【解析】【分析】由题意知X～B（4，12），根据二项分布的方差公式进行求解即可．【详解】∵每位同学能通过该测试的概率都是12，且各人能否通过测试是相互独立的，∴X～B（4，12），则X的方差D（X）＝412⨯⨯（112-）＝1，故选：A．【点睛】本题主要考查离散型随机变量的方差的计算，根据题意得到X～B（4，12）是解决本题的关键．6. 根据资阳市环保部门的空气质量监测资料表明，资阳市一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6.若资阳市某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A. 0.45B. 0.6C. 0.75D. 0.8 【答案】D【解析】试题分析：由题意得:所求概率为0.6=0.8.0.75故选D ． 考点：条件概率7.如图，由函数()xf x e e =-的图象，直线2x =及x 轴所围成的阴影部分面积等于（ ）A. 22e e -B. 221e e --C. 22e e -D. 221e e -+【答案】A 【解析】试题分析：因为，()x f x e e =-=0时，x=1，所以，由函数()xf x e e =-的图象，直线2x =及x 轴所围成的阴影部分面积等于2211()[]x x e e dx e ex -=-=⎰22e e -，故选A 。

考点：本题主要考查定积分的几何意义及定积分的计算。

点评：简单题，图中阴影面积，是函数在区间[1,2]的定积分。

8. 我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼－15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( ) A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 48种【答案】C 【解析】试题分析：先将甲、乙两机看成一个整体，与另外一机进行全排列，共有种排列方法，且留有三个空；再从三个位置中将丙、丁两机进行排列，有种方法；由分步乘法计数原理，得不同的着舰方法有种.考点：排列组合.9.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -,且12CA CC CB ==，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（ ）5 B.5325D.35【答案】A 【解析】【详解】设CA ＝2，则C (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,0,1)，C 1(0,2,0)，B 1(0,2,1)，可得1AB ＝(－2,2,1)，1BC ＝(0,2，－1)，由向量的夹角公式得cos 〈1AB ，1BC 〉＝554410415⨯＋－＝＝＋＋＋＋10.已知函数1()ln xf x x ax-=+，若函数()f x 在[1∞,+）上为增函数，则正实数a 的取值范围为（） A. ()1,+∞ B. [1,)+∞ C. ()0,1D. (01]，【答案】B 【解析】 【分析】求f （x ）的导数f ′（x ），利用f ′（x ）判定f （x ）的单调性，求出f （x ）的单调增区间，即得正实数a 的取值范围． 【详解】∵f （x ）1xax-=+lnx （a ＞0）， ∴f ′（x ）21ax ax-=（x ＞0）， 令f ′（x ）＝0，得x 1a =，∴函数f （x ）在（0，1a ]上f ′（x ）≤0，在[1a ，+∞）上f ′（x ）≥0，∴f （x ）在（0，1a ]上是减函数，在[1a，+∞）上是增函数；∵函数f （x ）在区间[1，+∞）内是增函数， ∴1a≤1，又a ＞0，∴a ≥1， ∴实数a 的取值范围是[1，+∞）； 故选：B ．【点睛】本题考查了利用导数来研究函数的单调性问题，解题时应根据导数的正负来判定函数的单调性，利用函数的单调区间来解答问题，是中档题．11.若52345012345(23)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则0123452345a a a a a a +++++为（）A. －233B. 10C. 20D. 233【答案】A 【解析】 【分析】对等式两边进行求导，当x ＝1时，求出a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5的值，再求出a 0的值，即可得出答案．【详解】对等式两边进行求导，得： 2×5（2x ﹣3）4＝a 1+2a 2x +3a 3x 2+4a 4x 3+5a 5x 4， 令x ＝1，得10＝a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5； 又a 0＝（﹣3）5＝﹣243，∴a 0+a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5＝﹣243+10＝﹣233． 故选：A ．【点睛】本题考查了二项式定理与导数的综合应用问题，考查了赋值法求解二项展开式的系数和的方法，利用导数得出式子a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5是解题的关键．12.