幂函数及应用全部
初三函数全部知识点总结
初三函数全部知识点总结一、函数的概念1. 函数的定义函数是一种对应关系，它把一个自变量的值对应到一个因变量的值上。
一般地，函数f(x)可以表示为y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量。
2. 自变量与因变量自变量是函数中独立变化的变量，通常用x表示；因变量是根据自变量的取值而定的变量，通常用y表示。
3. 定义域和值域定义域是自变量的所有可能取值的集合；值域是因变量的所有可能取值的集合。
4. 函数的图像函数的图像是函数在平面直角坐标系中的点的集合。
二、函数的表示方法1. 用一个通项公式表示函数函数f(x)有时可以用一个表达式y=f(x)表示。
2. 用函数的图像表示函数函数的图像是函数在平面直角坐标系中的点的集合。
三、常见函数及其性质1. 线性函数线性函数是具有形式y=kx的函数，其中k为常数。
2. 幂函数幂函数是具有形式y=ax^n的函数，其中a和n为常数。
3. 指数函数指数函数是具有形式y=a^x的函数，其中a为正数且不等于1。
4. 对数函数对数函数是指数函数的逆运算。
5. 三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
四、函数的性质1. 奇偶性如果对于函数f(x)，有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数；如果对于函数f(x)，有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。
2. 增减性如果函数f(x)在区间(a,b)上有f'(x)>0，那么f(x)在区间(a,b)上是增函数；如果函数f(x)在区间(a,b)上有f'(x)<0，那么f(x)在区间(a,b)上是减函数。
3. 最值和零点函数在定义域内可能有最大值、最小值和零点。
4. 对称性有关函数的图像可能有关于y轴对称、关于x轴对称、或者关于原点对称的性质。
五、函数的运算1. 基本函数的运算加减乘除四则运算和复合运算。
2. 复合函数复合函数是一个函数作为另一个函数的自变量而得到的函数。
3. 函数的反函数函数的反函数是满足f(f^(-1)(x))=x和f^(-1)(f(x))=x的函数。
幂函数 于凤雪
小结
１.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义, 并且函数图象都通过点(1,1) 2.>0时,图象都经过点（0，0）和（1，1）， 在(0,+∞)函数是增函数. 3.<0时, 图象都经过点（1，1）图象 在(0,+∞)上是减函数;在第一象限内, 图象向上与Y轴无限地接近, 向右与X轴无限地接近.
目标达成：熟练掌握幂函数的图象与性质，
1、课本、导学案、典型题目本、 练习本、双色笔 2、分析错因，自纠学案 3、标记疑难，以备讨论
引入
我们先来看看几个具体的问题:
(1)如果张红买了每千克1元的蔬菜W千克,那么她需要支付 W元 P=———— p是w的函数
a² (2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积S=_____ S 是a的函数 a³ (3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V=______
展示 位置
前黑板 前黑板 前黑板 前黑板
展示 小组
6组 10组 9组 7组
点评
目标：
（1）点评对错、规 范(布局、书写)、思 路分析（步骤、易错 点），总结规律方法 用彩笔, （2）其它同学认真 倾听、积极思考,重 点内容记好笔记。有 不明白或有补充的要 大胆提出。 （3）力争全部达成 目标，A层多拓展、 质疑,B层注重总结， C层多整理，记忆。 科研小组成员首先要 质疑拓展。
(1)
yx
（1）都是函数；
