42波动方程反演
《反演公式及其应用》课件
PART 04
反演公式的扩展和深化
REPORTING
反演公式的变种和推广
反演公式的变种
除了基本的反演公式，还有多种变种形式，如双反演公式、多反演公式等，这些变种公式在不同情况下具有更广 泛的应用。
反演公式的推广
为了解决更复杂的问题，反演公式被推广到更广泛的数学领域，如复数域、矩阵论等，这些推广使得反演公式在 更广泛的领域中发挥作用。
要点一
适用范围
要点二
限制条件
反演公式主要用于解决特定类型的问题，如线性方程组、 积分方程等。
反演公式在应用时需要满足一定的条件，如数据完整性、 噪声水平等。
反演公式在实际应用中的困难和挑战
数据需求
反演公式需要大量的计算复杂性
反演公式的计算过程可能非常复杂，需要高性能的计 算资源。
THANKS
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REPORTING
《反演公式及其应用 》ppt课件
REPORTING
• 反演公式简介 • 反演公式的数学原理 • 反演公式的实际应用 • 反演公式的扩展和深化 • 反演公式的局限和挑战
目录
PART 01
反演公式简介
REPORTING
反演公式的定义
反演公式是指通过已知函数值来求解 未知数的一种数学方法。
它通常用于解决一些难以直接求解的 方程或问题，通过反演变换将问题转 化为另一种形式，从而简化求解过程 。
优化设计
在机械、建筑等领域中，可以利用反 演公式对设计参数进行优化，提高产 品的性能和稳定性。
控制系统设计
在控制工程中，可以利用反演公式设 计控制器，使得控制系统具有更好的 动态特性和稳定性。
在数学问题中的应用
解决方程组
反演公式可以用于求解线性方程组和非线性方程组，提高求解效率和精度。
波动方程偏移与反演
V1=3000m/s
1.0
VRMS1=3030m/s
1.1
t
V2=4000m/s VRMS2=3030m/s
绝对差
30m/s 1000m/s
第一层
3000m/s 3000m/s
第二层
3030m/s（按上
图的模型计算）
相对差
1% 33%
VRMS
层速度
4000m/s
（四）、叠后偏移与叠前偏移
2 [2 tv 2 rms (t ) / v0 )dt ]1/ 2 0 t
关于深度偏移的速度模型误差的敏感度问题可参考如下论 文： Geophysics 2005 ，70（2）和 The Leading EDGE，2005，24（4）作者与论文名称：Pon and Lines ，“Sensitivity analysis of Seismic depth migration” TLE的编者称其为亮点文章 Geophysics bright spots 见 p.394
R |h 0 r 4 4F
第一Fresnel 带半径R与传播距 离 h和波长λ的关系图
式中 V 为地震波速度，F 为主频。
提高地震勘探的分辨率
R—第一菲涅尔 带半径（未做 偏移） r- 做了三维偏 移的第一菲涅 尔带半径 椭圆（长轴R， 短轴r）做了二 维偏移的结果 R r
y
x
三维偏移使 第一菲涅尔 带由大圆 （半径为R） 变为小圆 （半径为r）， 二维偏移使 其成为以R、 r为长、短半 轴的椭圆。
波动方程偏移与反演
（一）、波动方程偏移概述
（一）偏移的作用与类别
1、提高分辨率（横向），使断点、尖灭点，边缘、小异常体和地层、 岩性变化部位清晰 2、使波场正确归位，消除界面弯曲、倾斜等造成的各种假象（如回 转波、大角度倾斜断面波等）
基于波动方程的地震波形反演与成像方法研究
基于波动方程的地震波形反演与成像方法研究地震波形反演与成像是地球物理学中重要的领域，它通过分析地震波形数据来研究地下的地质结构和介质参数。
这项研究对于地质勘探、地震灾害预测、地震工程以及地球内部结构的理解具有重要意义。
基于波动方程的地震波形反演与成像方法可以提供更准确的地下模型和地震源的参数。
1. 地震波形反演方法地震波形反演是通过分析地震波形数据，推测地下的地质结构和介质参数。
波形反演方法有许多种，其中最常用的是基于波动方程的全波形反演方法。
全波形反演方法通过求解正问题和反问题来估计地下介质模型。