对于各数互不相等的正数数组（i 1，i 2，…，i n ）（n 是不小于2的正整数），如果在p ＜q 时有i p ＜i q ，则称“i p 与i q ”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”．例如，数组（2，4，3，1）中有顺序“2，4”、“2，3”，其“顺序数”等于2．若各数互不相等的正数数组（a 1，a 2，a 3，a 4，a 5）的“顺序数”是4，则（a 5，a 4，a 3，a 2，a 1）的“顺序数”是（ ）A. 7B. 6C. 5D. 4【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，找出一个各数互不相等的正数数组（a 1，a 2，a 3，a 4，a 5）的“顺序数”是4的数组，再根据此条件判断出（a 5，a 4，a 3，a 2，a 1）的“顺序数”．【详解】根据题意，各数互不相等的正数数组（a 1，a 2，a 3，a 4，a 5）的“顺序数”是4， 假设a 1＜a 2，a 1＜a 3，a 1＜a 4，a 1＜a 5，且后一项都比前一项小， 因此可以判断出a 2＞a 3，a 3＞a 4，a 4＞a 5， 则（a 5，a 4，a 3，a 2，a 1）的“顺序数”是6， 故选：B ．【点睛】本题主要考查归纳推理、不等式的性质，考查了学生的理解能力及分析问题解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在答题卡上相应的横线上）13.观察下列不等式：①213122+<； ②221151233++<；③222111712344+++<；…照此规律，第五个不等式为_____．【答案】2222211111111234566+++++< 【解析】 【分析】由题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性：左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n +1的平方，右边分式中的分子与不等式序号n 的关系是2n +1，分母是不等式的序号n +1，得出第n 个不等式，即可得到通式，再令n ＝5，即可得出第五个不等式.【详解】由已知中的不等式 121322+＜，122115233++＜，… 得出左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n +1的平方 右边分式中的分子与不等式序号n 的关系是2n +1，分母是不等式的序号n +1， 故可以归纳出第n 个不等式是 1()222111212311n n n -++++++＜，（n ≥2）， 所以第五个不等式为1222221111111234566+++++＜ 故答案为：1222221111111234566+++++＜【点睛】本题考查归纳推理，解题的关键是根据所给的三个不等式得出它们的共性，由此得出通式，属于中档题.14.371()x x+的展开式中5x 的系数是 .（用数字填写答案） 【答案】35 【解析】由题意，二项式371()x x+展开的通项372141771()()r rr r r r T C x C x x--+==，令2145r -=，得4r =，则5x 的系数是4735C =.考点：1.二项式定理的展开式应用.15.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为__________． 【答案】81125【解析】该同学通过测试的概率为22333381·0.6?0.4?0.6125C C +=，故答案为81125.16.若存在两个正实数x ，y 使等式()()22ln ln 0x m y ex y x +--=成立，（其中 2.71828...e =）则实数m 的取值范围是________. 【答案】()2,0,e⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭ 【解析】()()22ln ln x m ex y y x =--， ()()2ln ln 11ln 22ex y y x y y e m x x x --⎛⎫==-⋅⋅ ⎪⎝⎭ ，设0yt x => ，设()ln 2t g t e t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，那么()1111ln ln 2222t e g t t e t t t ⎛⎫=-+-⋅=-+- ⎪⎝'⎭ ， ()2212022e t e g t t t t'+=-'=--<恒成立，所以()g t '是单调递减函数，当t e =时， ()0g e '=，当()0,t e ∈时， ()0g t '> ，函数单调递增，当(),t e ∈+∞ ， ()0g t '< ，函数单调递减，所以()g t 在t e =时，取得最大值， ()2e g e =，即12em ≤ ，解得： 0m < 或2m e≥ ，写出区间为()2,0,e⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭，故填： ()2,0,e⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭.三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答时在答题卡上相应题号下应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分17.已知函数()325f x x ax bx ＝＋＋＋，曲线()y f x ＝在点()()11P f ，处的切线方程为31y x ＝＋.（1）求a b ，的值；（2）求()y f x ＝在[]3,1－上的最大值． 【答案】（1）2a ＝，4b ＝－；（2）13 【解析】 【分析】(1)依题意，由()f 14＝，得到a b 2＋＝－，再由()f'13＝，得到2a b 0＋＝，联立方程组，即可求解；(2)由(1)，求得()()()f'x 3x 2x 2＝－＋，利用导数求得函数的单调性与极值，即可求得函数的最大值，得到答案．【详解】(1)依题意可知点()()P 1f 1，为切点，代入切线方程y 31x ＝＋可得，()f 13114⨯＝＋＝，所以()f 1154a b ＝＋＋＋＝，即b 2a ＋＝－， 又由()32f x 5x ax bx ＝＋＋＋，则()2f'x 32x b x a ＝＋＋， 而由切线y 31x ＝＋的斜率可知()f'13＝，∴32b 3a ++＝，即2b 0a +＝，由220a b a b +=-⎧⎨+=⎩，解得24a b =⎧⎨=-⎩，∴a 2＝，b 4＝－．(2)由(1)知()32f x x 2x 4x 5＝－++，则()()()2f x 3x 4x 43x 2x 2+'+＝－＝－， 令()f'x 0＝，得2x 3=或x 2＝－， 当x 变化时，()f x ，()f'x 的变化情况如下表：∴()f x 的极大值为()f 213－＝，极小值为295f 327⎛⎫=⎪⎝⎭， 又()f 38－＝，()f 14＝，所以函数()f x 在[]3,1－上的最大值为13． 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，以及利用导数求解函数的单调性与最值问题，其中解答中熟记导函数与原函数的单调性与极值（最值）之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．18.为了促进学生的全面发展，某市教育局要求本市所有学校重视社团文化建设，202X 年该市某中学的某新生想通过考核选拨进入该校的“电影社”和“心理社”，已知该同学通过考核选拨进入这两个社团成功与否相互独立根据报名情况和他本人的才艺能力，两个社团都能进入的概率为124，至少进入一个社团的概率为38，并且进入“电影社”的概率小于进入“心理社”的概率（Ⅰ）求该同学分别通过选拨进入“电影社”的概率1p 和进入心理社的概率2p ； （Ⅱ）学校根据这两个社团的活动安排情况，对进入“电影社”的同学增加1个校本选修课学分，对进入“心理社”的同学增加0.5个校本选修课学分．求该同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于1分的概率．【答案】（1）121614p p ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（2）16【解析】 【分析】（Ⅰ）利用相互独立事件概率乘法公式和对立事件概率计算公式列出方程组，能求出结果． （Ⅱ）利用独立事件的概率乘法公式分别求得分数为1和1.5时的概率，再利用互斥事件概率计算公式求得结果． 【详解】（Ⅰ）根据题意得：()()121212431118p p p p ⎧=⎪⎪⎨⎪---=⎪⎩，且p 1＜p 2， ∴p 116=，p 214=． （Ⅱ）令该同学在社团方面获得校本选修课加分分数为ξ，P （ξ＝1）＝（114-）1168⨯=， P （ξ＝1.5）1114624=⨯=，∴该同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于1分的概率：p 1118246=+=． 【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式、互斥事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.如图所示,ABCD 是边长为3的正方形,DE ⊥平面,//,3,ABCD AF DE DE AF BE =与平面ABCD 所成角为60︒.(Ⅰ)求证：AC ⊥平面BDE ；(Ⅱ)设点M 是线段BD 上一个动点,试确定点M 的位置,使得//AM 平面BEF ,并证明你的结论．【答案】(Ⅰ)见解析； (Ⅱ) 13BM BD =. 【解析】试题分析: (1)由线面垂直的判定定理证明; (2)建立空间直角坐标系D xyz -, 写出各点坐标, 由于点M 在线段BD 上,所以设(,,0)(032)M t t t ≤≤ ,求出平面BEF 的法向量n ,由0AM n ⋅= ,求出点M 的坐标.试题解析: (Ⅰ)证明：∵DE⊥平面ABCD,∴DE AC⊥,∵ABCD是正方形,∴AC BD⊥,又DE BD D⋂＝,∴AC⊥平面BDE.(Ⅱ)解：因为,,DA DC DE两两垂直,所以建立空间直角坐标系D xyz-如图所示, 因为BE与平面ABCD所成角为60︒,即60DBE∠=︒,所以3EDDB=,由3AD=,可知36,6DE AF==则()((()300,3,06,0,036,3,30A F E B，，，，，,所以()(03,6,30,26BF EF=-=-，，,设平面BEF的法向量(),,n x y z=,则{n BFn EF⋅=⋅=,即360{360y zx z-+=-=.