（2）均是以自变量为底的幂； （3）指数为常数； （4）自变量前的系数为1; （5）幂前的系数也为1。
(2) y x2
y x3 (3)
(4) y x
1 2
(5)
y x 1
y x 的函数。 上述问题中涉及的函数，都是形如
高一数学知识点幂函数的总结
高一数学知识点幂函数的总结高一数学知识点幂函数的总结「篇一」不过作为集合大小的定义，我们希望能够比较任意两个集合的大小。
所以，对于任何给定的两个集合A和B，或者A比B大，或者B比A大，或者一样大，这三种情况必须有一种正确而且只能有一种正确。
这样的偏序关系被称为“全序关系”。
最后，新的定义必须保持原来有限集合间的大小关系。
有限集合间的大小关系是很清楚的，所谓的“大”，也就是集合中的元素更多，有五个元素的集合要比有四个元素的集合大，在新的扩充了的集合定义中也必须如此。
这个要求是理所当然的，否则我们没有理由将新的定义作为老定义的扩充。
经过精心的整理，有关“高一数学学习：集合大小定义的基本要求三”的内容已经呈现给大家，祝大家学习愉快!学好高中数学也需阅读积累阅读，在语文中要抓住精炼的或生动形象的词与句，而在数学中，则应抓住关键的词语。
比如在初二课本第一学期第21章第五节反比例函数性质的第一条：“当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限内，在每个象限内，自变量x逐渐增大时，y的值则随着逐渐减小。
&rdquo 高中历史;这句话中，关键词语是“在每个象限内”，反比例函数的图像为双曲线，而这个性质是对于其中某一分支而言，并不是对整个函数来说的。
所以在做题时，应注意到这一点。
从这一实例来看，我们不难发现阅读时抓住关键词语的重要性。
积累，在语文中有利于写作，在数学中有利于解题。
积累包括两方面：一、概念知识，二、错误的题目。
脑子中多一些概念就多了一些思考的方法，多了一些解题的突破口，在做较难的题目时，也就得心应手了。
积累错误的题目，指挑选一些自己平时易错或难懂的题目，记在本子上，在复习时，翻看这本本子就能更加清楚地了解自己在哪些方面还有所欠缺，应特别注意。
所以积累对学好数学起着极大的作用。
自主复习最好各科交替进行大部分区县都将实行全区统考，并将考生成绩进行大排队。
这次考试将成为考生填报高考志愿的重要参考依据。
一次函数、二次函数、幂函数模型的应用实例
2.5 t 3.5,
150 50(t 3.5), 3.5 t 6.5.
它的图象如图：
2
车速v(km/h)与时间t(h)的函数关系式为：
60, v 0,
50,
它的图象如图：
0 t 2.5, 2.5 t 3.5, 3.5 t 6.5.
思路分析： 完成全部任务的时间就是两组中需要用时较多的那组所 用时间，因此要想最快完成任务，两组所用时间之差应 为0或最小。
5
解：设x名工人制作课桌，(30 名x)工人制作椅子，
由题意知，一个工人制作一张课桌与制作一把椅子用时 之比为10：7，则一个工人制7张桌子和制作10把椅子所 用时间相等，不妨设为1个时间单位，那么
7 13
g(13)
200
1.18
10(30 13)
所以 t(13) 1.18
因为 t(12) t(13)
所以 x 1时3用时最少。
答：用13名工人制作课桌,17名工人制作椅子完成任务 最快。
8
3
练习： 某人如果将进货价为8元的商品按每件10元售出时
每天可销售50件,现在他采用提高价格销售,减少进货量 的办法增加利润,己知商品每件售价每提高1元,其日销 售量就减少5件,为使每天赚得的利润最大,该商品的定 价应为多少元?
为使每天赚得的利润最大,该商品的定价应为14元.
4
例3:某车间有30名木工，要制作200把椅子和100张课桌，已知 制作一张课桌与制作一把椅子的工时之比为10：7，问30名工 人应当如何分组（一组制作课桌，另一组制作椅子），才能保 证完成全部任务最快？
解函数应用题的方法和步骤： 1．审题:（1）设出未知量;（2）找出量与量的关系. 2．建摸:建立函数关系式. 3．求解:用数学方法解出未知量.