正问题是根据已知的地下介质模型和地震源参数，计算出模拟地震波数据。
反问题是根据观测到的地震波数据，反推估计出地下介质模型参数。
全波形反演方法是一种迭代方法，通过多次迭代求解正问题和反问题来逐步优化地下模型的估计值。
在正问题的求解中，需要使用波动方程模拟地震波传播过程。
波动方程是描述地震波传播的基本方程，它是一个偏微分方程，可以通过数值方法（如有限差分法、有限元法等）进行求解。
在反问题的求解中，需要使用优化算法进行参数估计，最常用的方法包括共轭梯度法、拟牛顿法等。
2. 地震波形成像方法地震波形成像是通过分析地震波形数据，进行地下介质的成像。
它与波形反演方法类似，但是波形成像方法更注重于地下结构的成像，而不太关注参数估计。
波形成像方法有许多种，常用的方法包括偏移成像、反射成像和散射成像。
偏移成像是一种常用的波形成像方法，它利用地震波的走时信息来定位地下结构。
在偏移成像中，首先需要进行资料处理，包括去噪、去除仪器响应等。
然后根据速度模型对地震波数据进行偏移处理，得到反射面在地下的位置。
偏移成像的优点是处理速度快，适用于大规模数据。
但是它对速度模型的准确性要求较高。
反射成像是一种基于地震波反射的成像方法。
它通过分析地震波在地下发生反射的位置和特征，来推测地下的反射面。
反射成像常用的方法有叠前偏移和叠后偏移等。
波动方程与扩散方程
波动方程与扩散方程波动方程与扩散方程是物理学中非常重要的方程，它们描述了许多自然现象和实际问题，具有广泛的应用。
本文将从定义、性质和应用等多个方面介绍这两个方程。
一、波动方程波动方程描述了机械波在空间和时间上的变化。
它的一般形式为：$$\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=c^2\Delta u$$其中，$u$是波函数，$t$是时间，$c$是波速，$\Delta$是Laplace算子。
波动方程有以下几个重要性质：1. 超定原理：波动方程是一个线性的偏微分方程，因此可以利用叠加原理，将多个波函数的解叠加在一起，得到新的波函数解。
2. 能量守恒：波动方程描述了机械波在空间和时间上的变化，因此波函数的能量也会随着时间变化。
但是，总能量保持不变。
3. 解析解：在一些简单的情形下，波动方程可以得到解析解，也就是解的形式可以用公式表示出来。
二、扩散方程扩散方程用于描述物质在空间和时间上的分布演化，形式为：$$\frac{\partial u}{\partial t}=D\Delta u$$其中，$u$是物质浓度，$t$是时间，$D$是扩散系数，$\Delta$是Laplace算子。
扩散方程的主要性质如下：1. 保守性：扩散方程是一个线性的偏微分方程，可以保持物质总量不变。
2. 扩散速率：扩散速率与扩散系数和浓度梯度成正比，与距离成反比。
3. 时间反演性：扩散方程满足时间反演性，即方程的解在$t\rightarrow -t$时具有对称性。
三、应用波动方程和扩散方程都具有广泛的应用。
以下是两个方程在不同领域的应用举例。
1. 波动方程的应用(1) 文化遗产保护：波动方程可以用于分析文化遗产中的声音传播和振动特性，帮助人们更好地了解和保护文化遗产。
(2) 医学影像学：医学影像学的成像原理中很多都是基于波动方程的原理。
例如，X线成像、MRI、CT等。
2. 扩散方程的应用(1) 环境保护：扩散方程可以用于模拟和预测污染物在大气、水、地下水等环境中的扩散和迁移过程，有助于制定相应的环境保护措施。
地震反演技术解析
地震反演技术解析地震是地球内部强烈能量释放的一种自然现象，经常给人类造成严重的损失。
为了提前预警和减轻地震带来的影响，科学家们不断研究并发展地震反演技术，通过分析地震波传播过程，从而推断地球内部的物质性质和结构。
在本文中，我们将对地震反演技术进行详细解析。
一、地震反演的基本原理地震反演技术是通过分析地震波在地球内部传播的方式来推断地下的物质组成和结构。
它的基本原理是利用地震波在不同介质中传播速度的变化，推断地下结构的差异性。
地震波在不同介质中的传播速度受到介质密度、弹性模量和损耗等因素的影响。
通过测量地震波的传播速度和到达时间，科学家可以对地下结构进行反演。