令6z=,(4,2,6n=,又点M是线段BD上一动点,设()(,,0032M t t t≤≤,则()3,,0AB t t=-因为//AM平面BEF,所以0AM n⋅=,即()4320t t-+=解得2t=.此时,点M的坐标为(2,2,0)即当13BM BD=时,//AM平面BEF.20.某研究性学习小组为了调查研究学生玩手机对学习的影响，现抽取了30名学生，得到数据如表：已知在全部的30人中随机抽取1人，抽到不玩手机的概率为13. （1）请将2×2列联表补充完整；（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为玩手机对学习有影响；（3）现从不玩手机，学习成绩优秀的8名学生中任意选取两人，对他们的学习情况进行全程跟踪，记甲、乙两名学生被抽到的人数为X ，求X 的分布列和数学期望． 附：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++．【答案】（1）填表见解析（2）能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为玩手机对学习有影响（3）见解析 【解析】 【分析】（1）由题意30人中，不玩手机的人数为10，由题意能将2×2列联表补充完整．（2）求出K 2230(42816)12182010⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯10＞7.879，从而能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为玩手机对学习有影响．（3）由题意得X 的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和E （X ）．【详解】（1）由题意30人中，不玩手机的人数为：3013⨯=10， 由题意将2×2列联表补充完整如下：（2）K 2230(42816)12182010⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯10＞7.879，∴能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为玩手机对学习有影响． （3）由题意得X 的可能取值为0，1，2，P （X ＝0）26281528C C ==，P （X ＝1）11262837C C C ==， P （X ＝2）2228128C C ==，∴X 的分布列为：∴E （X ）＝01528⨯+131127282⨯+⨯=． 【点睛】本题考查独立性检验的应用，考查概率、离散型随机变量的分布列及数学期望的求法及应用，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.已知函数2()ln 2a f x x x x x =--()a R ∈． （1）若曲线()y f x =在e x =处切线的斜率为1-，求此切线方程；（2）若()f x 有两个极值点12,x x ，求a 的取值范围，并证明：1212x x x x >+．【答案】（1）0x y +=；（2）10,e ⎛⎫⎪⎝⎭,证明见解析.【解析】 【分析】（1）()y f x =在x e =处切线的斜率为1-，即()'1f e =-，得出2a e=，计算f(e)，即可出结论（2）①()f x 有两个极值点12,x x ，得()'ln f x x ax =-=0有两个不同的根，即ln xa x= 有两个不同的根，令()ln xg x x=，利用导数求其范围，则实数a 的范围可求； ()f x 有两个极值点12,x x ，1122ln x -ax =0ln x -ax =0⎧⎨⎩利用()g x 在(e,+∞)递减，()122122ln x +x ln x x +x x <，()1212ln x +x x +x a <，()1212ln x x x +x a =，即可证明【详解】（1）∵()'ln f x x ax =-，∴()'1f e =-，解得2a e=， ∴，故切点为， 所以曲线在处的切线方程为．（2）()'ln f x x ax =-，令()'ln f x x ax =-=0，得ln xa x=． 令()ln x g x x=，则()21ln 'xg x x -=，且当时，；当时，；时，． 令，得，且当时，；当时，．故在递增，在递减，所以． 所以当时，有一个极值点；时，有两个极值点；当时，没有极值点．综上，的取值范围是．（方法不同，酌情给分） 因为是的两个极值点，所以1122ln x -ax =0ln x -ax =0⎧⎨⎩即1122ln x =ax ln x =ax ⎧⎨⎩…①不妨设，则，，因为在递减，且，所以()122122ln x +x ln x x +x x <，即()1212ln x +x x +x a <…②．由①可得()()1212ln x +x x +x a =，即()1212ln x x x +x a =，由①，②得()()12121212ln x +x ln x x x +x x +x <，所以1212x x x +x >．【点睛】本题主要考察导数在切线，极值方向的应用，主要理清导数的几何意义，导数和极值之间的关系进行转化，在做题的过程中，适当选取参变分离有时候能简化分类讨论的必要。