高一上学期全部知识点公式
高一上学期全部知识点公式一、数学1. 代数与函数- 一元一次方程：ax + b = 0- 二元一次方程组：- ax + by = c- dx + ey = f- 一次函数的表达式：y = kx + b- 二次函数的表达式：y = ax² + bx + c- 幂函数的表达式：y = axᵇ- 对数函数的表达式：y = logₐx- 指数函数的表达式：y = abˣ2. 三角学- 正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC- 余弦定理：c² = a² + b² - 2abcosC- 正切定理：tanA = a/b- 各角的和与差公式：- sin(A±B) = sinAcosB ± cosAsinB- cos(A±B) = cosAcosB ∓ sinAsinB- tan(A±B) = (tanA ± tanB)/(1 ∓ tanAtanB)3. 几何- 平行线间的性质：- 同位角相等- 内错角相等- 对顶角相等- 相似三角形的性质：- 对应角相等- 对应边成比例- 正方形的周长：4s- 正方形的面积：s²- 圆的周长：2πr- 圆的面积：πr²4. 概率与统计- 百分数：百分数 = 实际数量/总数量 × 100%- 平均数：平均数 = 总和/个数- 中位数：将一组数按大小排列后中间的数（偶数个数时取中间两个数的平均数）- 众数：一组数中出现最频繁的数值- 方差：方差 = Σ(xi - x)²/n- 标准差：标准差= √方差二、物理1. 运动学- 平均速度：v = Δx/Δt- 平均加速度：a = Δv/Δt- 自由落体运动：- 下落时间：t = √(2h/g)- 下落距离：h = 0.5gt²- 斜抛运动：- 水平位移：Δx = v₀xt- 垂直位移：Δy = v₀yt - 0.5gt²2. 力学- 牛顿第一定律：物体的静止状态或匀速直线运动状态保持不变，除非有外力作用- 牛顿第二定律：F = ma- 牛顿第三定律：作用力与反作用力大小相等，方向相反- 动能：动能 = 0.5mv²- 功：功= Fs cosθ3. 光学- 凸透镜成像公式：- 1/f = 1/v + 1/u- m = -v/u- 反射定律：入射角等于反射角，入射光线、法线和反射光线在同一平面上- 折射定律：入射角、折射角和法线在同一平面上，n₁sinθ₁= n₂sinθ₂三、化学1. 元素周期表- 元素符号：表示元素的缩写，如H表示氢，C表示碳- 原子序数：表示元素中原子的数量，如氢的原子序数为1 - 原子质量：表示元素中一个原子的质量，如氢的原子质量为1.00792. 化学方程式- 反应物与生成物的表示：如2H₂ + O₂ → 2H₂O表示氢气和氧气生成水- 反应物与生成物的摩尔比：如反应物的摩尔比为2:1，则生成物的摩尔比也为2:13. 化学计算- 摩尔质量计算：摩尔质量 = 质量/物质的量- 摩尔浓度计算：摩尔浓度 = 物质的量/溶液体积- 溶解度计算：溶解度 = 已溶解物质质量/溶液体积以上是高一上学期数学、物理和化学中的全部知识点公式。
幂函数指数函数对数函数的图像和性质
幂函数指数函数对数函数的图像和性质在数学中，幂函数，指数函数和对数函数是一类十分重要的函数，它们在各种领域都有着重要的应用，它们之间也有着千丝万缕的联系，而本文的主要重点就是分析它们的关系，以及它们的图像和性质。
首先，对于幂函数而言，它的定义域为实数集，值域也为实数集，其函数多项式形式为$f(x)=a^x(a>0,aeq 1)$其中a为指数，当a>1时，函数图像呈现出递增趋势，而当a<1时，函数则呈现出递减趋势。
此外，还可以确定的是，幂函数是一种可导函数，其导函数的形式为$f(x)=ln(a)a^x$ 。
接下来，我们来看看指数函数及其图像和性质，它的定义域也为实数集，值域也为实数集，其函数多项式形式为$f(x)=a^x(a>0)$其中a为指数，当a>1时，函数图像呈现出递增趋势，而当a<1时，函数则呈现出递减趋势。
此外，还可以确定的是，指数函数也是一种可导函数，其导函数的形式为$f(x)=a^xln(a)$可以看出，指数函数也是一种以连续变量为参数的可导函数。
最后，我们再来看看对数函数及其图像和性质，它的定义域也为实数集，值域也为实数集，其函数多项式形式为$f(x)=ln x$，可以看出，对数函数的图像呈右斜线形，它是一个单调函数，且为可导函数，其导函数的形式为$f(x)=frac{1}{x}$ 。