二、地震波的测量方法地震波的测量是地震反演技术的基础。
常用的地震波测量方法包括接收地震波的地震仪、利用爆炸物或震源人工产生的地震波、以及记录地震波传播路径上的速度和振幅等。
这些测量数据会成为地震反演的基础输入。
三、地震波的模拟与正演为了研究地震波在地球内部的传播规律，科学家们利用计算机模拟和数值方法进行地震波的正演。
正演模拟可以根据地震波的源和介质参数，计算出地震波在地下的传播路径、速度和振幅等。
通过与实际观测数据进行对比，可以验证地震模型的准确性。
四、地震波的反演方法为了从地震观测数据中推断地下结构，科学家们发展了多种地震波反演方法。
其中，最常用的方法包括走时反演、频率反演、波动方程反演等。
走时反演是基于地震波到达时间的变化来进行反演。
通过测量地震波的传播时间和地震波速度模型，可以推断地下结构的速度分布。
频率反演是基于地震波信号频率的变化来进行反演。
通过分析地震波信号的频谱特征，可以推断地下结构的频率响应和介质的频率衰减特性。
波动方程反演是一种基于波动方程的直接反演方法。
通过求解波动方程，建立地震波传播的物理模型，进而推断地下结构的物质组成和弹性参数。
五、地震反演技术的应用地震反演技术在地球物理勘探、地球内部结构研究、地震灾害预警等领域都有广泛的应用。
地球物理反演原理与方法的综述
地球物理反演原理与方法的综述地球物理反演是一种通过测量数据，利用物理定律和数学模型来推断地下物质结构的方法。
它在地球科学领域具有重要的应用价值，可以用于勘探矿产资源、地下水资源、地质构造和地壳运动等方面的研究。
地球物理反演的原理和方法多种多样，本文将对其中的一些主要方法进行综述。
地球物理反演的原理基于物理学和数学的基本原理，通过测量地下的物理场参数（如重力场、地磁场、地电场等）或地震波的反射、折射特征，利用物理定律建立数学模型，通过求解逆问题来得到地下物质的空间分布和性质。
常见的物理场参数反演方法包括重力反演、磁法反演、电法反演等，而地震反演是地球物理反演中最常用的方法之一。
地震反演是一种通过测量地震波在地下的传播路径和速度信息，推断地下介质的物理性质的技术。
它广泛应用于地球深部结构、地震震源机制、地震风险评估等领域。
地震反演的主要方法包括走时层析、波动方程反演、全波形反演等。
走时层析方法是一种常见的地震反演方法，它通过分析地震波到达的走时信息，来推断介质的速度分布。
波动方程反演和全波形反演则是基于波动方程和地震波记录数据来求解介质参数的反演方法，它们能够获得更为精细的地下介质结构和物理性质信息。
重力反演是利用地球的重力场变化来推断地下密度分布的方法。
通过测量地表上的重力场数据，并建立重力场与地下物质密度分布之间的数学关系，可以进行重力反演计算。
常见的重力反演方法包括正演模拟法、梯度反演法和全合成反演法等。
磁法反演是利用地球的磁场变化来推断地下矿产或地质构造的方法。
通过测量地表上的磁场数据，并建立磁场与地下物质磁化率或磁导率分布之间的关系，可以进行磁法反演计算。
常见的磁法反演方法包括正演模拟法、梯度反演法和全合成反演法等。
电法反演是利用地球的电场变化来推断地下电性分布的方法。
通过测量地表上的电场数据，并建立电场与地下物质电阻率分布之间的数学关系，可以进行电法反演计算。
常见的电法反演方法包括两极化法、多极化法和工程法等。
波动方程多种解法探究
波动方程多种解法探究波动方程是物理系统的重要方程之一，有多种解法可供探究。
1. 动量守恒冲击法：这是物理学家狄拉克和贝克尔所提出的一种方法，该方法基于简谐运动原理，用来求解非线性的一维及多维波动方程。
在波动方程中，动量守恒冲击法能够有效的求解多个离散点的动力学，尤其是在陆地的穿透问题中尤为有用。
2. 理想化平均方法：理想化平均法是物理学家马尔科夫提出来求解边界值问题的一种方法，是由波动方程演化出来的一种折中形式。
这种方法可以用于保证空间均一，对于非线性的一维及多维波动方程，理想化平均法能够有效求解波动过程中各空间点上变量的动力学行为。
3. 多重射线技术：多重射线法是一种新兴的数值求解方法，它可用来解决一维及多维的波动方程。
该方法的基本思想是发射多条射线，采用递推的方式，根据已知解法对每一条射线中的每一点进行迭代更新。