接下来，我们来看看三种函数之间的关系，第一，它们之间有着联系，即可以从一种函数通过定义变换到另外一种函数，其具体形式为$f(x)=a^x=ln(y)$，即从一个函数求另一个函数，从而将三种函数联系在一起；第二，它们之间也存在着双射，可以实现函数的双向转换；第三，它们的应用场景类似，都是应用于数量的变化趋势分析中，以及特定概率的分析等领域。
以上，就是有关幂函数、指数函数和对数函数的图像和性质以及它们之间的联系的全部内容，它们在数学中都有着重要的应用，因此，理解它们的关系以及图像和性质也是十分重要的。
六大基本初等函数图像及性质
WORD 格式整理版六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数）y =C （其中 C 为常数）；常数函数（ y C ）C 0yy Cy 0xO平行于 x 轴的直线定义域 R二、幂函数 y x ，x是自变量，是常数；y 11. 幂函数的图像：y x2y x2y x1O2.幂函数的性质；性质y x y x2y x3函数定义域R R R值域R[0,+ ∞ )R奇偶性奇偶奇单调性增[0,+ ∞) 增增(-∞ ,0]减公共点（ 1,1）C 0yOy轴本身定义域 Ry xy x3x1y x2[0,+ ∞ )[0,+ ∞ )非奇非偶增xy x 1{x|x ≠ 0}{y|y ≠ 0}奇(0,+∞) 减(-∞ ,0) 减WORD 格式整理版1）当 α 为正整数时，函数的定义域为区间为x ( ,)，他们的图形都经过原点，并当α >1 时在原点处与 x 轴相切。
且 α为奇数时，图形关于原点对称；α 为偶数时图形关于 y 轴对称；2）当 α 为负整数时。
函数的定义域为除去 x=0 的所有实数；3）当 α 为正有理数m时， n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞）， n 为奇数时函数的定义域为（ -n∞ ,+∞），函数的图形均经过原点和（ 1 ,1）；4）如果 m>n 图形于 x 轴相切，如果m<n,图形于 y 轴相切，且 m 为偶数时，还跟y 轴对称； m ， n均为奇数时，跟原点对称；5）当 α 为负有理数时， n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除 x=0 以外的一切实数。
三、指数函数 ya x ( x 是自变量 , a 是常数且 a0 ， a 1) ，定义域是 R ；[ 无界函数 ]1. 指数函数的图象 ：ya xyyya x(a 1)(0 a1)(0,1)y 1(0,1)y 1OxOx2. 指数函数的性质 ；性质y a x(a 1)y a x(0 a 1)函数定义域 R值域(0，+∞)奇偶性非奇非偶公共点过点 (0，1)，即 x0 时， y 1单调性 在（ ，）是增函数在（， ）是减函数1 ） 当 a 1时 函 数 为 单 调 增 , 当 0 a 1时函数为单调减；2 ） 不 论 x 为 何 值 , y 总 是 正 的 , 图 形 在 x 轴 上 方 ；3 ） 当 x0 时 , y1,所以它的图形通过(0,1) 点。
幂函数ppt课件全
(4)
1
y x2
(5)
y x1
21
y x2
(-2,4)
y x3
4
(2,4)
3
y=x
2
(-1,1) 1
(1,1)
1
y x2
-4
-2
2
4
6
y x 1 (-1,-1) -1
-2
-3 22
(-2,4)
4
y=x3 (2,4)
y=x2
3
y=x
1
y=x 2
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
… -8 -1 0 1 8 27 64 …
… / / 0 1 2 3 2…
y 8
y=x3
6
4
1
2
y=x 2
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
-2
-4
-6
17
-8
函数 y x3 的图像
定义域： R
值 域： R
奇偶性：在R上是奇函数
单调性：在R上是增函数
18
1
函数 y x 2 的图像
定义域：[0,)
2
1
2
所求的幂函数为y
x
1 2
.
10
练习3：已知幂函数f(x)的图像经过点（3，27）， 求证：f(x)是奇函数。
证明: 设所求的幂函数为y x 函数的图像过点(3，27)
27 3 ,即33 3
3
f (x) x3
f (x)的定义域为R， f (x) (x)3 x3
f (x) f (x)
f (x1) f (x2)
x1
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学科教师辅导讲义教学主任签字：学员编号： 年 级：高一 课时数：2课时 学员姓名： 张浩翔 辅导科目：数学 学科教师： 授课日期及时段 2017年2月11日教学目标 1、使学生理解和掌握幂函数的定义和性质以及函数的零点。
2、会用幂函数的性质和函数的零点解决简单的问题。
重点难点会用幂函数的性质和函数的零点解决简单的问题一、幂函数的定义一般地，函数y ＝x α叫做幂函数．其中x 是自变量，α是常数．[化解疑难] 1．幂函数的特征(1)以幂的底为自变量，指数为常数(高中阶段只学习指数为有理数的幂函数)； (2)x α前的系数为1，且只有一项． 2．指数函数与幂函数的辨析指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的底数a 为常数，指数为自变量；幂函数y ＝x α(α∈R )以幂的底为自变量，指数α为常数.：在同一坐标系中，试作出幂函数y ＝x ，y ＝x 12，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1的图象．[化解疑难]常见幂函数的图象与性质解析式y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝1xy ＝x 12图象定义域 R R R {x |x ≠0} [0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R {y |y ≠0} [0，＋∞) 奇偶性奇函数偶函数 奇函数奇函数 非奇非偶函数单调性在(－∞，＋∞)上单调递增在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增在(－∞，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减在[0，＋∞)上单调递增定点(1,1)[化解疑难]幂函数的性质归纳(1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． (2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸； 当0<α<1时，幂函数的图象上凸．(3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴；当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．[例1] (1)下列函数：①y ＝x 3；②y ＝⎝⎛⎭⎫12x；③y ＝4x 2；④y ＝x 5＋1；⑤y ＝(x －1)2；⑥y ＝x ；⑦y ＝a x (a >1)．其中幂函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知幂函数y ＝(m 2－m －1)xm 2－2m －3，求此幂函数的解析式，并指出定义域．(1)[解析] ②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B.[答案] B(2)[解] ∵y ＝(m 2－m －1)xm 2－2m －3为幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，则y ＝x －3，且有x ≠0； 当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，则y ＝x 0，且有x ≠0. 故所求幂函数的解析式为y ＝x －3，(x ≠0)或y ＝x 0(x ≠0)． [类题通法]判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.反之，若一个函数为幂函数，则该函数应具备这一形式，这是我们解决某些问题的隐含条件．[活学活用]函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，求f (x )的解析式． 解：根据幂函数的定义得m 2－m －1＝1.解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，f (x )＝x 3在(0，＋∞)上是增函数； 当m ＝－1时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f (x )＝x 3.已知α取－2，－12，12，2[例2] (1)如图，图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的大致图象，四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12(2)如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( ) A ．－1<n <0<m <1 B ．n <－1,0<m <1 C ．－1<n <0，m >1 D ．n <－1，m >1[解析] (1)令x ＝2，则22>212>2－12>2－2，故相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α值依次为2，12，－12，－2.故选B.(2)此类题有一简捷的解决办法，在(0,1)内取x 0，作直线x ＝x 0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0<m <1，n <－1.[答案] (1)B (2)B [类题通法]解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高)．(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y ＝x －1或y ＝x 12或y ＝x 3)来判断．