多重射线技术很容易改变，能够有效的计算多维波动中的分布状况。
4. 对流–扩散技术：对流–扩散法可以将波动方程分解为两个独立的方程，即对流方程和扩散方程。
此外，它的空间分解技术能够有效的消除中间变量的影响，使得波动方程的解能更准确地反映实际情况，同时还能减少计算时间。
5. 高斯—约当技术：高斯—约当技术被认为是一种有效的数值求解方法，能够有效的处理多维非线性波动方程，特别是在涉及变量和波动尺度较大时，该技术可以实现较高效率的求解。
此外，使用高斯—约当技术可以对系统进行结构性分析，更易于理解系统本身的特性。
总之，上述技术虽然各有特点，但主要用于解决波动方程。
掌握了这些技术，可以用来仔细研究波动过程的物理现象，有助于更好的理解波动动力学及相关物理系统情况。
反演原理及公式介绍
反演原理及公式介绍反演原理是数学中的一种重要方法，广泛应用于物理学、工程学、金融数学、计算机科学等领域。
它主要是通过将问题的解嵌套在另外一个问题的解中，从而通过求解后者来得到前者的解。
反演原理最早由法国数学家阿贝尔于1826年引入，后来经过多位数学家的发展和推广，逐渐形成了相对成熟的理论体系。
在物理学中，反演原理常被用于求解各种物理系统中的未知量，如电磁场分布、物理介质的性质等。
反演原理的应用中，最重要的是识别出一对具有对偶关系的微分方程。
一般来说，这对微分方程的形式会有所差异，它们在一方面描述了问题中未知量的演化规律，另一方面则描述了待求解未知量的变换规律。
通过将这两个方程进行适当的组合，就能够得到一个只与待求解未知量有关的微分方程，从而简化了问题的求解过程。
反演原理的核心思想是通过将问题转化为一个新的问题，从而实现问题的求解。
而这个新的问题往往具有较为简单的形式，这样就可以通过已有的数学技巧来求解。
在实际应用中，反演原理可以大大简化问题的求解过程，提高了问题的可解性。
在具体的数学表述中，反演原理可以用如下的公式来表示：设一般微分方程为F(x,y,y',y'',...)=0其对应的反演微分方程为G(x,u,u',u'',...)=0其中，y是未知函数，u是待求解函数。
反演微分方程是通过对y施加变换得到的。
具体的变换过程依赖于具体问题的性质以及反演原理的选择。
反演微分方程通常具有更简单的形式，并且可以通过已有的数学方法来求解。
将反演微分方程的解转化回原方程的解，就可以得到问题的真实解。
反演原理还有一个重要的应用是在数值方法中。
由于一些问题难以直接求解，可以通过反演原理将其转化为一个可以求解的问题，然后再通过数值方法对其进行求解。
总而言之，反演原理是一种重要的数学方法，可以将复杂的问题转化为简单的问题，从而方便求解。
它的应用广泛，不仅是物理学和数学，还包括其他科学领域和工程实践中。
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w = ∫ ∑ G ( x g , z g , t x ' , z ' , t ) u n ( x g , z g , t ) − u n ( x g , z g , t ) dt . .. .(3-13)
g
(
)
= ∫ dt ∑ ∫∫ G( x, z, t | x′, z′, t ′) u ( x, z, t ) − u ( x, z, t )
Ω
~ ( M , ω ) 得： 上是两端加 u 0
~( M , ω ) = u ~ ( M , ω ) + k 2 α ( M ′)G ( M , M ′, ω )u ~( M ′, ω )dM ′ u 0 ∫
Ω
Born 近似反演方法
~( M , ω ) 的第二类 Fredholm 积分方程，由此可确 当 α ( M ) 给定时，(7.9)为关于 u
∂ 2 u ′ ( x ′, z ′, t ′ ) d x ′d z ′d t ′ ∂ t ′2
⋅ (u n ( x g , z g , t ) − u r ( x g , z g , t ) ) = ⋅∫
∫∫ δ c ( x ′, z ′ )d x ′d z ′ ∫ 2 ∑ G (x
g g
=
dt u′( xg , z g , t ) − u n ( xg , z g , t ) ·( u′( xg , z g , t ) + u n ( xg , z g , t ) − 2u r ( xg , z g , t ) )