[活学活用]已知函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c 的图象如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b解析：选A 由幂函数的图象特征知，c <0，a >0，b >0.由幂函数的性质知，当x >1，幂指数大的幂函数的函数值就大，则a >b .综上所述，可知c <b <a . [例3] 比较下列各组数中两个数的大小． (1)⎝⎛⎭⎫250.5与⎝⎛⎭⎫130.5； (2)⎝⎛⎭⎫－23－1与⎝⎛⎭⎫－35－1； (3)⎝⎛⎭⎫2334与⎝⎛⎭⎫3423.[解] (1)∵幂函数y ＝x 0.5在(0，＋∞)上是单调递增的， 又25>13，∴⎝⎛⎭⎫250.5>⎝⎛⎭⎫130.5. (2)∵幂函数y ＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，又－23<－35，∴⎝⎛⎭⎫－23－1>⎝⎛⎭⎫－35－1. (3)∵函数y 1＝⎝⎛⎭⎫23x 为R 上的减函数，又34>23， ∴⎝⎛⎭⎫2323>⎝⎛⎭⎫2334.又∵函数y 2＝x 23在(0，＋∞)上是增函数，且34>23，∴⎝⎛⎭⎫3423>⎝⎛⎭⎫2323，∴⎝⎛⎭⎫3423>⎝⎛⎭⎫2334. [类题通法]比较幂值大小的方法(1)若指数相同，底数不同，则考虑幂函数； (2)若指数不同，底数相同，则考虑指数函数；(3)若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小．9.用幂函数的单调性解题时易忽视单调区间的讨论[典例] 已知幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则满足(a ＋1)－m3<(3函数零点的存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0.那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．[化解疑难]对函数零点存在性的探究(1)并不是所有的函数都有零点，如函数y ＝1x.(2)当函数y ＝f (x )同时满足：①函数的图象在[a ，b ]上是连续曲线；②f (a )·f (b )<0.则可判定函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个．(3)当函数y ＝f (x )的图象在[a ，b ]上是连续的曲线，但是不满足f (a )·f (b )<0时，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可能存在零点，也可能不存在零点．[例1] (1)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f (x )＝x ＋3x；(2)f (x )＝x 2＋2x ＋4； (3)f (x )＝2x －3；(4)f (x )＝1－log 3x .[解] (1)令x ＋3x ＝0，解得x ＝－3，所以函数f (x )＝x ＋3x 的零点是x ＝－3.(2)令x 2＋2x ＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12<0， 所以方程x 2＋2x ＋4＝0无实数根， 所以函数f (x )＝x 2＋2x ＋4不存在零点． (3)令2x －3＝0，解得x ＝log 23. 所以函数f (x )＝2x －3的零点是x ＝log 23. (4)令1－log 3x ＝0，解得x ＝3， 所以函数f (x )＝1－log 3x 的零点是x ＝3. [类题通法]函数零点的求法求函数f (x )的零点时，通常转化为解方程f (x )＝0，若方程f (x )＝0有实数根，则函数f (x )存在零点，该方程的根就是函数f (x )的零点；否则，函数f (x )不存在零点．[活学活用]判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f (x )＝－x 2－4x －4； (2)f (x )＝(x －1)(x 2－4x ＋3)x －3；(3)f (x )＝4x ＋5； (4)f (x )＝log 3(x ＋1)．[例2] (1)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表：x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y6m－4－6－6－4n6不求a ，b ，c 的值，判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根所在的区间是( ) A ．(－3，－1)和(2,4) B ．(－3，－1)和(－1,1) C ．(－1,1)和(1,2)D ．(－∞，－3)和(4，＋∞)(2)函数f (x )＝lg x －9x 的零点所在的大致区间是( )A ．(6,7)B ．(7,8)C ．(8,9)D ．(9,10) [解析] (1)利用f (a )f (b )<0，则f (x )＝0在(a ，b )内有根来判定．∵f (－3)＝6>0，f (－1)＝－4<0，∴在(－3，－1)内必有根，又由f (2)＝－4<0，f (4)＝6>0，∴在(2,4)内必有根．故选A.(2)∵f (6)＝lg 6－96＝lg 6－32<0，f (7)＝lg 7－97<0，f (8)＝lg 8－98<0，f (9)＝lg 9－1<0，f (10)＝lg 10－910>0，∴f (9)·f (10)<0.∴f (x )＝lg x －9x 的零点的大致区间为(9,10)．[答案] (1)A (2)D [类题通法]确定函数零点所在区间的方法确定函数的零点、方程的根所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．[例3] (1)函数f (x )＝ln x －1x －1的零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)判断函数f (x )＝2x ＋lg(x ＋1)－2的零点个数．(1)在同一坐标系中画出y ＝ln x 与y ＝1x －1的图象，如图所示，函数y＝ln x 与y ＝1x －1的图象有两个交点，所以函数f (x )＝ln x －1x －1的零点个数为2.。