略去高阶项 J (c n + δ c ) − J (c n )
= 2∑ ∫ dt (δ u ( xg , z g , t ) ) ( u n ( xg , z g , t ) − u r ( xg , z g , t ) )
2
∆2 u =
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
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Born 近似反演方法
两端关于 t 做 Fourier 变换，得：
2 ω 2 ~ ~ ∆ + u (M ,ω ) = f (M ,ω ) 2 C (M )
F ( f ′(t )) = iωF ( f ( t ))
定总场，此即波场的正问题。 在常背景场的情况下，C0 =常数，此时 Green 函数可以解析地求得，在变背 景常的情况下，可以用数值算法求得。
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Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱrn 近似反演方法
在弱散射情况下，对(7.9)式做 Born 近似：
~( M , ω ) = u ~ (M ,ω ) u 0
则得到：
波动方程反演的梯度法
在二维介质中，波的传播可用如下二维声波方程来描述
∂ 2u ∂ + ∂ x2 ∂
2u 1 ∂ 2u − = f (t)δ (xs − x)δ (zs − z) z2 v2(x, z) ∂ t2
（3-1）
其中，u(x,z,t)是位移波场，v(x,z)是介质中(x,z)点的速度，f(t) 是震源函数 （f(t)=0,t<0）, ( x z , z s ) 为震源坐标。这样，给定炮点位置，利用有限差分 正演方法求解上述方程，可求得任意一点上的地震记录。
这里 k =
(∆
2
Born 近似反演方法
定义散射场
~ (M ,ω ) = u ~( M , ω ) − u ~ (M ,ω ) u s 0
(7.4)式减(7.5)式得
(∆
2
~ ( M , ω ) = −k 2α ( M )u ~( M , ω ) + k 2 )u s
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Born 近似反演方法
Born 近似反演方法
称
1 为波慢度，假设它可以表示为 C (M )
2
1 1 = 2 (1 + α ( M )) C ( M ) C0 ( M )
2
C0 ( M ) 为背景场的速度，它是真实速度的光滑近似，是已知量，因此，α ( M )
是一个很小的参量，称为速度摄动参数，如果我们能求出 α ( M ) ，问题就解决 了，
2
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Born 近似反演方法
为此将(7.3)代入(7.2)得到
(∆
2
~( M , ω ) = − k 2α ( M )u ~( M , ω ) + ~ + k 2 )u f (M ,ω ) ω ~ 是介质背景场中的波场，即满足方程： ，设 u 0 C0 ~ (M ,ω ) = ~ + k 2 )u f (M ,ω ) 0
~ ( M , ω ) = k 2α ( M ′)G( M , M ′, ω )u ~ ( M ′, ω )dM ′ u s 0 ∫
Ω
Born 近似反演方法
在此式中令
M = M r (接收点) ~( M , ω ) 是已知的地震记录，于是得到第一类 Fredholm 积分方程 由于 u r
~ ( M , ω ) = k 2 G ( M , M ′, ω )u ~ ( M ′, ω )α ( M ′)dM ′ u s r r 0 ∫
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波动方程反演的梯度法
J (c n + δ c ) − J (c n )
=
u ( xg , zg , t) − u ( xg , zg , t)
r 2
∑ ∫ d t ( u ′( x
g
g
, zg , t) − u r ( xg , zg , t)) −
2
r 2
∑ ∫ dt
g
u n ( xg , zg , t) − u r ( xg , zg , t)
由(3-8)和(3-9)得
. . (3-9)
∂ 2δ u ∂ 2δ u ∂ 2δ u ∂ 2u ′ + − cn =δc 2 2 2 2 ∂x ∂z ∂t ∂t
δ u = ∫∫∫ G ( x, z , t | x′, z ′, t ′)δ c( x′, z ′) ∂ 2u ′( x′, z ′, t ′) dx′dz ′dt ′ ∂ t ′2
u r ( xg , z g , t )
求 c ( x, z ) ，其中 (x g , z g ) ，g=1,2,...n。是
接收点的坐标，n 是接收点的个数。
波动方程反演的梯度法
采用迭代的方法，设 c 0 为初始模型， c n ( x , z ) 为第 n 步的迭代结果， 本文 的 目 的就是 在初 始 条件 c 0 下， 逐步 迭 代 ， 使 c n ( x , z ) → c ( x , z ) ，
∂ 2 u ′ ( x ′, z ′, t ′ ) dt′ ∂ t ′2 .. . (3-12)
, z g , t | x ′, z ′, t ′ ) ( u n ( x g , z g , t ) − u r ( x g , z g , t ) )d t
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波动方程反演的梯度法
(3-11)
波动方程反演的梯度法
J (c n + δ c ) − J (c n ) = 2∑
g
∫ d t (δ u ( x
g
, z g , t ) ) (u n ( x g , z g , t ) − u r ( x g , z g , t ) )
= 2∑
g
∫ dt ∫∫∫ G ( x
g
, z g , t | x ′, z ′, t ′ ) δ c ( x ′, z ′ )
2
∑ ∫ dt
g
−
∑ ∫ d t (u
g
n
( xg , zg , t ) − u ( xg , zg , t ) )
g
=
∑ ∫ d t (u ′( x
g
, z g , t ) − u n ( x g , z g , t ) )( u ′ ( x g , z g , t ) + u n ( x g , z g , t ) − 2 u r ( x g , z g , t )
g
.. (3-7)
波动方程反演的梯度法
下面推导 δ u ( xg , z g , t ) 的表达式: . (3-8)
2 n ∂ 2u n ∂ 2u n n ∂ u + − c = f (t )δ ( xs − x)δ ( z s − z ) ∂ x2 ∂ z2 ∂ t2
∂ 2 u ′ ∂ 2u ′ ∂ 2u ′ ′ + − c = f (t )δ ( xs − x)δ ( zs − z ) ∂ x2 ∂ z 2 ∂ t2
由泛函强导数的定义： J (c + δc ) − J (c ) = ∫∫ . (3-4)
波动方程反演的梯度法
在 c n ( x, z ) 点的梯度 ∂J (c n ) 定义为： ∂c ∂J (c n ) δcdxdz + ο (δc) ∂c (3-5)
J (c n + δc) − J (c n ) = ∫∫ 令 设
g
( x − x ) ( z − z )dxdz
= dt
G( x, z, t | x′, z′, t ′) ( u n ( x, z, t ) − u r ( x, z, t ) ) δ ( x − xg )δ ( z − z g )dxdz w( x′, z′, −t ′) = ∫ dt ∫∫ G( x′, z′, t ′ | x, z, t )
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Born 近似反演方法
王守东
Born 近似反演方法
考虑如下变系数波动方程
∆2 u =